FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: A utilização de recursos tecnológicos, como alternativa no aprendizado dos
logaritmos
Autor
Everley Maria Chicanoski Ranzolin
Disciplina/Área
Matemática
Escola de Implementação Colégio Estadual Doze
do Projeto e sua localização Profissional e Médio
de
Novembro
–
Ensino
Rua Belém, 2776
Município da escola
Realeza
Núcleo
Regional
Educação
de Francisco Beltrão
Professor Orientador
Instituição
Superior
de
Clezio Aparecido Braga
Ensino Unioeste
Relação Interdisciplinar
Resumo
Geografia, Física, Biologia e Química
A Matemática, sendo uma ciência que tem como
ferramenta outras disciplinas e tem como papel
fundamental inserir o indivíduo, entre outras, no mundo
do trabalho,bem como desenvolver o raciocínio lógico,
tem nos estudiosos da Matemática, uma importante
preocupação. Este trabalho tem como meta aproximar os
conceitos dos logaritmos por meio de contextualizações
e exemplos práticos, sem deixar de abordar os conceitos
inerentes ao tema. A história dos logaritmos será
abordada durante o desenvolvimento das aulas
concomitante aos exercícios, expandindo a discussão
através de pesquisas. Trabalhar a relação entre as
funções logarítmicas e exponencial, abordar a
Matemática financeira, aguçando a curiosidade dos
alunos por meio de cálculos sobre aplicações e
transações financeiras. Uso de mídias tecnológicas para
a experimentação matemática, aplicada ao uso dos
logaritmos e sua relação com outras áreas do
conhecimento, propondo novos métodos, permitindo
construção, interação trabalho colaborativo.
Palavras-chave
Formato
Didático
Público Alvo
do
Logaritmos, mídias tecnológicas, experimentação
Material Unidade Didática
Alunos da 1ª Série do Ensino Médio
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO
EDUCACIONAL – PDE
EVERLEY MARIA CHICANOSKI RANZOLIN
Professora PDE 2012
PROFESSOR DOUTOR CLEZIO APARECIDO BRAGA
Professor Orientador
UNIDADE DIDÁTICA
A UTILIZAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO ALTERNATIVA NO
APRENDIZADO DOS LOGARITMOS
REALEZA – PR
2012
APRESENTAÇÃO
Logaritmo, palavra essa que vem da composição de duas palavras gregas,
logos=razão e aritmos=números, e que há muito preocupa estudiosos e
matemáticos, que se debruçam em pesquisas para encontrar uma forma fácil,
moderna e agradável de explicar números e logaritmos naturais.
O estudo dos logaritmos amplia o estudo da função exponencial,
principalmente, pelo fato de trabalhar com equações exponenciais que possuem
bases diferentes.
A função logarítmica pode ser relacionada a várias situações concretas, entre
elas a escala Richter, que serve para medir a quantidade de energia liberada por um
abalo sísmico, ou para medir a intensidade sonora de um ambiente, para calcular o
pH (potencial hidrogeniônico) de uma solução,na computação é utilizado na base 2
para representar dígitos de informação (bits) e ainda no cálculo de uma população
de seres vivos entre várias outras aplicações.
Embasados no exposto podemos afirmar que a Matemática é uma ciência
que serve como ferramenta para o progresso de outras áreas de conhecimento,
como Economia, Física, Química, Biologia, Geografia, Sociologia, Psicologia,
composição musical, coreografia, Arte, computação, esporte, etc. Auxilia, também,
no desenvolvimento da capacidade de expressão e de raciocínio, no sentido de
comportar um amplo espectro de relações, regularidades e coerências que, além de
despertarem a curiosidade, aumentam a capacidade de generalizar, projetar, prever
e abstrair – condições essenciais para o exercício de qualquer atividade profissional.
Dessa forma, o processo de ensino-aprendizagem da Matemática contribui
com a formação da cidadania, possibilitando a inserção do indivíduo no mundo do
trabalho, da cultura e das relações sociais. Para que estejam de acordo com as
atuais necessidades da sociedade, os conhecimentos matemáticos precisam ser
contextualizados, relacionando os conteúdos entre si e com outras áreas do saber,
de forma a dar significado ao conhecimento escolar, bem como a incentivar o
raciocínio e a capacidade de aprendizagem. Esta UNIDADE DIDÁTICA, tem como
meta aproximar os conceitos matemáticos de logaritmos da realidade dos alunos,
por meio de contextualizações e exemplos práticos, sem deixar de abordar os
conceitos inerentes ao tema.
A proposta apresentada, busca trazer para a educação escolar, mais
precisamente no 1a série do Ensino Médio, do Colégio Estadual Doze de Novembro,
um ensino da matemática, diferente daquele que prescrevia métodos pautados no
rigor das demonstrações, para um ensino baseado nas explorações indutivas e
intuitivas, potencializando o uso de mídias tecnológicas para experimentação
matemática aplicados ao uso dos logaritmos. Atividades outrora utilizando, não
somente, lápis, papel e quadro de giz, podem agora ser complementados por
computadores, pois permitem aos estudantes construção, interação, trabalho
colaborativo e novas possibilidades de investigação, construindo um conhecimento
menos formal. Portanto, nossa proposta, insere uma nova forma de ensinar e
aprender logaritmos, valorizando o processo de produção de conhecimentos a partir
das mídias tecnológicas.
UM POUCO DA HISTÓRIA DOS LOGARITMOS
Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar
simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações
mais simples de soma e subtração. Napier foi um dos que impulsionaram fortemente
seu desenvolvimento perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor
dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham
trabalhado com ele. Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era
realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos
com somas ou subtrações.
O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma
progressão geométrica
b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …
os termos da progressão aritmética
1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...
então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a
soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.
Considerando, por exemplo,
PA (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)
PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16394)
Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:
• 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
• 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;
• como 8+5=13,
• 13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.
Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma
simples operação de adição. Enquanto Napier trabalhava com uma progressão
geométrica, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o
problema dos logaritmos. Juntos elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de
modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência
conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja,
os logaritmos dos dias de hoje.
Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou
no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de
cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus
universitário.
Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e
rápidas calculadoras, ninguém mais usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de
cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um
instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores
de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção
e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar
as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier
tornaram-se peças de museu.
A função logarítmica, porém, nunca morrerá. A principal dessas razões é
de natureza teórica. Embora eles tenham sido inventados como acessório para
facilitar operações aritméticas, o desenvolvimento da matemática e das ciências em
geral veio mostrar que diversas leis matemáticas e vários fenômenos naturais e
mesmo sociais são estreitamente relacionados com os logaritmos. Assim sendo, os
logaritmos, que no princípio eram importantes apenas por causa das tábuas,
mostraram ter apreciável valor intrínseco.
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
O logaritmo x de um número N é o expoente a que se deve elevar um número
a para que a igualdade a x = N seja verificada.
ax = N ↔ = x ( com N > 0, a>0 e a ≠ 1)
Em que N: antilogaritmo ou logaritmando
a : base
x : logaritmo
Os alunos irão para o laboratório, pesquisar sobre a história dos logaritmos.
Sugestão de sites:
m3.ime.unicamp.br/recursos/1279
www.brasilescola.com › Matemática › Logaritmo
www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/logaritimo/logaritimo-1.php
Após a pesquisa, irão assistir um vídeo sobre conceitos básicos dos
logaritmos, que se chama: Logaritmo – A aparição, o vídeo se encontra no site:
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/genre.php?genreid=45&le
tter=L
Atividade
1.Aplicando a definição, determine o valor de cada logaritmo:
a) = x
b) = z
c) = y
2. (UNIRIO-RJ) O índice de desenvolvimento humano (IDH) é uma medida
comparativa de riqueza, alfabetização, educação, esperança de vida, natalidade e
outros fatores para diversos países do mundo. É uma maneira padronizada de
avaliação e medida do bem-estar de uma população, especialmente bem-estar
infantil. Todo ano, os países da ONU são classificados de acordo com essas
medidas. Para se calcular o índice de desenvolvimento humano-renda, determina-se
o PIB per capita do país em dólares (P), e, em seguida, aplica-se a fórmula:
IDH – R =
Se um determinado país possui IDH - R =
,
pode-se afirmar que seu PIB per
capita (P) é:
a) US$ 8.500,00
b) US$ 9.000,00
c) US$ 9.500,00
d) US$ 10.000,00
e) US$ 10.500,00
3. Determine o valor da expressão:
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
I. = 0
II. = 1
III. = ! → b = c
IV. a = N
Observações:
Quando se escreve " e não se indica a base, está subentendido que esta é 10,
então "
= "
Atividade
1.Usando as conseqüências da definição, determine o valor de a nas seguintes
igualdades:
a) # = a
b) = a
c) 7 log 7 3 = a
d) = a
2. Supondo que exista o logaritmo de a na base b, marque V para os itens
verdadeiros e F para os falsos. Logaritmo é:
(
) o número a que se eleva a para obter b.
(
) o número a que se eleva b para obter a.
(
) a potência de base b e o expoente a.
(
) a potência de base a e o expoente b.
(
) a potência de base 10 e o expoente a.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
Dessa forma para M > 0, N > 0 e a > 0 e a ≠ 1, são válidas as propriedades:
•
Logaritmo do produto
$%& '= % •
Logaritmo do quociente
(
) = % * •
Logaritmo da potência
% n = n. %
Atividade
1. Com os dados = 0,3 e
a)
b)
c)
d)
= 0,48, obtenha os logaritmos a seguir:
+
2. (UERN) Sejam a, b e c números reais positivos. Sabendo-se que o valor de b é
243, é correto afirmar que
&,
-
,&
é igual a:
a) 20
b) 15
c) 12
d) 10
3. (UNESP) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa
que nasceu a partir de 1 900 no ano x ( x ≥ 1900), é dada por L(x) =
12(199. ./0 1– 651). Considerando ./0 = 0,3, uma pessoa dessa
região que nasceu no ano 2 000 tem expectativa de viver:
a) 48,7 anos.
b) 54,6 anos.
c) 64,5 anos.
d) 68,4 anos.
e) 72,3 anos.
MUDANÇA DE BASE
A calculadora auxilia um logaritmo na base 10 (tecla log) ou base e (tecla In).
Entretanto, nem sempre se resolvem problemas em que a base envolvida é 10 ou e.
Como é possível então obter um logaritmo, cuja base é diferente desses valores?
Para N > 0, a>0, a ≠ 1, k > 0 e k ≠ 1, pode-se escrever que:
= 2 2 Atividade
1. Utilizando a calculadora, determine os logaritmos a seguir:
a) =
b) =
c) =
2. Uma pessoa aplica $ 18.000 à taxa de 1,50% ao mês durante 8 meses.
Determinar o valor acumulado ao final deste período.
3. Qual é o valor de x =
. . 3
?
4. Se a e b são números reais, tais que log b a = 2, então qual é o valor de
K = ,
² + , . + , &
?
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Toda equação em que a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em
ambos, é denominada equação logarítmica. Quando uma equação exponencial não
puder ser resolvida apenas cancelando as bases e igualando os expoentes, pode-se
utilizar o artifício de aplicar log em ambos os membros.
1,05 n = 2
n = n = n = n = 0,301...
com o auxílio de uma calculadora, obtém-se:
= 14,2 meses
0,021...
Atividade
1.Determine o Conjunto Solução das equações logarítmicas:
a) $
1 ' - $1 * ' = 4
b) $1 ' = - 1 + 1
2. As instituições financeiras usam o regime de juro composto, tanto para aplicações
quanto para empréstimos. Um banco oferece um tipo de aplicação financeira a uma
taxa de juros de 8% ao ano. Em quantos anos o valor aplicado será duplicado?
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Denomina-se função logarítmica, toda função f: R * + → R que associa cada
número x ao número 1 por meio de
y= f(x) = 1
com a > 0 e a ≠ 1
a) f(x ) = 1
x
4
2
1
y
2
1
0
-1
-2
Fonte: Gráfico construído no software Geogebra
Quando a > 1, a função é crescente
x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
b)f(x) =
5 1
6
X
4
2
1
Y
-2
-1
0
1
2
Fonte: Gráfico construído no software Geogebra
Quando 0 < a < 1, a função é decrescente
x1 < x 2 → f(x1) > f(x2)
Observações:
• Os gráficos das funções crescente e decrescente não intersectam o
eixo das ordenadas ( eixo y) .
• O domínio da função logarítmica é R*+ e a imagem é R.
ATIVIDADE
1. Construa as funções logarítmicas utilizando o software Geogebra.
a) f(x) = 1
b) f(x) = 5 1
7
APLICAÇÕES DOS LOGARITMOS EM OUTRAS ÁREAS DO CONHECIMENTO
Após todos os conceitos trabalhados, os educandos estarão aptos para
perceber a aplicação dos logaritmos em várias áreas do conhecimento, como:
Biologia, Física, Química, Música, Arte, Geografia e outras.
MATEMÁTICA, MÚSICA E TERREMOTO, QUAL A RELAÇÃO?
Quem não gosta de curtir uma música num final de tarde? No carro, na
balada, no quarto, e se o professor deixar, até na sala de aula em alguns momentos
os alunos escutam música!
Mas, o que a música tem a ver com terremoto? Não é o barulho!
Qual e o limite suportável do som no ouvido humano? Que tal medir o barulho
tolerável numa sala de aula? Ou num ambiente de trabalho?
Para perceber a onda sonora, o tímpano humano necessita que ele tenha no
mínimo intensidade física corresponde a 10 – 12 w/m2 (potencia por área), a
chamada limiar de audibilidade, e, no máximo, de até 1 w/m2 para a limiar da dor.
A grandeza nível sonoro obedece a uma escala logarítmica, sendo definida
por:
N = 10 8
8
Em que I e a intensidade do som e Io é um nível de referência definida por
convenção internacional, que e utilizada como o limiar da audibilidade.
A unidade mais utilizada é o decibel (dB) em homenagem a Alexandre Graham Bell
(1847-1922), que inventou o telefone. Em decibéis (dB), como fica o limiar da
audição? E o limiar da dor (dB)?
De
A tabela a seguir apresenta os níveis de intensidade de algumas fontes sonoras
comuns em dB.
Fonte
DB
Descrição
Fonte
DB
Respiração normal
Sussurros de folhagens
Murmúrio (5 m)
Biblioteca
Escritório tranquilo
Conversação normal
Tráfego pesado
Fábricas em geral
Caminhão pesado
Ronco de uma pessoa dormindo ?
Metro antigo
Construção civil (3 m)
Concerto de rock (2 m)
Metralhadora
Decolagem de um jato
Motor de um foguete de grande porte
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
150
180
Limiar da audição
Quase inaudível
Muito silencioso
Silencioso
Prejudicial a audição
Limiar da audição dolorosa
Atividade
Observando a tabela anterior, responda:
a) Qual e aproximadamente a intensidade sonora dos ruídos normais da sua sala de
aula?
b) Quantas vezes a intensidade do som de uma banda de rock e superior a
intensidade de uma conversação normal?
c) Qual e o limite do som tolerável numa sala de aula?
E OS TERREMOTOS?
Com um tremor de 9,1 graus na escala Richter, a província de Aceh, na Ilha
da Indonésia de Sumatra, foi atingida por um Tsunami. Mais de 200 mil pessoas
morreram no Sri Lanka, na Tailândia, na Indonésia e na Índia, em 2004.Analise os
efeitos do terremoto em diversos níveis de intensidade e calcule a energia mecânica
(E) liberada pelo abalo (medida em joules), entendendo que a equação foi obtida
com base na equação logarítmica proposta por Charles Francis Richetr (1900-1985).
Uma das equações logarítmicas utilizada é:
M= 0,67. log E – 3,25.
Interprete a tabela abaixo e calcule a intensidade dos terremotos com base na
equação logarítmica:
Número médio de terremotos de várias magnitudes por ano no mundo:
Magnitude Efeito
Nº médio por ano
- 2,5
Normalmente não sentido, mas registrado
900 000
2,5 a 6,0
Geralmente
sentido;
danos
pequenos
a 31 000
moderados às estruturas;
6,1 a 6,9
Potencialmente
destrutivo;
especialmente
em 100
áreas povoadas;
7,0 a 7,9
Grandes terremotos;resultam em grandes danos;
20
+8
Grandes terremotos; resultam em destruição total. 1 a cada 5 anos
Fonte: apostila de Matemática Positivo, 1ª série- 4º volume , p.6, Curitiba, 2012.
- Espera-se que os alunos interpretem que essa tabela é “aberta”, portanto não é
possível determinar um limite máximo de graus;
- Ainda que cada terremoto tenha uma intensidade única, os efeitos de cada abalo
sísmico variam bastante devido à distância, às condições do terreno, às condições
das edificações e de outros fatores físico locais.
No
site
http://psicoterapiabrasil.blogspot.com.br/2012_07_08_archive.html,
acessado em 25/10/2012. Há a notícia do Terremoto ocorrido no Chile, em 2010,
que registrou 8,8 graus na escala Richter, destruindo casas, rodovias e pontes.
Aproximadamente 700 pessoas morreram.
E no site http://diganaumanovaordemmundial.blogspot.com.br/2011/05/maisde-650000-mortos-por-tsunamis-e.html acessado em 15/10/2012. Um terremoto de
9,0 graus na escala Richter, ocorrido em 11 de março de 2011, abalou o norte do
Japão, causando um tsunami que devastou várias cidades da costa japonesa. Foi o
quarto maior terremoto do mundo desde 1900.
Os alunos irão assistir na TV multimídia o vídeo: Logaritmo – Terremoto Brasileiro,
disponível no:
http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/genre.php?genreid=45&le
tter=L acessado em 26/12/2012.
Atividade
1. O terremoto que atingiu o Chile em 27 de fevereiro de 2010 teve uma intensidade
de aproximadamente 9 graus na escala Richter, e seus efeitos foram sentidos em
várias regiões, inclusive em São Paulo a 2 850 km de distância. A escala Richter é
usada para medir a intensidade de um terremoto e é determinada pelo fórmula
empírica (simplificada)
I=
9
9
, na qual E é a energia liberada no terremoto, em quilowatt hora, e
Eo = 7.10 -3 kwh.
Determine o intervalo correspondente à energia liberada no terremoto no Chile, em
gigawatt-hora ( 1 giga = 10 6 quilo)
Atividades Diversas das várias aplicações dos logaritmos.
1.Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que
se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q0 * e–r.t, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
2.(EMESCAM – ES) O pH do suco gástrico presente no estômago humano varia no
intervalo de 1 a 3. O valor do pH está relacionado com a concentração de íons
hidrogênio através da equação
pH = - :;< . Assinale abaixo o número correto de vezes que a concentração
de íons hidrogênio diminui quando o pH aumenta de 1 para 3.
a)25 vezes.
b)50 vezes.
c)100 vezes.
d)200 vezes.
e)400 vezes.
3.(PUCSP) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de
x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano,
após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? (use:
= 0,30)
a) 1 ano e 8 meses.
b) 2 anos e 3 meses.
c) 2 anos e 6 meses.
d) 3 anos e 2 meses.
e) 3 anos e 4 meses.
4.(UFPE) Admita que, quando a luz incide em um painel de vidro, sua intensidade
diminui 10%. Qual o número mínimo de painéis necessários para que a intensidade
da luz, depois de atravessar os painéis, se reduza a de sua intensidade?
(Dado? Use a aproximação para o logaritmo decimal = 0,48).
5. Para combater uma enfermidade, uma pessoa adulta precisa tomar x gotas de
certo remédio a cada 6 h. Sabendo que o número de gotas é solução da equação
1 = 1
+ 1, quantas gotas desse remédio essa pessoa tomará em um dia?
MATEMÁTICA FINANCEIRA - JUROS COMPOSTOS
A Matemática que iremos abordar, está embasada no estudo dos logaritmos,
com o objetivo de despertar a curiosidade dos alunos, quanto a percepção da
Matemática Financeira nos dias de hoje, visto que, aplicações, empréstimos e
transações financeiras, de modo geral, estão presentes na vida diária.
Atividade
Os alunos irão resolver os problemas relacionados as aplicações financeiras,
farão os gráficos no software Geogebra de cada um deles, para fazer as devidas
comparações.
1.Um banco oferece um tipo de aplicação financeira a uma taxa de juros de 8% ao
ano. Em quantos anos o valor aplicado será duplicado?
2.Uma pessoa resolve fazer uma aplicação de um capital inicial igual a R$ 10.000,00
e deseja saber o tempo necessário para que o capital dobre e triplique, sendo a taxa
de juros de 5% ao mês.
3.Quanto se abre uma conta-corrente em um banco, normalmente é oferecido ao
cliente um limite de crédito. Ao fazer uso desse crédito, o correntista está utilizando
um empréstimo disponibilizado pelo banco que normalmente cobra juros altos por
esse serviço. Supondo que um banco cobre juros de 8% ao mês, se um cliente
utilizar R$ 700,00 do limite de crédito, em quantos meses aproximadamente a dívida
será de R$ 1.200,00? ( Dados: +
= 0,234 e = 0,033)
“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não
possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”.
LOBACHEVSKY,
Nicolai
Ivanovich.
www.somatemática.com.br/frases.php.
Disponível
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www.brasilescola.com › Matemática › Logaritmo acesso em 23/10/2012
www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/logaritimo/logaritimo-1.php.
acesso em 26/10/2012
http://psicoterapiabrasil.blogspot.com.br/2012_07_08_archive.html,
acesso
27/10/2012
http://diganaumanovaordemmundial.blogspot.com.br/2011/05/mais-de-650000mortos-por-tsunamis-e.html acesso em 27/10/2012
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