1
INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA
Não é permitido o uso de qualquer tipo de equipamento eletrónico ou informático.
O formulário encontra-se nas páginas 8 e 9 deste enunciado.
As cotações das perguntas estão na página 7.
O exame consta de perguntas abertas, semi-abertas e de escolha múltipla que deverão
ser todas respondidas na folha de respostas.
Nas perguntas abertas deve apresentar todos os cálculos efetuados.
Nas perguntas semi-abertas deve transcrever para a folha de respostas toda a frase
depois de completada de modo a obter proposições verdadeiras.
Nas perguntas de escolha múltipla deve transcrever para a folha de respostas apenas
uma das opções A, B, C, D ou E.
Perguntas abertas: 2(a), 2(b), 2(d), 6, 7, 8(b), 13, 14(b) e 15.
Perguntas semi-abertas: 1, 2(c), 5(a), 8(a), 8(c) e 14(a).
Perguntas de escolha múltipla: 3, 4, 5(b), 5(c), 9, 10, 11, 12 e 14(c).
Nas perguntas de escolha múltipla, cada resposta errada desconta 25% do valor da
pergunta.
Nas perguntas semi-abertas e abertas não há descontos.
2
1. Em cada alínea use um dos símbolos =; < ou > de modo a obter uma a…rmação
verdadeira.
37
5
(a) 7:4
(b)
7
8
8
9
(c) ( 1)7
( 1)5
3
(d) ( 10)
(e)
(f)
p
3
1
27
10
3
3
1
1
+
4
5
2
9
2. Considere os conjuntos A = fx 2 R : 2x
1 < 11g e B = [ 2; 11].
(a) Represente A em forma de intervalo.
(b) Represente B em compreensão.
(c) O número real : : : : : : pertence a BnA:
(d) Represente o conjunto A \ B na forma de intervalo ou união de intervalos de
números reais.
3. A solução da equação
A
x=0
B
x=
7
6
C
x=
7
3
D
x=
37
36
E
x=
1
6
1
3
x+
1
2
+
1
2
x+
1
3
+
1
3
(x + 4) =
6
2
5
é
3
3
1 + i + i2 + i 3 + i 4 + i5
1 i
4. O valor da expressão
A
0
B
1
C
1
D
E
é
i
i
5. Considere a função f
:
R
x
!
!
R
(x
1)(1
x)
(a) O domínio de f é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o contradomínio é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Indique qual das seguintes a…rmações é falsa:
A
A função é decrescente no seu domínio.
B
A função não é sobrejetiva.
C
A função não é injetiva.
D
0 (zero) é o máximo da função.
E
A função é contínua em x = 2.
(c) A 2a derivada de f é:
A
f 00 (x) = 2:
B
f 00 (x) =
C
f 00 (x) = 0:
D
f 00 (x) = 2x
E
f 00 (x) =
2:
2:
2x + 2:
4
6. No retângulo [ABCD] representado na …gura seguinte, o vértice A é um ponto do
segmento de reta indicado, que se situa sobre a reta y = 4 2x:
(a) Veri…que que a área desse retângulo é dada por f (x) = 4x
2x2 :
(b) Calcule para que valor de x o retângulo tem área máxima.
7. Considere as funções f (x) = 3x2
1 e g(x) = x + 1.
(a) Calcule gof (x):
f (x)
(b) Calcule o domínio de p
g(x)
(c) Resolva a inequação f (x) < x g(x)
8. Considere o polinómio p(x) = x4 + 2 x3
(a) A divisão de p (x) por x2
31 x2
32 x + 240
16 dá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . com resto 0.
(b) Veri…que que 3 é raiz do polinómio p (x) :
(c) Complete a seguinte fatorização de p (x) :
p (x) = (x
3) (x
: : :) (x + : : :) (x + : : :)
5
9. A expressão e3 ln x
A
x
B
3x +
C
x2
D
e2x
5
x
2
E
1
2
ln x
é igual a:
1
x
2
5
5
10. A equação da reta tangente ao grá…co de f (x) = ln x + 5 no ponto de abcissa 1 é
A
y = 5x + 1
B
D
y =x+4
x
y = +4
2
y =x+5
E
y = 5x + 4
C
11. O limite da sucessão de termo geral un =
A
2
B
1
C
D
E
2
é:
n
1
2
3
2
0
12. Uma função g (x) tal que g 0 (x) = cos (x) sin (x) pode ser:
A
g(x) = cos2 (x)
B
g(x) = sin2 (x)
C
D
E
1
cos2 (x)
2
1
g(x) = sin2 (x)
2
cos (x) :
g(x) =
sin (x)
g(x) =
6
13. O Manuel está a 20m de um prédio e, a partir do ponto onde está, o ângulo de elevação
do topo do prédio é de 82 . Qual é a altura do prédio?
14. Seja
um ângulo tal que cos
(a) O valor de sin
(b) Calcule sin(
3
2
4
= , em que
5
= ::::::
)
sin( + ) + 1
(c) O valor de 2 sin ( ) + cos ( ) é:
A
B
C
D
E
1
4
5
0
11
5
11
5
15. Resolva em R a equação 2 sin(x) + 1 = 0.
FIM
<
<
3
.
2
7
COTAÇÕES
Pergunta
1
2 (a)
2 (b)
2 (c)
2 (d)
3
4
5 (a)
5 (b)
5 (c)
6 (a)
6 (b)
7 (a)
7 (b)
7 (c)
8.(a)
8 (b)
8 (c)
9
10
11
12
13
14 (a)
14 (b)
14 (c)
15
Valores
1,2
0,5
0,5
0,3
0,5
1
1
0,6
0,8
0,8
0,4
0,8
0,5
0,5
0,4
0,4
0,4
0,4
0,8
0,8
0,8
1,2
1,6
0,7
0,7
0,8
1,6
8
FORMULÁRIO
Derivadas
Se x é uma variável:
Se f é uma função:
(x )0 = x
(f )0 = f
1
;
2R
1
:f 0 ;
2R
(ex )0 = ex
ef
0
= ef :f 0
(ax )0 = ax ln a; a 2 R+
af
0
= af : ln a:f 0 ; a 2 R+
(ln x)0 =
1
x
(ln f )0 =
f0
f
(sin x)0 = cos x
(sin f )0 = cos f:f 0
(cos x)0 =
(cos f )0 =
(tan x)0 =
sin x
1
cos2 x
(tan f )0 =
sin f:f 0
f0
cos2 f
Regras de derivação
Soma
(f + g)0 = f 0 + g 0
Produto
(f g)0 = f 0 g + f g 0
Produto escalar
(kf )0 = kf 0 ; k 2 R
Cociente
Função composta
f
g
(f
0
=
f 0g
f g0
g2
g)0 (x) = f 0 (g (x)) g 0 (x)
9
Alguns valores das funções trigonométricas
Para x 2 Rnf0g; x
tan x =
a
=
1
xa
sin x
,
cos x
cos2 x + sin2 x = 1
cos (x + y) = cos x cos y
cos (x
sin x sin y
y) = cos x cos y + sin x sin y
sin (x + y) = cos x sin y + cos y sin x
sin (x
y) = cos y sin x
cos x sin y