SEGUNDO EXERCÍCIO ESCOLAR - 26/05/2012
Turma de Ciência da Computaçao
Álgebra para Computação 2012.1
Nas perguntas que seguem, uma errada anula uma correta na mesma questão. Só
respondam se souberem. (A ordem das questões e sentenças não são as mesmas para
todos os alunos.)
(1) Sejam u, v ∈ R3 linearmente independentes, e w = u×(u+λv), λ ∈ R. Assinale
com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(V) Se λ 6= 0, então os vetores {u, v, w} formam uma base do R3 .
(F) O determinante da matriz [uT , v T , wT ] é nulo para algum λ 6= 0.
(V) O posto da matriz de projeção em C([uT , wT ]) é 2 para todo λ 6= 0.
(F) O vetor u × w é paralelo a v para qualquer λ.
(2) Sejam u, v ∈ R3 , com < u, v >= λ, e u × v = (1 + λ, 1 − λ, λ), λ ∈ R. Assinale
com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
√
(V) O menor valor que kukkvk pode assumir é 2.
(V) Para que kukkvk seja minimizado, é preciso que u e v sejam ortogonais.
(V) Na situação descrita, o vetor u nunca poderia ser o vetor (0, 1, 1).
(V) O traço da matriz de projeção em C([(u × v)T ]) será 1, para todo λ. (O
traço de uma matriz é a soma das entradas em sua diagonal principal.)
(3) Considere, no R3 , uma primeira base E = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}, e uma
segunda base F = {(1, 1, −1), (−1, 1, 1), (0, 0, 1)}. Assinale com Verdadeiro ou
Falso as sentenças que seguem.
(F) O determinante da matriz de mudança de base ME→F é 1.
(F) As bases E e F possuem a mesma orientação.
(F) O vetor (1, 1, −1)E (na base E) corresponde ao vetor (1, 1, 0)F .
(F) O vetor nulo da base E é mapeado no vetor (1, 1, 0)F (na base F).
(4) Assinale com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(V) T (x, y, z) = (x + y, y + z, x + z) é uma transformação linear.
(F) T (x, y, z) = (x, y, |x| + z) é uma transformação linear.
(V) Se a imagem e o núcleo de uma transformação linear tiverem respectivamente dimensões 3 e 5, então a quantidade de coordenadas dos vetores de
entrada é 8.
(V) Se T : U → V , e T 0 : V → W são transformações lineares, então a
dimensão da imagem de T é maior ou igual à dimensão da imagem de
T 0 ◦ T . (T 0 ◦ T é a composição de T 0 com T .)
(5) Considere as seguintes matrizes:

1
0
1
1
1
 0 −1 


−1 1
1 ,B = 
A=
 −1 1  .
1 −1 −1
−1 1



Assinale com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(F) A soma das entradas da matriz de projeção em C(A) é 3.
(F ou V) A possui colunas independentes, e por isso a dimensão de C(A) é 3. (Eu
aceitei a interpretação “Falso implica qualquer coisa”.)
(V) Para qualquer matriz M , a dimensão de C(M ) é idêntica à dimensão de
C(M T ).
(V) A soma das entradas da matriz R na fatorização QR de B é um número
irracional.
(6) Assinale com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(V) Considere uma matriz de rotação R, então seu determinante é positivo, e
RT R = I.
(V) O posto de uma matriz de reflexão sempre vai ser maior ou igual ao posto
da matriz de projeção ortogonal correspondente.
(V) Seja P uma matriz de projeção, então P (I − P ) é a matriz nula.
(F) O posto de uma matriz de mudança de base n × n pode ser menor que o
posto de uma matriz de projeção n × n.
(7) Considere os seguintes vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 1), w = (0, 1, 1). Assinale
com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(V) Ortonormalizando a base {u, v, w} com o procedimento de Gram-Schmidt,
transformando-a em {q1 , q2 , q3 }, e tomando q1 = u/kuk, temos que a soma
das coordenadas de q3 é 0.
(F) Uma base é ortonormal se e somente se possui vetores que fazem ângulos
de π/2 graus entre si.
(V) Sejam U e V subespaços vetoriais do R5 . Se U = V ⊥ , então U ⊕ V = R5 .
(F) Os vetores u e w são ortogonais.
(8) Considere as seguintes

1
 1

A=
 1
 1
0
matrizes
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1






,B = 




a
b
c
d
e
b
c
d
e
0
c
d
0
0
0
d
e
0
e
0
e
0
0
0
e



.


Assinale com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(V)
(V)
(V)
(F)
O determinante de A é nulo.
Se e = 0, o determinante de B é nulo.
Se d = 0, o determinante de B vale c2 e3 − c3 e2 .
Sejam M e N matrizes n × n. Se o determinante de M = 3, e o determinante de N = 2, então o determinante de M −1 N é maior que o
determinante de M N −1 .
(9) Assinale com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(V) A matriz de transformação T : R3 → R3 que rotaciona um vetor v ∈ R3
de 45 graus em relação ao eixo z, e em seguida projeta o resultado no
plano x + y + 2z = 0, tem pelo menos três de suas entradas negativas.
(V) Uma transformação de cisalhamento seguida de uma rotação preserva volume.
(F) O espaço de todas as transformações lineares que levam um subespaço de
dimensão 3 num subespaço de dimensão 6 tem dimensão 9.
(F) A área do triângulo formado pelos pontos (1, 1, 0), (1, 1, 4), (2, 2, 2) é
menor que 2.
(10) Considere as seguintes matrizes:




1
1
1 1
A =  −1 1  , B =  1 −1  .
1 −1
1 1
Assinale com Verdadeiro ou Falso as sentenças que seguem.
(V) O subespaço simultaneamente ortogonal a C(A) e C(B) é o subespaço
contendo apenas o vetor nulo.
(F) O espaço linha de A é ortogonal ao espaço nulo de A, mas o espaço linha
de B não é ortogonal ao espaço nulo de B.
(F) O espaço nulo de B tem dimensão 1.
(V) Cada coluna de A tem mesma norma, e estas valem
√
3.