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Universidade Federal do Pará
Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR
Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica
1. Determine a distância entre os pontos A(-2, 7) e B(2, 10).
Resp: 5
2. Determine a distância entre os pontos A(-4, 1) e B(4, 7).
Resp: 10
3. Determine
√ a distância entre os pontos A(3, -2) e B(0, 1).
Resp: 3 2.
−→ −−→
4. Determine o valor de x, sabendo que AB = CD, com pontos A(x, 1),
B(4, x+3), C(x, x+2) e D(2x , x+6):
Resp: x = 2
−→ −−→
5. Determine o valor de x, sabendo que AB = CD, com os pontos A(2x, 2),
B(8, 2x+6), C(2x, 2x+4) e D(4x , 2x+12):
Resp: x= 2.
−→
−−→
6. Determine o valor de x, sabendo que AB = 2 CD, com os pontos A(x, 1),
B(4, x+3), C(x, x+2) e D(2x , x+6):
Resp: x= 4/3 ou x = 6.
1−
−
−
−
−
v +→
x , sendo dados
7. Determinar o vetor →
x na igualdade 3→
x + 2→
u = →
2
→
−
→
−
u = (3, −1) e v = (−2, 4). Resp: (-7/2 , 2).
8. Determinar o centro e raio da circunferência
x2 + y 2 + 6x − 6y + 9 = 0
Resp: centro : C =(-3, 3) e Raio: R = 3.
2
9. Determinar o centro e raio da circunferência
x2 + y 2 − 4x + 4y + 4 = 0
Resp: centro : C= (2, -2) e Raio: R = 2.
10. Determinar o centro e raio da circunferência
x2 + y 2 − 8x + 6y + 9 = 0
Resp: centro : C = (4, -3) e Raio: R = 4.
11. Determinar as equações paramétricas e a cartesiana da reta, definidas pelos
pontos A (4, 9) e B (6, 3):
Resp: Com o ponto A:
x = 4 + 2t, y = 9 − 6t
ou com o ponto B:
x = 6 + 2t, y = 3 − 6t
A equação cartesiana: y = −3 x + 21 ou 3x + y = 21.
12. Determinar as equações paramétricas e a cartesiana da reta, definidas pelos
pontos A (3, 7) e B (5, 2):
Resp: Com o ponto A: x = x = 3 + 2t, y = 7 − 5t
ou com o ponto B: x = 5 + 2t, y = 2 − 5t
5
29
ou 5x + 2y = 29.
A equação cartesiana: y = − x +
2
2
13. Determinar as equações paramétricas e a cartesiana da reta, definidas pelos
pontos A (3, 7) e B (0, 1):
Resp: Com o ponto A: x = 3 − 3t, y = 7 − 6t
ou com o ponto B: x = −3t, y = 1 − 6t
A equação cartesiana: y = 2 x + 1 ou − 2x + y = 1.
14. Faça um esboço dos gráficos(Cônicas) abaixo:
(a) 4x2 + 9y 2 = 36
(x − 1)2 (y + 2)2
+
=1
9
4
(c) 4x2 − 9y 2 = −36
(b)
3
(x − 1)2 (y + 2)2
−
=1
9
4
(e) y 2 = 4x
(d)
(f) x2 = −4y
(x − 3)2 (y − 2)2
+
=1
25
9
(x − 3)2 (y + 2)2
(h)
−
=1
25
9
x2 y 2
(i) +
=1
16 49
(g)
15. Uma sala tem 6 m de largura por 8 m de comprimento e 4 m de altura. Estabelecer um sistema e dar as coordenadas dos seguintes pontos:
(a) dos oito cantos da sala ;
(b) do ponto de interseção das diagonais do piso;
(c) de um ponto situado a 2 m de altura e sobre a vertical que contém a interseção das diagonais do piso.
Resp: (a) 1-(0, 0, 0); 2 -(6, 0, 0); 3 - (6, 8, 0); 4 - (0, 8, 0); 5- (6, 0, 4);
6- (6, 8, 4); 7- (0, 8, 4); 8- (0, 0, 4)
(b) (3, 4, 0) (c) P (3, 4, 2)
16. Representar graficamente os seguintes pontos:
A (1, 3, 2); B (0, -1, 0); C (0, -3, -5); D (0, 0, 8);
E (-2, 0, 1)
17. Descreva e represente graficamente os pontos:
A = {(x, y, z) : x = y = 0}
Resp: eixo z.
B = {(x, y, z) : x = 2 e y = 3}
Resp: Reta que contém o ponto (2, 3, 0) e é paralela ao eixo z.
C = {(x, y, z) : z = 1}
Resp: Plano paralelo a xoy e a uma unidade acima deste.
4
D = {(x, y, z) : x = 0}
Resp: Plano yoz.
18. Sejam A (0, 0, 1) e B (x, 4, 1). Determine x para que se tenha d (A, B) = 5.
Resp: 3 ou -3
19. Determine o centro e o raio das seguintes esferas:
(a) x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 2z = 10
Resp: C (1, 2, 1) e R = 4
√
(b) x2 + y 2 + z 2 + 2y − 10z = 27
Resp: C (0, -1, 5) e R = 53
(c) 2x2 + 2y 2 + 2z 2 − 2x + 6y = 6
(d) x2 + y 2 + z 2 = 3
Resp: C (1/2, -3/2, 0) e R =
√
Resp: C (0, 0, 0) e R = 3
(e) x2 + y 2 + z 2 + 2x − y = 1
√
22/2
Resp: C (-1, 1/2, 0) e R = 3/ 2.
20. Determine uma equação de esfera que :
(a) é concêntrica com x2 + y 2 + z 2 − 3x + 4y = 0 e contém o ponto (1, 2, 3).
Resp: É uma esfera de centro (3/2, - 2, 0) e raio 101/ 4.
(b) Contém os pontos (0, 0, 4); (1, 2, 3) e (0, 2, 6) e tem o centro no plano xy.
Resp: É uma esfera de centro (- 13, 6, 0) e raio 221.
21. Mostre que o conjunto dos pontos P (x, y, z) tais que
d(P, 0) = d(P, A)
onde 0 é a origem e A (0, 3, 0), é uma esfera. Determine o centro e o raio desta
esfera.
Resp: C (0, 4, 1) e R = 2
22. Determine t para
√ que o ponto (t, t + 1, t + 2) pertença à esfera de centro
(0, 1, 2) e raio 12.
Resp: ±2
23. Calcular a área do triângulo cujos vértices são A (3, 2, 1); B (0, - 2, 4) e C (4,
1, 2). √
Resp: 12 86 u.a
5
24. Dados os vetores u = (2, −3, 1); v = (2, 2, 0) e w = (1, −3, 4). Calcule:
(a) u.v e v.u
Resp: - 2.
(b) u × v e v × u
Resp: (- 2, 2, 10) e (2, - 2, - 10).
(c) (u × v).w e u.(v × w)
Resp: 32.
(d) (u × v) × w e u × (v × w)
(e) (u × v) × (u × w)
Resp: (38, 18, 4) e (32, 24, 8).
Resp: (64, - 96, 32) .
(f) (u + v) × (u + w)
Resp: (1, - 17, - 21) .
√
7
.
(g) O ângulo entre u e v.
Resp: arccos −
14
25. Calcule a área do trângulo cujos vértices são:
(a) A (0, 0, 0);
(b) A (2, - 1, 1);
B (2, 3, 0) e C (0, 0, 5)
√
Resp:
B (2, 1, - 1) e C (0, 3, - 5)
325
.
2
Resp: 2
√
3.
26. Calcule a√área do paralelograma definido pelos vértices u = (2, 3, 1) e v(1, 5, −3).
Resp: 7 6 u.a
27. Sejam i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Mostre que:
(a) i × j = k;
(b) j × k = i e (c) k × i = j
28. Sejam u = (2, 1, −3) e v = (1, −2, 1):
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a u e v.
(b) Determine um vetor w perpendicular a u e v e tal que k w k= 5.
Resp: (a)
√1
3
(−1, −1, −1)
(b)
√5
3
(−1, −1, −1)
29. Qual a equação do plano que contém o ponto A (3, 0, - 4) e é perpendicular
ao vetor v = (5, 6, 2).
Resp: 5x + 6y + 2z = 7
30. Qual a equação do plano definida pelos pontos A (3, 1, - 2); B (5, 2 , 1) e C
(2, 0, 2):
Resp: Em relação ao ponto A , temos 7x - 11y - z = 12.
6
31. Quais as equações paramétricas e cartesiana do plano que contém o ponto A
(2, 3, - 1) e é paralelo aos vetores u = (3, 4, 2) e v = (2, - 2, 6):
Resp:Paramétricas: x = 2 + 3 s + 2t; y = 3 + 4 s - 2t e z = - 1 + 2 s + 6t.
Cartesiana: Em relação ao ponto A : 2x - y - z = 2.
32. Escrever uma equação do plano que contém o ponto (1, 1, 1) e é perpendicular
ao vetor (2, - 1, 8):
Resp: 2x - y + 8z = 9.
33. Escrever uma equação do plano definida pelos pontos:
(a) A (2, - 1, 3);
B (0, 2, 1)
e
C (1, 3, 2).
Resp: x - z + 1 = 0.
(b) A (0, 0, 0);
B (2, 1, 0)
e
C (1, 0, 0).
Resp: z = 0.
(c) A (0, 0, 2);
B (1, 2, 2)
e
C (1, 0, 2).
Resp: z = 2.
34. Determine uma reta perpendicular ao iexo z e que contém o ponto (1, 1, 1).
Resp: z = 1.
35. Escrever as equações paramétricas da reta definidas pelos pontos
(a) A (2, 1, 3);
B (1, 3, 7)
Resp: x= 2 - t; y= 1 + 2t ; z = 3 + 4t.
(b) A (0, 0, 0);
B (0, 5, 0)
Resp: x= 0 ; y= 5 t ; z = 0.
(c) A (1, 1, 0);
B (2, 2, 0)
Resp: x= 1 + t; y= 1 + t ; z = 0.
36. Escrever as equações paramétricas da reta que contém o ponto A (2, 1, 0) e é
perpendicular ao plano 2x - y + z= 0.
Resp: x= 2 + 2 t; y= 1 - t ; z = t.