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Professor Mauricio Lutz
RAZÕES E PROPORÇÕES
Chama-se razão de dois números, dados numa certa ordem e sendo o
segundo diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo.
a
ou a : b ,
b
onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado conseqüente da razão
dada.
Exemplo: Numa partida de basquetebol João fez 15 arremesses, acertando 9
deles. Nessas condições:
a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de João?
9 3,
=
15 5
ou seja, cada 5 arremessos João acertava 3.
b) Qual a razão entre o número de arremessos que João acertou e o número de
arremessos que ele errou?
9 3 , ou seja, cada 3 arremessos certos João errava 2.
=
6 2
Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais
razões.
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos
meios e vice-versa.
a c
= Û a.d = b.c ,
b d
onde b.c é o produto dos meios e a.d é o produto dos extremos, podendo ser lida
como “a esta para b assim como c está para d”.
Exemplo: Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam nesta ordem, uma
proporção, determinar o valor de x.
6
5
24.5
= Þ 6 x = 24.5 Þ x =
= 20 \ x = 20
24 x
6
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Grandezas diretamente proporcionais
Dada sucessão de valores (a, b, c, d, ...), dizemos que estes valores são
diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão
(a´, b´, c´, d´, ...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das
sucessões e o valor correspondente da outra.
a b c d
= = =
= ... = k
a´ b´ c´ d ´
O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de
números diretamente proporcionais é chamada de fator de proporcionalidade (k).
Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos
valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, pois as razões
todas iguais, sendo igual a
6
7 10
15
,
,
e
são
12 14 20
30
1
o fator de proporcionalidade da primeira para a
2
segunda.
Grandezas inversamente proporcionais
Dada sucessão de valores (a, b, c, d, ...), dizemos que estes valores são
inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (a´, b´, c´,
d´, ...), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre
cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.
a
b
c
d
= = =
= ... = k ou a.a´= b.b´= c.c´= d .d´= ... = k
1
1
1
1
a´ b´ c´ d´
Exemplos: 1) Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores
30, 20, 12 e 5, nessa ordem, pois os produtos 2x30, 3x20, 5x12 e 12x5 são todos
iguais.
2
3
5 12
=
=
=
1
1
1
1
30 20 12 5
Þ 2.30 = 3.20 = 5.12 = 12.5 = 60
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2) Reparta a quantia de R$945,00 em partes inversamente proporcionais aos
números 6 e 8.
ì x + y = 945
ïï x y
x
y
í = =k Þ 1 =k e 1 =k
ï1 1
6
8
îï 6 8
k
k
6x = k Þ x =
8y = k Þ y =
6
8
k k
4k + 3k
+ = 945 Þ
= 945
6 8
24
945.24
7k = 945.24 Þ k =
= 3240
7
Logo:
x=
k 3240
=
= 540
6
6
y=
k 3240
=
= 405
8
8
Portanto temos R$540,00 e R$405,00.
Exercícios
1) As letras a, b e c representam números que são diretamente proporcionais aos
números 14, 56 e 84, nessa ordem. O fator de proporcionalidade é
6
. Quais são
7
os valores de a, b e c?
2) Quais são os valores dos números representados pelas letras x e y para que 12, x e y sejam diretamente proporcionais aos números 6, -5 e 13, nessa ordem?
3) As letras a e c representam números. Sabendo que a, 63 e c são inversamente
proporcionais aos números 9, 7 e 3, nessa ordem, determine:
a) o fator de proporcionalidade.
b) o valor de a e o valor de c.
4) Quais os valores de x e y para que 1,2; 5 e y sejam, nessa ordem, inversamente
proporcionais aos números x; 14,4 e 150?
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5) As medidas da largura e do comprimento de um retângulo são diretamente
proporcionais a 5 e 8 e seu perímetro é 78 cm. Quais são as medidas da largura e
do comprimento desse retângulo, se a largura é menor que o comprimento?
6) O número 400 será repartido em três parcelas, de modo que as parcelas sejam
diretamente proporcionais aos números 10, 15 e 25. Qual será o valor de cada
parcela?
7) Leila e Jorge foram ao Bingo Piratininga e combinaram que o total de prêmios
seria dividido em partes inversamente proporcionais ao salário de cada um. Eles
ganharam R$ 1.400,00. Se Leila ganha 6 salários mínimos e Jorge, 8 salários
mínimos, quanto coube a cada um?
8) O perímetro de um triângulo é 48 m e as medidas dos seus lados são
diretamente proporcionais a 4, 3 e 5. Determine as medidas dos lados desse
triângulo.
9) Para dividir o número 370 em três parcelas inversamente proporcionais aos
números 4, 5 e 6, quais seriam os valores dessas parcelas?
10) A soma de três números e 690 é esses números são inversamente
proporcionais aos números
1 1
1
,
e . Quais são esses números?
6 8
9
11) Um terreno de 360 m2 será dividido em três partes, de modo que as áreas
dessas partes sejam diretamente proporcionais aos números 2, 4 e 6. Qual será a
área de cada parte?
12) Pedro quer repartir R$ 900,00 entre três netos em partes diretamente
proporcionais às idades de cada um, Juca tem 7 anos, Marta tem 10 anos e Daniel
tem 13 anos. Que quantia caberá a cada um?
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13) Rosa, Irene e Sueli são costureiras e receberam uma encomenda de 47
aventais. Elas resolveram dividir a tarefa em partes inversamente proporcionais às
suas idades. Rosa tem 40 anos, Irene, 32 anos e Sueli, 24 anos. Quantos aventais
cada uma fará?
14) Roberto, Geraldo e André formaram uma sociedade para comprar um carro de
R$ 5.000,00. André entrou com R$ 1.500,00, Roberto, com R$ 2.500,00 e Geraldo,
com R$ 1.000,00. Depois de um certo tempo, eles vendaram
o carro por R$
6.000,00 e dividiram a diferença obtida em partes diretamente proporcionais às
quantias que cada um investiu. Qual é a parte da diferença que coube a cada um?
15) Gina, Marcos e Ricardo têm sociedade em uma loja. Ao fazer o balanço,
dividiram o lucro de R$ 22.800,00 em partes diretamente proporcionais ao tempo
que estão na sociedade. Gina está a 8 meses, Marcos há 1ano e Ricardo há 1 ano
e meio. Qual a quantia que coube a cada um?
Gabarito:
1) a=12;b=48; c=72
2) x=10 e y= –26
3) a) 441 b) a=49 e c=147 4) x=60
e y=0,48
5) 15 cm e 24 cm
6) 80, 120 e 200
7) Leila: R$800,00 Jorge:R$600,00
8) 16 m, 12 m e 20 m 9) 150, 120 e 100 10) 180, 240 e 270
11) 60 m2, 120 m2
e 180 m2
12) Juca: R$ 210,00 Marta: R$ 300,00 Daniel: R$ 390,00 13) Rosa: 12 Irene: 15
Sueli: 20
14) Roberto: R$ 500,00
Geraldo: R$200,00
15) Gina: R$4.800,00
Marcos: R$7.200,00
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André: R$ 300,00
Ricardo:R$ 10.800,00