Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Folha 9
Engenharia Electrotécnica
Ano lectivo 2007/2008
144. Seja T : R3 −→ R3 a transformação linear que é representada pela matriz


−1 0 1
A =  2 0 3 .
0 1 1
relativamente à base {(1, 0, 0), (1, −1, 0), (−1, 1, 1)} de R3 . Calcule T (1, 1, 0).
145. Sejam E um espaço vectorial real de dimensão 3, {e1 , e2 , e3 } uma base de E e f : E −→ E
uma aplicação linear cuja matriz relativamente a essa base é


1 1
0
M (f ; {e1 , e2 , e3 }) =  −1 0 −1  .
0 1 −1
(a) Determine a caracterı́stica de f .
(b) Sejam e01 = e2 , e02 = e1 + e3 , e03 = 2e1 + 3e2 . Prove que B = {e01 , e02 , e03 } é uma base de E
e determine M (f ; B).
146. Uma função f de R3 em R2 é definida por f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 − x2 − x3 ).
(a) Prove que f é uma aplicação linear.
(b) Determine o núcleo de f e a respectiva dimensão.
(c) Determine Im(f ) e a respectiva dimensão.
147. Considere a aplicação linear T : R3 −→ R3 tal que T (x, y, z) = (x, y − z, x).
(a) Mostre que a matriz de T relativamente à base {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} é


1 0
1
A =  −1 0 −1  .
1 1
1
(b) Determine o núcleo de T .
(c) A aplicação T é injectiva? Porquê?
148. Sejam V e W espaços vectoriais reais de dimensões 3 e 2,
bases B = {v1 , v2 , v3 } e B 0 = {w1 , w2 }, respectivamente.
·
tal que
2 0
A = M (T ; B, B 0 ) =
1 3
respectivamente, onde se fixaram as
Seja T : V → W a aplicação linear
¸
1
.
4
Classifique T quanto à injectividade e sobrejectividade.
149. Considere dois espaços vectoriais reais U e V que admitem as bases B1 = {u1 , u2 , u3 } e
B2 = {v1 , v2 , v3 , v4 }, respectivamente, e aplicação linear f : U → V definida por f (u1 + u2 ) =
v3 , f (u2 + u3 ) = v2 e f (u1 + u3 ) = v4 .
(a) Determine M (f ; B1 , B2 ).
(b) Classifique f quanto à injectividade e sobrejectividade.
(c) Usando a matriz determinada na alı́nea (a), determine os vectores u ∈ U tais que f (u) =
v2 + v3 .
V. Valores próprios e vectores próprios
150. Calcule os valores próprios e os respectivos espaços próprios de cada uma das seguintes matrizes
(indicando uma base para os espaços próprios).
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
2 1
0 1
1 1
4 −5
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
2 −3
−1 0
−1 0
0 1








1 −1
0
3 2 4
−3 1 −1
2 1 1
2 −1  ; (f)  2 0 2  ; (g)  −7 5 −1  ; (h)  2 3 2  .
(e)  −1
0 −1
1
4 2 3
−6 6 −2
3 3 4
151. (a) Prove que matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios.
(b) Verifique que o recı́proco da alı́nea anterior é falso através das matrizes
·
¸
·
¸
2 0
2 1
e
.
0 2
0 2
152. (a) Determine os valores e os vectores próprios da

3
0
 0 −1
0
0
matriz

0
0 .
2
(b) Generalize para uma matriz diagonal qualquer.
153. Quais são os valores próprios de uma matriz triangular?
154. Determine os vectores próprios das seguintes matrizes:




4 1 0
α 1 0
(a)  0 3 1  ;
(b)  0 α 1  (estude os casos α = β e α 6= β).
0 0 2
0 0 β
155. Dê exemplos que mostrem que os valores próprios de uma matriz podem mudar
(a) quando se subtrai a uma linha um múltiplo de outra linha;
(b) quando se trocam duas linhas.
Observação: Note-se que deste exercı́cio podemos concluir que para calcular os valores
próprios de uma matriz não se pode aplicar o método de eliminação à matriz.
156. Suponhamos que A tem os valores próprios µ1 , . . . , µn . Prove que, então, µ21 , . . . , µ2n são valores
próprios de A2 e que qualquer vector próprio de A é também vector próprio de A2 . Generalize
para qualquer potência de A.
157. Diga se cada uma das matrizes do exercı́cio 150 é ou não diagonalizável e, em caso afirmativo,
determine uma matriz diagonalizante.
158. Seja A uma matriz real de ordem dois que tem valores próprios 3 e 5, aos quais estão associados
os vectores próprios [1 2]T e [2 − 1]T , respectivamente. Prove que A é simétrica.
159. Considere a matriz

1 1 1
 1 1 1 .
1 1 1

(a) Determine os valores próprios de A.
(b) Determine um vector próprio de A, associado ao valor próprio 0, que tenha norma 1.
(c) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes
diferentes.