Ministério da Educação
Secretária de Educação Profissional e Tecnologia
Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio
Curso de Licenciatura em Matemática
Plano de Aula
1- IDENTIFICAÇÃO
Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina - 22°Gerei
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense - Câmpus Avançado
Sombrio
Matemática
Turma aplicável: 2º ano
Acadêmico: Sabrina Vicente de Oliveira
Data: 21/10/2015
2-TEMA:
Determinante, propriedades dos determinantes.
3- JUSTIFICATIVA
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado de determinante da
matriz que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.
O estudo de determinantes se faz necessário visto que constitui uma ferramenta
importante para resolver sistemas lineares.
4- OBJETIVOS
 Exemplificar aplicações de determinantes de 1º, 2º e 3º ordem.
 Aplicar as propriedades da regra de Sarrus para resolver o determinante de uma
matriz 1x1; 2x2; 3x3;
 Calcular o determinante de matrizes 2x2 e 3x3 pela regra de Cramer;
 Apresentar as propriedades dos determinantes.
5- CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
Multiplicação, divisão, adição e subtração; Matrizes
6- ESTRATÉGIA:
6.1- Recursos
Lousa, software matemático VCN, projetor;
6.2- Técnicas
Aula expositiva e dialogada com a utilização de software
7- PROCEDIMENTOS
7.1- Problematização
Uma vendedora de loja de roupas atendeu, no mesmo dia, três clientes e efetuou as
seguintes vendas:
Cliente 01 – 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias – valor: R$ 156,00
Cliente 02 – 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias – valor: R$ 347,00
Cliente 03 – 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meias – valor: R$ 253,00
Quanto custa cada par de meia?
Solução:
Montando o sistema:
{
|
|
|
|
|
|
|
|
Então, como cada par de meias equivale à incógnita , temos que cada par custa R$ 12,00.
7.2- Historicização
O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Cayley.
A definição de determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz
(1646-1716) e teria sido realizada em 1693. Mais tarde, em 1750, o matemático e
astrônomo suíço Gabriel Cramer (1704-1752) publicou a solução de sistemas lineares
através da “Regra de Cramer”.
Em 1683, paralelamente a Leibniz, no Oriente resolvia sistemas lineares por
intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje.
No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandermonde e Laplace, deram
sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidada no século XIX por Cauchy e
Jacobi.
O francês Pierre Laplace (1749-1827) contribui de forma significativa para a
Matemática. Seu objetivo maior, porém, foi a Astronomia. Sua obra principal é a
“Mecânica Celeste”.
Neste percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos, que acabaram
por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de potencial.
Esses trabalhos fizeram dele um dos principais matemáticos de seu tempo.
7.3-Operacionalização da aula
1° momento: Cumprimentos a turma. Chamada e registro de presenças/ faltas dos
alunos.
2° momento: Iniciarei a aula apresentando a história do determinante
3º momento: Apresentar a problematização
4º momento: Apresentar alguns o conceito de determinante de matriz quadrada de 1º
ordem.
Seja a matriz quadrada de 1º ordem, indicada por A= [a11]. Por definição o
determinante de A é igual ao número a11
Indicamos assim det A= a11
Exemplo: dadas as matrizes A=[4] e B[-2], escrevemos det A= 4; det B= -2; det A+
det B = 4+(-2 )= 2
5º momento: Apresentar o conceito de determinante de uma matriz de 2º ordem.
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o
produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária.
Dada a matriz A = *
+, indicamos seu determinante assim:
Det A= a11.a22 – a12. a21 ou |
|= a11.a22 – a12. A21
Exemplo 01): O determinante da matriz A (detA), sendo
A=(
), é dado por:
Det A= |
|6.(-4) – 3.2 = -24-6 = -30
Exemplo 02) B= (
Det B=|
)
| = 1.7 – 2.3 = 7-6 = 1
6º momento: Apresentar determinante de matriz quadrada de 3º ordem.
consideremos a matriz genérica de ordem 3
Podemos obter o determinante de uma matriz quadrada de 3º ordem utilizando uma regra
prática denominada regra de sarrus.
Fazemos o seguinte: repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as
seis multiplicações.

Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo
sinal;

Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;

O determinante é a soma dos valores assim obtidos.
Exemplo 01) Calcular o determinante da matriz
[
].
det A = + 6 + 0 +16 + 24 + 0 – 80 = - 34
Exemplo 02) A=[
]
0+2+40+6+24= 72
Det A= 72.
7º momento: Regra de Cramer
Vamos considerar um sistema linear em que o número de equações é igual ao
número de incógnitas. Um processo de resolução desse tipo de sistema é a conhecida
Regra de Cramer, baseada no cálculo de determinantes.
Inicialmente, vamos enunciar essa regra para o caso de um sistema 2 x 2.
8º momento: Caso 2x2
Considere o sistema nas incógnitas
e :{
incompleta dos coeficientes do sistema:
. Seja
o determinante da matriz
*
Se
+e
, então o sistema é possível e determinado (SPD) e sua solução é dada por:
e
em que
e
são os determinantes das matrizes obtidas a partir da matriz
substituindo, respectivamente, a 1ª coluna e a 2ª coluna de
pela coluna dos coeficientes
independentes da equação do sistema, como descritas abaixo.
[
]
*
+
Exemplo:
1) Usando a Regra de Cramer, vamos resolver o sistema: {
Solução:
|
Observemos que, como
|
, podemos usar a Regra de
Cramer. Assim, esse sistema é possível e determinado. Calculemos
|
e
,(
Logo,
:
|
|
Então,
e
|
.
)-
9º momento: Caso 3x3
Considere o sistema linear {
Se
|
Sua solução
|
, nas incógnitas
, então o sistema é possível e determinado (SPD).
é dada por
,
e
, em que
,
e
são
os determinantes das matrizes obtidas quando trocamos, na matriz dos coeficientes do
sistema, a coluna dos coeficientes de
, respectivamente, pela coluna dos coeficientes
independentes das equações, como descritas abaixo:
[
]
[
]
[
]
Exemplo:
–
1) Resolva o sistema: {
Solução:
|
Como
|
, o sistema é SPD;
podemos usar a Regra de Cramer:
|
|
|
|
|
Assim,
|
{
}.
10º momento: Propriedades de determinantes utilizando o software VCN
1. Abrindo o software VCN escolha a opção Sistemas Lineares em seguida selecione a
opção operação com matrizes.
1º propriedade
1. Na opção matriz A escreva a matriz de odem 2, (
matriz de ordem 2 (
), e na matriz B escrever a
).
2. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular.
3. O aplicativo vai calcular o determinante de cada matriz.
Logo, a primeira propriedade tem-se que se todos os elementos de uma linha ou coluna de
uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante é zero.
2º propriedade
4. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 2, (
ordem 3 escrever a seguinte matriz[
),e na matriz B de
].
5. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular.
Se 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu
determinante é nulo.
3º propriedade
6. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 3 [
],
Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas ou
colunas, seu determinante é nulo.
Matriz A 3º linha é a soma da 1º com a segunda linha, ou seja, a 3º linha é combinação
linear da 1º com a segunda.
4º propriedade
7. Na opção matriz A (2x2) (
8.
) e coloque o mesmo valor na matriz B.
Selecione a opção matriz transposta e em segui aperte calcular.
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta
5º propriedade
9. Na opção matriz A (2x2) (
) e na matriz B(
)
Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o
determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz. A matriz a o
determinante vai dar 6 e na matriz b o determinante vai dar -6 logo os determinantes são
opostos.
11º momento: Aplicar uma avaliação com a turma
7.4- Conclusão:
A proposta deste trabalho foi apresentar aos alunos os principais conceitos
envolvendo determinantes. Para finalizar a aula, será entregue para cada aluno uma
avaliação afim de que possam praticar os conteúdos ensinados na aula atingindo assim, os
objetivos.
Segue a avaliação
Nome:
Data:
01) Calcule o valor de cada um dos seguintes determinantes:
a) |
|
b) |
|
c) |
|
d) |
|
e)|
02) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.
a)
4 5 1
 7 12 0
1 3 5
 8 10 2  0 b) 5 1 0  0 c) 2 0 4  0
4
3 7
4 13 0
1 4 2
03) Resolva as equações:
a) *
+=0
b) *
+=0
c) *
+=0
|
d) [
]=0
04) Calcule cada um dos determinantes a seguir, utilizando a regra de sarrus.
a) [
]
b) [
]
05) Resolva os seguintes sistemas lineares, usando a regra de Cramer;
a) {
b) ,
8- AVALIAÇÃO
8.1- Critérios
Participação e interesse nas explicações e ao realizarem as atividades propostas nas
aulas.
8.2- Instrumentos
Observação, avaliação e registro do desempenho individual.
9- BIBLIOGRAFIA
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed.
renovada. São Paulo: FTD, 2005.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática- volume único: 1.ed- São Paulo: ática, 2005.
MIRANDA,
Danielle
de.
Regra
de
cramer.
Disponível
em:
<http://www.brasilescola.com/matematica/regra-cramer.htm> Acesso em: 03/10/2015
PAIVA, Manoel. Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2009.