FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
DO PORTO
LEEC
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA
Valores e Vectores Próprios
1. Sejam A e B duas matrizes 2 × 2 tal que det(A) = det(B) e tr A = tr B.
Mostre que A e B têm a mesma equação caracterı́stica.
2. Verifique que os valores próprios das seguintes matrizes são 1 e −1.
"
#
"
#
"
#
1 0
0 1
0 −i
A=
, B=
, C=
0 −1
1 0
i 0
3. Determine os valores e vectores próprios das seguintes matrizes:
"
#
"
#
"
#
"
#
1 −1
2 1
−2 0
1 1
A=
, B=
, C=
, D=
2 1
1 3
1 2
−1 0
4. Determine os valores e vectores próprios das seguintes



1
0 0
2 1



A =  −3 1 0  , B =  1 2
0 0
4 −7 1


2 1 1


C =  0 2 1 ,
0 0 2
matrizes:

0

0 
2


0 1 0


D= 1 0 0 
0 0 1
5. Mostre que duas matrizes semelhantes têm a mesma caracterı́stica.
Valores e Vectores Próprios
2
6. Mostre que uma matriz A é não singular se e só se 0 não é valor próprio de A.
7. Seja A uma matriz não singular. Relacione os valores próprios de A e de A−1 .
8. Seja A uma matriz n × n tal que A2 = −I. Mostre que
(a) A é não singular.
(b) n é par.
(c) A não tem valores próprios reais.
(d) det(A) = 1.
9. Seja A uma matriz 5 × 5 para a qual 2, 3 e 4 são valores próprios de A de
multiplicidade algébrica 1 e 0 é valor próprio de multiplicidade algébrica 2.
Determine a caraterı́stica de A.
10. Determine todas as matrizes 2 × 2 de entradas reais tais que
(a) todos os valores próprios são reais e distintos.
(b) os valores próprios são iguais e reais.
(c) os valores próprios são complexos conjugados.
11. Considere a matriz

1 1 1


A= a b c 
d e f

Determine a, b, c, d, e, f para os quais esta matriz admite (1, 1, 1)T , (1, 0, −1)T
e (1, −1, 0)T como vectores próprios.
12. Sejam B e C duas matrizes quadradas e seja
"
#
B 0
A=
.
0 C
2
Valores e Vectores Próprios
3
Mostre que o polinómio caracterı́stico de A é igual ao produto dos polinómios
caracterı́sticos de B e C.
13. Mostre que as matrizes


4 0 0


A =  0 5 0 ,
0 0 1


4 0 0


B= 0 1 0 
0 0 5
são semelhantes.
14. Seja A uma matriz quadrada e λ um valor próprio de A de multiplicidade
algébrica m. Seja µ a multiplicidade geométrica desse valor próprio. Mostre
que 1 ≤ µ ≤ m. Mostre ainda que µ é igual à dimensão do núcleo da matriz
A − λI (núcleo de uma matriz B é o subespaço formado pelos vectores x tais
que Bx = 0).
15. Determine os valores, vectores próprios e a dimensão dos espaços próprios E(λ)
para cada valor próprio das seguintes matrizes:

2 1 0


A =  0 2 0 ,
0 0 2



2 1 0


B =  0 2 1 ,
0 0 2

2 0 0


C= 0 2 0 
0 0 2

16. Determine um conjunto de vectores próprios ortogonal para A

"
#
"
#
1 3
9 12
0 −2

A=
, B=
, C =  3 −2
12 16
2 0
0 −1
onde

0

−1 
1
17. Uma matriz A com entradas reais diz-se ortogonal se AAT = I. Mostre que
se A é ortogonal, então det(A) = ±1.
IMF MRP
3
Valores e Vectores Próprios
4
BIBLIOGRAFIA
• Calculus de T. M. Apostol, Xerox College Publishing.
• Applied Linear Algebra de Ben Noble e James J. Daniel, Prentice -Hall.
4