RACIOCÍNIO LÓGICO
Assunto: Matrizes
1. Definição
Chamamos matriz de ordem m x n, à tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. Portanto,
uma matriz possui m x n elementos.
Exemplo:
⎛1 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 4 −1 ⎟ é uma matriz 3 x 2 (possui três linhas e duas colunas)
⎜
⎟
⎝ 2 1/ 2⎠
Atenção
Dada uma matriz m x n, o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna é representado por aij. No
exemplo acima, a31 = 2 e a21 = 4.
A notação A = [aij]m x n designa uma matriz de ordem m x n com elementos aij.
Aplicação
Construa a matriz A = [aij]2 x 2
⎧i - j, se i > j
⎪
tal que aij = ⎨ 0, se i = j
⎪i + j, se i < j
⎩
Solução:
2. Igualdade de Matrizes
Dizemos que duas matrizes são iguais se:
1ª) forem do mesmo tipo (mesmo nº de linhas e mesmo nº de colunas)
2ª) seus elementos correspondentes (mesmo índice) forem iguais.
Aplicação
Calcular x, y e z de modo que:
⎛ -1 2x⎞ ⎛ -1
⎜
⎟ ⎜
z⎟ = ⎜ 2
⎜ 2
⎜
⎟ ⎜
⎝ x - y -2 ⎠ ⎝ 4
6⎞
⎟
3⎟
⎟
- 2⎠
1
Solução:
3. Tipos especiais de matrizes
i) matriz quadrada: quando m = n
ii) matriz linha: matriz de ordem 1 x n
iii) matriz coluna: matriz de ordem m x 1
iv) matriz nula: é a matriz cujos elementos são iguais a zero.
v) matriz diagonal: é toda matriz quadrada em que são nulos todos os elementos que não
pertencem à diagonal principal.
Exemplo:
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −1 0⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 3⎠
Diagonal principal
vi) matriz identidade: é toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Exemplos:
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
I3 = ⎜ 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 1⎠
⎛ 1 0⎞
I2 = ⎜
⎟
⎝ 0 1⎠
vii) matriz oposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, trocando os sinais de todos os seus elementos, obtemos outra
matriz denominada oposta de A e representada por – A.
Exemplos:
⎛ 1 2 -3⎞
A= ⎜
⎟
⎝ −4 5 6 ⎠
⇒
⎛ -1 -2 3 ⎞
-A= ⎜
⎟
⎝ 4 -5 -6⎠
viii) Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, trocando ordenadamente as linhas pelas colunas, obtemos uma
nova matriz, de ordem n x m, denominada transposta de A e representada por At.
Exemplo
⎛ 1 -1 0⎞
Se A = ⎜
⎟
⎝ 3 5 2⎠
⇒
⎛1
⎜
A = ⎜ −1
⎜
⎝0
t
3⎞
⎟
5⎟
⎟
2⎠
2
4. Adição e Subtração de matrizes
Só podemos somar ou subtrair matrizes do mesmo tipo.
Exemplos
⎛4
⎜
⎜2
⎜
⎝ -1
1 ⎞ ⎛ -4
⎟ ⎜
0 ⎟ +⎜ 0
⎟ ⎜
- 4⎠ ⎝ 1
- 2⎞ ⎛ 0
⎟ ⎜
3 ⎟ = ⎜2
⎟ ⎜
5 ⎠ ⎝0
- 1⎞
⎟
3⎟
⎟
1⎠
⎛ 4 2 ⎞ ⎛ -3 1 ⎞ ⎛ 7 1⎞
⎜
⎟ −⎜
⎟ =⎜
⎟
⎝ −2 −1⎠ ⎝ 2 -4⎠ ⎝ -4 3⎠
5. Multiplicação de um número por uma matriz
Exemplos
⎛ -1 1/ 4⎞ ⎛ -2 1/ 2⎞
2x ⎜
⎟ =⎜
⎟
0 ⎠
⎝ 1/ 2 0 ⎠ ⎝ 1
⎛ 6 -4 ⎞
⎛ 3 -2⎞
⎜
⎟ ÷2= ⎜
⎟
⎝ −8 10⎠
⎝ -4 5 ⎠
6. Multiplicação de matrizes
Dadas as matrizes A e B, o produto A x B é uma nova matriz que só existe se:
nº de colunas de A = nº de linhas de B.
Exemplo
⎛ 1 2⎞
⎛ 2 1 3⎞
A= ⎜
⎟ e B = ⎜
⎟
⎝ 4 5⎠
⎝ 4 1 2⎠
Observe que A x B existe, pois A2 x 2 x B2 x 3 e o produto (AB) terá 2 linhas e 3 colunas.
=
2
1
3
4
1
2
1
2
1x2+2x4
1x1+2x1
1x3+2x2
4
5
4x2+5x4
4x1+5x1
4x3+5x2
⎛ 10 3 7 ⎞
AB = ⎜
⎟
⎝ 28 9 22⎠
Atenção!
Observe que B x A não existe, pois B2 x 3 . A2 x 2 daí, o produto de matrizes não é comutativo (isto é,
de modo geral, AB ≠ BA)
≠
Questões de Concursos
3
1) A matriz transposta da matriz quadrada A = (aij) de ordem 2 com aij = ij + 2, 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 2 é:
⎛ 2 4⎞
a) ⎜
⎟
⎝ 4 6⎠
⎛ 3 4⎞
b) ⎜
⎟
⎝ 4 6⎠
⎛ 3 4⎞
c) ⎜
⎟
⎝ 3 6⎠
⎛ 3 3⎞
d) ⎜
⎟
⎝ 6 4⎠
⎛ 1 a⎞ ⎛ 2 3⎞
⎛ 4 3⎞
2) Multiplicando ⎜
⎟ . ⎜
⎟
⎟ obtemos ⎜
⎝ b 2⎠ ⎝ 1 0⎠
⎝ 2 0⎠
O produto dos elementos a e b da primeira matriz é:
a) -2
b) 0
c) -1
d) 1
3) Seja a matriz A = (aij) de ordem 2, definida por
⎧a ij = 0, se i = j
⎨
⎩ a ij = 1, se i ≠ j
A matriz A2 é igual a:
⎛ 0 1⎞
a) ⎜
⎟
⎝ 1 0⎠
⎛ 1 0⎞
b) ⎜
⎟
⎝ 0 1⎠
⎛ 1 1⎞
c) ⎜
⎟
⎝ 0 0⎠
⎛ 1 0⎞
d) ⎜
⎟
⎝ 1 0⎠
4) Seja a matriz A = (aij) de ordem 2, definida por
4
⎧a ij = 0, se i = j
⎨
⎩ a ij = 1, se i ≠ j
A matriz A31 é igual a:
⎡ 1 0⎤
a) ⎢
⎥
⎣0 1⎦
⎡0 0 ⎤
b) ⎢
⎥
⎣0 1⎦
⎡ 1 1⎤
c) ⎢
⎥
⎣0 0 ⎦
⎡0 1⎤
d) ⎢
⎥
⎣ 1 0⎦
5) Se A, B e C são matrizes de ordem respectivamente igual a (2 x 3), (3, 4) e (4, 2), então a
expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a:
a) 2 x 2
b) 3 x 3
c) 4 x 4
d) 4 x 3
e) 5 x 4
6) Considere as matrizes:
i) A = (aIJ)4 X 7, definida por aij = i – j
ii) B = (bij)7 x 5, definida pro bij = i
iii) C = (cij), C = A x B
O elemento C34 é:
a) -56
b) -45
c) 56
d) 46
e) não existe
⎛ 2
⎜
7) Se a matriz ⎜ x 2
⎜ x
⎝
1
0
y - 3
-1 ⎞
⎟
1 - y ⎟ é simétrica, então o valor de x + y é
1 ⎟⎠
a) 3
b) 1
c) 0
d) -2
e) -3
8)
⎛1
Sabendo-se que a matriz A = ⎜⎜
⎝0
1⎞
⎟ e que n ∈ N e n ≥ 1, então a matriz An – An
1 ⎟⎠
5
-1
é igual a:
⎛0
a) ⎜⎜
⎝1
n - 1⎞
⎟
0 ⎟⎠
⎛0
b) ⎜⎜
⎝1
n
0
⎛0
c) ⎜⎜
⎝0
n ⎞
⎟
0 ⎟⎠
⎛0
d) ⎜⎜
⎝0
1⎞
⎟
0 ⎟⎠
⎛0
e) ⎜⎜
⎝0
- 1⎞
⎟
0 ⎟⎠
⎞
⎟⎟
⎠
Assunto: Determinantes
1. Definição
Cada matriz quadrada A está associada a um número real, chamado determinante de A e designado
por det A ou ⏐A⏐
Matriz de 1ª ordem
A = (a11) → det A = a11
Exemplo
A = (-1/2) → det A = -1/2
Matriz de 2ª ordem
⎛ a 11 a 12 ⎞
⎟⎟ → det A = a11 . a22 – a21 . a12
A = ⎜⎜
⎝ a 21 a 22 ⎠
Exemplo
⎛2 3 ⎞
⎟⎟ → det A = 2(-4) – (1)(3) = -11
A = ⎜⎜
⎝ 1 − 4⎠
Matriz de 3ª ordem
⎛ a 11
⎜
A = ⎜ a 21
⎜a
⎝ 31
a 12
a 22
a 32
a 13 ⎞
⎟
a 23 ⎟ → det A será calculado através da regra de sarrus.
a 33 ⎟⎠
Exemplo
6
⎛ 1 2 2⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 3 ⎟ → det A = ?
⎜ 3 4 1⎟
⎝
⎠
6
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
3
4
1
3
4
12
4
1
18
16
det A = (1 + 18 + 16) – (6 + 12 + 4) = 13
2. Propriedades
P1) É nulo o determinante que possuir:
i) uma fila com todos os elementos nulos
ii) duas filas paralelas iguais
iii) duas filas paralelas proporcionais
Exemplos
−1 1 0
2
3
1 0
4 0
2 1 4
-1 0 3
2 1 4
3 2 -1
1 3 -2
2 6 -4
P2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas o determinante troca de sinal.
Exemplo:
Se
a b
c d
= -3, então
=3
c d
a b
P3) Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila por um número, o determinante fica
multiplicado por este número.
Exemplo:
Se
a b
4a 4b
= -3, então
= -12
c d
c
d
P4) Se todos os elementos situados em um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz
quadrada forem iguais a zero, então o determinante da matriz é o produto dos elementos da
diagonal principal.
7
Exemplo:
1 2
0 2
2
3
= 1 . 2 . (-1/2) = -1
0 0 − 1/2
3. Teorema Importante
Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem.
O determinante da matriz produto A . B é igual ao produto dos determinantes de A e B.
det A . B = det A . det B
Aplicação
Sejam A, B e C matrizes tais que C = A. B. Calcule o determinante de B sabendo que
1 1 1
A= 2 3 4
1 2 2
-1 0 0
e C = 1/2 2 0
2 0 4
Solução:
4. Propriedade importante
Seja a matriz quadrada M, de ordem n.
det k.A = kn . det A onde k é um número real não nulo.
Aplicação
Uma matriz A de 4ª ordem tem determinante –2. O determinante da matriz 3A é .................
Solução:
5. Matriz Inversa.
8
Seja A matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é inversível se, e somente se, existe uma matriz
B tal que B . A = A.. B = In.
B é chamada matriz inversa de A e indica-se por A-1.
In representa a matriz identidade de ordem n.
Aplicação
⎛2 3 ⎞
⎟⎟
Determine A-1, caso exista, sabendo que A = ⎜⎜
⎝ 1 − 2⎠
Solução:
6. Propriedades importantes
P1) Seja A uma matriz quadrada. A é inversível se e somente se det A ≠ 0.
P2) Seja A uma matriz quadrada inversível (portanto, det A ≠ 0).
Temos, então, det A-1 =
1
.
det A
Aplicação:
⎛ 2 1 3⎞
⎜
⎟
Verifique se a matriz A = ⎜ 1 − 1 1 ⎟ é inversível.
⎜ 4 −1 5⎟
⎝
⎠
Solução:
7. Questões de Concursos
1)
⎛ 2 1 2⎞
⎜
⎟
O valor de t para o qual a matriz A = ⎜ t 0 1 ⎟ não seja inversível é:
⎜3 4 3⎟
⎝
⎠
a) –1
b) 2
c) –2
d) 1
e) 1/2
2)
⎛ 2 − 1⎞
⎟⎟
Determine a matriz inversa (caso exista) de M = ⎜⎜
⎝1 4 ⎠
9
⎛ 4/9 1/9 ⎞
⎟⎟
a) ⎜⎜
⎝ - 1/9 2/9 ⎠
⎛ 2/3 4/3 ⎞
⎟⎟
b) ⎜⎜
⎝ 1/3 2 ⎠
⎛ 1/9 4/9 ⎞
⎟⎟
c) ⎜⎜
⎝ - 1/9 2/9 ⎠
d) ∃
⎛ 2/9 1/9 ⎞
⎟⎟
e) ⎜⎜
⎝ 3/9 - 4/9 ⎠
3)
⎧2x + 3y = 1
O sistema ⎨
tem representação matricial:
⎩ x−y =2
⎛ 2 1⎞ ⎛ x ⎞
⎛ 1⎞
⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
a) ⎜⎜
⎝-1 3⎠ ⎝ y⎠
⎝ 2⎠
⎛2 1 ⎞ ⎛ x⎞
⎛ 2⎞
⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
b) ⎜⎜
⎝ 3 - 1⎠ ⎝ y ⎠
⎝ 1⎠
⎛y⎞
⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 2⎞
⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
c) ⎜⎜
⎝x⎠
⎝ 1 - 1⎠ ⎝ 1 ⎠
⎛ 1⎞
⎛2 3 ⎞ ⎛ x⎞
⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
d) ⎜⎜
⎝ 2⎠
⎝ 1 - 1⎠ ⎝ y ⎠
⎛ 1 - 1⎞ ⎛ x ⎞
⎛ 1⎞
⎟⎟ . ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
e) ⎜⎜
⎝3 2 ⎠ ⎝ y⎠
⎝ 2⎠
4)
0 ⎞
⎛ 1 0⎞
⎛ 3/5 − 7/8 ⎞
⎛ 0
⎟⎟ , B = ⎜⎜
⎟⎟ e C = ⎜⎜
⎟⎟ e seja x a soma dos
Sejam as matrizes A = ⎜⎜
⎝ 0 1⎠
⎝ 4/7 25/4 ⎠
⎝ 3/7 - 29/4 ⎠
elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = A . B + C,
então do valor de x é:
a) –7/8
b) 2
c) 4/7
d) –1
e) 0
10
x 2 1
5)
O determinante D = 1 1 1
2 x 1
é
a) negativo para x = 1.
b) nulo para x > 2
c) nulo para x = -1 ou x = 3
d) positivo para x = 1/2
e) positivo para x = 2.
6)
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i
representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira
ordem é a matriz resultante da soma das matrizes
A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que
(aij) = i2 – j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
7)
1 1
1
e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a , então o
x 1
2
valor de x é igual a:
Dada a matriz
a) –1
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 2
8)
Considerando-se as matrizes
⎡2 4 ⎤
⎡1 1⎤
A= ⎢
e B= ⎢
⎥
⎥ , a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida
⎣3 1⎦
⎣1 2⎦
como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:
a) –10
b) –2
c) 1
d) 2
e) 3
11
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) (Especialista – MPOG – ESAF – 2008) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante
igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse
modo, o determinante da matriz B é igual a:
a) 10-6
b) 105
c) 1010
d) 106
e) 103
2) (Fiscal do Trabalho) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se
localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A =
(aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13
é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
3) (AFC) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij,
onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de
terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que
(aij) = i2+j2 e que bij = (i+j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a:
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 1
4) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij,
onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de
terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S =
A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira
linha da matriz S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
2
5) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 é aij = j – i , o determinante da matriz A é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
6) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas.
Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o
determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a:
a) –2
b) –1/2
c) 4
d) 8
e) 10
7) (MPU)
8) (MPU) Considere as matrizes:
12
9) (CGU – 2008) Genericamente qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por
zij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A =
(aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y = (yij). Sabendose que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a potência dada por (a22) a12 e o determinante da matriz
X são, respectivamente, iguais a:
a) 2 e 2
b)
2 e0
c) - 2 e 1
d) 2 e 0
e) - 2 e 0
10) (AFC) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se
que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem determinante igual a
a) 1/3
b) 3
c) 9
d) 27
e) 81
11) (CGU – 2008) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i
representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij),
de terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dada por:
⎡ b11 = a31 b12 = a32 b13 = a33 ⎤
⎢b = a
b22 = a22 b23 = a23 ⎥⎥
21
⎢ 21
⎢⎣ b31 = a11 b32 = a12 b33 = a13 ⎥⎦
Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é
igual a:
a) 50
b) -50
c) 0
d) -100
e) 100
12) (MPOG – 2008) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é
obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da
matriz B é igual a:
a) 10-6
b) 105
c) 1010
d) 106
e) 103
13) (ATA- ESAF – 2009) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da
segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o
determinante da matriz fica:
a) Multiplicado por -1.
b) Multiplicado por -16/81.
c) Multiplicado por 2/3.
d) Multiplicado por 16/81.
e) Multiplicado por -2/3.
14) (Analista-ANA-ESAF-2009) O determinante da matriz
13
a) 2bc + c – a
b) 2b – c
c) a + b + c
d) 6 + a + b + c
e) 0
15) (Analista – SEFAZ/SP – ESAF-2009) O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se
multiplicarmos os três elementos da 1ª. linha por 2 e os três elementos da 2ª. coluna por -1, o
determinante será:
a) -x2
b) -2x
c) 4x2
d) x2
e) -2x2
16) (Técnico de Finanças e Controle - TFC/CGU – ESAF – 2008) Considerando o sistema de
equações lineares
, pode-se corretamente afirmar que:
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível.
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado.
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado.
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado.
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.
17) (AFRFB – 2009 – ESAF ) Com relação ao sistema ,
x+y+z=1
onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que:
a) é impossível.
b) é indeterminado.
c) possui determinante igual a 4.
d) possui apenas a solução trivial.
e) é homogêneo.
14
18) (MTE – ESAF – 2010 )Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º
y 180º com y 90º.
0, qual o determinante da matriz
Ao multiplicarmos a matriz abaixo por , sendo
resultante?
a)
b)
c)
d) 0
e) –
GABARITO da 1ª. PARTE
1) C
2) B
3) B
4) D
5) A
6) A
7) B
8) D
GABARITO da 2ª. PARTE
1) d
2) A
3) D
4) E
5) D
6) C
7) A
8) B
GABARITO da 3ª. PARTE
1) D
11) D
2) D
12) D
3) E
13) E
4) D
14) E
5) D
15) B
15
6) D
16) A
7) A
17) C
8) A
18) D
9) D
10) E