ATPS Cálculo 1
Engenharia Mecânica
Uso do Cálculo Integral na analise de um gráfico de movimento
Atividade apresentada à disciplina de Cálculo 1,
Ministrada pelo professor Paulo Roberto.
Ademir Gelais Jr – RA1108356602
André Luís da Silva Moreira – RA 2560399217
Anthony Marciano Collucci – RA 2505001198
Gabriel Silva Oliveira – RA 2504063299
Nadesda Tatiana Barbosa – RA 1190394399
Raphael Martinez – RA 1191359519
Romulo Machado Amaral – RA 2504063577
Stefany Augusta Fernandes – RA 2504005733
Wesley Lopes Fagundes - RA 1190420498
Belo Horizonte
2011
Objetivo
Mensurar a velocidade a velocidade, e a aceleração de um foguete de água e ar
comprimido desenvolvido pelo grupo.
Referencial Teórico
Quando temos o gráfico da velocidade de um objeto versus o tempo, podemos
integrar o gráfico para obter a aceleração do objeto em qualquer instante dado.
Como a aceleração a é definida em termos da velocidade como a=Δv/Δt, o teorema
fundamental do cálculo nos diz que:
∫
Com o gráfico de distancia versus o tempo, podemos calcular a sua velocidade
através da seguinte equação.
∫
Metodologia
Foi pesquisada a teoria do voo aplicada a foguetes e aviões. Baseada nela e
nas discussões que tivemos sobre as diferenças entre o voo do avião e o
lançamento de um foguete e da análise de outros projetos, criamos a seguinte linha
de trabalho.
Será construído um foguete de Garrafa Pet com dois estágios. Sendo que o
primeiro terá acionamento mecânico e o segundo acionamento eletrônico.
No primeiro momento faremos testes estáticos para descobrir o módulo da
força de propulsão, a relação entre pressão, quantidade de combustível e vazão.
Com esses dados em mãos, será estimado o peso e as dimensões do projétil.
Com o peso e a dimensão estimada, será calculada a força de arrasto e as
dimensões do para quedas. A partir daí será iniciada a etapa de construção do
Projétil. A dimensão será usada também para definição do tamanho e da geometria
das aletas.
Em paralelo com a construção, será construído o modelo matemático que
tentaremos validar na prática. Esse modelo usará a Integral, demonstrada no
referencial teórico.
Durante os testes, iremos alterar as propriedades aerodinâmicas do foguete
através de mudanças nas suas características físicas (peso, tamanho e posição das
aletas, Centro de Pressão e Centro de Gravidade). Será executada uma
comparação entre essas alterações em relação à trajetória, distância percorrida e
aceleração do projétil.
Resultados
Durante a montagem do foguete, percebemos claramente as dificuldades em lidar
com o material. Como a Garrafa Pet não foi criada com o propósito de se tornar um
“foguete”, tivemos de criar todo o processo de manufatura do nosso. Podemos citar
os problemas abaixo como:
- As válvulas eletrônicas testadas não conseguiam abrir com a pressão
utilizada
- As emendas utilizadas entre as garrafas apresentavam vazamentos.
(Utilizamos 3 garrafas pets, unidas através do corpo de uma válvula de Schrader ,
fixada na parte inferior de uma garrafa e no bico da garrafa seguinte.
- A fixação não permitia uma precisão e o foguete ficava “torto”, o que
causava um desvio durante o voo que não permitia que calculássemos.
- Não foi possível efetuar a medição estática, pois o tempo de escape do
líquido e tão pouco, que o instrumento de medida utilizado não conseguia lê-lo.
Resolvemos esses problemas utilizando um acionamento eletromecânico, cujo
funcionamento, foge ao tema deste trabalho. Mas basicamente quando acionado ele
liberava a restrição, e assim o fluido pressurizado dentro da garrafa, tinha por onde
sair, o que dava origem ao movimento.
Para resolver o problema de vedação utilizamos a Câmara de ar do Pneu da
Bicicleta, entre as porcas de fixação da válvula. Uma espécie de vedação por
compressão.
E quanto ao corpo do foguete, montamos um chassi de PVC. E colocamos as
garrafas dentro dele. Esse corpo gerou o inconveniente de tornar impossível o uso
do sistema de paraquedas utilizado normalmente nos foguetes de garrafa PET, que
utilizam da redução do volume da garrafa PET durante a descompressão, para se
soltarem. Esse problema não foi resolvido a tempo da apresentação deste trabalho.
Foram realizados 5 lançamentos abaixo segue a interpretação do quarto.
Análise do 1° lançamento
Para tornar possível a análise aperfeiçoamos o método descrito no por Lucas
Ferrari, 2009, no qual ele usava um referencial de altura conhecida, no caso a altura
do pesquisador foi utilizada como referência. No nosso trabalho adaptamos uma
aste de 3,5 metros, graduada de .5 em .5m atráves de uma faixa branca.
Uma câmera fixada perpendicular ao solo por meio de um tripé realizou a filmagem
de todo o procedimento, permitindo assim a análise do vídeo a cada centésimo de
segundo por meio de um software de edição de imagem, procedimento descrito
também pelo Lucas Ferrari,2009.
Na figura 3 podemos visualizar como foi realizado o experimento.
Figura 3 – Preparação do Lançamento
Na figura 4 podemos acompanhar o trajeto do foguete:
Figura 4
Com essas informações e a tabela 1 podemos traçar o Gráfico 1 no Graphmática.
T
D
0,05
0,08
0,1
0,12
0,13
0,15
0,16
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Tabela 1
Grafico 1
Primeiro vamos Calcular a função do 1º Grau que representa a reta que parte do
ponto 0 ao ponto 0,05.
{
( )
(
)
F(x) = ax+b
F(0)=a*0+b => 0a+b=0 => b=0
F(0,05)=0,05a + 0 = 0,5 => a= 0,5/0,05 => a = 10
A função é então f(x) – 10x {x ϵ R | 0<= x <= 0,05}.
No GraphMática devemos então clicar em: View -> Point Tables.
Depois devemos ir na caixa a Direita com o titulo de “Point Tables” clicar com o
botão direito ir em settings. E escolhe a opção “custom increment” depois defini-la
como 0,01. Marque a opção “lock increment” e clique em ok.
Digite no console> y=10x {0,0.05}
Agora vamos analisar a segunda reta.
{
(
(
)
)
Agora temos: 0,08*a+b=1 e 0,05*a+b = 0,5 o que nos dá a função f(x)=16,67x0,3336
No graphmatica digitamos y=16,67x-0,3336 {0.05,0.08}
Esse procedimento deverá ser executado em todos os intervalos.
Análise de movimento através da integral:
Para o cálculo da velocidade no período de 0s a 0,05s usaremos a função abaixo.
∫
Substituindo os valores chegamos a:
∫
(
)
(
)
Dessa maneira podemos analisar a velocidade em qualquer período representado
pelo gráfico, através dessa equação. Com esses dados chegamos a tabela 2
abaixo:
T
V
0
0,05
0,08
0,1
0,12
0,13
0,15
0,16
0
10
16,7
25
25
50
25
50
Tabela 2
Com essa tabela podemos criar a tabela 3. Utilizando –se da seguinte equação.
∫
Para calcular a aceleração do período T entre 0 e 0,05 ficaria como abaixo:
∫
(
)
(
)
Obtendo assim a tabela 3.
T
0
0,05
0,08
0,1
0,12
0,13
0,15
0,16
A
0
200
223
415
0
2500
-1250
2500
Tabela 3
Conclusão
Após a análise dos resultados, conseguimos detectar alguns erros de projeto, por
exemplo, na análise do movimento, verificamos períodos de MRU, de desaceleração
em um gráfico que teoricamente só deveria possuir aceleração, verificamos que a
provável causa desse erro e o estrangulamento existente entre uma garrafa e outra,
já que ele era menor do que o orifício de saída.
O estudo do cálculo Integral simplificou muito esse tipo de diagnostico. Levando-se
em consideração os recursos que dispúnhamos e o tempo o trabalho foi um
sucesso.
Descobrimos também que a análise da pressão em relação à quantidade de fluido
era inviável, com os recursos matemáticos que temos até essa etapa de nosso
curso. Esse objetivo então se tornou então um projeto de Iniciação Científica. Esse
trabalho ainda gerou um outro projeto de Iniciação Científica, sobre propelentes,
portanto ao pesar todos esses resultados cremos que esse ATPS foi uma excelente
ferramenta de aprendizagem.
Referências
COSTA, Lucas Ferrari de; Relatório Final: Foguete de Água. Disponível em: <
http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem2_2009/Lu
casC_Luengo_RF2.pdf> Acesso em 19/11/2011