QUESTÕES DISCURSIVAS (BLOCO DE 3 QUESTÕES)
1) Calcule o determinante da matriz A abaixo sabendo que
.
Solução:
Para calcular o determinante deve-se primeiro encontrar o valor de cada f(x):
f(-1) = 12
f(0) = 6
f(1) = 2
f(2) = 0
f(3) = 0
f(4) = 2
f(5) = 6
f(6) = 12
1,0 pontos
A matriz resultante será:
Provavelmente o aluno irá utilizar o teorema de LaPlace. Caso o faça, deve escolher uma linha ou coluna com 2 zeros.
A avaliação nessa parte será:
Correta utilização do teorema de LaPlace (separação do determinante em 2)........ 1,5 pontos
Cálculo correto dos determinantes......... 1,5 pontos
Uma possível separação de determinantes é escolher a terceira coluna:
Portanto,
2) Uma função real f:
satisfaz a seguinte propriedade para n > 0: f(n) = f(n-1) + 3n. Sabendo que f(0) = 0.
a) determine f(1), f(2), f(3) e f(4)
b) descubra a fórmula geral para f(n).
c) para qual valor de n temos f(n) = 165?
Solução:
a)
- para n = 1, f(1) = f(0) + 3, f(1) = 3 (+0.25)
- para n = 2, f(2) = f(1) + 6, f(2) = 9 (+0.25)
- para n = 3, f(3) = f(2) + 9, f(3) = 18 (+0.25)
- para n = 4, f(4) = f(3) + 12, f(4) = 30 (+0.25)
b)
f(1) = f(0) + 3
f(2) = f(1) + 6
f(3) = f(2) + 9
.
.
.
f(n) = f(n-1) + 3n (montar a estrutura corretamente: +0,5)
Somando tudo: f(n) = 3 + 6 + 9 + ... + 3n, que é uma PA de primeiro termo 3 e razão 3 (+0.5)
Soma dos elementos de uma PA: f(n) = (a1+an)n/2 (+0.5)
Substituindo: f(n) = (3+3n).n/2 (+0.5)
c) se f(n) = 165, então n(3n+3)/2 = 165, 3n(n+1)/2 = 165, n(n+1) = 110 (+0.5)
Resolvendo a equação do segundo grau ou deduzindo, chegamos a n = 10 (+0.5)
3) Depois que se formou em Engenharia Aeroespacial no ITA, o Franca resolveu trabalhar em um projeto que levasse
ele para a Lua. Depois de muitos anos de preparação, o foguete estava pronto e a sua trajetória seria a hipotenusa TL
do triângulo retângulo ALT na figura abaixo, onde as distâncias são dadas em quilômetros (por exemplo, a distância
entre a Terra e a Lua é
.
Figura 1 – posição da Terra e da Lua no momento previsto para o lançamento do foguete
No entanto, como o lançamento do foguete foi atrasado, no momento do lançamento definitivo do foguete a posição da
Lua havia mudado, conforme a figura 2, onde as distâncias também são dadas em quilômetros.
Figura 2 – posição da Terra e da Lua no momento definitivo do lançamento do foguete
a) Calcule o valor de
b) Calcule o valor de
c) Calcule o valor de
d) Calcule o valor de
na figura 2
na figura 2
Grade de correção
a)
Resposta: o valor de
é
b)
Resposta: o valor de
é
c)
Resposta: o valor de
d)
é