FUNÇÃO DO 2º GRAU
1. DEFINIÇÃO
Chama-se função de 2.º grau ou quadrática , toda função definida, de f:
f (x) = ax2 + bx + c com a, b, c
, por
e a 0.
Exemplos:
a) f(x) = 3x2 – 5x + 6
b) g(x) = x2 – 5x
c) h(x) = 3x2 + 6
2. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2.° GRAU
O gráfico de uma função do 2.° grau é uma curva aberta chamada parábola. A
concavidade da parábola depende do coeficiente a. Assim:
3. RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Raízes de f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x que satisfazem a equação de 2.º grau
ax2 + bx + c = 0. As raízes de f(x) = ax2 + bx + c podem ser calculadas pela conhecida
fórmula de Báskara:
O número de raízes reais da função do 2.º grau é determinado pelo discriminante .
Há três casos a considerar:
1.º)
> 0 a função possui duas raízes reais e distintas, o gráfico intercepta x em
dois pontos distintos:
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1
2.º) = 0 a função possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso, também dizemos
que a função possui uma raiz dupla, o gráfico tangencia o eixo x:
3.º)
<0
a função não possui raízes reais, o gráfico não intercepta o eixo x:
4. VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
É o ponto de maior ou menor valor que a função y = ax2 + bx + c pode atingir e
coincide com a intersecção do eixo de simetria com o gráfico:
Sendo xv e yv as coordenadas do vértice, temos:
Observação: eixo de simetria (R) é uma reta que divide a parábola em duas partes
simétricas.
5. VALOR MÍNIMO OU MÁXIMO
A ordenada do vértice pode ser o valor mínimo ou máximo da função quadrática,
dependendo de sua concavidade. Com isso temos:
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2
a) Se a < 0, y v = -
∆
é valor máximo.
4a
b

crescente = x ∈ ℜ/x ≤ - 
2a 

b

decrescente = x ∈ ℜ/ ≥ - 
2a 

0bs: O conjunto imagem é dado por: Im = { y ∈ ℜ / y ≤ b) Se a > 0, y v = -
∆
}
4a
∆
é valor mínimo.
4a
b

crescente = x ∈ ℜ/ x ≥ - 
2a 

b

decrescete = x ∈ ℜ/ x ≤ - 
2a 

0bs: O conjunto imagem é dado por: Im = { y ∈ ℜ/ y ≥ -
∆
}
4a
6. ESTUDO DO SINAL
O estudo do sinal da função do 2.º grau é feito determinando-se os seus zeros (caso
existam) e analisando o esboço do gráfico. Lembre-se de que o valor de está
relacionado com as raízes e o valor de a determina a concavidade da parábola que a
representa.
1º caso: ∆ > 0
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3
2º caso: ∆ = 0
3º caso: ∆ < 0
EXERCÍCICOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Dada a função f(x) = x2-4x+3.Determine:
a) A suas raízes; resp: 1 e 3
b) As coordenadas do vértice da parábola; resp: V(2;-1)
c) O gráfico
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: min=-1
e) O conjunto imagem; resp: Im= {y∈ℜ/ y≥ -1}
f) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x∈ℜ/ x ≥ 2}
g) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x∈ℜ/ ≤ 2}
2) Dada a função f(x) = -x2+4x-4.Determine:
a) A suas raízes; resp: 2
b) As coordenadas do vértice da parábola; resp: V(2;0)
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4
c) O gráfico
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor; resp: max=0
e) O conjunto imagem; resp: Im= {y∈ℜ/ y≤0}
f) Para que valores de x é decrescente a função; resp: { x∈ℜ/ x ≥ 2}
g) Para que valores de x é crescente a função; resp: { x∈ℜ/ ≤ 2}
3) Determine o valor de k de modo que a função f(x)= -x2+12x+k, tenha 2 raizes reais e
iguais. Resp: -36
4) Determine m de modo que o valor mínimo da função f(x) = x2-2x+m , admita –4 como
valor mínimo. Resp: -3
5) O lucro de uma empresa é dado por L(x)= -30x2+360x-600, em que x é o número
unidades
vendidas. Nestas condições, calcule :
a) a quantidade de unidades produzidas para que o lucro seja máximo; resp: 6
b)a valor máximo do lucro. resp: 480
6) Em um certo pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600
laranjas por ano, foram plantadas n laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se que
devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha)
estava produ-zindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada laranjeira plantada no pomar.
Se P(n) é a produção anual do pomar.Determine:
a) a expressão algébrica P(n) resp: P(n) = -10n2+300n+18000
b) quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tenha produção
máxima; resp: 15
c) o valor dessa produção. resp: 20250
7) O diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e
outros aparatos esportivos que estão a sua volta com tela de alambrado. Tendo recebido
200m de tela. Determine:
a) as dimensões do terreno de modo que a área seja
a maior possível; resp: 50mx50m
b) a área máxima. resp: 2500 m2
8)
A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma
parábola. Supondo que a sua altura h, em metros, t
segundos após o chute, seja dada por h(t)=-t2+6t,
determine:
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?
Resp: 3s
b) Qual a altura máxima atingida pela bola ?
Resp: 9m
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5
9)
Um projétil é lançado do alto de um morro e cai numa praia, conforme mostra a figura
acima. Sabendo-se que sua trajetória é descrita por h = –d2 + 200d + 404, onde h é a sua
altitude (em m) e d é o seu alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a
altitude máxima alcançada são, respectivamente: resp: a
( ) A - superior a 400m e superior a 10km
( ) B - superior a 400m e igual a 10km
( ) C - superior a 400m e inferior a 10km
( ) D - inferior a 400m e superior a 10km
( ) E - inferior a 400m e inferior a 10km
10) Estude o sinal das funções:
a) f(x) = x2 - 6x + 5
Resp: y > 0 para x < 1 ou x >5; y = 0 para x = 1 ou x = 5; y < 0 para 1< x < 5
b) f(x) = -x2 + 2x + 8
Resp: y < 0 para x < -2 ou x > 4; y = 0 para x = -2 ou x = 4; y >0 para 2< x < 4
c) f(x) = 2x2 - 8x + 8
Resp: y < 0 ∃ x; y=0 para x=2; y>0 para x≠2
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
Apostila elaborada pelo :
Prof. Luiz Carlos Souza Santos
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