Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
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CAPÍTULO 5:
CISALHAMENTO
5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob
Flexão
Hipóteses Básicas:
a) As tensões de cisalhamento τ
são admitidas paralelas à força de
cisalhamento V, portanto paralela a
“y’’.
b) As tensões τ não variam ao longo
da largura da seção, e sim na altura.
 b 1
 < 
 h 4
c) As tensões normais σ não ficam
afetadas pelas deformações
provocadas pelas tensões de
cisalhamento.
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5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob
Flexão
Analisando o elemento, vemos que existem
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tensões de cisalhamento horizontais agindo
entre as camadas horizontais.
Para y = ±h/2, então τ =0, pois não existem
forças de cisalhamento na superfície da
barra.
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
É mais fácil determinar as tensões de cisalhamento
horizontais agindo entre camadas da viga.
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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Modelo de cálculo:
σ1 = −
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σ2 = −
M⋅y
Iz
(M + dM )⋅ y
Iz
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
A face superior da barra está livre de tensões de
cisalhamento.
A face de baixo é submetida a tensões de
cisalhamento τ.
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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mp
m1p1, vemos que como σ1 ≠ σ2 , é necessário a tensão τ
para equilibrar.
As tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão
sendo consideradas, pois iremos analisar apenas o
equilíbrio na direção x.
Diagrama de corpo livre do elemento mp m1p1:
M⋅ y
⋅ dA
Iz
(M + dM )⋅ y ⋅ dA
F2 = ∫ σ 2 ⋅ dA = ∫
Iz
F1 = ∫σ1 ⋅ dA= ∫
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onde y varia de y1 até h/2.
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Fazendo o equilíbrio do elemento na direção x:
F1 + F3 − F2 = 0 ∴ F3 = F2 − F1
F3 = ∫
(M + dM ) ⋅ y ⋅ dA −
Iz
F3 =
M⋅y
dM ⋅ y
⋅
dA
=
∫ Iz
∫ I z ⋅ dA
dM
⋅ ∫ y ⋅ dA
Iz
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5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
F3 também pode ser vista em função da tensão τ:
F3 = τ . b . dx , onde (b . dx) é a área da parte inferior
do elemento.
Logo:
τ ⋅ b ⋅ dx =
onde :
1
dM
dM
⋅ ∫ y ⋅ dA ⇒ τ =
⋅
⋅ y ⋅ dA
Iz
dx b ⋅ I z ∫
dM
= V → força de cisalhamen to
dx
∫ y ⋅ dA = M
s
→ Momento Estático da área sombreada
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em relação a linha neutra.
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Com essa notação temos:
τ=
V ⋅Ms
b⋅ Iz
→
Fórmula de Cisalhamento
Observações:
V, b e Iz são constantes em uma seção.
Ms varia com a distância y1.
Na fórmula de cisalhamento tratamos todos os
elementos como valores positivos, pois sabemos
que a tensão τ atua na mesma direção da força
de cisalhamento V.
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5.2.1 Distribuição das Tensões de
Cisalhamento na Seção Retangular
h
Ms =
∫
h
y1
2
y ⋅ dA =
∫
h
2
y1
 y2  2
y ⋅ (b ⋅ dy ) = b ⋅  
 2  y1
 h 2 y12  b  h 2

 = ⋅  − y12 
M s = b ⋅  −

2  2  4

 8
V ⋅Ms
V b  h2
2
τ=
=
⋅ ⋅  − y1 
b ⋅ Iz
b ⋅ Iz 2  4

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V  h2
2
τ=
⋅  − y1 
2⋅ I z  4

5.2.1 Distribuição das Tensões de
Cisalhamento na Seção Retangular
Variação quadrática com a distância y1.
V  h2
2
τ=
⋅  − y1 
2⋅ I z  4

para y1 =
h
2
→ τ =0
para y1 = 0 →
τ máx
V ⋅ h 2 3 ⋅V
=
=
8⋅ Iz
2⋅ A
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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção
Circular
Não podemos assumir que as tensões
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de cisalhamento agem paralelamente ao
eixo y.
Em um ponto m na superfície, a tensão
deve agir de forma tangente.
As tensões de cisalhamento na Linha
Neutra, onde as tensões são máximas,
podem ser assumidas como: paralelas a
y e intensidade constante ao longo da
largura.
5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção
Circular
Logo, na Linha Neutra podemos usar a fórmula de
cisalhamento:
τ máx =
Onde:
Iz =
π ⋅ r4
4
b = 2⋅r
V ⋅ Ms
b⋅ Iz
π ⋅ r2   4⋅ r  2⋅ r3
⋅  =
Ms = A⋅ y =
2

  3⋅π  3
V
4 2⋅ r3
4 ⋅V
τ máx =
⋅
⋅
=
2⋅ r π ⋅ r4 3
3⋅π ⋅ r 2
τ máx =
4 ⋅V
3⋅ A
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5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção
Circular
Para seção circular vazada:
Iz =
π
(
⋅ r24 − r14
4
2
Ms = ⋅ (r23 − r13 )
3
)
b = 2⋅ (r2 − r1 )
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V ⋅ M s 4 ⋅V  r22 + r2 ⋅ r1 + r12 

⋅ 
τ máx =
=
2
2
b⋅ Iz
3 ⋅ A  r2 + r1

5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Exemplo 1: De acordo com a viga de madeira
mostrada, determine o máximo valor para P se a
tensão admissível na flexão é σadm = 11MPa (para
tração e compressão) e a tensão admissível para
cisalhamento horizontal é τadm = 1,2MPa.
Desconsidere o peso próprio.
P
P
150mm
0,5m
0,5m
100mm
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Exemplo 1
a) Diagrama de Esforços Internos:
P
A
C
D
D.E.C.
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B
A
P
C
D
0,5P
D.M.F.
Cisalhamento trecho AC e DB
Flexão Máxima trecho CD
Exemplo 1
b) Características geométricas:
I 3 b ⋅ h 2 10 × 15 2
W=
=
=
= 375cm 2
h
6
6
2
A = b × h = 10 × 15 = 150 cm
2
c) Carga Máxima:
M máx
≤ σ adm ⇒ M máx = σ adm ⋅W
W
3 ⋅V
2 ⋅ A ⋅τ adm
τ máx = máx ≤ τ adm ⇒ Vmáx =
2⋅ A
3
σ máx =
B
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Exemplo 1
Pflexão =
σ adm ⋅W
0,5
11⋅106 × 375⋅10−6
=
0,5
Pflexão = 8,25KN
2 ⋅ A⋅τ adm 2×150⋅10−4 ×1,2 ⋅106
Pcisalh. =
=
3
3
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Pcisalh = 12 KN
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Exemplo 2: Dimensionar uma seção circular para a
estrutura mostrada abaixo, de modo que não sejam
ultrapassadas as seguintes tensões:
30kN
B
A
2m
σ Rupt .( T ) = 70 MPa ; C .S . = 7
40kN/m
4m
σ Rupt .( C ) = 56 MPa ; C .S . = 8
τ adm = 1, 2 MPa
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Exemplo 2
a) Tensões admissíveis:
σ adm(T ) =
σ adm ( C ) =
σ Rupt.(T )
C.S.
=
σ Rupt .( C )
C .S .
b) Seções críticas:
70
= 10MPa
7
=
56
= 7 MPa
8
95
RVA = 125 kN
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RVB = 65 kN
A
30
C
D.E.C.
B
65
Exemplo 2
Trecho AC :
V = −65 + 40 ⋅ (6 − x )
V = 175 − 40 ⋅ x = 0 ⇒ x = 4 ,375 m
Seções críticas: A e C
M A = −30 × 2 = −60 KN .m
2
(
6 − 4,375)
M C = 65 × (6 − 4,375) − 40 ×
= 52,81KN.m
2
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Exemplo 2
c) Tensões Normais Máximas:
Seção A:
σ1 = σ 2 =
MA ⋅r
Iz
C1 = C2 = r
Como σ1 = σ2 , verificar para menor σadm:
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MA ⋅r
≤ σ adm(C )
Iz
60 ⋅103 × r
≤ 7 ⋅106 ⇒ r ≥ 0,222 m
4
π ⋅r
4
Exemplo 2
d) Tensão de Cisalhamento Máxima:
τ máx =
4 ⋅ Vmáx
≤ τ adm
3⋅ A
4 × 95 ⋅103
≤ 1,2 ⋅10 6
2
3×π ⋅ r
r ≥ 0,183m
Logo,
r ≥ 0,22m ⇒ r = 23cm
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5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de
Vigas com Flange
Mesa ou Flange
Alma
Mesa ou Flange
As tensões de cisalhamento nos flanges da viga
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atuam em ambas as direções, verticais e horizontais.
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de
Vigas com Flange
As tensões de cisalhamento na alma de viga de
flange largo são verticais e são maiores que as
tensões nos flanges.
Devido a complexidade da distribuição das tensões
de cisalhamento no flange, iremos considerar
apenas as tensões agindo na alma da viga.
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5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
Vamos determinar a tensão de cisalhamento na linha ef.
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τ =
V ⋅M s
b ⋅Iz
onde b = t e Ms é da área sombreada
5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
Momento Estático da área sombreada.
h h 
A1 = b ⋅  − 1 
2 2 
h − h1
h1
2
y1 = + 2
2
2
M s = A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2 =
h

A2 = t ⋅  1 − y1 
2

h1
− y1
2
y2 = y1 +
2
(
)
(
b
t
⋅ h 2 − h12 + ⋅ h12 − 4 ⋅ y12
8
8
)
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5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
Logo:
τ=
[ (
V ⋅ Ms
V
=
⋅ b ⋅ h2 − h12 + t ⋅ h12 − 4 ⋅ y12
t ⋅ Iz
8⋅t ⋅ Iz
) (
)]
b ⋅ h3 (b − t ) ⋅ h13 1
3
3
onde: I z =
−
= ⋅ b ⋅ h3 − b ⋅ h1 + t ⋅ h1
12
12
12
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(
5.3.2 Tensões de Cisalhamento Máximas e
Mínimas
τmáx ocorre na Linha Neutra, y1 = 0.
τmín ocorre no encontro alma-flange, y1 = ±h1/2.
Logo:
[
τ máx =
V
⋅ b ⋅ h2 − b ⋅ h12 + t ⋅ h12
8⋅t ⋅ I z
τ mín =
V
⋅ h2 − h12
8⋅ t ⋅ I z
[
]
]
)
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5.3.3 Força de Cisalhamento na Alma
A alma resiste a maior parte da força de cisalhamento
e os flanges são superponíveis por uma pequena
parcela.
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Valma =
t ⋅ h1
⋅ (2 ⋅τ máx + τ mín )
3
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de
Vigas com Flange
Exemplo 3: Considere a viga em balanço com seção
transversal em T. Pede-se para determinar a tensão
de cisalhamento máxima, e a tensão de cisalhamento
a 3 cm da borda superior da viga, na seção de
engastamento.
5cm
45cm
50kN
5cm
2m
25cm
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Exemplo 3
a) Centróide e Momento de Inércia:
y
5cm
y =
45cm
z
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1
1
= 18 , 57 cm
1
5cm y
25cm
∑ y ⋅A
∑A
x
(
)
I z = ∑ I z ' + Ai ⋅ d i2 = 88452 , 4 cm 4
Exemplo 3
b) Diagrama de Esforço Cortante:
50kN
+
D.E.C.
Vmáx = 50 kN
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Exemplo 3
c) Tensão de Cisalhamento Máxima:
τ =
V ⋅M s
b ⋅Iz
M s = y1 ⋅ A =
31,43
× (5× 31,43)
2
M s = 2469,61cm
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τ máx =
5cm
45cm
y1
z
5cm
25cm
3
50 .10 3 × 2469 ,61 .10 −6
= 2 , 79 MPa
5 .10 − 2 × 88452 , 4 .10 − 8
Exemplo 3
d) Tensão a 3 cm de borda superior:
5cm
3cm
M s = y1 ⋅ A = (31,43−1,5)× (5× 3)
M s = 448,9cm3
y1
45cm
z
5cm
25cm
τ máx
50 .10 3 × 448 ,9 .10 − 6
=
= 0 ,51 MPa
5 . 10 − 2 × 88452 , 4 . 10 − 8
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5.3 Tensões de Cisalhamento em
Almas de Vigas com Flange
Exemplo 4: Determinar a maior carga “q” (kN/m) que
5
a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que
σadm = 10MPa, τadm = 1,5MPa e a = 2m.
aq
q
A
B
D
C
a
a
E
a
5
a
aq
20cm
aq
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5
10cm
5
Exemplo 4
a) Centróide e Momento de Inércia:
x = 10 cm
y = 15 cm
I z = I z (ext.) − I z (int .)
20 × 30 3 10 × 20 3
=
−
12
12
I z = 38 .333 ,33 cm 4
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Exemplo 4
b) Esforços internos máximos:
RVB = 4,5q
e
RVD = 3,5q
2,5q
2q
+
A
+
0,5q
B
C
-
-
D
E
1,5q
2q
Seções críticas: B, C e D.
M B = −4 ⋅ q
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Logo:
M C = −8 ⋅ q + 7 q = − q
M máx = − 4 ⋅ q
M D = −4 ⋅ q
V máx = 2,5 ⋅ q
Exemplo 4
c) Verificação da σadm:
σ1 = σ 2 =
M ⋅e
≤ σ adm = 10 MPa
Iz
4 ⋅ q ⋅15 × 10 −2
≤ 10 ⋅10 6 ⇒
−8
38333 ,33 ⋅10
q ≤ 6,39kN / m
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Exemplo 4
d) Verificação da τadm:
 15
  10

M s = M se − M si =  × 20 ×15  −  ×10 ×10  = 1750cm3
2
 2

τ máx
V máx ⋅ M s
2 ,5 ⋅ q × 1750 ⋅ 10 − 6
=
=
≤ τ adm = 1,5 ⋅ 10 6
−2
−8
b ⋅ Iz
10 ⋅ 10 × 38333 ,33 ⋅ 10
q ≤ 13,14kN / m
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Logo:
q = 6,3kN / m
5.4 Fluxo de Cisalhamento
F3 =
dM
⋅ y ⋅ dA
I ∫
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5.4 Fluxo de Cisalhamento
Fluxo de Cisalhamento (f) é a força de cisalhamento
horizontal por unidade de distância ao longo do eixo
longitudinal da viga.
f =
onde:
F3 dM 1
=
⋅ ⋅ y ⋅ dA
dx dx I ∫
dM
=V
dx
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f =
∫ y ⋅ dA = M
s
V ⋅Ms
I
5.4 Fluxo de Cisalhamento
Áreas utilizadas para o cálculo do momento estático:
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5.4 Fluxo de Cisalhamento
Exemplo 5: Uma viga em caixa de madeira é construída com duas
tábuas de 40x180mm, que servem como flanges para duas almas de
compensados de 15mm de espessura. A altura total da viga é de
280mm. O compensado é preso aos flanges por parafusos cuja força
de cisalhamento admissível de F=800N cada. Se a força de
cisalhamento V é de 10,5kN, determine o máximo espaçamento
permissível S dos parafusos.
Exemplo 5
a) Centróide e Momento de Inércia:
x = 105 mm
y = 140 mm
I z = I z (ext.) − I z (int .)
210 × 280 3 180 × 200 3
−
12
12
I z = 264 , 2 × 10 6 mm 4
Iz =
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Exemplo 5
b) Fluxo de Cisalhamento:
f =
V ⋅Ms F
=
I
s
M s = A flange ⋅ d f = (40 × 180 )× 120 = 864 ⋅ 10 3 mm 3
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10 ,5 ⋅ 10 3 × 864 ⋅ 10 3
f =
= 34 ,3 N / mm
264 , 2 × 10 6
Exemplo 5
c) Espaçamento dos parafusos:
Força admissível F=800N
2 parafusos por comprimento S 2F
Logo:
2F
2 F 2 × 800
= f ⇒S =
=
S
f
34,3
S = 46,6mm
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5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
V = P e M = P⋅x
Carga no plano de simetria
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σx = −
M⋅y
Iz
e
τ=
V ⋅Ms
Iz ⋅b
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
Carga fora do plano de simetria
V = P e M = P⋅x
σx = −
M⋅y
Iz
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5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
As tensões de cisalhamento não podem ser
V ⋅ Ms
, pois a seção
Iz ⋅b
não tem plano de simetria vertical.
determinadas pela equação τ =
Esta barra irá sofrer flexão e torção sob ação da
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carga P.
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
Se a barra flexionar sem torção, poderíamos usar a
fórmula de cisalhamento já conhecida. Para isso, a
carga P tem que ser aplicada em um ponto específico
da seção transversal, conhecido como Centro de
Cisalhamento (S).
O centro de cisalhamento está em um eixo de
simetria. Então, em seções duplamente simétricas o
Centro de Cisalhamento (S) e o Centróide (C)
coincidem.
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5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos
de Paredes Finas
Considere uma viga de seção transversal arbitrária, cuja
linha de centro seja a curva mm, e a carga P age paralela
ao eixo “y” através do Centro de Cisalhamento (S).
onde “y” e “z” são eixos centroidais.
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos
de Paredes Finas
As tensões normais podem ser obtidas pela fórmula de
flexão:
σx = −
M⋅y
Iz
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5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos
de Paredes Finas
As tensões de cisalhamento no elemento abcd são
obtidas pelo equilíbrio das forças:
F1 − F2 − F3 = 0
onde:
F3 =τ ⋅ t ⋅ dx
s
F2 = ∫ σ x ⋅ dA= −
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0
s
F1 = ∫ σ x ⋅ dA= −
0
Mz1 s
⋅ y ⋅ dA
I z ∫0
Mz 2 s
⋅ y ⋅ dA
I z ∫0
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos
de Paredes Finas
Assim, obtemos:
s
 M z 2 − M z1  1
⋅ ∫ y ⋅ dA
⋅
dx

 Iz ⋅t 0
τ =
onde:
Logo:
M z 2 − M z1 dM
=
= Vy , que é paralela a y e positiva
dx
dx
em sentido de P.
τ=
Vy ⋅ M s ( z )
Iz ⋅t
Fórmula de Cisalhamento
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5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos
de Paredes Finas
As tensões de cisalhamento estão direcionadas ao
longo da linha de centro da seção, paralelas às bordas.
τ
é constante através as espessura t da parede.
O fluxo de cisalhamento (f) é igual ao produto da
tensão τ pela espessura t.
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f =τ ⋅ t =
Vy ⋅ Ms( z)
Iz
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
Seção C ou Canal:
O Centro de Cisalhamento está localizado no eixo de
simetria (eixo z).
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5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
Baseado na fórmula de cisalhamento, as tensões de
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cisalhamento variam linearmente nos flanges e
parabolicamente na alma.
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
A tensão de cisalhamento que atua em um elemento
de seção transversal de área dA = t.ds produz a força
dF = τ . dA ou dF = f . ds , e
ds
dA
f =τ ⋅ t =
V ⋅ Ms
.
Iz
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5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
A resultante das forças que age nos flanges AB e DE é
a força horizontal F1;
As tensões que atuam na alma BD vão ter como
resultante uma força igual à força cortante V na seção:
ds
B
A
F1 =
∫
B
A
f ⋅ ds
h
F2 = V =
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D
∫
D
B
f ⋅ ds
E
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
As forças F1 provocam um momento em relação ao
centróide de M = F1 . h, onde h é a distância entre as
linhas de centro das mesas. Este momento que é
responsável pela resistência da seção à torção.
Para eliminar o efeito desse momento, a força cortante V
deve ser deslocada para a esquerda de uma distância
“e”, de modo que:
V ⋅ e = F(mesa) ⋅ h →
e=
F(mesa) ⋅ h
V
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5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
Onde conclui-se que não vai ocorrer torção na barra se
a força P for aplicada em um ponto distante “e” da linha
central da alma BD.
A interação da linha de ação com o eixo de simetria “z”,
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representa o Centro de Cisalhamento da seção (S).
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
No caso da força P ser inclinada, acha-se as
componentes Pz e Py atuando no ponto “S”.
Py
P
Pz
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5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
Seções que não possuem nenhum plano de simetria:
Seção Cantoneira:
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A carga P atua perpendicularmente ao eixo principal z.
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
Força elementar:
dF = f ⋅ ds
dF
,
ds
sendo f =
V ⋅ Ms
Iz
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5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
Forças Resultantes:
A
F1 =
F1
F2 =
∫
S
∫
B
A
S
f ⋅ ds
f ⋅ ds
F2
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B
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções
Abertas e Paredes Finas
Como as resultantes F1 e F2 passam pelo ponto “S”,
deduzimos que a força cortante V da seção deve
passar por “S” também.
,
O Centro de Cisalhamento é então o vértice da seção,
pois a força V não provocará torção, independente da
sua direção.
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5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
Exemplo 6: Determinar o Centro de Cisalhamento S do
perfil canal, de espessura uniforme e dimensões:
b=100mm, h=150mm e t=3mm.
,
t
Fluxo de Cisalhamento:
A
B
t
f=
V ⋅ Ms ( z )
Iz
t
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D
f=
E
=
(
V ⋅ s⋅t ⋅ h
)
2
Iz
V ⋅ s ⋅t ⋅ h
2⋅ I z
Exemplo 6
Força Resultante no flange AB:
F1 =
∫
B
A
f ⋅ ds =
∫
b
0
V ⋅t ⋅h
F =
2⋅ Iz
V ⋅ s ⋅t ⋅h V ⋅t ⋅h b
=
⋅ s ⋅ds
2⋅ Iz
2 ⋅ I z ∫0
,
b
 s2 
V ⋅t ⋅ h ⋅b2
⋅  =
4⋅ Iz
 2 0
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Exemplo 6
Centro de Cisalhamento:
F ⋅ h V ⋅t ⋅ h ⋅b2 h t ⋅ h ⋅b2
e=
=
⋅ =
V
4⋅ Iz
V
4⋅ Iz
,
I z = I alma + 2 ⋅ I flanges
t ⋅b3  h2 

t ⋅ h3
 ⋅ (b ⋅ t )
Iz =
+ 2⋅
+ 
12
 2 
 12

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t ⋅ h3 b ⋅t3 h2 ⋅b ⋅t t ⋅ h2
Iz =
+
+
=
⋅ (6 ⋅ b + h )
12
6
2
12
Exemplo 6
Centro de Cisalhamento:
h2 ⋅b2 ⋅t
e=
t ⋅ h2
4⋅
⋅ (6 ⋅ b + h )
12
,
3⋅b2
e=
6 ⋅b + h
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5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
Exemplo 7: Determinar, para o perfil canal, a
distribuição de tensões de cisalhamento causada por
uma força cortante vertical V de 800kN de intensidade,
aplicada no Centro de Cisalhamento S.
,
b=100mm, h=150mm, t=3mm, e = 40mm.
t
A
B
t
t
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D
E
Exemplo 7
Tensão no flange AB:
τ=
V ⋅ Ms V ⋅ s ⋅t ⋅ h V ⋅ s ⋅ h
=
=
Iz ⋅ t
2⋅ Iz ⋅t
2⋅ Iz
,
Ms = s×t ×
h
2
Distribuição Linear
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Exemplo 7
Tensão em B:
t ⋅ h2
⋅ (6 ⋅ b + h )
12
V ⋅b ⋅ h
6 ⋅V ⋅ b
τB =
=
t ⋅ h2
t ⋅ h ⋅ (6 ⋅ b + h )
2⋅
⋅ (6 ⋅ b + h )
12
Iz =
,
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τB =
6 × 800 × 0,1
= 1,422 MPa
0,003 × 0,15 ⋅ (6 × 0,1 + 0,15 )
Exemplo 7
Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)
τ=
V ⋅ Ms
Iz ⋅ t
,
h h h h⋅ t
Ms = b⋅t ⋅ + ⋅t ⋅ = ⋅ (4⋅b + h)
2 2 4 8
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Exemplo 7
Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)
h⋅ t
⋅ (4⋅b + h)
3⋅V ⋅ (4⋅b + h)
8
τmáx = 2
=
t ⋅h
2⋅t ⋅ h⋅ (6⋅b + h)
⋅ (6⋅b + h) ⋅t
12
V⋅
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τ máx =
,
3× 800× (4 × 0,1 + 0,15)
= 1,956MPa
2 × 0,003× 0,15× (6 × 0,1 + 0,15)
Aplicações
Exercício 1: Uma viga caixão quadrada é feita de duas
pranchas de 20 x 80mm e duas pranchas de 20 x
120mm pregadas entre si, como mostra a figura.
Sabendo que o espaçamento entre os pregos é s =
30mm e que a força cortante vertical na viga é V =
1200N, determine (a) a força cortante em cada prego,
(b) a tensão de cisalhamento máxima na viga.
,
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Aplicações
Exercício 2: Para a viga e carregamento mostrado,
determine a largura b mínima necessária, sabendo que,
para o tipo de madeira usada, σadm = 12MPa e τadm =
825kPa.
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,
Aplicações
Exercício 3: A viga mostrada na figura foi feita colando-
se várias tábuas. Sabendo que a viga está sujeita a
uma força cortante de 5,5kN, determine a tensão de
cisalhamento nas juntas coladas (a) em A, (b) em B.
,
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Aplicações
Exercício 4: Várias tábuas são coladas para formas a
viga caixão mostrada na figura. Sabendo que a viga
está sujeita a uma força cortante vertical de 3kN,
determine a tensão de cisalhamento nas junta colada
(a) em A, (b) em B.
,