INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 12a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR - 2a FASE LCEIC-Taguspark, LCERC, LCEGI, LCEE 1o semestre 2007/08 - lista extra 1. Sejam A e B as seguintes matrizes por blocos: A= A11 A12 A21 A22 B= B11 B12 B21 B22 a) Calcule a matriz produto AB, supondo compatı́veis todos os produtos dos blocos. b) Supondo A uma matriz triangular superior por blocos, i.e. A12 = O com O matriz nula, e as matrizes na diagonal por blocos A11 e A22 invertı́veis, determine a matriz inversa de A. 2. Sendo An×n e A = AT uma matriz simétrica, A = −AT uma matriz anti-simétrica, mostre que: a) para toda a matriz quadrada B, BB T e B + B T são matrizes simétricas. b) para toda a matriz quadrada B, B − B T é uma matriz anti-simétrica. 3. Considere as seguintes matrizes que representam transformações lineares em C2 : 0 1 1 −2 1 5 (a) (b) (c) 1 3 −2 3 −8 4 Para cada uma delas escreva a equação caracterı́stica e encontre os valores próprios respectivos. Descreva o sistema dinâmico correspondente. a −b 4. Encontre a matriz P invertı́vel e a matriz C da forma tal que A = P CP −1 . b a 1 −2 1 5 5 −5 (a) A = (b) A = (c) A = 1 3 −2 3 1 1 5. Sabendo que uma matriz hermiteana é uma matriz com entradas complexas que verifica A = AT , sendo usual ainda a escrita AT = A∗ , encontre k, l e m que tornam a matriz A numa matriz hermiteana. −1 k −i 0 m A = 3 − 5i l 2 + 4i 2 6. Sendo A e B matrizes com entradas complexas e k ∈ C, mostre que: a) (A∗ )∗ = A; b) (kA)∗ = kA∗ ; c) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ; d) (AB)∗ = B ∗ A∗ . 7. Mostre que se An×n com entradas complexas e A = A∗ , então A só pode ter valores próprios reais. 8. Mostre que para A com entradas reais, se A = AT , então A só pode ter valores próprios reais e que os vectores próprios de espaços próprios diferentes são sempre ortogonais relativamente ao p.i. usual. 9. Sabendo que uma matriz quadrada com entradas complexas se chama matriz unitária quando verifica A−1 = A∗ , determine entre as matrizes dadas, quais as que são unitárias. −i i # √ √ √i " i 1 6 3 √ √ 1+i 1+i 0 −1 i 0 02 √ −i 2 2 √i , , , , , −i 1 6 3 √ √ 1 0 0 i 1 − i −1 + i i i i 2 2 √ 2 √ 6 √ 3 10. Mostre que se A é uma matriz unitária, então: a) as linhas de A formam uma base ortonormal em Cn relativamente ao p.i. usual em Cn (Vd. [Anton 9E], p. 548). b) as colunas de A formam uma base ortonormal em Cn relativamente ao p.i. usual em Cn . 11. Sabendo que uma matriz quadrada com entradas complexas é dita matriz normal quando verifica AA∗ = A∗ A, mostre que: a) as matrizes hermiteanas e as matrizes unitárias são matrizes normais. b) se A é uma matriz normal, então os vectores próprios de espaços próprios diferentes são sempre ortogonais relativamente ao p.i. usual em Cn .