MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Função
Logarítmica
``
Exemplos:
log2 8 = 3, pois 23 = 8
1
log3 81 = –4, pois 3–4 = 1
81
1 –2
log 25 = – 2, pois
= 25
5
Logaritmo
No fim do século XVI, o desenvolvimento da
Astronomia e da navegação exigia longos cálculos
aritméticos. No início do século XVII, o suíço Jost Bürgi e o escocês John Napier publicaram as primeiras
tábuas de logaritmos.
A utilidade original dos logaritmos consistiu
em facilitar os cálculos aritméticos, pois as tábuas
de logaritmos permitiam que multiplicações fossem
transformadas em adições.
Com o advento dos modernos computadores e
calculadoras, os logaritmos não são mais importantes
como ferramentas de cálculo, entretanto o desenvolvimento da Matemática e das ciências em geral veio
mostrar que diversas leis matemáticas e fenômenos
físicos, químicos, biológicos e econômicos são estreitamente relacionados aos logaritmos.
Definição
Sejam a e b números reais positivos e a 1,
define-se logaritmo de b na base a como o expoente
x que satisfaz ax = b.
EM_V_MAT_007
logab=x
ax=b,
onde b é chamado logaritmando, a é a base e
x é o logaritmo.
O logaritmando também é chamado antilogaritmo e indicado por: b=antiloga x
x=loga b
ax
= b.
Assim, antilog2 3=23=8.
Convenciona-se que a omissão da base, escrevendo-se apenas log b, indica que trata-se dos
logaritmos decimais cuja base é a = 10.
log497 =
1
, pois 49 = 7
2
Condição de existência
O logaritmo de b na base a somente é definido
quando:
a>0ea
1
b>0
``
Exemplo:
Para que valores de x está definido log(x+1)(3–x)
logaritmando: 3 −x > 0
x<3
base: x +1 > 0
x > −1
x +1 1
x 0
O logaritmo está definido para x ]−1, 3[ − 0 .
Consequências imediatas
Sejam a, b, c R+* e a 1 e k ∈ R, então:
I. loga 1 = 0
II. loga a = 1
III. loga ak = k
IV. aloga b = b
V. logab=logac b=c
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1
``
Exemplos:
logab=
log2 1=0
logcb
logca
log
7 =1
log33 =– 5
2log227=27
``
Propriedades
Sejam a, b, c R+* e a 1 e ,
então:
I. loga(b.c)=loga b+logac
R e n N, n 2,
b
=logab – logac
c
III. loga(b )= . logab
1
IV.log b=
. logab
``
log148 =
log28
3
3
=
=
log214 log22+log27
1+log27
Consequências
I. logab=
1
log b a
II. log c a.loga b=log c b
II.loga
V. log (b ) =
Exemplo:
III. log a b.log b c.log c d.....log y z=log a z
``
. logab
Exemplos:
Exemplos:
2
5
logb a =
loga b =
5
2
log2 7 . log7 4 = log2 4 = 2
log10 2 + log10 5 = log1010 = 1
log7 32 = log7 (25) = 5.log7 2
1
. log3 2
log27 2 = log(33) 2 =
3
5
log8132 = log(34) (25) =
log3 2
4
Consequências imediatas
1
I. loga b = – loga b
II.log
b = – loga b
n
1
III. loga b = . loga b
n
IV.log
b = n . loga b
A expressão – logab é comumente chamada
cologaritmo de b na base a, o que significa que o
cologaritmo é o oposto do logaritmo.
 1
co log a b = − log a b = log a   = log  1  b
 b
 
a
Mudança de base
Sejam a, b, c R+* e a, c 1, temos:
2
Função logarítmica
Seja a ∈ R*+, a ≠ 1, a função logarítmica de base
a é a função de R*+ em R, definida por: f(x) = logax
O domínio da função logarítmica é R*+ e a imagem é R.
``
Exemplos:
f(x) = log10x e f(100) = log10100 = 2
Propriedades
1)Como f(1) = loga1 = 0, o par ordenado (1, 0)
pertence ao gráfico da função exponencial.
2)Quando 0 < a < 1, a função f(x)=logax é
decrescente. Mas, quando a > 1, a função
f(x)=logax é crescente.
0 < a < 1:
x1 < x 2 ⇒
f(x1) > f(x2)
a > 1:
x 1 < x2 ⇒
f(x1) < f(x2)
Como consequência, para bases maiores que
1, os números positivos menores que 1 têm
logaritmos negativos e os números maiores
que 1 têm logaritmos positivos. Já para bases
entre 0 e 1, os números positivos menores
que 1 têm logaritmo positivo e os números
maiores que 1 têm logaritmos negativos.
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EM_V_MAT_007
log2 12 – log2 3 = log2 12 = log2 4 = 2
3
``
Exemplos:
2º caso: 0 < a < 1
log52 > 0, log50,5 < 0, log0,52 < 0 e log0,50,25 > 0
Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações
logarítmicas.
3)A função f(x)=loga x, com 0 < a ≠ 1 é injetora.
f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2
Essa propriedade respalda a solução das
equações logarítmicas.
Gráfico
O gráfico da função logarítmica f(x)=loga x, com
0 < a ≠ 1, tem as seguintes características:
está todo à direita do eixo Oy;
corta o eixo Ox no ponto de abscissa 1;
é crescente para a > 1 e decrescente para
0 < a < 1.
o eixo Oy é assíntota do gráfico.
Os gráficos da função logarítmica estão exemplificados a seguir:
1.º caso: a > 1
A função logarítmica de base a e a função exponencial de mesma base a são inversas uma da
outra.
f(x) = y = logax f–1(y) = ay = x
Nos gráficos podemos notar que a função exponencial e a função logarítmica são simétricas em
relação à reta y = x ( 1,3).
Logaritmos decimais
Os logaritmos decimais, também conhecidos
como logaritmos de Briggs, são aqueles de base a
= 10. Nesse caso,
log b = x ⇔ 10x = b
Isso permite concluir que log b somente tem
como resultado um número inteiro se b for uma potência de 10.
Qualquer que seja o número positivo b, ele se
encontra entre duas potências inteiras e consecutivas de 10, portanto log b deve estar situado entre os
logaritmos decimais dessas potências.
10c ≤ b < 10c +1 ⇒ log 10c ≤ log b < log 10c +1
⇒ c ≤ log b < c +1
Isso indica que b é igual à soma de um número
inteiro c com uma parcela m não-negativa e menor
que 1.
EM_V_MAT_007
log b = c +m
onde
c → característica de log b
m → mantissa de log b ( 0 ≤ m < 1)
A característica é o maior número inteiro que
não supera o logaritmo.
A mantissa é sempre um número não-negativo
e menor que 1. Se dois números só diferem pela posição da vírgula, seus logaritmos decimais possuem
a mesma mantissa.
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3
Exemplos:
``
1)log b ≅ 2,1367 ⇒ b possui 3 algarismos
1)log 450 ≅ 2+ 0,6532 = 2,6532
100 < 450 < 1000 ⇒ c = 2
Nesse caso, foi usado b = 137.
–
2)log b ≅ –2,9030 = 3 ,097
tábua de logaritmos ⇒ m = 0,6532
⇒ n.º de zeros antes do 1.º alg. não-nulo = 3
Nesse caso, foi usado b = 0,00125.
2)log 3 ≅ 0 +0,4771 = 0,4771
100 < 3 < 10 ⇒ c = 0
tábua de logaritmos ⇒ m = 0,4771
3)log 0,2 = −1 + 0,3010 = – 0,699
10−1 < 0,2 < 100 ⇒ c = −1
tábua de logaritmos ⇒ m = 0,3010
No último exemplo é importante observar que,
quando o logaritmo é negativo, a parte decimal não
é sua mantissa, visto que esse é um número entre 0
e 1. Nesse caso, temos:
c = parte inteira −1
m = 1 − parte decimal
Assim, sabendo que log 0,2 = − 0,699, obtemos
c = 0 −1 = −1 e m = 1 − 0,699 = 0,301.
Logaritmo preparado
Para evitar o problema citado acima, uma notação especial é utilizada para os logaritmos negativos,
chamado logaritmo preparado. Essa notação consiste
em, em vez de escrever o valor negativo, escrever o
valor da característica com uma barra sobre ele para
indicar que é um valor negativo e a mantissa sem
barra com seu valor positivo
c–,m = – c + 0,m
Assim, log 0,2 = − 0,699 = 1,301.
Quantidade de algarismos
Se b > 1, a característica de log b é obtida
subtraindo-se uma unidade do número de algarismo
que b apresenta antes da vírgula.
Se 0 < b < 1, a característica de log b é igual
ao oposto do número de zeros que b apresenta antes
do primeiro algarismo não-nulo (incluindo o zero da
parte inteira).
Como consequência, conhecendo a característica do logaritmo de um número, podemos saber
quantos algarismos ele possui.
b > 1 ⇒ n.º de algs. parte inteira = c +1
0 < b < 1 ⇒ n.º de zeros antes do 1.º alg. não-nulo = − c
4
Exemplos:
Logaritmo natural
Os logaritmos naturais são os que têm como
base o número irracional e ≅ 2,7182.
ln b = log e b
Da definição temos que ln e = 1.
O número e também pode ser definido como:
e = nlim 1 + 1
n
n
Equações logarítmicas
Serão apresentados os dois principais casos de
equações logarítmicas.
1.º caso – equações com logaritmo em um dos
membros: podem ser resolvidas utilizando a definição
de logaritmo.
0<a 1e b R: loga f(x)=b f(x) = ab
É importante observar que caso a dependa de
x, deve-se garantir a condição de existência para a
base.
2.º caso – equações com logaritmo de mesma
base em ambos os membros: podem ser resolvidos
utilizando a injetividade de função logarítmica.
0<a 1: loga f(x)=loga g(x) f(x)=g(x)>0
Nesse caso, deve-se garantir a condição de
existência dos logaritmandos e da base quando esta
depender de x.
``
Exemplos:
1/
1
x2 – 4x+3=4 2
2
x=2+ 3 ou x=2 – 3
1) log4(x2 – 4x+3)=
x2 – 4x+1=0
S= 2+ 3 , 2 – 3
2)log2 (5x2 – 14x+1)= log2 (4x2 – 4x – 20)
5x2 – 14x+1=4x2– 4x – 20
x2 – 10x + 21=0 x=3 ou x=7
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EM_V_MAT_007
``
C.E.: 5.32 – 14 . 3+1=4 >0 e 5 . 72 – 14 . 7+1=
148 > 0
S= 3,7
0
3)log log3(log4x) =0 log3(log4x)= 1 =1
2
log4 x=31=3 x=43=64
S= 64
4)log(x+5)(3x2–5x–8)=log(x+5)(2x2–3x)
2)log0,5(x2+4x–5) <– 4
x2+4x–5 > 0,5–4
x>3
S=(– , –7[
2
y2 – y – 2=0
1
log2 x=–1 x=2–1=
2
log2x=2 x=22=4
1
S= ,4 }
2
4)log(x2–x–2) > log(x–4)
x2–x–2 > x– 4
f(x)>a
k
0<f(x)<a
k
x2– x – 2 > 0
22
x2+x–2 > 0
1. (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um
determinado grupo de animais, x dias após a liberação
de um predador no seu ambiente, é expresso pela
seguinte função:
f(x) = log
(x4)
Após cinco dias da liberação do predador, o número
de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será
igual a:
a) 3
b) 4
c) 300
se 0<a<1
d) 400
se a>1
``
f(x)>a
se 0<a<1
(54) = log 5 (54) = 4 . 3 . log 5 5 = 3
4
Como f informa o número de centenas, então há 3.100 =
300 indivíduos.
2. (UFF) São dados os números reais positivos a, b e x tais
que a ≠ 1 e b ≠ 1. Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4.
Calcule loga.b a x .
2
x2+x – 6
0
x <–2 ou x >1
S = [–3, –2[ ]1,2]
EM_V_MAT_007
x <–1 ou x > 2
S =] 4,+ )
se a>1
2.º caso – inequações com logaritmo de mesma
base em ambos os membros: podem ser resolvidas
considerando os casos em que a função logarítmica
é crescente ou decrescente.
f(x)>g(x)>0
se a>1
logaf(x)>logag(x)
0<f(x)<g(x)
se 0<a<1
`` Exemplos:
x2+x–2
<0
0<f(x)<ak
k
1)log2(x2+x–2)
x2 –2x+2 > 0
x>4
x– 4 > 0
Serão apresentados dois casos principais de
inequações logarítmicas.
1.º caso – inequações com logaritmo em um dos
membros: podem ser resolvidas considerando que
k=loga ak, e os casos em que a função é crescente
ou decrescente.
logaf(x)<k
x>2
y =–1 ou y=2
Inequações logarítmicas
logaf(x)>k
4x–3 > 5
S = ]2,+ )
2
y=log2 x
x < –7 ou
]3,+ )
3)log0,3 (4x–3) < log0,3 5
3x –5x – 8=2x –3x x – 2x – 8=0
x = –2 ou x=4
C.E.: 2.(–2)2 –3. (–2)=14>0 e 2.42 –3.4=20>0
0<–2+5=3 1 e 0 < 4+5 1
S= –2,4
5)(log2x)2 – log2 x – 2=0
2
x2+4x–21 > 0
–3
x
2
Solução: C
f (5) = log
``
Solução:
loga x = 2
x = a2
logb x = 4
x = b4
1
Então b4 = a2 e como a, b > 0, temos a = b2 e b = a /2
1/
2
loga.b a x = log a.a 2 a a2 = log 3/2 a2 = 2 . . log aa
a
3
= 4
3
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5
3. (UNUSANTOS) Um aluno quer resolver a equação 3x
= 7 utilizando uma calculadora que possui a tecla log
x. Para obter um valor aproximado de x, o aluno deverá
calcular:
a)
log 7
log 3
= 80
TV: 10 log
(108) = 80
a) Sabendo que não havendo produção não há lucro,
determine k.
c) log 7 . log 3
b) Determine o número de peças que são necessárias
para que o lucro seja igual a mil reais.
d) log7 + log 3
Solução: A
3X =7
3,2 .10–5
= 10 log (3,2 . 107) < 10. log
10–12
< 80 não está na faixa de risco.
5. (Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção
de x peças é dado em milhares de reais pela função L(x)
= log10 (100 + x) + k, com k constante real.
log 3
b) log 7
``
não está na faixa de risco.
log3x = log7
x . log3 = log7
x=
log 7
log 3
``
a) L (0) = log10(100 + 0) + k = 0
lucro mil reais:⇒ L(x) = 1
L (x) = log10(100 + x) – 2 = 1
⇔ 100 + x = 103
a) k = – 2
Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram
aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes
de som.
fonte de som
I (W/m2)
turbina
1,0 ⋅ 102
1,0 ⋅ 10−4
TV
3,2 ⋅ 10−5
⇔ log10(100 + x) = 3
x = 900
b) 900 peças.
6. (UFRN) Considere log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.
Então, a quantidade de algarismos do número 315 . 212
. 623 é igual a:
a) 25
b) 26
c) 27
d) 28
amplificador de som 1,0
triturador de lixo
k = – log10100 = – 2
b) L (x) = log10(100 + x) – 2
4. (UERJ) Seja β a altura de um som em decibéis. Essa
altura β está relacionada com a intensidade do som I,
pela expressão abaixo, na qual a intensidade padrão I0
é igual a 10−12 W/m2.
=10 . log l
l0
Solução:
e) 29
``
Solução: E
n.º de algarismos = característica do log decimal + 1
Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir
de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidade
de emissão de sons está na faixa de risco é de:
a) 1
log10 315 . 212 . 623 = 15 log 3 + 12 log 2 + 23 log 2 +
23 log 3
log10 315 . 212 . 623 = 35 log 2 + 38 log 3
log10 315 . 212 . 623 = 35⋅0,3010 + 38⋅0,4771 = 28,6648
b) 2
``
102 = 10 . log (1014) = 140
turbina = 10.log 1,0 .–12
10
está na faixa de risco
(Fatec) Na calculadora obtiveram-se os resultados seguintes: log 6 = 0,778 e ln 6 = 1,791. Com estes dados,
sem ajuda da calculadora, é verdade que log e, com
aproximação de três casas decimais, é: (Notação: log6
= log106 e In6 = loge 6)
amplificador de som: = 10 . log
a) 0,434
1,0
10–12
6
7.
Solução: B
= 10.log (1012) = 120
está na faixa de risco.
–4
= 10 . log(108)
triturador de lixo: = 10 . log 1,0.10
–12
10
b) 0,778
c) 0,791
d) 1,778
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EM_V_MAT_007
n.º de algarismos = 28 + 1 = 29
c) 3
``
Solução: A
logx(2x) . log2 x = 3 – log2 x
1
loge6
log6e
log6
=
log10e =
=
log610
In6
1
log6
⇒ log e ≅ 0,778 ≅ 0,434
1,791
8. (UERJ) Um pesquisador, interessado em estudar uma
determinada espécie de cobras, verificou que, numa
amostra de trezentas cobras, suas massas M, em gramas, eram proporcionais ao cubo de seus comprimentos L, em metros, ou seja, M = a . L3, em que a é uma
constante positiva. Observe os gráficos abaixo:
(logx2 + logxx) . log2 x = 3 – 1 log2 x
2
1
logx2 . log2x + log2 x = 3 – log2 x
2
1
1+ log2 x = 3 – log2 x
2
3
4
log2 x =
x = 2 =2 2
3
10. (ITA) O conjunto dos números reais que verificam a
inequação 3 . log x + log (2x + 3)3 3 . log 2 é dado
por:
a) x R: x > 0 b) x R: 1
x 3
c) x R: 0 < x
d) x R: 1/2
1/2 x <1
e) n.d.a.
``
Solução: C
3.log x + log (2 x+3)3 3.log 2
3log 2
log 2
3 log x + 3 log (2 x+3)
log x + log (2 x+3)
x (2x+3) 2
log 2
2 x 2 + 3 x –2 0
log [x.(2 x+3)]
1
2
–2 x
Condição de existência dos logaritmandos:
X >0
3
⇒ x >0
2
1

S =  x ∈R | 0 ≤ x ≤ 
2

2x +3 >0 ⇔ x >
Aquele que melhor representa log M em função de log
L é o indicado pelo número:
a) I
b) II
c) III
d) IV
``
1. (UFRJ) Sendo x e y números reais e y ≠ 0, expresse o
logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log23.
Solução: C
M = a . L3 ⇒ logM = log(a . L3)
2. (FGV) Consideremos os seguintes dados: log 2 = 0,3 e
log 3 = 0,48. Nessas condições, o valor de log 15 é:
⇒ log M = log a + 3 ⋅ log L
Como log a é constante, o gráfico de log M em função de
log L é uma reta crescente, que aparece no gráfico III.
EM_V_MAT_007
9. (UFCE) O número real x, positivo e diferente de 1, que
satisfaz à equação logx(2x) . log2 x=3 – log2 x é igual
a:
a)
``
3
2
Solução: C
b) 2
3
c)2 2 d) 4
3
e) 4 2
a) 0,78
b) 0,88
c) 0,98
d) 1,08
e) 1,18

1
3. (UFRJ) Considere a = log  x − x  e


com x > 1. Determine log  x 2 − x +
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1
− 2
x x 
1


b = log  x +
1
x


− 1 ,
em função
7
de a e b.
c) 25
4. (PUC-Rio) Os valores de x tais que o logaritmo de 2x2
+ 1 na base 10 é igual a 1 são:
a) 1 e – 1
b)
1
2
e
−
1
d)
2
e
−
3
2
3
4
19
b) –1
c) log 2
d) 1
e) 2
e) 1 e – 2
5. (UFF) O valor da expressão:
a)
2
12. (UFRGS) A soma 2 log + log + log +  + log é igual
3
4
5
20
a:
a) –log 20
2
c) 3 e – 3
3
d) 53
log3 2 ⋅ log4 3 ⋅  ⋅ log10 9
é:
b) 0
13. (UERJ) A função P ( t ) = P0 .10kt representa o crescimento
da população de uma determinada espécie animal em
função do tempo t, expresso em anos, em que P0 é a
população inicial e k é uma constante real.
P (t)
c) log3 4
d) log10 2
e) 1
2P0
f) log4 3
6. (UFF) Dada a igualdade y = logx ( x2 – 4 ), determine
os valores reais que x pode assumir para que y seja um
número real.
(UFF) Considere p = log3 2, q = log 4 e r = log 1 2
3
3
É correto afirmar que:
a) Demonstre que k = 0,01, considerando log 2 = 0,30.
b) Para k = 0,01, calcule o valor da razão
a) p < q < r
c) q < r < p
d) p < r < q
e) r < p < q
8. (UFF) Considere logb
1
y
10. (UFU) Considere a, b e q números reais positivos,
tais que loga b = 4 e loga q = 2. Sabendo-se que c é
o produto de quatro termos consecutivos de uma PG,
cujo primeiro termo é a e a razão é q, encontre o valor
de logc b.
11. (UFMG) Se n = 8
2 log2 15 - log2 45
Então o valor de n é:
a) 52
y=?
y =x
= x , sendo a > 0, a ≠ 1, b > 0
a
2
e b ≠ 1. Calcule o valor de loga b .
9. (UFF) Calcule o valor do número natural n que satisfaz a
equação log10 (0,1) + log10 (0,1)2 +  + log10 (0,1)n = −15 .
8
P(100)
.
P(0)
14. (UFRN) Na figura abaixo, estão esboçados os gráficos
das funções y = log3 x e y = x. O gráfico da função que
está representado em negrito é simétrico ao gráfico
da função log3 x em relação à reta y = x. A função que
corresponde ao gráfico em negrito é:
b) r < q < p
b) 83
t (anos)
30
y = log 3x
3
1
0
a) y =
1
3
x
x
3
b) y = 3x
c) y=x3
d) y = 3x
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EM_V_MAT_007
7.
P0
15. (UFRJ) A figura a seguir mostra os gráficos das funções
f e g, definidas no intervalo ]0, 4] por:
f( x ) =
x
− ln x
2
e
g( x ) =
20. (UFF) Seja f: R → R uma função positiva e g: R → R a
função definida por g( x ) = log10 f( x )
x
− (ln x )2
2
onde ln expressa o logaritmo na base neperiana e
(e ≅ 2,7).
y
M
a) O gráfico de g é a reta da figura.
N
b) Determine a equação da reta da figura.
P
Q
4
c) Calcule
 9
f 
 2
.
d) Encontre uma expressão para f(x).
Sejam M, N os pontos de interseção dos dois gráficos
e P, Q suas respectivas projeções sobre o eixo x.
Determine a área do trapézio MNQP.
16. (UFF) Determine o domínio da função de variável real f
definida por f(x) = log10(8 − x2 − 2x).
21. 9. (UFJF) A figura abaixo é um esboço, no plano
cartesiano, do gráfico da função f( x ) = logb x com alguns
pontos destacados.
y
17. (UFF) Considere a função real de variável real f definida
x2 − 1
. Determine o domínio de f.
x−2
por f(x) = log
18. (UFF) A energia potencial elástica (E) e a variação no
comprimento (∆ ) de uma determinada mola estão
associadas conforme a tabela:
y = log E
x = log ∆
4
1
6
2
Sabe-se, também, que a relação entre y e x é estabelecida
pela equação y = nx + log (K/2), sendo K a constante
elástica da mola e n uma constante.
a) Determine os valores das constantes K e n.
b) Determine o valor de E para ∆ = 3.
19. (UFF) Seja f a função real de variável real definida por
f( x ) = log
1
x
a) Determine o domínio de f.
EM_V_MAT_007
b) Defina a inversa de f.
2
A
1
B
C
a) Supondo que a abscissa do ponto A é igual a 9, é
incorreto afirmar que:
b) a base b é igual a 3.
c) a abscissa de C é igual a 1.
d) f(x) < 0 para todo x ∈ (0, 1).
e) a abscissa de B é igual a 2.
f) f(x) é crescente.
22. (UFJF) Em um tanque se encontra uma salmoura (solução de sal em água), que se mantém homogênea
mediante a ação permanente de um misturador. A partir
de um certo instante, o tanque passa a receber um fluxo
constante de água, ao mesmo tempo que uma torneira
começa a escoar a salmoura em quantidade igual, em
cada instante, ao volume de água que entrou no tanque.
A função que exprime a quantidade f(t) de sal existente
no tanque no instante t é uma função exponencial da
forma f( t ) = a ⋅ bt , onde a e b são constantes e t é medido em horas, a partir do instante em que a salmoura
começou a escoar.
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9
a) Sabendo-se que, no instante inicial, a quantidade
de sal no tanque era 48kg e que, após 1h, a quantidade de sal reduziu-se a 24kg, encontre as constantes a e b e determine f(t).
A)
b) Usando a tabela abaixo e as propriedades de logaritmos, determine quanto tempo será necessário
para que a quantidade de sal se reduza a 18kg.
2
3
5
7
log2 x
1,00
1,58
2,32
2,81
log3 x
0,63
1,00
1,46
1,77
log5 x
0,43
0,68
1,00
1,21
c) No sistema de eixos, faça o gráfico da função f(t)
para t ≥ 0, destacando as imagens das abscissas
representadas. Responda, justificando sua resposta, se em algum instante a quantidade de sal no
tanque será nula.
23. (UFJF) A intensidade I de um som é medida em watt/
cm2. O nível N de ruído desse som é medido em de I
cibéis (db), sendo que N = 10 log  I  , onde I0 = 10−12
0
watt/cm2 é a intensidade mínima percebida pelo ouvido
humano.
a) Sabendo que a intensidade máxima de um som
suportada pelo ouvido humano é de 100watt/cm2,
determine o nível de ruído máximo dentre os sons
audíveis pelo ser humano.
b) Encontre uma expressão para a intensidade I em
função do nível de ruído N.
c) Determine quantas vezes a intensidade de um som
com nível de ruído N1 = 80db é maior que a intensidade de outro som com nível de ruído N2 = 60db.
24. (UFMG) Um engenheiro estava estudando uma grandeza v em função de outra grandeza u. Ao tentar traçar o
gráfico de v em função de u, ele observou que os valores
de v tinham uma grande variação e que seria conveniente
substituir v por seu logaritmo decimal w = log v. Ele fez,
então, este gráfico de w em função de u:
C)
u
v
10
0,1
20
10
30
u
v
10
0,01
20
1
10.000
30
10.000
u
v
u
v
10
-2
10
0,01
20
1
20
10
30
5
30
100 000
B)
D)
25. (UFSCar) A altura média do tronco de certa espécie de
árvore, que se destina à produção de madeira, evolui,
desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h( t ) = 15
, + log3 ( t + 1), com h(t) em metros e t
em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu
tronco atingiu 3,5m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte foi de:
a) 9
b) 8
c) 5
d) 4
e) 2
26. (Fuvest) Seja f( x ) = log3 ( 3x + 4) − log3 (2x − 1). Os valores de
x, para os quais f está definida e satisfaz f(x) > 1, são:
a) x < 7 3
1
b) < x
2
1
7
c) < x <
2
3
4
<x
3
e) − 4 < x < 1
3
2
d)
−
27. (Fuvest) Pressionando a tecla Log de uma calculadora,
aparece no visor o logaritmo decimal do número que
estava antes no visor. Digita-se inicialmente o número
88888888 (oito oitos). Quantas vezes a tecla Log precisa ser pressionada para que apareça a mensagem
de erro?
a) 2
10
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
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EM_V_MAT_007
Assinale, entre as seguintes alternativas, a única em que
se relacionam corretamente os valores da grandeza v
correspondentes aos valores 10, 20 e 30 da grandeza u.
28. (UERJ) Jorge quer vender seu carro por R$40.000,00.
Pedro, para comprá-lo, dispõe de R$5.000,00, e aplica
esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada dois anos. Considere
que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19%
a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no
período de dois anos imediatamente anterior. Calcule
o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro suficiente
para comprar o carro de Jorge. Utilize, em seus cálculos,
log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
29. (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é
representado por log x. Então, a soma das raízes de
log2 x − log x 3 = 0 é igual a:
a) 1
33. (FGV) No ano 2002, estima-se que o PIB (Produto
Interno Bruto) de um país seja 400 bilhões de dólares.
Daqui a t anos, estima-se que o PIB seja 400(105
, )t
bilhões de dólares.
a) Em quantos bilhões de dólares crescerá o PIB entre
2009 e 2010?
b) Para que valores de t, o PIB superará a marca dos
800 bilhões de dólares?
(Obs.: Não é necessário fazer as contas; deixar os
resultados indicados)
34. (UFF) Determine o conjunto-solução, em R, de cada
equação dada a seguir:
b) 101
I. log x2 = 2⋅log x
c) 1 000
II.
x2 = − x
d) 1 001
III.
x2 = − x
30. (Fatec) A soma dos valores reais de x que satisfazem a
equação 3 ⋅ log28 x = log2 x é:
IV. ( x 2 + 1)
x +1
=1
35. (UFJF) O conjunto de todos os números reais x para os
a) 0
quais
b) 1
logx
< 0 é:
1− x 2
a) {x ∈ R  x > 0 e x ≠ 1}
c) 3
b) {x ∈ R  0 < x < 1}
d) 7
c) {x ∈ R  x > 1}
e) 9
31. (Fatec) No início de uma temporada de calor, já havia
em certo lago uma formação de algas. Observações
anteriores indicam que, persistindo o calor, a área
ocupada pelas algas cresce 5% a cada dia, em relação
à área do dia anterior. Nessas condições, se, em certo
dia denominado dia zero, as algas ocupam 1000m2,
aproximadamente em quantos dias elas cobririam toda a
superfície de 16 000m2 do lago? (Use em seus cálculos:
log 1,05 = 0,02 e log 2 = 0,30)
a) 20
b) 60
c) 80
d) 100
e) 120
32. (FGV) O conjunto solução da seguinte equação

 7 
x ⋅  log2 7 x + log2    + log2 21x = 0 ,
 3 

( )
( )
sendo
garitmo do número N na base 2 é:
a) ∅
EM_V_MAT_007
e) {0, 2}
b) {0}
c) {1}
log2 (N) ,
o lo-
d) {x ∈ R  x > 0}
e) {x ∈ R  x < –1 ou x > 1}
36. (UFJF) Sabe-se que, se depositarmos R$1.000,00
em uma caderneta de poupança, ao final de n meses,
teremos a quantia C, dada por C = 1.000 . (1,02)n. Daí
podemos concluir que:
log102
, C
log102
, )
, 1.000(102
C
−1
b) n = 1.000
0, 02
C
−1
1
000
.
c) n = log102
,
0, 02
a) n =
d) n = log102
,
e) n =
C
1.000
C
1.000(102
, )
37. (UFJF) O conjunto verdade da equação
log x + log( x + 1) − log 6 = 0 é:
d) {0, –2}
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11
a) {3}
b) {2, –3}
c) {–2, 3}
d) {2, 3}
e) {2}
38. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) corretas(s).
(01) O conjunto solução da inequação log (x2 − 9) ≥
log (3 − x) é S = (−∞, −4]∪ [3, +∞).
(02) Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.
(04) A equação x 2 = 2x não possui solução inteira.
(08) Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax.
Para a > 1, temos f crescente e g decrescente e para
0 < a < 1, temos f decrescente e g crescente.
(16) log 360 = 3 ⋅ log 2 + 2 ⋅ log 3 + log 5.
(32) Se log N = − 3,412 então log N = − 6,824.
Soma ( )
39. (UFSCar) Sendo m e n números reais positivos, o siste(log2 m )x + (log4 n)y = 1
nas variáveis x e y será
x + y = 2
ma linear 
possível e determinado se e somente se:
a) m ≠ 2n
b) m ≠ n
c) m n ≠ 1
d) n = 2m
1. (UFRN) Os habitantes de um certo país são apreciadores dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse
país, o “Banco ZIG” oferece empréstimos com a taxa
(mensal) de juros T = log8 225, enquanto o “Banco
ZAG” trabalha com a taxa (mensal) S = log2 15. Com
base nessas informações,
a) estabeleça uma relação entre T e S;
b) responda em qual dos bancos um cidadão desse
país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer
empréstimo. Justifique.
2. (UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles
F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de
terremotos − conhecida hoje em dia por escala Richter
−, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo
movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida
em grau Richter é representada por M, a equação
que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte
equação logarítmica: log10 E = 1,44 + 1,5 M
Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido
no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com
o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em
1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia
liberada no terremoto do Chile é aproximadamente:
a) 10 vezes maior que a energia liberada no terremoto
dos EUA.
b) 15 vezes maior que a energia liberada no terremoto
dos EUA.
e) m = 2n
40. (Unirio) Sabe-se que 1+ log x + log2 x + log3 x +  = 3 .
5
Calcule o valor de x3 sabendo que log x < 1.
41. (Unirio) Se a = x2 – 5x + 5 e b = x2 – 9x + 20, determine
todos os valores reais de x que satisfazem a equação
loga 1= b .
42. (Unesp) Seja V0 o volume inicial de um líquido volátil, o
qual diminui à taxa de 20% por hora.
a) Encontre a equação do volume V do líquido em função do tempo.
b) Determine o valor aproximado do tempo em que o
volume se reduz à metade (dado: log102 = 0,301).
c) 21 vezes maior que a energia liberada no terremoto
dos EUA.
d) 31 vezes maior que a energia liberada no terremoto
dos EUA.
3. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) verdadeira(s).
(01) O valor do log0,25 32 é igual a − 5 .
2
(02) Se a, b e c são números reais positivos e x =
1
então log x = 3 log a − 2 log b − log c .
2
a3
2
b
c
,
(04) Se a, b e c são números reais positivos com a e c
diferentes de um, então tem-se loga b = logc b .
logc a
(08) O valor de x que satisfaz à equação 4x – 2x = 56
 2
12
−2, 3
 2
−17
,
(16)   >  
 3
 3
Soma ( )
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EM_V_MAT_007
é x = 3.
4. (UFCE) Considere a função real de variável real, definida
por f(x) = 3 + 2–x. Então f( log2 5 ) é igual a:
a) 4/5
8. (UFRN) Suponha que, numa colônia de fungos, a massa
biológica de sua população, no instante t (horas), denotada por m(t), seja dada pela expressão
2t
gramas [Considere que log10(2) ≅ 0,3].
1011
b) 8/5
m( t ) =
c) 12/5
d) 16/5
De acordo com o ritmo de crescimento populacional
estabelecido por essa expressão, a massa da população
de fungos, em 50 horas, é da ordem de
e) 4
a) 100g.
5. (UFCE) Sejam loga m = p e loga n = q . Se p + q = loga x
e p − q = loga y , o valor de m2 é:
b) 10g.
a) xy
c) 10 000g.
b) x2
d) 1 000g.
c) y2
d) x − y
e) x/y
6. (UFCE) O valor da soma
1
2
3
99
é:
log10 + log10 + log10 +  + log10
2
3
4
100
a) 0
9. (UFPR) Um grupo de estudantes resolveu repetir a
medição da altura do Pico da Neblina feita na década
de 60. Para isso, escalaram essa montanha e levaram
um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efetuaram várias medições da pressão atmosférica no local
e obtiveram o valor médio de 530mmHg. A pressão
atmosférica P(h) a uma dada altura h (em metros, em
relação ao nível do mar) é fornecida pela função
P(h)=P0 . ea.h
b) –1
c) –2
d) 2
e) 3
7.
(UFPR) O nível sonoro de um som de intensidade I,
medido em decibéis, é calculado pela fórmula 10 × log
I
Io
, onde log representa logaritmo na base 10, e I0 é um
valor de referência que corresponde aproximadamente
à menor intensidade de som audível ao ouvido humano.
Com base nessas informações, é correto afirmar:
(( ) Se um som tem intensidade I0, então o seu nível sonoro é igual a zero.
(( ) Um som de 1 decibel tem intensidade igual a 10 ×
I0.
(( ) Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a
1 0000 × I0.
(( ) Se um som tem nível sonoro de 10 decibéis, então
outro som que é dez vezes mais intenso que aquele
tem nível sonoro igual a 100 decibéis.
EM_V_MAT_007
(( ) Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 decibéis, e suas intensidades são, respectivamente, I1,
I2, e I3, então esses números formam, nessa ordem,
uma progressão geométrica.
sendo e a base do sistema de logaritmos neperianos,
P0 = 760mmHg a pressão atmosférica no nível do mar, e
um número que depende principalmente da temperatura
média no local de medição. Sabendo-se que, nas
condições desse experimento, α = − 0,00012 e que os
estudantes usaram os valores aproximados ln(760) =
6,63 e ln(530) = 6,27, qual foi a altura que encontraram
para o Pico da Neblina?
10. (UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos
decimais log a, log b e log c, nesta ordem, estão em
progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine
o produto a⋅b⋅c.
11. (UFMG) O pH de uma solução aquosa é definido pela
expressão pH = − log [H+], em que [H+] indica a concentração, em mol/l, de íons de Hidrogênio na solução
e log, o logaritmo na base 10.
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador
verificou que, nela, a concentração de íons de Hidrogênio
era [H+] = 5,4 ⋅ 10−8 mol/l.
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores
aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log
3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH
dessa solução foi
a) 7,26
b) 7,32
c) 7,58
d) 7,74
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13
(
)
12. (Unicamp) Calcule o valor da expressão logn logn n n n ,
onde n é um número inteiro, n ≥ 2. Ao fazer o cálculo
você verá que esse valor é um número que não depende
de n.
p igual a:
a)
10
b)
3
c)
2
d) 1,2
e) 1,1
13. (UFF) No dia 6 de junho de 2000, um terremoto
atingiu a cidade de Ankara, na Turquia, com registro
de 5,9 graus na escala Richter e outro terremoto
atingiu o oeste do Japão, com registro de 5,8 graus
na escala Richter.
Considere que m1 e m2 medem a energia liberada
sob a forma de ondas que se propagam pela crosta
terrestre por terremotos com registros, na escala
Richter, r1 e r2, respectivamente.
Sabe-se que estes valores estão relacionados pela
fórmula:
r1 – r2 = log10 (
m1
)
m2
Considerando-se que r1 seja o registro do terremoto
da Turquia e r2 o registro do terremoto do Japão,
pode-se afirmar que m1 é igual a:
m2
a) 10–1
b) 10
0,1
16. (UFF) Segundo Resnick e Halliday, no livro Física, vol.
2, 4. ed., a intensidade relativa I R de uma onda sonora,
medida em decibel (dB), é definida por
 I
IR = 10 log10  
 I0 
sendo I a intensidade sonora medida em watt/m2 e I0
a intensidade sonora de referência (correspondente
ao limiar da audição humana) também medida em
watt/m2. Apresentam-se a seguir os valores em dB
das intensidades relativas (IR) das ondas sonoras
correspondentes a algumas situações particulares.
Situação particular
I R (dB)
Limiar da audição humana
0
Sussurro médio
20
Conversa normal
65
Limiar da dor
120
Na unidade watt/m , pode-se afirmar que:
a) a intensidade sonora do sussurro médio é menor
que 10 vezes a intensidade sonora do limiar da audição humana.
2
c) (0,1)
10
10
0,1
1
e)
0,1
d)
b) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a
intensidade sonora do limiar da audição humana.
14. (ITA) Sobre a expressão M =
1
1
+
log2 x log5 x
, onde
2 < x < 3, qual das afirmações abaixo está correta?
a) 1 ≤ M ≤ 2
b) 2 < M < 4
c) a intensidade sonora do limiar da dor é 1010 vezes a
intensidade sonora de um sussurro médio.
d) a intensidade sonora do limiar da dor é, aproximadamente, o dobro da intensidade sonora de uma
conversa normal.
e) a intensidade sonora de uma conversa normal é
menor que 104 vezes a intensidade sonora de um
sussurro médio.
d) 5 < M < 7
e) 7 ≤ M ≤ 10
15. (UFSCar) Em notação científica, um número é escrito
na forma p ⋅10q , sendo p um número real tal que 1 ≤
p < 10 e q um número inteiro. Considerando log 2 =
0,3, o número 2 255 , escrito em notação científica, terá
17. (UnB) Considere o processo de mistura de 2mols de
gás oxigênio (O2), 2mols de gás hélio (He) e 3mols de
gás argônio (Ar). A expressão que permite calcular a
variação de energia ∆E – a diferença entre a energia final
e a inicial – nesse processo de mistura é dada por
3
∆E = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ∑ ( x i ⋅ ln x i )
i=1
14
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c) 4 ≤ M ≤ 5
em que: n é o número total de mol dos gases presentes
na mistura; R é a constante (positiva) universal dos
gases; T é a temperatura do sistema em kelvin; x1 é a
razão entre o número de mols de O2 e n; x2 é a razão
entre o número de mols de He e n e x3 é a razão entre
o número de mols de Ar e n.
Com base nessas informações, julgue os itens
seguintes.
a) Nesse processo de mistura, ∆E = R ⋅ T ⋅ (ln(24 ⋅ 33 ) − ln 77 ) .
b) Misturando-se o dobro do número de mols de cada
um dos gases, a variação de energia ∆E também
dobra.
c) Mudando-se as proporções de mols dos três gases na mistura, a variação de energia ∆E pode ser
positiva.
d) Para temperaturas T muito baixas, a variação de
energia ∆E pode ser positiva.
21. (Unesp) Numa plantação de certa espécie de árvore, as
medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco,
desde o instante em que as árvores são plantadas até
completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas
funções:
H( t ) = 1+ (0, 8) ⋅ log2 ( t + 1)
altura:
t
diâmetro do tronco: D( t ) = (0,1) ⋅ 27 com H(t) e D(t) em
metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em
metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros,
das árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.
22. (UFRGS) Na figura abaixo, a reta r é o gráfico da função
real de variável real definida por y = log(b ⋅ a x ) , onde a e
b são números reais positivos.
18. (Unesp) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a
uma fonte de calor para que a água evapore lentamente.
A experiência termina quando toda a água se evaporar.
Em cada instante t, a quantidade de água existente no
recipiente (em litros) é dada pela expressão:
 10k 
Q( t ) = log10 
 t + 1
1
-1
19. (Unesp) Um determinado lago foi tomado por uma vegetação. Em 1990, a área coberta pela planta era de 160
m2, e a partir de então o aumento anual da área coberta
pela vegetação foi de 60%. Determine:
a) a área, em m2, coberta pela vegetação n anos mais
tarde.
b) 1
c) 10
d) 102
e) 103
23. (Fuvest) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função
y = log a x com a > 1 (figura abaixo). Suponha que B =
(x, 0), C = (x +1, 0) e A = (x –1, 0). Então, o valor de x
para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área
do triângulo ABE, é:
b) usando log10 16 = 1,2 quantos anos se passaram
até que uma área de 2.560 m2 fosse coberta.
f( x ) =
x
2
e
y
E
D
g( x ) = log2 x ,
a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas
retangulares, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2,
x = 4 e x = 8.
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x
1
a
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto
solução da inequação x < log2 x , e justifique por que
2
π
< log2 π .
2
-1
O valor de é:
b
a) 0,1
com k uma constante positiva e t em horas.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no
recipiente, determine a constante k.
20. (Unesp) Considere as funções
para x > 0.
r
y
A
B
C
a) 1+ 5
2
b) 1+
5
2
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28. (ITA) Considere u = x.ln(3), v = x.ln(2) e eu.ev = 36.
Nessas condições, calcule x:
1
+ 5
2
d) 1+ 5
c)
e)
1
+2 5
2
24. (FGV) As funções: f( x ) = 3x − 3 e g( x ) = log3 ( x + 1), sendo
loga (b) o logaritmo de b na base a.
b) Escreva a equação das retas r e s, assíntotas das
funções f(x) e g(x), respectivamente.
c) Determine as coordenadas dos pontos P e R, interseções das funções f(x)e g(x), respectivamente,
com o eixo Ox e as coordenadas dos pontos Q e S,
interseções das funções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Oy.
d) Determine graficamente o número de soluções da
equação f(x) = g(x).
25. (Unicamp) O logaritmo decimal de 2, log10 2, é 0,301...
Esta notação (os pontinhos depois do 1) significa que
log10 2 está dado com precisão até a terceira casa decimal e que os algarismos subsequentes são supostos
desconhecidos.
a) Usando teoria dos logaritmos, calcule quantos algarismos tem o número 820 (na representação decimal).
b) Se quisermos usar o método da parte anterior para
104
calcular quantos algarismos tem o número 8 , a
precisão com que é dado log 10 2 é suficiente? Justifique sua resposta.
26. (Unicamp) As populações de duas cidades, A e B,
são dadas em milhares de habitantes pelas funções
A( t ) = log8 (1+ t )6 e B( t ) = log2 ( 4 t + 4 ) , onde a variável t representa o tempo em anos.
a) Calcule a magnitude absoluta de uma estrela
quando d = 200pc e m = 8,5. Adote nos cálculos log 5 = 0,7.
b) Construa no plano cartesiano o gráfico da região
dos pares ordenados (M, m), tais que d ≥ 100
pc. Admita para a construção, m ≥ 0 e M ≥ 0.
30. (OBM) As representações decimais dos números 2 1999
e 5 1999 são escritas lado a lado.
O número de algarismos escritos é igual a:
a) 1 999
b) 2 000
c) 2 001
d) 3 998
e) 3 999
31. (UFMG) O conjunto de todos os valores reais de x que


satisfazem a equação 2 log10 x = 1+ log10  x + 10  é
11
a) {–1, 11}
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos
instantes t = 1 e t = 7?
b) {5, 6}
b) Após certo instante t, a população de uma das cidades é sempre maior que a da outra. Determine o
valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.
d) {11}
27. (Unicamp) A função L( x ) = a ⋅ ebx fornece o nível de
iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros
de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e
b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância
da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2
metros de distância recebe 30 luxes.
16
29. (UFSCar) Sob certas condições, a diferença entre
a magnitude aparente de uma estrela (m) e sua
magnitude absoluta (M) pode ser calculada pela
fórmula m − M = 5 ⋅ ( −1+ log d) , onde d é a distância
entre a estrela e a Terra, na unidade de medida
parsec (pc).
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.
c) {10}
32. (UFCE) Encontre os números reais x e y que satisfazem
simultaneamente as igualdades log2 x + log4 y = 2 e log4
x + log2 y = 1.
33. (Unesp) Considere as funções f( x ) = log3( 9x 2 ) e
 1
g( x ) = log3   , definidas para todo x > 0.
 x
a) Resolva as duas equações: f(x) = 1 e g(x) = −3.
b) Mostre que 1 + f(x) + g(x) = 3 +log3x.
34. (UFF) Determine o valor de x na equação
a) log x + log x2 + log x3 + ... + log x18 = 342.
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a) Esboce a representação gráfica das funções f(x) e
g(x) num mesmo sistema cartesiano de eixos.
35. (FGV) É consenso, no mercado de veículos usados,
que o preço de revenda de um automóvel importado
decresce exponencialmente com o tempo, de acordo
com a função V = K ⋅ x t . Se 18 mil dólares é o preço atual
de mercado de um determinado modelo de uma marca
famosa de automóvel importado, que foi comercializado
há 3 anos por 30 mil dólares, depois de quanto tempo, a
partir da data atual, seu valor de revenda será reduzido
a 6 mil dólares?
É dado que log15 3 = 0, 4 .
a) 5 anos.
b) 7 anos.
log2 (log3 log4 x ) = log3 (log4 log2 y ) = log4 (log2 log3 z ) = 0 ,
então x + y + z é:
a) 50
b) 58
c) 89
d) 111
e) 1 296
40. (Mackenzie) O conjunto solução da inequação
log 1 [log 1 x ] ≥ 0 é:
3
3
c) 6 anos.
a) {x ∈ R  x ≥ 1/3}
d) 8 anos.
b) {x ∈ R  x > 0}
e) 3 anos.
c) {x ∈ R  0 < x ≤ 1/3}
36. (Fuvest) Se x é um número real, x > 2 e log2( x − 2) − log4 x = 1
, então o valor de x é:
a) 4 −2 3
b) 4 −
d) {x ∈ R  1/3 ≤ x < 1}
e) ∅
41. (ITA) Os valores de x que verificam a desigualdade:
1
1
+
>1
loge x log x e - 1
3
c) 2 + 2 3
a) x > 1
d) 4 + 2 3
b) x > e
e) 2 + 4 3
c) 0 < x < e
37. (UFRJ) Segundo algumas estimativas, o volume de
água facilmente disponível para o consumo, em todo o
planeta, é de 14 mil km3 por ano. Consideremos como
razoável um consumo de 500m3 por ano por habitante.
Sabendo que a população da Terra é de cerca de 6
bilhões de pessoas e que cresce à taxa de 1,6% ao
ano, gostaríamos de ter uma estimativa de em quanto
tempo chegaremos, mantidos estes dados, ao limite dos
recursos disponíveis.
Expresse, utilizando os dados acima e as funções usuais
em máquina de calcular (ou seja: as quatro operações
elementares, x , log x, ln x, ex, 10x, sen x, cos x e tg
x), o número x de anos em que ainda teremos água
facilmente disponível.
38. Sejam a, b números reais. Se a > 0, a ≠ 1 e loga 10 > loga (10)b ,
então:
são:
d) 1 < x < e
e) n.d.a.
42. (ITA) Denotemos por log x e loga x os logaritmos de x
nas bases 10 e a, respectivamente. As raízes reais da

1

2
equação: 2 ⋅  1+ logx 10 = 
 são:
log ( x −1 )
2
a) 10 e 10
b) 10 e


1
10
c) 1 e 10
10
1
d)
e
10
e) n.d.a.
1
10
43. (ITA) O conjunto verdade da desigualdade
b) b > 1 e a > 1
log 2 ( log 1/ 4 (x2 – 2x + 1)) < 0 é:
a) (0,1/2) ∪ (3/2,2)←
c) b < 1 e a < 1
b) (-2,0) ∪ (3/2,2)
d) b < 1 e a > 1 ou b > 1 e a < 1
c) (1/2,3/2)
e) b > 0
d) d) (-∞,1/2) ∪ (3/2,∞)
a) b < 0
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39. (PUC-SP) Se
e) ∅
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17
44. (ITA) Dado um número real a com a > 1, seja S o conjunto solução da inequação
 1
log 1 loga  
 a
a
x −7
≤ log 1 ( x − 1).
a
Então S é o intervalo:
a) [4 , +∞[
b) [4 , 7[
c) ]1 , 5]
d) ]1 , 4]
e) [1 , 4[
45. (UFSCar) Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi
regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos.
Sabendo-se que este número x é solução da equação log4x = log23, e que cada gota tem volume de
0,3 mL, pode-se afirmar que o volume de soro que
este paciente recebe em uma hora é de:
a) 800mL
b) 750mL
c) 724mL
d) 500mL
e) 324mL
46. (ITA) Seja (a, b, c, d, e) uma progressão geométrica de razão a, com a > 0 e a ≠ 1. Se a
soma de seus termos é igual a 13a + 12 e x é
um número real positivo diferente de 1 tal que:
1
1
1
1
1
5
+
+
+
+
=
loga x logb x logc x logd x loge x 2
, então x é
igual a:
a) 33
b) 23
c) (5/2)2
d) (5/2)3/2
18
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e) (2/5)2
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13.
a) Demonstração.
1.
x
x
log y 3 = ⋅ log2 3
2
y
2. e
14. d
( e − 1)2
4
3. a + b
15.
4. d
16. ]−4, 2[
5. B
17. Dom f = ( −1, 1) ∪ (2, + ∞)
6. x > 2
18. a) n = 2 e K = 200 b) 900
7.
e
19. a) D(f) = R+*
8.
−
9. 5
2
x
10. 1/4
EM_V_MAT_007
b) 10
2
9
20. a) y = x + 1 b) f−1(x) = 10−2x
2
b) 100 c) f( x ) = 10 9
x +1
21. d
22.
11. d
a) a = 48, b = 1/2 e
12. b
b) 1,42 h ≅ 1h25min
f( t ) = 48 ⋅ 2− t
c) Não, pois a função exponencial não se anula.
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19
2. D
23.
3. V, V, V, V, V ⇒ soma = 31
a) a)140 db
4. d
N
b) I = 1010 −12
5. a
c) 100
24. D
6. C
25. b
7.
26. c
8. C
27. b
9. h = 3 000 metros.
28. 10 anos.
10. 1 000 000
29. D
11. A
V, F, V, F, V
12. −2
30. E
13. b
31. b
14. b
32. d
15. a
33.
16. c
, 7
a) 20 ⋅ 105
b) t > log105
, 2 anos (t ∈ Z)
34.
17. 1) C
2) C
18. a) k = 1
b) 9 horas
3) E
4) E
19.
I. R+*
a)
II. R−
b) 6 anos
A(n) = 160 ⋅ (16
, )n
20.
III. R+
a) Gráfico
IV. {−1, 0}
b) ]2, 4[
35. A
21.
36. d
a) Altura 1m e diâmetro 10cm.
37. e
b) 20cm
38. E, E, E, C, E ⇒ soma = 16
22. e
39. b
23. a
40. 0,01
24.
41. 5
a) Gráfico.
42.
b) (r) y = 3, (s) x = -1
a) V = V0 ⋅ 0, 8
t
c) P(1;0), R(0;0), Q(0;-2), s(0;0)
b) 3h6min
d) Duas.
25.
b) Não, pois a característica é obtida por 30.000 ⋅ log
2
10
1.
a) a) T =
20
2
⋅S
3
b) ZIG, pois T = (2/3)S < S
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EM_V_MAT_007
a) 19
26.
a) t = 1: (A) 2 000 (B) 3 000; t = 7: (A) 6 000e (B)
5 000
b) Após 3 anos a população de A é sempre maior.
27.
a) a = 120 e b ≅ −0,693
b) 3 metros.
28. x = 2
29.
a) 2
b) Gráfico
30. Vamos utilizar log 2 = 0,3010 e log 5 = 1 – log 2 =
0,6990
nº alg. 21999 = [log 21999 ] +1 = [1 999 ⋅ log 2] +
1 = 602
nº alg. 51999 = [log 51999 ] + 1 = [1 999 ⋅ log 5] +
1 = 1398
total de alg. = 602 + 1398 = 2 000
31. d
32. x = 4; x = 1
33.
a) Sf { +- 3 } e Sg = {27}
3
b) Demonstração.
34. 100
35. c
36. D
37. x =
38. d
log14 − log 3
log1016
,
39. c
40. d
41. d
42. c
43. a
44. d
45. e
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46. a
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