Mecânica dos Fluidos I
Aula prática 2
EXERCÍCIO 1
Considere o jacto aproximadamente bidimensional de saı́da
do aspersor representado na figura 1, que oscila transversalmente com uma frequência angularh constante, ω.
i A velocidade da água que sai do aspersor é dada
por v = u0 sin ω (t − y/v0 ) e x + v0 e y , onde u0 e v0 são constantes e e x e e y
são versores. Deste modo, a componente da velocidade do fluido na direcção y
permanece constante, vy = v0 . À saı́da do aspersor, em y = 0, a componente da
velocidade da água na direcção x coincide com a velocidade da própria cabeça do
aspersor, vx = u0 sin(ω t).
saída do aspersor
ω
Figura 1: Esquema das linhas de corrente num determinado instante de tempo.
1. Obtenha a equação da linha de corrente que passa pela origem nos instantes
t = 0 e t = π/(2 ω).
2. Determine a trajectória da partı́cula que passa na origem num instante genérico t0 .
Sugestões: Neste escoamento, a componente vy = v0 da velocidade da partı́cula não depende da posição da partı́cula, o que permite calcular a sua
coordenada y num determinado instante, independentemente da coordenada x. Uma vez conhecida y(t) com generalidade, é possı́vel substituir o seu
valor na expressão de vx e obter x(t).
3. Represente graficamente um conjunto de trajectórias iniciadas na origem
em sucessivos instantes. Com base nesse desenho, trace de forma qualitativa, para um determinado instante, a forma da linha de emissão que passa
na origem.
2
Soluções:
Por definição, uma linha de corrente é, em cada ponto, tangente ao vector velocidade. Num escoamento bidimensional,
ao longode uma
linha de correntetem-se
ωy
vy
u0
ωy
dy
π
u0
= . Donde x(t = 0) =
sin
cos
− 1 e x t=
=
.
dx
vx
ω
v0
2ω
ω
v0
Define-se trajectória como o lugar geométrico dos pontos sucessivamente ocupados por uma partı́cula de fluido. A trajectória pode ser calculada a partir da
relação entre a velocidade e o deslocamento, ou seja, dx/dt = vx e dy/dt = vy .
Repare que se trata de derivadas totais, não parciais, e, portanto, as duas equações constituem, em geral, um sistema acoplado (tanto vx como vy são função de
x, y e t). Contudo, neste caso particular, v0 é uniforme no espaço, pelo que vy se
torna independente da posição. Assim, a coordenada y(t) da trajectória da partı́cula que passa na origem (y(t0 ) = 0) num instante t0 é y(t) = y(t0 ) + vo (t − t0 ) =
vo (t − t0 ). Substituindo na expressão da outra componente da velocidade, vem
vx = u0 sin(ω t0 ), que, por coincidência, também é uniforme no espaço. Deste
modo, pode obter-se x(t) por simples integração a partir da origem (x(t0 ) = 0),
tanto mais que vx é constante no tempo: x(t) = x(t0 ) + u0 sin(ω t0 ) (t − t0 ) =
u0 sin(ω t0 ) (t − t0 ).
#
"
v0
x.
Conclui-se que as trajectórias das partı́culas são as rectas y =
u0 sin(ω t0 )
As linhas de emissão ou de fumo mostram a posição instantânea (como uma fotografia) de todas as partı́culas que foram passando por um mesmo ponto do espaço
ao longo do tempo.
EXERCÍCIO 2
nário é dado por
O campo de velocidades de determinado escoamento estacio-
v (x, y, z) =

2


 vx = +5 x y



vy = −3 y
vz = −10 x y z + 3 z
sendo as coordenadas x, y e z expressas em m e as componentes da velocidade
em m/s.
1. Escreva a intersecção da superfı́cie de corrente que passa pelo ponto genérico (x0 , y0 , z0 ) com o plano z = z0 .
2. Desenhe no plano z = 0 as linhas de corrente que passam pelos pontos
(1, −4), (1, −2), (1, 0), (1, 2), (1, 4) e (1, 6). Represente as linhas de corrente apenas no domı́nio x ∈ [0, +5] m e y ∈ [−5, +5] m.
Soluções:
Num plano z = constante, as superfı́cies de corrente têm uma inclinação tal que
3
dy/dx = vy /vx . Neste caso, a equação é dy/dx = −3/(5 x2 ), que se pode inte−1
grar facilmente por separação de variáveis: (y1 − y0 ) = 3 (x−1
1 − x0 )/5.
As linhas de corrente deste plano podem traçar-se fixando os valores de x0 e y0
e calculando y1 em função de x1 (ou vice-versa, x1 em função de y1 ). A figura 2
ilustra o resultado para as linhas de corrente pedidas no enunciado.
y (m)
5
4
3
2
1
x (m)
0
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Figura 2: Linhas de corrente que passam nos pontos referidos no enunciado.
EXERCÍCIO 3
Considere um campo de velocidades bidimensional dado por:


1
sin[(t + 1)2 ]


 vx (x, y, t) = 7 (x + 0, 5) 2 (y + 0, 5)
v (x, y, t) = 

1

 vy (x, y, t) = 0.6 (x + y + 1)
(t + 1)2
t+1
em que as coordenadas estão em m, o tempo em s e as velocidades em m/s.
Sugere-se que resolva este problema com integrações numéricas.
1. Desenhe a linha de trajectória da partı́cula que passa na origem no instante
t = 0, durante 5 s.
2. Desenhe as linhas de corrente que passam pela origem, nos instantes t = 0 s
e t = 1 s.
4
3. Represente a linha de emissão que passa pela origem, no instante t = 5 s.
Soluções:
A figura 3 foi produzida com uma folha de cálculo Excel. As linhas de corrente
foram obtidas integrando vx e vy em t = 0 e em t = 1 s, com diferenças progressivas
de primeira ordem:
passo
0
1
2
...
coordenadas da linha de corrente
x
y
x0
y0
= x0 + vx (x0 , y0 ) δ = y0 + vy (x0 , y0 ) δ
= x1 + vx (x1 , y1 ) δ = y1 + vy (x1 , y1 ) δ
...
...
velocidades sempre em t=0
vx
vy
= vx (x0 , y0 )
= vy (x0 , y0 )
= vx (x1 , y1 )
= vy (x1 , y1 )
= vx (x2 , y2 )
= vy (x2 , y2 )
...
...
A linha de trajectória obteve-se com uma integração material no tempo, também com um esquema simples de diferenças progressivas de primeira ordem, com
passo constante no tempo δt:
tempo
t0
t1
t2
...
coordenadas da trajectória
x
y
x0
y0
= x0 + vx (x0 , y0 , t0 ) δt = y0 + vy (x0 , y0 , t0 ) δt
= x1 + vx (x1 , y1 , t1 ) δt = y1 + vy (x1 , y1 , t1 ) δt
...
...
velocidade da partı́cula
vx
vy
= vx (x0 , y0 , t0 ) = vy (x0 , y0 , t0 )
= vx (x1 , y1 , t1 ) = vy (x1 , y1 , t1 )
= vx (x2 , y2 , t2 ) = vy (x2 , y2 , t2 )
...
...
Repare-se a diferença: para calcular a linha de corrente integra-se o campo
de velocidade de um determinado instante; para calcular a linha de trajectória
de uma partı́cula integra-se a velocidade da partı́cula no ponto em que ela está
nesse instante.
A linha de emissão representada na figura 3 resultou de integrar diversas linhas de trajectória começando na origem, desde t0 = 0, t0 = 0, 1 s, t0 = 0, 2 s, etc.,
até t = 5 s. O conjunto das posições de todas estas partı́culas no instante t = 5 s
define a linha de emissão nesse instante.
5
1
y
0.75
0.5
0.25
0
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
x
Figura 3: A negro, a linha de trajectória da partı́cula que passa na origem em t = 0, no
intervalo t ∈ [0, 5] s; a vermelho, a linha de corrente que contém a origem, no instante
t = 0; a laranja, a linha de corrente que contém a origem, no instante t = 1 s, ambas
representadas no domı́nio x ∈ [−0, 5, 1] m, y ∈ [0, 1] m; a azul, a linha de emissão ou
de fumo no instante t = 5 s.