ITA/IME / 2015
1º LABORATÓRIO
MATEMÁTICA
Nome: ____________________________ Matrícula: ______________
CENTRO EDUCACIONAL CHARLES DARWIN
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LABORATÓRIO 1/2015
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MATEMÁTICA
sen2x  cos2x  1
é igual a
π
cos x  senx
x
1. O limite lim
4
a)
2
b)  2
c)
2
2
d) 
2
2
e) 0
2. (Esc. Naval 2012) O triângulo da figura abaixo é equilátero, AM  MB  5 e CD  6. A área do triângulo
MAE vale
a)
200 3
11
b)
100 3
11
c)
100 2
2
d)
200 2
11
e)
200 2
2
3. A figura que melhor representa o gráfico da função x | y | e
a)
d)
b)
c)
e)
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1
1
y
é
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4. O valor de  cos 165  sen 155  cos 145  sen 25  cos 35  cos 15  é
a)
2.
b) 1.
c) 0.
d) 1.
e)
1
.
2
5. Em um treinamento da arma de Artilharia, existem 3 canhões A, B e C. Cada canhão, de acordo com o seu
modelo, tem um raio de alcance diferente e os três têm capacidade de giro horizontal de 360°. Sabendo que as
distâncias entre A e B é de 9 km, entre B e C é de 8 km e entre A e C é de 6 km, determine, em km 2, a área
total que está protegida por esses 3 canhões, admitindo que os círculos são tangentes entre si.
23
π
2
23
π
b)
4
385
c)
π
8
a)
195
π
4
529
π
e)
4
d)
6. Os pontos P e Q representados no círculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois
arcos, ambos com origem em (1,0), denominados respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de tg  α  β é
a)
3 3
3
b)
3– 3
3
c) 2  3
d) 2  3
e) 1  3
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7. (Ime 2012) Seja F o conjunto cujos elementos são os valores de n!, onde n é um número natural. Se G é
subconjunto de F que não contém elementos que são múltiplos de 27.209, determine o número de elementos
do conjunto G.
a) 6
b) 12
c) 15
d) 22
e) 26
8. (Ita 2014) Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam AE e AD a altura e a mediana relativa à hipotenusa BC, respectivamente. Se a medida de BE é


2  1 cm e a medida de AD é 1 cm, então AC mede,
em cm,
a) 4 2  5.
b) 3  2.
c)
d) 3
6  2 2.


2 1 .
e) 3 4 2  5.
9. (Ita 2013) Seja n  6 um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de n2 por 6, o quociente é um
número ímpar, então o resto da divisão de n por 6 é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
10. (Ita 2003) O número de divisores de 17640 que, por sua vez, são divisíveis por 3 é:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 54
e) 72
11. Seja S  12  32  52  72  ...  792. O valor de S satisfaz:
a) S  7  104
b) 7  104  S  8  104
c) 8  104  S  9  104
d) 9  104  S  105
e) S  105
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12. Se A, B e C forem conjuntos tais que n (A ⋃ B) = 23, n (B - A) = 12, n (C - A) = 10, n (B ⋂ C) = 6 e n
(A ⋂ B ⋂ C) = 4, então n (A), n (A ⋃ C), n (A ⋃ B ⋃ C), nesta ordem.
a) formam uma progressão aritmética de razão 6.
b) formam uma progressão aritmética de razão 2.
c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11.
d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.
e) não formam uma progressão aritmética.
13. O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: "Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a
lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de
lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido
sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David,
Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida."
Com base no trecho acima, você conclui que:
a) David ganhou a corrida.
b) Ralf ganhou a corrida.
c) Rubinho chegou em terceiro lugar.
d) Ralf chegou em segundo lugar.
e) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta.
14. O conjunto de todos os números reais q > 1, para os quais a1 , a2 e a3 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e representam as medidas dos lados de um triângulo, é:
a) ]1,
1 5
[
2
b) ]1,
1 5
]
2
c) ]1,
d) ]1,
1 5
5
]
1 5
[
4
e) ]1, 1  5 [
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15. Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A ⋃ B contenha 12 elementos. Então, o
número de elementos de P(B - A) ⋃ P(∅) é igual a:
a) 8.
b) 16.
c) 20.
d) 17.
e) 9.
16. Seja θ um valor fixado no intervalo ]0, π/2[. Sabe-se que a1 = cotgθ é o primeiro termo de uma progressão geométrica infinita de razão q = sen2θ. A soma de todos os termos dessa progressão é:
a) cosec θ tg θ
b) sec θ tg θ
c) sec θ cosec θ
d) sec2 θ
e) cosec2 θ
17. Considere as inequações abaixo:
I) a2  b2  c2  ab  bc  ca
II) a3  b3  a2b  ab2
4
III)  a2 – b2    a – b 
Está(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, a(s) inequação(ões):
a) II apenas.
b) I e II apenas.
c) I e III apenas.
d) II e III apenas.
e) I, II e III.
18. Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações:
(I) (A - B)x ⋂ (B ⋃ Ax)x = ∅
(II) (A - Bx)x = B - Ax
(III) [(Ax - B) ⋂ (B - A)]x = A
Sobre essas afirmações podemos garantir que:
a) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) apenas a afirmação (III) é verdadeira.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Nota: Cx denota o complementar de C em R.
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19. Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real,
 x  b  x  c  2  x  c  x  a  2  x  a  x  b 
f  x   a2
b
c
, obtém-se f(x) igual a:
 a  b  a  c 
b  c b  a 
c  a  c  b 
a) x2  a  b  c  x  abc
b) x2  x  abc
c) x 2
d) –x2
e) x2  x  abc
20. Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de IR. Considere as afirmações:
I - Se (E×G)⊂(F×H), então E⊂F e G⊂H.
II - Se (E×G)⊂(F×H), então (E×G)⋃(F×H)=F×H.
III - Se (E×G)⊂(F×H)=F×H, então (E×G)⊂(F×H).
Então:
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
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