Cultura
Acadêmica
NASCIMENTO, M.C. do; FEITOSA, H. de A.
O objetivo deste livro é apresentar um texto introdutório sobre os conceitos da álgebra para
um curso de graduação. No capítulo introdutório, está uma breve apresentação de alguns
conceitos básicos sobre conjuntos e operações com conjuntos, seguida do tema das relações,
relações de ordem e relações de equivalência, que são necessários para o desenvolvimento
das estruturas algébricas abordadas nos capítulos seguintes: grupos, anéis e corpos. O volume trata também de polinômios e de extensões de corpos. Estes temas são essenciais para a
parte final, que discute os três problemas clássicos da antiguidade. Desenvolve discussões
sobre as construções geométricas apenas com régua e compasso e, na sequência, sobre
a resolução de equações por meio de radicais.
Mauri Cunha do Nascimento
Hércules de Araujo Feitosa
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Mauri Cunha do Nascimento graduou-se e obteve mestrado e doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas-Unicamp, desenvolvendo trabalhos em
Álgebra Comutativa. Iniciou sua carreira profissional na Universidade Estadual de Londrina, onde trabalhou entre os anos de 1979 e 1993. Atualmente é professor assistente doutor
do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Unesp, Câmpus de Bauru.
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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Hércules de Araujo Feitosa é graduado em Matemática pela Fundação Educacional de
Bauru (1984), obteve o mestrado em Fundamentos da Matemática pela Unesp/IGCE/Rio
Claro (1992) e o doutorado em Lógica e Filosofia da Ciência pela Universidade Estadual
de Campinas/Unicamp/IFCH (1998). Atualmente é professor doutor do Departamento de
Matemática da Faculdade de Ciências da Unesp, Câmpus de Bauru. É professor do Programa de Pós-Graduação em Filosofia da Unesp/FFC/Marília. Tem grande experiência
no ensino de Lógica e Fundamentos da Matemática. Suas investigações científicas estão
voltadas para lógica, traduções entre lógicas, modelos algébricos, quantificadores e lógicas
não clássicas.
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Universidade Estadual Paulista
Reitor Julio Cezar Durigan
Pró-Reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara
Pró-Reitor de Pós-Graduação Eduardo Kokubun
Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini
Pró-Reitora de Extensão Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita
Pró-Reitor de Administração Carlos Antonio Gamero
Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto
Chefe de Gabinete Roberval Daiton Vieira
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Cultura
Acadêmica
Mauri Cunha do Nascimento
Hércules de Araujo Feitosa
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
São Paulo
2013
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© Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2013.
Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp
N244e
Nascimento, Mauri Cunha do
Estruturas Algébricas / Mauri Cunha do Nascimento [e] Hércules de Araujo
Feitosa. – São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista,
Pró-Reitoria de Graduação, 2013.
172 p.
Bibliografia
ISBN 978-85-7983-418-9
1. Álgebra. I. Título. II. Feitosa, Hércules de Araujo. III. Universidade
Estadual Paulista. Pró-Reitoria de Graduação.
CDD 512
equipe
Pró-reitor Laurence Duarte Colvara
Secretária Joana Gabriela Vasconcelos Deconto
Assessoria José Brás Barreto de Oliveira
Maria de Lourdes Spazziani
Valéria Nobre Leal de Souza Oliva
Técnica Bambina Maria Migliori
Camila Gomes da Silva
Cecília Specian
Eduardo Luis Campos Lima
Gisleide Alves Anhesim Portes
Ivonette de Mattos
Maria Emília Araújo Gonçalves
Maria Selma Souza Santos
Renata Sampaio Alves de Souza
Sergio Henrique Carregari
Projeto gráfico Andrea Yanaguita
Diagramação Mauri da Cunha Nascimento
Hércules de Araujo Feitosa
Finalização Estela Mletchol
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PROGRAMA DE APOIO
À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Considerando a importância da produção de material didático-pedagógico
dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por
meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de
Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às
aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras
mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibilizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado
sob demanda.
Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade acadêmica mais esta obra, “Estruturas Algébricas”, de autoria dos Professores:
Dr. Mauri Cunha do Nascimento e Dr. Hércules de Araujo Feitosa, da Faculdade de Ciências do Câmpus de Bauru, esperando que ela traga contribuição
não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no
assunto abordado.
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Sumário
INTRODUÇÃO
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1 PRELIMINARES
15
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Relação de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Propriedades das operações . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Os inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 GRUPOS
35
2.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Propriedades dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Produto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Grupos de permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Grupos de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.10 Grupo quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.11 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.12 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS |
3 ANÉIS
73
3.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2 Os anéis Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Propriedades dos anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4 Subanéis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6 Homomorfismo de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7 Anel quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 O teorema do isomorfismo
. . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.9 Característica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.10 O corpo de frações de um domínio de integridade . . . . . 100
3.11 Sobre um corpo ordenado e completo . . . . . . . . . . . 102
4 POLINÔMIOS
111
4.1 Anel de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Ideais principais e máximo divisor comum . . . . . . . . . 117
4.3 Polinômios irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Fatoração em polinômios irredutíveis . . . . . . . . . . . 123
4.5 Polinômios sobre os inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 CORPOS
131
5.1 Extensões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2 Imersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 Extensões de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4 Elementos da Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5 Construções com régua e compasso . . . . . . . . . . . . . 155
5.6 Resolução de equações com radicais . . . . . . . . . . . . 162
5.7 Polinômios Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
BIBLIOGRAFIA
169
ÍNDICE REMISSIVO
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NOTAÇÕES
A[x] - anel de polinômios com coeficientes em A - pag.111
[L : K] - grau da extensão de L sobre K - pag.134
∂p(x) - grau do polinômio p(x) - pag.113
[a1 , a2 , . . . , an ] espaço vetorial gerado por {a1 , a2 , . . . , an }
K(a1 , a2 , . . . , an ) - o menor corpo que contém K e {a1 , a2 , . . . , an }
Im(h) - a imagem da função h
N (h) - o núcleo do homomorfismo h
Gal(f (x), K) - o corpo de decomposição de f (x) sobre K - pag.144
K G - o corpo fixo de K por G - pag.145
G(L, K) - o grupo dos K-automorfismos de L - pag.146
H < G - H subgrupo de G
H G - H subgrupo normal de G
LH - o corpo fixo de L por H - pag.151
I(K, L) - conjunto dos corpos intermediários entre K e L - pag.151
Sn - grupo de permutações - pag.56
G(f (x), K) - o grupo de Galois de f(x) - pag.148
N, Z, Q, R, C - conjuntos numéricos - pag.15.
X ∗ - X − {0}
∅ - conjunto vazio
A ⊆ B - A subconjunto de B
A ⊂ B - A é subconjunto próprio de B
A − B - conjunto dos elementos de A que não estão em B
P(E) - o conjunto das partes de E
iA - a função identidade de A em A
a | b - a divide b
mdc(a, b) - o máximo divisor comum de a e b
mmc(a, b) - o mínimo múltiplo comum de a e b
Mm×n (R) - conjunto das matrizes m × n
Mn (R) - conjunto das matrizes quadradas de ordem n
In - matriz identidade n × n
⟨a⟩ - grupo cíclico gerado por a
⟨S⟩ - subgrupo gerado por S
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⟨a1 , a2 , . . . , an ⟩ - subgrupo gerado por {a1 , a2 , . . . , an }
|G| - ordem do grupo G
|a| - ordem do elemento a
(G : H) - índice do subgrupo H em G
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Introdução
Uma parte significativa do trabalho matemático consiste em compreender e desenvolver estruturas matemáticas. De um modo geral,
uma estrutura matemática é determinada por um conjunto universo de
objetos matemáticos, por operações que envolvem estes objetos e também por relações entre esses elementos do universo.
Um exemplo bastante simples e que está na experiência matemática de todo estudante é a estrutura matemática determinada por
(N, 0, 1, +, ·, s, ≤), em que N é o conjunto dos números naturais, 0 e 1
são dois números naturais particulares, s é a operação (função) sucessor, que a cada número natural n atribui o seu sucessor n + 1, + é a
operação de adição de números naturais, · é a operação de multiplicação de números naturais e ≤ é a relação usual de ordem de números
naturais.
Para certas estruturas, tratamos e quantificamos sobre operações e
relações com conjuntos de conjuntos do universo. São estruturas de
segunda ordem, importantes e corriqueiras no contexto matemático.
Por exemplos, estruturas topológicas são deste tipo.
Podemos destacar alguns aspectos de uma estrutura e nos debruçarmos apenas sobre este quesito. Por exemplo, podemos estudar apenas
(N, ≤), isto é, o conjunto dos números naturais com sua usual relação
de ordem, mas sem operações. Uma estrutura matemática sem operações é chamada estrutura relacional. Por outro lado, podemos esquecer
as relações da estrutura matemática e nos concentrarmos nas suas operações, de modo a caracterizar quais propriedades as operações daquela
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estrutura partilham. Uma estrutura matemática fundada em operações
é uma estrutura algébrica.
Como indica o título deste texto, trataremos das estruturas algébricas. Motivados pelas estruturas algébricas dadas por diversos conjuntos
numéricos, matemáticos perceberam que há alguns aspectos comuns
em muitas dessas estruturas e também diferenças substanciais. Então,
identificar o que seria comum e abstrair tais aspectos levou-os ao estudo das estruturas algébricas.
Diante disso, escolhemos alguns princípios básicos, ou axiomas algébricos, e determinamos uma teoria específica. Desenvolvemos esta
particular teoria em seus aspectos gerais e depois identificamos estruturas matemáticas que são modelos daquela teoria - os exemplos, isto
é, estruturas que fazem os axiomas serem sempre válidos. Este é o caminhar das investigações sobre estruturas algébricas.
Há uma tradição importante dos algebristas que destacam o estudo
das seguintes teorias algébricas: Grupos, Anéis, Corpos e Anéis de Polinômios. Em muitos cursos de matemática pelo mundo há alguma disciplina que trata destas teorias. Neste texto nos propomos a fazer exatamente isto.
Existem muitos e bons textos sobre este assunto, como indicados na
bibliografia. Segundo o nosso entendimento, o nosso livro não é melhor, mas também não é pior que os outros textos. Ele apenas explicita
as nossas escolhas, as quais fizemos ao longo de muitos anos dando aulas de estruturas algébricas, e também sugere um encadeamento para
a formação dos nossos alunos. Corresponde a nossas notas de aulas,
revistas e dimensionadas para a nossa realidade.
Reunimos os exercícios ao final de cada seção.
No primeiro capítulo apresentamos, de forma bem resumida, alguns
conceitos importantes para os desdobramentos posteriores. Tais conteúdos são desenvolvidos em alguns textos da Bibliografia, especialmente em [3], [5] e [16].
No capítulo seguinte, tratamos dos Grupos. Cada grupo é uma estrutura algébrica determinada por uma única operação e um elemento
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| INTRODUÇÃO
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neutro para aquela operação, com algumas poucas propriedades. Numa
estrutura de grupo já podemos resolver algumas simples equações de
primeiro grau.
No terceiro capítulo, adicionamos uma operação à estrutura de grupos e ampliamos o conjunto de axiomas para obtermos uma nova estrutura algébrica denominada Anel. Definimos muitos casos particulares
de anéis, damos inúmeros exemplos e mostramos muitas propriedades.
O próximo capítulo é destinado aos polinômios. Daremos grande
ênfase a polinômios sobre anéis.
O último capítulo é destinado a elementos da Teoria de Galois.
Trata-se de uma teoria belíssima, fundamental para os estudos algébricos, de surgimento relativamente recente e que permitiu comprovar a
impossibilidade de alguns anseios matemáticos, por muito tempo perseguidos, como: a trissecção de um ângulo, dividir um ângulo qualquer
em três ângulos de mesma medida; a quadratura do círculo, determinar
um quadrado com área idêntica a de um círculo dado; a duplicação do
cubo, a determinação de um cubo cujo volume é exatamente o dobro
do volume de um cubo dado; e a determinação de um método que envolvesse apenas radicais dos coeficiente de uma equação qualquer para
a obtenção de suas raízes. Temos soluções para equações de graus até
quatro, mas não há método geral para equações de graus superiores a
quatro.
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Capítulo 1
Preliminares
Neste capítulo inicial, faremos uma rápida apresentação sobre
alguns conceitos matemáticos necessários para o desenvolvimento dos
tópicos que surgirão no texto. Todos estes temas são usualmente vistos em momentos anteriores ao estudo das estruturas algébricas como
desenvolvidos nos capítulos seguintes.
1.1 Conjuntos
O conceito de conjunto é fundamental para os desenvolvimentos
deste texto e também da Matemática de um modo geral. Faremos uma
abordagem rápida em que apresentaremos aspectos da álgebra dos
conjuntos. Detalhes sobre tratamento mais cuidadoso e axiomático
dos conjuntos podem ser encontrados em [5].
As notações abaixo são as usuais para os conjuntos numéricos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} o conjunto dos números naturais;
Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} o conjunto dos números inteiros;
a
Q = { : a, b ∈ Z e b ̸= 0} o conjunto dos números racionais;
b
R o conjunto dos números reais, que consiste dos números racionais
e dos irracionais;
C = {a+bi : a, b ∈ R e i2 = −1} o conjunto dos números complexos.
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Denotamos, em geral, os conjuntos por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas. O símbolo : entre chaves deve ser
lido como “tal que”.
Se A é um conjunto de números, denotamos por A∗ o conjunto A
sem o zero. Assim, N∗ = {1, 2, 3, ...}.
Representamos um conjunto dispondo seus elementos entre chaves, como nos seguintes casos, A = {a, b, c}, B = {0, 2, 4, ..., 2n, ...} e
P = {x ∈ B : x > 5}.
Escrevemos a ∈ A para indicar que o elemento a pertence ao
conjunto A e escrevemos a ∈
/ A para denotar que o elemento a não
pertence ao conjunto A. Para o conjunto A = {−1, 0, 1}, temos
−1 ∈ A, 2 ∈
/ A, 0 ∈ A, ....
O conjunto vazio é o único conjunto que não contém elementos.
Denotamos o conjunto vazio por { } ou, da maneira mais usual, por ∅.
Um conjunto é unitário quando possui apenas um elemento. Por
exemplo, A = {a} e B = {x ∈ Z : x2 = 0} são conjuntos unitários.
O conjunto universo V é constituído por todos os elementos que estão em consideração. Por isso, muitas vezes, é chamado de universo de
discurso. Como exemplo, na Geometria Euclidiana Plana, o conjunto
universo é o plano euclidiano.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os
elementos de A são também elementos de B. Nesse caso, dizemos
também que A está contido em B ou que B contém A. Denotamos a
inclusão de conjuntos por: A ⊆ B.
Para qualquer conjunto A, temos ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Estes dois
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subconjuntos são chamados de subconjuntos triviais de A.
O conjunto A é um subconjunto próprio de B se A ⊆ B e A ̸= B.
Denotamos a inclusão própria por: A ⊂ B.
Se A = {−1, 0, 1} e B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}, então temos A ⊂ B.
Neste caso também é correto escrever A ⊆ B.
Dois conjuntos A e B são iguais quando têm exatamente os mesmos
elementos. A igualdade de conjuntos é denotada por A = B.
Os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {x ∈ N : x ≤ 2} possuem os
mesmos elementos e, deste modo, A = B.
1.2 Operações com conjuntos
As operações com conjuntos nos ensinam como operar com
conjuntos e obtermos novos conjuntos a partir de conjuntos dados.
Introduzimos, a seguir, as operações de união, intersecção, complementação e diferença de conjuntos.
Sejam A e B dois conjuntos dados:
A união de A e B é o conjunto A ∪ B dos elementos que pertencem
a A ou a B.
A intersecção de A e B é o conjunto A ∩ B dos elementos que pertencem a A e a B.
A diferença entre A e B é o conjunto A−B formado pelos elementos
que pertencem a A, mas não pertencem a B.
O complementar de A relativo ao universo V é o conjunto A′ formado
pelos elementos que pertencem a V , mas não pertencem a A.
Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A ∩ B = ∅.
Dessas operações entre conjuntos seguem as seguintes proprieda-
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des das operações com conjuntos:
Propriedades da união:
A ∪ A = A [Idempotência]
A ∪ B = B ∪ A [Comutatividade]
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) [Associatividade]
A ∪ ∅ = A [Elemento neutro]
A ∪ V = V [Elemento absorvente]
A ⊆ A ∪ B [Disjunção]
Propriedades da intersecção:
A ∩ A = A [Idempotência]
A ∩ B = B ∩ A [Comutatividade]
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [Associatividade]
A ∩ ∅ = ∅ [Elemento absorvente]
A ∩ V = A [Elemento neutro]
A ∩ B ⊆ A [Conjunção]
Propriedades distributivas:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Propriedades do complementar:
(A′ )′ = A [Duplo complementar]
A ∩ A′ = ∅
A ∪ A′ = V
Propriedades de absorção e diferença:
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
A − B = A ∩ B′.
Exercícios
1. Verificar a validade das propriedades das operações com conjuntos.
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1.3 Relações
No contexto matemático é usual tomarmos dois elementos e
compararmos um com outro. Observar que um é maior que o outro,
que são iguais, que guardam algum tipo de propriedade ou relação.
A abstração algébrica destas situações nos remetem ao conceito de
relações, como veremos agora.
O produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B, que é
denotado por A × B, é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b)
tais que a ∈ A e b ∈ B. Deste modo, A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Também dizemos que este é um produto cartesiano binário, motivado pelo estudo do plano cartesiano, inicialmente investigado por
Rene Descartes, mas que pode ser generalizado para uma coleção de
conjuntos, do seguinte modo:
A1 × A2 × ... × An = {(a1 , a2 , ..., an ) : ai ∈ Ai }.
Uma relação binária de A em B é qualquer subconjunto de A × B.
Em geral trataremos de relações binárias e diremos apenas relação. Se R é uma relação, algumas vezes escrevemos xRy ao invés
de (x, y) ∈ R. Vejamos que isto é o que ocorre com a usual relação de ordem ≤ no conjunto dos números reais R.
Temos que
R = {(x, y) ∈ R × R : x é menor ou igual a y}, contudo, corriqueiramente denotamos esta relação por “x ≤ y” e não por “(x, y) ∈ R”.
Uma relação em um conjunto A (ou sobre um conjunto A) é um
subconjunto R do produto cartesiano A × A.
Seja R uma relação sobre A. Dizemos que R é:
(i) reflexiva quando, para todo a ∈ A, ocorre aRa;
(ii) simétrica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb, então bRa;
(iii) transitiva quando, para todos a, b, c ∈ A, se aRb e bRc, então
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aRc;
(iv) anti-simétrica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb e bRa, então
a = b.
(v) linear quando, para todos a, b ∈ A, ocorre aRb ou bRa.
Uma relação de ordem sobre um conjunto A é uma relação reflexiva,
anti-simétrica e transitiva. Uma relação de ordem total sobre A é uma
relação de ordem linear.
Exemplo 1.1. Se E é um conjunto qualquer, o conjunto das partes de E
é o conjunto P(E) = {X : X ⊆ E}. Então (P(E), ⊆) é uma relação de
ordem, mas não é uma ordem total.
Exemplo 1.2. A relação R = {(a, b) ∈ R : a ≤ b} é uma ordem linear.
Exercícios
1. Justificar a ordem da inclusão de conjuntos acima e mostrar porque
ela não é total.
1.4 Relação de equivalência
As relações de equivalência são importantes para os desdobramentos algébricos que planejamos encaminhar. De certo modo, elas
generalizam uma relação de igualdade.
Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo 1.3. A relação de igualdade em qualquer conjunto é sempre uma
relação de equivalência.
Exemplo 1.4. A semelhança de triângulos é uma relação de equivalência.
Dada uma uma relação de equivalência R em um conjunto A e a ∈ A,
a classe de equivalência de a segundo a relação R é o conjunto [a] = {x ∈
A : xRa}.
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Exemplo 1.5. Se A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)},
então R é uma relação de equivalência e as suas classes de equivalência
são dadas por: [1] = {1, 2}, [2] = {1, 2} e [3] = {3}.
Teorema 1.1. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto A.
Então:
(i) duas classes de equivalência de R são iguais ou disjuntas e
(ii) o conjunto A é a união de todas as classes de equivalência.
Demonstração: (i) Sejam [a] e [b] duas classes. Se [a] e [b] são disjuntas,
nada há para verificar. Agora, se [a] ∩ [b] ̸= ∅, então deve ser o caso que
[a] = [b]. Se [a] ∩ [b] ̸= ∅, então existe c ∈ [a] ∩ [b] e, daí, cRa e cRb.
Portanto, aRc, cRb e, assim, aRb. Se d ∈ [a], então dRa, e como aRb,
então dRb, ou seja, d ∈ [b], o que mostra que [a] ⊆ [b]. De modo análogo,
verifica-se que [b] ⊆ [a]. Portanto, [a] = [b].
(ii) Como [a] ⊆ A, então ∪{[a] : a ∈ A} ⊆ A. Por outro lado,
A ⊆ ∪{[a] : a ∈ A}. Portando, A = ∪{[a] : a ∈ A}.
Se R é uma relação de equivalência sobre o conjunto A, então o conjunto quociente de A pela relação R é o conjunto das classes de equivalência de R, isto é, A/R = {[a] : a ∈ A} = {B ∈ P(A) : B =
[a], para algum a ∈ A}.
Exemplo 1.6. No exemplo anterior, A/R = {[1], [3]}.
1.5 Funções
Naturalmente reconhecemos que o conceito de função é central
para quase tudo em Matemática.
Apenas recordaremos algumas
definições.
Uma função f de A em B é uma relação de A em B tal que para cada
x ∈ A existe um único y que satisfaz (x, y) ∈ f .
Em geral, denotamos uma função f de A em B por f : A → B e
(x, y) ∈ f por y = f (x).
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Quando f : A → B é uma função de A em B, então dizemos que A
é o domínio de f , B é o contradomínio de f e a imagem de f é o conjunto
Im(f ) = {b ∈ B : b = f (a), para algum a ∈ A}.
Exemplo 1.7. Para um conjunto A, iA : A → A é a função identidade em
A que é definida por iA (x) = x, para todo x ∈ A.
Uma função f : A → B é sobrejetiva quando Im(f ) = B. Ela é
injetiva quando, para x, y ∈ A, se x ̸= y, então f (x) ̸= f (y) e é bijetiva
se é injetiva e sobrejetiva.
1.6 Operações
São as operações e as propriedades partilhadas pelas operações
que determinam as estruturas algébricas. Recordemos então alguns
aspectos das operações, que são casos particulares de funções.
Uma operação binária sobre um conjunto A é uma função
∗ : A × A → A.
Assim, uma operação binária em A associa a cada par de elementos
de A um outro elemento de A.
Exemplo 1.8. A adição é uma operação em R, pois a soma de números
reais é ainda um número real.
Exemplo 1.9. Do mesmo modo, a adição é uma operação em N, Z, Q, R
e C.
Exemplo 1.10. A multiplicação também é uma operação em N, Z, Q, R e
C.
Exemplo 1.11. A subtração não é uma operação N, pois 0 ∈ N e 1 ∈ N,
mas 0 − 1 ∈
/ N. Mas a subtração é uma operação nos conjuntos Z, Q, R e
C.
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Exemplo 1.12. No conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, a
adição e o produto de matrizes são operações.
Assim como na adição + e na multiplicação ·, indicamos cada operação genérica por um símbolo específico para aquela operação.
Exemplo 1.13. Em N a operação sucessor definida por s(n) = n + 1 é
uma operação de aridade 1 ou unária.
Uma estrutura algébrica é determinada por um par (A, {♮i }i∈I ), em
que A é um conjunto não vazio e {♮i } é um conjunto de operações de
aridades finitas sobre A.
Exemplo 1.14. (N, s, +, ·) é uma estrutura algébrica determinada pelo
conjunto dos números naturais N, munido das operações sucessor s, adição
+ e multiplicação ·.
Veremos, posteriormente, que as propriedades partilhadas pelas
operações de cada estrutura algébrica é que caracterizarão as particulares estruturas que investigaremos no texto.
1.7 Propriedades das operações
Sejam ∗ e # operações sobre um conjunto A.
Propriedade associativa: a operação ∗ é associativa se para todos
x, y, z ∈ A, tem-se: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
Propriedade comutativa: a operação ∗ é comutativa quando para
todos x, y ∈ A, tem-se: x ∗ y = y ∗ x.
Elemento Neutro: a operação ∗ admite um elemento neutro e ∈ A
se para todo x ∈ A tem-se: x ∗ e = x = e ∗ x.
Elemento Inverso ou Simétrico: um elemento x de A tem um inverso
segundo a operação ∗, quando existe x′ ∈ A tal que x ∗ x′ = e = x′ ∗ x,
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em que e é o elemento neutro de A em relação à operação ∗.
Se o elemento tem um inverso (ou simétrico) ele é chamado de
inversível (ou simetrizável). Algumas vezes o elemento simétrico de
um elemento segundo uma operação de adição é chamado de oposto;
e o elemento simétrico segundo uma operação de multiplicação é
chamado de inverso.
Lei do Cancelamento: a lei do cancelamento vale para a operação
∗ se para todos x, y, z ∈ A tem-se: x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z
e
y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z.
Propriedade Distributiva: a operação # é distributiva em relação à
operação ∗ quando, para todos x, y, z ∈ A, valem:
x#(y ∗ z) = (x#y) ∗ (x#z) e (y ∗ z)#x = (y#x) ∗
(z#x).
Exemplo 1.15. As operações usuais de adição e multiplicação de números
reais são associativas e comutativas.
Exemplo 1.16. A subtração sobre Z não é associativa nem comutativa,
pois: (9 − 3) − 5 = 1 ̸= 7 = 9 − (5 − 3) e 4 − 2 = 2 ̸= −2 = 2 − 4.
Exemplo 1.17. A adição e a multiplicação de matrizes reais n × n
são associativas. A adição é comutativa, mas a multiplicação não. Por
exemplo, no caso de matrizes 2 × 2:
(
1 1
0 0
)(
1 0
1 0
)
(
=
2 0
0 0
) (
e
1 0
1 0
)(
1 1
0 0
)
(
=
1 1
1 1
)
.
Exemplo 1.18. Os números 0 e 1 são respectivamente os elementos neutros para a adição e multiplicação em N, Z, Q, R e C.
Exemplo 1.19. A adição de matrizes em Mm×n (R) tem como elemento
neutro a matriz nula m × n.
Exemplo 1.20. A subtração não tem elemento neutro em Z, pois: 2 − a =
2 ⇒ a = 0 e a − 2 = 2 ⇒ a = 4.
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Exemplo 1.21. Todo número inteiro tem seu oposto em Z, pois: n +
(−n) = 0 = −n + n.
Exemplo 1.22. O número 2 não é um elemento inversível para a multiplicação em Z, pois não existe n ∈ Z tal que 2n = 1.
Exemplo 1.23. Para a multiplicação em R, não vale a lei do cancelamento, pois 0.3 = 0.4, contudo 3 ̸= 4.
Observar que em R, a multiplicação é distributiva em relação à adição e em Mn (R), a multiplicação é distributiva em relação à adição.
Exercícios
1. Verificar que:
(a) A composição de funções de R em R é associativa.
(b) A potenciação em N não é associativa, nem comutativa.
(c) A divisão em R∗ não é associativa, nem comutativa.
2. Mostrar que se uma operação ∗ admite elemento neutro, então ele é
único.
3. Indicar os elementos neutros para a adição e para a multiplicação de
matrizes reais de ordem 2 isto é, matrizes de ordem 2 × 2.
4. Seja ∗ uma operação associativa e com elemento neutro. Mostrar que
se x tem um simétrico segundo ∗, então ele é único.
5. Seja ∗ uma operação com elemento neutro. Mostrar que:
(a) se x é simetrizável, então o seu simétrico x′ também é simetrizável
e (x′ )′ = x;
(b) se ∗ é associativa e x, y ∈ A são simetrizáveis, então (x ∗ y) é simetrizável e (x ∗ y)′ = y ′ ∗ x′ .
6. Seja ∗ uma operação com elemento neutro num conjunto A. Mostrar
que A tem pelo menos um elemento simetrizável.
7. Mostrar que para a adição em Z vale a lei do cancelamento.
8. Seja ∗ uma operação associativa e com elemento neutro. Mostrar que
se x é simetrizável, então podemos cancelar x, isto é, podemos mostrar
que a ∗ x = b ∗ x ⇒ a = b.
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1.8 Os inteiros
Não pretendemos aqui fazer um desenvolvimento da Teoria dos
Números como seria desejável em um curso de graduação. Nosso
objetivo é apenas apresentar alguns conceitos e resultados necessários
para tópicos que virão mais adiante. Esses resultados e conceitos
podem ser encontrados em textos de Teoria dos Números, como por
exemplo em [16].
Consideraremos o conjunto dos números inteiros Z, com as suas
operações usuais de adição + e multiplicação · que satisfazem as
propriedades:
Adição: Para todos a, b, c ∈ Z valem:
A1 Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c;
A2 Comutatividade: a + b = b + a;
A3 Elemento neutro: para todo a existe o 0 tal que a + 0 = 0 + a = a;
A4 Elemento oposto: para todo a existe −a
∈
Z tal que
(−a) + a = a + (−a) = 0;
Multiplicação: Para todos a, b, c ∈ Z valem:
M1 Associatividade: a · (b · c) = (a · b) · c;
M2 Comutatividade: a · b = b · a;
M3 Elemento neutro: para todo a existe o 1 tal que a · 1 = 1 · a = a;
M4 Multiplicação por zero: 0 · a = 0;
M5 Produto nulo: a · b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0;
M6 Regra do sinal: (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b;
Distributividade e desigualdades: Para todos a, b, c ∈ Z valem:
D0 Distributividade: a · (b + c) = a · b + a · c;
D1 a < b ⇔ a + c < b + c;
D2 a < b e c > 0 ⇒ a · c < b · c;
D3 a < b e c < 0 ⇒ a · c > b · c.
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Como usualmente, denotaremos a multiplicação de a por b por a · b
ou apenas por ab.
Princípio da boa ordenação: Todo conjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Isto é, se S ⊆ N e S ̸= ∅,
então existe s ∈ S tal que s ≤ n, para todo n ∈ S.
Primeiro princípio de indução: Sejam m ∈ N e P (n) uma sentença para n ∈ N, que satisfaz:
(i) P (m) é verdadeira e
(ii) se n ≥ m e P (n) é verdadeira, então P (n + 1) é verdadeira.
Então P (n) é verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m.
Segundo princípio de indução: Sejam m ∈ N e P (n) uma sentença para n ∈ N, que satisfaz:
(i) P (m) é verdadeira e
(ii) para cada n ∈ N, com n > m, se P (r) é verdadeira para todo
r ∈ N quando m ≤ r < n, então P (n) é verdadeira.
Então P (n) é verdadeira para todo n ∈ N, com n ≥ m.
O princípio da boa ordenação e os dois princípios de indução
são equivalentes, isto é, a partir de um deles podemos demonstrar os outros dois. A equivalência pode ser verificada da seguinte
forma: (boa ordenação ⇒ 2o Princípio de Indução ⇒ 1o Princípio de
Indução ⇒ boa ordenação) e pode ser encontrada, por exemplo em [16].
Propriedade arquimediana de Z: Se a e b são inteiros e a ̸= 0,
então:
(i) existe d ∈ Z tal que da > b;
(ii) existe e ∈ Z tal que ea < b.
Divisibilidade: Para a e b inteiros, dizemos que a divide b, ou
que a é um divisor de b, se b é um múltiplo inteiro de a.
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Notação: a | b ⇔ b = qa, para algum q ∈ Z.
Propriedades da divisibilidade:
Para quaisquer a, b, c inteiros,
valem:
(i) a | a, 1 | a e a | 0;
(ii) a | b ⇒ a | bc;
(iii) a | b ⇒ a | bn , para todo n ∈ N∗ ;
(iv) a | b e a | c ⇒ a | (b + c);
(v) a | b e a | (b + c) ⇒ a | c;
(vi) a | b e a | c ⇒ a | (rb + sc), para quaisquer r e s inteiros;
(vii) a | b e b > 0 ⇒ a ≤ b;
(viii) ab = 1 ⇒ a = b = 1 ou a = b = −1;
(ix) a | b e b | a ⇒ a = b ou a = −b.
Se a1 , a2 , ..., an são inteiros tais que a | ai , para todo i, então,
aplicando indução e o ítem (iv) das propriedades acima, prova-se que
p | (a1 + a2 + . . . + an ).
O algoritmo da divisão: Dados n e d inteiros com d > 0, então
existem únicos inteiros q e r tais que n = qd + r e 0 ≤ r < d.
O máximo divisor comum: Dados a e b inteiros não ambos nulos, o máximo divisor comum de a e b é um inteiro positivo d que
satisfaz:
(i) d | a e d | b;
(ii) se c é um inteiro tal que c | a e c | b, então c | d.
Notação: d = mdc(a, b).
O conceito de máximo divisor comum pode ser estendido para um
conjunto finito de inteiros, tal que nem todos sejam nulos:
O inteiro positivo d é o máximo divisor comum de a1 , a2 , ..., an se:
(i) d | ai , para todo i;
(ii) se c é um inteiro e c | ai para todo i, então c | d.
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Notação: d = mdc(a1 , a2 , ..., an ).
Os inteiros a1 , a2 , ..., an são relativamente primos ou primos entre
si quando:
mdc(a1 , a2 , ..., an ) = 1.
Propriedades do máximo divisor comum: Para a, b ∈ Z, temos:
(i) se d = mdc(a, b), então d é o menor inteiro positivo da forma
ra + sb, para r e s inteiros;
(ii) para r, s ∈ Z, se ra + sb = 1, então mdc(a, b) = 1;
a1 a2
an
(iii) se d = mdc(a1 , a2 , ..., an ), então mdc( , , ..., ) = 1.
d d
d
Números primos: Um inteiro p > 1 é primo se seus únicos divisores positivos são p e 1.
O Teorema Fundamental da Aritmética: Cada número inteiro
n > 1 decompõe-se de modo único como um produto de primos, no
seguinte sentido:
n = pr11 pr22 .....prt t ,
em que p1 < p2 < ... < pt são primos e t, r1 , r2 , ..., rt são inteiros
positivos.
Propriedades dos números primos: Se p é um número primo,
então:
(i) se p divide um produto de inteiros, então divide pelo menos um
deles;
(ii) se n é um inteiro positivo menor que p, então p - n;
(iii) se p - n, então mdc(n, p) = 1;
(iv) se a e b são inteiros e p | ab, mas p2 - ab, então p divide somente
um dos dois números.
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As congruências de módulo n
As congruências módulo n, além de exemplos de relações de
equivalência, têm muitas aplicações algébricas e são importantes
instrumentos para exemplos e contra-exemplos de propriedades
algébricas.
Sejam a, b, n ∈ Z e n > 1. A relação “a é congruente a b módulo n”,
que é denotada por a ≡ b(mod n) é definida por:
a ≡ b(mod n) ⇔ n | a − b ⇔ a − b = q.n, para algum
q ∈ Z.
Exemplo 1.24. Temos 5 ≡ 2(mod 3), 7 ≡ −1(mod 4), −1 ≡ 13(mod 7) e
31 ≡ 31(mod 77).
A congruência módulo n é uma relação de equivalência, pois:
Reflexividade: para todo a ∈ Z, temos que a − a = 0 = 0.n, isto é,
a ≡ a(mod n) e, portanto, a relação é reflexiva;
Simetria: para todos a, b ∈ Z, se a ≡ b(mod n), então a − b = c.n e,
portanto, b − a = −(a − b) = −c.n. Logo, b ≡ a(mod n) e a relação é
simétrica;
Transitividade:
b
≡
para todos a, b, c
c(mod n), então a − b
=
∈
Z, se a
d.n e b − c
≡
b(mod n) e
=
e.n.
Logo,
a − c = a − b + b − c = d.n + e.n = (d + e).n. Portanto, a ≡ c(mod n) e
a relação é transitiva.
Determinaremos, agora, o conjunto quociente de Z pela congruência módulo n:
Pelo algoritmo da divisão, para cada m ∈ Z existem e são únicos o quociente e o resto q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n, tais que m = qn + r. Assim,
m − r = qn, ou seja, m ≡ r(mod n). Desse modo, para cada m ∈ Z,
existe um único r ∈ {0, 1, ..., n − 1} tal que m ≡ r(mod n), ou seja, em
vista do Teorema 1.1, as classes de equivalência de m e de r coincidem.
Também, se 0 ≤ r < s < n, então 0 < s − r ≤ s < n, ou seja, r e
s não são congruentes módulo n. Denotamos a classe de equivalência
de m ∈ Z por m e temos m ∈ {0, 1, ..., n − 1}, conforme observamos
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acima. Se 0 ≤ r ̸= s < n, então r ̸= s e o conjunto quociente de Z pela
congruência é um conjunto com n elementos:
Zn = {0, 1, ..., n − 1}.
Operações aritméticas em Zn
As operações de adição e multiplicação em Zn são definidas do
modo seguinte.
Para a, b ∈ Zn , definimos:
a + b = a + b e a.b = a.b
Precisamos verificar que as operações acima estão bem definidas,
isto é, se a = b e c = d, então a + c = b + d e a.c = b.d, ou seja,
mostrar que a + b = c + d e a.c = b.d. Como duas classes x e y são
iguais se, e somente se, x ≡ y(mod n), então basta mostrarmos que
a + c ≡ b + d(mod n) e a.c ≡ b.d(mod n). Isto será feito na próxima
proposição.
Proposição 1.2. Sejam a, b, c, d, n ∈ Z, com n > 1. Daí:
(i) Se a ≡ b(mod n), então a + c ≡ b + c(mod n);
(ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), então a + c ≡ b + d(mod n);
(iii) Se a ≡ b(mod n), então a.c ≡ b.c(mod n);
(iv) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), então a.c ≡ b.d(mod n);
Demonstração: (i) Se a ≡ b(mod n), então n|(a − b) ⇔ n|(a + c − c − b) ⇔
n|(a + c) − (b + c). Portanto, a + c ≡ b + c(mod n);
(ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), por (i), temos que a + c ≡
b + c(mod n) e b + c ≡ b + d(mod n). Pela transitividade da relação ≡,
a + c ≡ b + d(mod n).
Como a = r, e r é o resto da divisão de a por n, podemos então definir as operações de adição e multiplicação em Zn = {0, 1, ..., n − 1} por:
a + b = c e a.b = d,
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em que c e d são, respectivamente, os restos das divisões de a + b e a.b
por n.
Exemplo 1.25. Em Z15 temos 10 + 10 = 5; 3 + 7 = 10; 6 + 12 = 3;
5·5 = 10; 10·6 = 0.
Vejamos algumas propriedades das operações de Zn .
Proposição 1.3. Se a, b, c ∈ Zn , então:
(i) Fechamento: a + b ∈ Zn e a·b ∈ Zn
(ii) Comutatividade: a + b = b + a e a·b = b·a
(iii) Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c e a·(b·c) = (a·b)·c
(iv) Distributividade: a·(b + c) = a·b + a·c e (a + b)·c = a·c + b·c
(iv) Neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a
(v) Neutro da multiplicação: 1·a = a·1 = a
(vi) Multiplicação por zero: 0·a = a·0 = 0
(vii) Oposto: a + n − a = n − a + a = 0, se 0 < a < n e 0 + 0 = 0
Demonstração: (i) Segue das definições das operações.
(ii) Também seguem das definições das operações, pois a + b = b + a e
a.b = b.a.
(iii) a + (b + c) = a + d = e e (a + b) + c = f + c = g, em que d, e, f , e
g são respectivamente os restos das divisões de b + c, a + d, a + b e f + c
por n. Assim, existem números naturais q1 , q2 , q3 e q4 tais que:
(1) b + c = q1 n + d
(2) a + d = q2 n + e
(3) a + b = q3 n + f
(4)
f + c = q4 n + g
De (1) e (2) temos a+(b+c) = a+(q1 n+d) = q1 n+(a+d) = q1 n+(q2 n+e).
Logo, a + b + c = (q1 + q2 )n + e, ou seja, e é o resto da divisão de a + b + c
por n.
De (3) e (4) temos (a+b)+c = (q3 n+f )+c = q3 n+(f +c) = q3 n+(q4 n+g).
Logo, a + b + c = (q3 + q4 )n + g, ou seja, g é o resto da divisão de a + b + c
por n.
Da unicidade do resto da divisão, temos que e = g. Assim, a + (b + c)= e =
g = (a + b) + c. De modo análogo, mostramos a·(b·c) = (a·b)·c.
Podemos fazer tabelas para a adição e para a multiplicação em Zn .
Por exemplo, para Z4 temos:
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2
3
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
Olhando para a tabela da adição vemos que os opostos de 1, 2 e 3
são, respectivamente, 3 , 2 e 1. Na tabela da multiplicação vemos que
os inversos de 1 e 3 são, respectivamente, 1 e 3, e que 0 e 2 não têm
inversos.
Exercícios
1. Completar a demonstração da Proposição 1.2.
2. Provar as demais propriedades das operações em Zn da Proposição 1.3.
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Capítulo 2
Grupos
A estrutura algébrica de grupos é uma das primeiras numa hierarquia de estruturas algébricas que serão vistas nesse texto. Numa
tal estrutura muito simples, podemos resolver, pela primeira vez nesta
hierarquia, uma equação de primeiro grau.
O conceito de grupo surgiu dos estudos de Évariste Galois com
equações de polinômios, em 1832. Embora Galois tenha utilizado
a ideia de grupo em todo o seu trabalho com equações, ele não deu
explicitamente uma definição de grupo. A definição ocorreu, pela
primeira vez, na publicação do trabalho de Galois, feita por Liouville
em 1846. Um ano antes, porém, Cauchy apresentou o conceito, ao
qual denominou de “sistema conjugado de substituições”. Durante
algum tempo, esses dois termos “grupo” e “sistema conjugado de substituições” foram utilizados. Contudo, em 1863, Jordan escreveu um
comentário sobre o trabalho de Galois, em que usou o termo “grupo”, e
a partir de então esta expressão passou a ser a mais utilizada, embora
o termo “sistema conjugado de substituições” também tenha sido
utilizado por alguns autores até por volta de 1880. Tanto Galois como
Cauchy definiam grupos somente em termos da propriedade de fechamento, sem que aparecesse a associatividade e os elementos neutro
e inverso. Ambos trabalhavam com permutações e, neste contexto,
as propriedades definidoras dos grupos surgiam automaticamente.
Aos poucos, a partir de trabalhos de outros matemáticos como Cayley,
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Kronecker, Burnside e Heinrich Weber, a definição de grupos, como a
conhecemos, ficou estabelecida.
Passemos então a mais algumas motivações e posterior definição do
conceito de grupos.
Do estudo de operações com números inteiros, Z, podemos ressaltar as seguintes propriedades da adição.
Para quaisquer a, b, c em Z valem:
(+0 ) a + b ∈ Z (Fechamento);
(+1 ) a + (b + c) = (a + b) + c (Associatividade);
(+2 ) 0 ∈ Z e a + 0 = a = 0 + a (Elemento neutro da adição);
(+3 ) −a ∈ Z e a + (−a) = 0 = −a + a (Elemento inverso da adição).
Se no lugar de Z tomarmos Q, R, C, ou Mm×n (R) (o conjunto das
matrizes reais de ordem m × n), as propriedades acima permanecem
válidas. Inúmeros outros conjuntos com operações de adição ou outras operações satisfazem estas quatro propriedades, que são importantes no estudo de algumas teorias matemáticas, químicas e físicas.
Isso, de certa forma, justifica um estudo genérico de conjuntos com
uma operação que satisfaçam estas propriedades, muito embora a origem da Teoria dos Grupos esteja nos trabalhos de Galois, a respeito de
resolubilidade de equações polinomiais em termos de permutações de
suas raízes. Com esta abordagem que abstrai algumas propriedades de
uma estrutura algébrica, podemos identificar inúmeras propriedades
que são válidas em todas elas e, assim, não precisamos fazer exatamente o mesmo estudo em cada estrutura investigada, mas podemos
tratá-las todas como um pacote.
2.1 Definições e exemplos
Apresentamos agora a definição de grupo dada pelos axiomas que
definem um grupo genérico. A seguir apresentamos muitos exemplos
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de grupos, que são modelos para a caracterização formal dada na definição.
Definição 2.1. Um grupo é uma estrutura algébrica (G, ∗, e), em que G é
um conjunto não vazio, ∗ é uma operação binária em G e e é um elemento
de G tal que:
(G1 ) para todos a, b, c ∈ G: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (Propriedade
associativa)
(G2 ) o elemento e ∈ G é tal que para todo a ∈ G: a ∗ e = e ∗ a = a
(Elemento neutro)
(G3 ) para todo a ∈ G, existe b ∈ G tal que: a ∗ b = e = b ∗ a (Elemento
inverso).
Como vimos, como ∗ é uma operação em G, então é uma função
∗ : G × G → G, em que ∗(a, b) = a ∗ b. Assim, se a, b ∈ G, então a ∗ b ∈ G
e, naturalmente, vale a condição do fechamento.
Desde que introduzimos um conceito, então vejamos muitos exemplos de grupos.
Exemplo 2.1. (Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0), (C, +, 0).
Estes são grupos aditivos sobre os respectivos conjuntos numéricos.
Exemplo 2.2. (Zn , +, 0).
Ver as congruências módulo n, nas noções preliminares.
Exemplo 2.3. (R∗ , · , 1), (Q∗ , · , 1), (C∗ , · , 1).
Estes são grupos multiplicativos sobre os respectivos conjuntos numéricos. Temos, em cada caso, de excluir o 0, pois este elemento, em cada
conjunto, não tem o inverso para a multiplicação.
Definição 2.2. Um grupo (G, ∗, e) é finito quando G possui uma quantidade finita de elementos.
Exemplo 2.4. ({1, −1}, · , 1), ({1, −1, i, −i}, · , 1) são exemplos de grupos
finitos.
Exemplo 2.5. Para m e n inteiros positivos, o conjunto das matrizes reais
m × n é denotado por Mm×n (R). A terna (Mm×n (R), +, O) é o grupo aditivo de matrizes, em que O é a matriz m × n nula. Denotamos por Mn (R)
o conjunto das matrizes reais de ordem n, isto é, o conjunto Mn×n (R).
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A seguir mostramos um exemplo não usual, de um tipo que algumas
vezes é chamado de patológico.
Exemplo 2.6. Para a, b ∈ R − {−1} definimos a ∗ b = a + b + ab. Vamos
verificar que ∗ é uma operação em R − {−1}. É claro que se a = c e b = d
então a ∗ b = c ∗ d. Para a, b ∈ R − {−1}, a + 1 ̸= 0 e b + 1 ̸= 0. Logo,
(a + 1)(b + 1) ̸= 0, ou seja, ab + a + b + 1 ̸= 0. Portanto, a ∗ b = a + b + ab ̸=
−1, isto é, a ∗ b ∈ R − {−1}. Portanto, ∗ é uma operação em R − {−1}
Se a, b, c ∈ R − {−1}, então a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + bc) = a + (b + c +
bc)+a(b+c+bc) = a+b+c+ab+ac+bc+abc. Por outro lado (a∗b)∗c =
(a+b+ab)∗c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc.
Logo vale a associatividade.
Para todo a ∈ R−{−1} o neutro para ∗, caso exista, tem que ser tal que
0
a∗e = a. Daí, a+e+ae = a ⇒ e(1+ a) = 0 ⇒ e =
= 0, se a ̸= −1,
1+a
o que vale neste caso. Assim, 0 ∈ R − {−1} é tal que a ∗ 0 = 0 ∗ a = a.
Dado a ∈ R − {−1}, se o inverso de a é a′ , temos: a′ ∗ a = 0 ⇒
−a
a′ + a + a′ a = 0 ⇒ a′ (1 + a) = −a ⇒ a′ =
, pois a ̸= −1. Verifica-se
1+a
′
′
que a ∗ a = a ∗ a = 0.
Assim, (R − {−1}, ∗, 0) é um grupo.
Vejamos também alguns contra-exemplos:
Exemplo 2.7. (N, +, 0) não é um grupo, pois 2 ∈ N, mas não existe n ∈ N
tal que 2 + n = 0.
Exemplo 2.8. (Z, −, 0) não é um grupo, pois não satisfaz nenhuma das
condições G1 , G2 e G3 da definição de grupos.
Exemplo 2.9. (R, · , 1) não é um grupo, pois 0 ∈ R, mas não existe r ∈ R
tal que 0 · r = 1. Logo, (R, · , 1) não satisfaz a condição G3 . De forma
semelhante, (Q, ·, 1) e (C, ·, 1) não são grupos.
Exemplo 2.10. ({−1, 0, 1}, +) não é um grupo, apesar de estarem satisfeitas as condições G1 , G2 e G3 , pois “+” não é uma operação em {−1, 0, 1}
devido a que 1 ∈ {−1, 0, 1}, mas 1 + 1 = 2 ∈
/ {−1, 0, 1}.
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Na hierarquia de estruturas que estamos investigando, partiremos
do conceito de grupo a ao agregarmos novos axiomas algébricos que
deverão ser respeitados em novas situações, faremos as estruturas cada
vez mais específicas. Contudo, podemos dar alguns passos atrás e definirmos estruturas ainda mais gerais que grupos. Estas têm menos importância e servem principalmente para caracterização de exemplos.
Definição 2.3. Um monóide é uma estrutura matemática (G, ∗), em que
G é um conjunto não vazio e ∗ é uma operação associativa em G, isto é,
vale (G1 ).
Um semigrupo é uma estrutura matemática (G, ∗, e), em que (G, ∗) é
um monóide e e é um elemento neutro para ∗ em G, isto é, vale (G2 ).
Exemplo 2.11. (N, +, 0) não é um grupo, mas é exemplo de semigrupo.
Observamos, nos exemplos acima de grupos, que todos eles satisfazem a propriedade comutativa, isto é, para todos a, b ∈ G, temos que
a ∗ b = b ∗ a. Contudo, isto não vale sempre.
Definição 2.4. Um grupo (G, ∗, e) que satisfaz a propriedade comutativa:
(G4 ) para todos a, b ∈ G: a ∗ b = b ∗ a,
é chamado grupo abeliano ou grupo comutativo.
Veremos, a seguir, que existem grupos que não são abelianos.
Exemplo 2.12. Seja GL2 (R), o conjunto das matrizes reais inversíveis de
ordem 2, isto é, A ∈ GL2 (R) se, e somente se, det(A) ̸= 0. Das propriedades de multiplicação de matrizes, vemos que (GL2 (R), · , I2 ) é um grupo
multiplicativo. Mas este não é um grupo abeliano, pois:
(
)(
) (
) (
)(
) (
)
1 1
1 0
2 1
1 0
1 1
1 1
=
e
=
.
0 1
1 1
1 1
1 1
0 1
1 2
Exemplo 2.13. Generalizando, os grupos (GLn (R), · , In ), em que
GLn (R) é o conjunto das matrizes inversíveis de ordem n, com n ≥ 2, ·
é a operação de multiplicação de matrizes e In é a matriz identidade de
ordem n são grupos não abelianos.
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Tomemos, por exemplo, as matrizes A = (aij ) e B = (bij ), com aii =
bii = 1; a12 = b21 = 1; e todos os outros elementos das matrizes A e B
iguais a zero. Então: A · B ̸= B · A.
Exemplo 2.14. Se (G, ∗, e) é um grupo não abeliano, podemos ter
a ∗ c = c(
∗ b, com)
a ̸= b. Por exemplo,
no
(
) grupo GL2 (R)
( para: )
1 1
0 1
0 −1
A =
, B =
e C =
, então
0 1
1 1
1 2
(
)
(
)
1 2
−1
2
A·B = B·C =
. Também, (A · B)−1 =
,
1 1
1 −1
(
)(
) (
)
1 −1
−1 1
−2 1
enquanto que A−1 · B −1 =
=
.
0 1
1 0
1 0
Exercícios
1. Verificar se (M2 (R)∗ , · , I2 ) é um grupo multiplicativo, em que M2 (R)∗
é o conjunto das matrizes reais de ordem 2 sem a matriz nula, · é a multiplicação de matrizes e I2 é a matriz identidade de ordem 2.
2. Verificar que (R − {1}, ∗, 0), ∗ definida por a ∗ b = a + b − ab é um
grupo.
3. Dar dois exemplos de monóides que não são semigrupos.
4. Dar dois exemplos de semigrupos que não são grupos.
5. Seja (G, ∗, e) um semigrupo. Mostrar que (G, ∗, e) é um grupo se, e
somente se, para todos a, b ∈ G, as equações a ∗ x = b e y ∗ a = b têm
solução em G.
√
√
6. Mostrar que Z[ 2] = {a + b 2 : a, b ∈ Z} determina um grupo abeliano com a operação de adição.
a·b
.
2
8. Verificar se R é um grupo com a operação ⊕ nos casos abaixo:
7. Verificar se R∗ é um grupo com a operação a ⊙ b =
(a) a ⊕ b = a2 + b2 ;
(b) a ⊕ b = a + b − 3.
9. Verificar se G = {z ∈ C : |z| = 1} determina um grupo abeliano com
a operação de multiplicação de números complexos.
10. Verificar se G = {x ∈ R : |x| ≥ 1} determina um grupo abeliano
com a operação de multiplicação de números reais.
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2.2 Propriedades dos grupos
A operação de grupos ∗ é uma operação genérica, que ora pode ser
uma soma +, ora pode ser uma multiplicação · ou qualquer outra operação. É usual nos textos sobre grupos usarmos como símbolo da operação de grupos apenas o ponto ·, ou mesmo, representar a · b por ab,
apenas por questão de simplicidade.
Assim, adotaremos esta convenção para alguns grupos genéricos.
A operação será indicada por ·, e o elemento neutro por e e um inverso
de um elemento a por a′ . Diante da propriedade associativa e notação
usual da multiplicação, podemos, em alguns casos, eliminar os parênteses e pontos e escrevermos apenas: abc = a(bc) = (ab)c.
Seja (G, ·, e) um grupo. Então:
(P1 ) Existe um único elemento de G que satisfaz a propriedade
(G2 ), isto é, o elemento neutro é único.
Suponhamos que e e u satisfazem G2 . Então e = eu = u. Logo
existe um único elemento neutro para G e e denota este único elemento
neutro.
(P2 ) Para todos a, b, c ∈ G, se ac = bc ou ca = cb, então a = b.
Se ac = bc, então acc′ = bcc′ e, daí, ae = be. Logo, a = b. O caso
ca = cb é análogo.
(P3 ) Para cada a ∈ G, existe um único inverso para a.
Segue de (P2 ). Assim, a′ denota o único inverso para a.
(P4 ) Para todos a, b ∈ G, se ab = e ou ba = e, então b = a′ .
Seja ab = e. Como aa′ = e = ab, então aa′ = ab. Logo, por (P2 ),
a′ = b. O caso ba = e é análogo.
(P5 ) Para todo a ∈ G, (a′ )′ = a.
Como a′ .(a′ )′ = e = a′ .a, então, por (P2 ), (a′ )′ = a.
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(P6 ) para todos a, b ∈ G, (ab)′ = b′ a′ .
Como (ab)(b′ a′ ) = a(bb′ )a′ = aea′ = aa′ = e. Então, por (P4 ), b′ a′ =
(ab)′ .
Exercícios
1. Mostrar que (a1 a2 ... an )′ = a′n a′n−1 ... a′1 , para todo n ∈ N∗ .
2.3 Produto de grupos
Uma propriedade universal das estruturas algébricas é o produto de
estruturas. Em geral, dadas duas estruturas algébricas de um mesmo
tipo, tomamos como o domínio de uma nova estrutura o produto cartesiano dos domínios das estruturas dadas e de maneira, mais ou menos
natural, obtemos uma estrutura do mesmo tipo sobre este novo domínio. Estas novas estruturas são denominadas estruturas produto. Veremos como isto se aplica ao caso dos grupos.
Definição 2.5. Se (G, ∗, eG ) e (H, #, eH ) são grupos, então (G ×
H, · , (eG , eH )) é o grupo produto de (G, ∗, eG ) e (H, #, eH ), em que a operação “·” é definida por (g, h) · (g ′ , h′ ) = (g ∗ g ′ , h#h′ ), para g, g ′ ∈ G e
h, h′ ∈ H.
É fácil verificar que (G × H, · , (eG , eH )) é um grupo com elemento
neutro (eG , eH ), de maneira que eG e eH são, respectivamente, os elementos neutros de G e H. Também (g, h)′ = (g ′ , h′ ). Verifica-se facilmente que quando (G, ∗, eG ) e (H, #, eH ) são grupos abelianos, então
(G × H, · , (eG , eH )) também é um grupo abeliano.
Procedendo de maneira análoga, podemos estender a construção
acima para o produto de um conjunto finito de grupos: G1 ×G2 ×...×Gn .
Exemplo 2.15. Temos que (Z × GL2 (R), . , (1, I2 )) é um grupo com a operação (a, A) · (b, B) = (a + b, AB), em que na primeira coordenada temos
adição de inteiros e na segunda o produto de matrizes.
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Exemplo 2.16. Temos que (Z2 × Z2 , · , (1, 1)) é um grupo abeliano com 4
elementos: {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
Exercícios
1.
Mostrar a validade das afirmações acima sobre o grupo (G ×
H, · , (eG , eH )).
2.4 Grupos de permutações
Os exemplos de grupos são inúmeros. Tomando as funções reais
bijetivas, com a operação de composição de funções, temos um grupo
em que o elemento neutro é a função identidade. Como todo elemento
de um grupo precisa ter um inverso no grupo, é necessário a exigência
de funções bijetivas, pois apenas estas admitem a função inversa. O
grupo das permutações é uma particularização deste exemplo.
Definição 2.6. Sejam S um conjunto não vazio e P (S) = {f : S → S :
f é bijetiva}. Então, (P (S), ◦, iS ) é um grupo em que a operação ◦ é a composição de funções e o elemento neutro é a função identidade iS . O grupo
(P (S), ◦, iS ) é chamado grupo das permutações de S.
Certamente, a composição de funções é associativa, a função identidade iS é bijetiva e é o elemento neutro da composição de funções, e
toda função bijetiva é inversível.
Denotamos o grupo das permutações de {1, 2, ..., n} por Sn .
Como a cada função bijetiva de Sn corresponde a uma permutação
f (1)f (2)...f (n) de 1, 2, ..., n e o número total dessas permutações é n!,
então Sn possui n! elementos.
Para n ≥ 3, Sn é um grupo não abeliano, pois tomando f, g ∈ Sn de
modo que f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 3, g(1) = 2, g(2) = 3 e g(3) = 1
temos (f og)(1) = 1 e (gof )(1) = 3. Logo, f og ̸= gof e, desse modo, S3
é um exemplo de grupo não abeliano com 6 elementos.
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Notação: Se f ∈ Sn , então denotamos f por:
(1, f (1), f (f (1)), ...)(i, f (i), f (f (i)), ...), ...,
como nos exemplos abaixo.
Exemplo 2.17. Para f, g, h ∈ S4 tais que f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) =
2, f (4) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, g(4) = 4, h(1) = 3, h(2) =
4, h(3) = 1, h(4) = 2 denotamos f por (1, 3, 2, 4), g por (1, 3) e h por
(1, 3)(2, 4). A justificativa de podermos usar essa notação se encontra no
livro “Tópicos de Álgebra” (Herstein, 1970). Podemos fazer as composições
f og = (1, 3, 2, 4)(1, 3) = (1, 2, 4), pois 1 → 3 → 2, 2 → 2 → 4, 4 → 4 → 1
e 3 → 1 → 3; gof = (1, 3)(1, 3, 2, 4) = (2, 4, 3), pois 1 → 3 → 1, 2 → 4 →
4, 4 → 1 → 3 e 3 → 2 → 2. Da mesma forma, podemos encontrar f oh =
(1, 3, 2, 4)(1, 3)(2, 4) = (1, 2), f of = (1, 3, 2, 4)(1, 3, 2, 4) = (1, 2)(3, 4).
Exemplo 2.18. Podemos tomar os elementos de S3 como:
e (função identidade)
a = (1, 2, 3)
a2 = (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2)
a3 = a2 · a = (1, 3, 2)(1, 2, 3) = e = (1, 2, 3)(1, 3, 2) = a · a2 ⇒ a′ = a2
b = (1, 2)
b2 = e ⇒ b′ = b
ab = (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3)
ba = (1, 2)(1, 2, 3) = (2, 3).
Como S3 possui 3! = 6 elementos, podemos concluir que
S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} = {e, a, a2 , b, ab, ba}.
Exercícios
1. Encontrar o inverso para cada elemento de S3 .
2. Quais são os elementos de S4 ?
3. Encontrar elementos a e b de S4 tais que ab ̸= ba.
4. Encontrar a, b ∈ S3 tais que (ab)2 ̸= a2 b2 .
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2.5 Grupos de simetria
A partir de rotações e reflexões em um polígono regular é possível
definir uma estrutura de grupo, como veremos a seguir.
Tomaremos um quadrado no plano de vértices A, B, C e D, com lados na horizontal e na vertical, e o denotaremos por ABCD, quando o
vértice superior esquerdo for A, e os vértices B, C, D estiverem, respectivamente, tomados no sentido horário, a partir de A.
Uma rotação de 90o , no sentido horário, que leva cada vértice do
quadrado no vértice seguinte.
Uma reflexão em torno da diagonal tomada do vértice esquerdo superior ao vértice direito inferior, deixa estes vértices fixos e troca os
outros dois.
Denotamos por σ uma rotação, e por τ uma reflexão. Assim:
σ(ABCD) = DABC
σ 2 (ABCD)
= CDAB
σ 3 (ABCD)
= BCDA
σ 4 (ABCD)
= ABCD
τ (ABCD) = ADCB
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τ 2 (ABCD) = ABCD
στ (ABCD) = σ(ADCB) = BADC
σ 2 τ (ABCD) = σ 2 (ADCB) = CBAD
σ 3 τ (ABCD) = σ 3 (ADCB) = DCBA
Denotamos por e o não movimento e(ABCD) = ABCD e, então,
temos:
D = {e, σ, σ 2 , σ 3 , τ, στ, σ 2 τ, σ 3 τ }
que é um grupo. Podemos observar isso, na tabela abaixo:
·
e
σ
σ2
σ3
τ
στ
σ2τ
σ3 τ
e
e
σ
σ2
σ3
τ
στ
σ2τ
σ3 τ
σ
σ
σ2
σ3
e
στ
σ2τ
σ3τ
τ
σ2
σ2
σ3
e
σ
σ2τ
σ3τ
τ
στ
σ3
σ3
e
σ
σ2
σ3τ
τ
στ
σ2 τ
τ
τ
σ3τ
σ2 τ
στ
e
σ3
σ2
σ
σ2τ
σ
e
σ3
σ2
στ
στ
τ
σ3 τ
σ2 τ
σ2τ
στ
τ
σ3τ
σ2
σ
e
σ3
σ3 τ
σ3τ
σ2τ
στ
τ
σ3
σ2
σ
e
Diante disso, podemos tomar
D = {σ j τ i : 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j ≤ 3, τ 2 = σ 4 = e, στ = τ σ 3 , τ ̸= e, σ j ̸=
e para j = 1, 2, 3}
O exemplo acima pode ser estendido assim:
Definição 2.7. Consideremos um polígono regular de n lados e um eixo
de reflexão que passa por um vértice e pelo centro do polígono. O grupo
determinado por composições de rotações e reflexões sobre o polígono são
denominados grupos de simetrias ou grupos diedrais e tais grupos podem
ser descritos por:
Dn = {σ j τ i : 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j < n, τ 2 = σ n = e, στ = τ σ n−1 , τ ̸=
e, σj ̸= e, para 1 ≤ j < n}.
Devemos observar que quando o polígono tem n lados, o grupo tem
2n elementos.
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Cada elemento de Dn pode ser vistos como uma permutação de n
elementos, ou seja, como um elemento do grupo de permutações Sn ,
ao denominarmos os vértices do polígono de n lados pelos números
1, 2, ..., n. Assim, podemos considerar o grupo Dn como subgrupo de
Sn .
2.6 Grupos cíclicos
Como é usual em ciência, a expressão cíclico indica que após um
certo período, tudo se repete.
Definição 2.8. Sejam (G, ·, e) um grupo multiplicativo, a ∈ G e n ∈ N.
A potência de a é definida recursivamente por: a0 = e, an+1 = an · a e os
seus inversos são a′ = a−1 e (an )′ = (a−1 )n .
Com isso, definimos a potência de an , para todo n ∈ Z e muitas das
regras usuais sobre potências podem ser verificadas, isto é, para todos
inteiros m e n tem-se:
(i) am · an = am+n
(ii) (an )−1 = a−n
(iii) (a−n )−1 = an
(iv) (am )n = amn .
Na notação aditiva, a · b significa a + b, a′ significa −a, e an significa,
para n > 0, na = a + a + ... + a, a soma com n parcelas de a; para n < 0,
na = (−a) + (−a) + ... + (−a), a soma com −n parcelas de −a e para
n = 0, na = 0. Logo, ma + na = (m + n)a e n(ma) = (mn)a.
Definição 2.9. Sejam (G, ·, e) um grupo e a ∈ G. O conjunto gerado por
a é ⟨a⟩ = {an : n ∈ Z}.
Como a0 = e, am · an = am+n = an · am , (am · an ) · ap = am · (an · ap )
e (an )′ = a−n , então (⟨a⟩ , ·, e) é um grupo abeliano.
Definição 2.10. O grupo (⟨a⟩ , ·, e) é denominado grupo cíclico gerado
por a.
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Na notação aditiva teríamos que ⟨a⟩ = {na : n ∈ Z}.
Exemplo 2.19. Seja G = Z. Então:
⟨1⟩ = {n.1 : n ∈ Z} = {n : n ∈ Z} = Z.
⟨−1⟩ = {n.(−1) : n ∈ Z} = {−n : n ∈ Z} = Z .
⟨t⟩ = {n.t : n ∈ Z} é o conjunto dos inteiros múltiplos de t.
Diante disso, Z é um grupo cíclico e podemos tomar como gerador 1 ou
−1.
Exemplo 2.20. Para n > 0 inteiro, Zn é um grupo cíclico gerado por 1.
Exemplo 2.21. O grupo Z6 pode ser gerado por 1 e 5.
Exemplo 2.22. O grupo S3 não é cíclico pois (1, 2)2 = (1, 3)2 = (2, 3)2 =
e e (1, 2, 3)3 = (1, 3, 2)3 = e. Logo, nenhum elemento gera S3 .
Exemplo 2.23. O grupo R∗ não é cíclico. Para verificar isso, suponha que
sim, isto é, que existe a ∈ R∗ tal que R∗ = ⟨a⟩. Considere então 2 = an e
3 = am e, a partir disso, chegue em um absurdo.
Exercícios
1. Justificar os exemplos 2.20 e 2.21.
2. Sejam a, b ∈ Z e a operação ⊕ definida por a ⊕ b = a + b + 1. Verificar
se Z com essa operação:
(a) é um grupo ;
(b) é um grupo abeliano;
(c) é um grupo cíclico.
3. Verificar se o grupo Z2 × Z2 é um grupo cíclico.
4. Verificar se o grupo Z2 × Z3 é um grupo cíclico.
5. Quais elementos de Z5 geram Z5 ?
6. Seja (G, ·, e) um grupo abeliano. Mostrar que se a, b ∈ G e m ∈ Z,
então (ab)m = am bm .
7. Seja (G, ·, e) um grupo tal que a2 = e, para todo a ∈ G. Mostrar que
este grupo é abeliano.
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2.7 Subgrupos
Um outro conceito universal das estruturas algébricas é o de subestrutura. Uma subestrutura é uma estrutura contida em uma estrutura
de mesmo tipo.
Definição 2.11. Seja (G, ∗, e) um grupo. Um subgrupo de (G, ∗, e) é um
grupo (H, ∗, eH ), em que H ⊆ G, a operação ∗ é a mesma de (G, ∗, e).
Como já observamos, usualmente indicamos um grupo apenas pelo
seu domínio. Assim, escrevemos H < G para indicar que H é um subgrupo de G.
Exemplo 2.24. Se G é um grupo, então G < G e {e} < G são subgrupos
de G. Estes subgrupos são chamados subgrupos triviais de G.
Exemplo 2.25. Z < Q < R < C.
Exemplo 2.26. Q∗ < R∗ < C∗ .
Exemplo 2.27. R∗ não é um subgrupo de R, pois as operações são distintas: multiplicação e adição, respectivamente.
Exemplo 2.28. Z2 não é um subgrupo de Z3 .
Proposição 2.1. Sejam (G, ∗, e) um grupo e H ⊆ G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:
(i) e ∈ H;
(ii) para todos a, b ∈ H, a ∗ b ∈ H;
(iii) para todo a ∈ H, a′ ∈ H.
Demonstração: (⇒) É claro que se H < G, então as três condições são
satisfeitas. (⇐) Por outro lado, suponhamos as três condições satisfeitas.
A condição (i) garante que H ̸= ∅ e possui o elemento neutro de G; a
condição (ii) garante que a operação ∗ de G, quando restrita à H, é uma
operação em H; a condição (iii) garante a existência do inverso de cada
elemento de H. Como H ⊆ G, então vale a propriedade associativa também para os elementos de H. Desse modo, H é um grupo com a operação
de G e, portanto, H < G.
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Em vista da proposição acima, se H < G, então G e H possuem o
mesmo elemento neutro.
Exemplo 2.29. Se G = S3 = {e, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)},
podemos verificar que:
{e, (1, 2)} < S3 e {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 .
Corolário 2.2. Sejam (G, ∗, e) um grupo e H ⊆ G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:
(i) H ̸= ∅;
(ii) para todos a, b ∈ H, a ∗ b′ ∈ H.
Exemplo 2.30. Seja 3Z = {3 · n : n ∈ Z} o conjunto dos múltiplos de 3.
Temos:
(i) 3Z ̸= ∅, pois 0 = 3 · 0 ∈ 3Z;
(ii) Se a, b ∈ 3Z, digamos, a = 3n e b = 3m, então a − b = 3(n − m) ∈
3.Z.
Assim, pelo corolário anterior, 3Z < Z.
De modo semelhante, podemos mostrar que para qualquer
m ∈ Z, mZ < Z.
Se (G, ·, e) é um grupo e a ∈ G, como já vimos, ⟨a⟩ = {an : n ∈ Z} é
um grupo com a mesma operação de G e, desse modo, ⟨a⟩ < G. Dizemos
que ⟨a⟩ é o subgrupo cíclico de G gerado por a.
Agora, se S é um subconjunto não vazio de G, definimos:
⟨S⟩ = {(s1 )r1 .(s2 )r2 . ... .(sn )rn : si ∈ S e ri ∈ Z, i = 1, . . . , n}.
Fica como exercício verificar que ⟨S⟩ < G e ⟨S⟩ = ∩{H : H <
G e S ⊆ H}, e assim, ⟨S⟩ é o menor subgrupo de G que contém S.
Definição 2.12. Dizemos que ⟨S⟩ é o subgrupo de G gerado por S.
Exemplo 2.31. Para o grupo S3 temos:
⟨(1, 2)⟩ = {e, (1, 2)} e
⟨(1, 2, 3)⟩ = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}.
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Exemplo 2.32. S3 = ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩, pois:
(1, 2) ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩
(1, 2, 3) ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩
e = (1, 2)2 ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩
(1, 3, 2) = (1, 2, 3)2 ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩
(2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3) ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩
(1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2) = (1, 2)(1, 2, 3)2 ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩
Exercícios
1. Justificar o exemplo 2.28.
2. Dar uma demonstração do Corolário 2.2.
3. Mostrar que ⟨S⟩ é o menor subgrupo de G que contém S.
4. Mostrar que H = {2n : n ∈ Z} é um subgrupo de R∗ .
∗
5. Mostrar que H = {x ∈ R : {(
0 < x} é um
) subgrupo}de R .
a 0
6. Para G = M2×2 (R) e H =
: a, b ∈ R , mostrar que H <
b 0
G.
7. Para G = Z × Z e H = {(2a, 3b) : a, b ∈ Z}, mostrar que H < G.
8. Determinar todos os subgrupos de Z2 × Z3 .
9. Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de Z12 ?
(a) {0, 2, 4, 6, 8, 10}
(b) {0, 6}
(c) {0, 2, 3, 5, 8}
(d) {1, 3, 5, 7, 9, 11}
(e) {0, 4, 8}
(f) {0, 3, 6, 9}.
10. Determinar os seguintes subgrupos de Z8 .
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
(a) 2
(b) 5
(c) 4
(d) 2, 3 .
11. Verificar se o conjunto I dos números ímpares é um subgrupo do
grupo (Z, ⊕), para a ⊕ b = a + b + 1.
12. Para o grupo de permutações S4 :
(a) Determinar ⟨(1, 2, 3)⟩
(b) Determinar ⟨(1, 2, 3, 4)⟩
(c) Se H = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}, verificar se H é um
subgrupo de S4 e se H é abeliano.
13. Mostrar que todo subgrupo de um grupo abeliano também é um
grupo abeliano.
14. Mostrar que todo subgrupo de um grupo cíclico é um grupo cíclico.
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Nos exercícios a seguir, consideraremos sempre G como um grupo.
15. Sejam a ∈ G e C(a) = {g ∈ G : ag = ga}. Mostrar que C(a) < G. O
subgrupo C(a) é chamado o centralizador de a em G.
16. Seja Z(G) = {g ∈ G : ga = ag, para todo a ∈ G}. Mostrar que
Z(G) < G. O subgrupo Z(G) é chamado o centro de G .
17. Mostrar que se H e K são subgrupos de G, então H ∩ K também é
um subgrupo de G.
18. Exibir exemplo de grupos de maneira que H < G e K < G, mas
H ∪ K não é um subgrupo de G.
19. Se H < G e g ∈ G, mostrar que gHg ′ < G, para gHg ′ = {ghg ′ : h ∈
H}.
2.8 Classes laterais
Nessa seção envolvemos o conceito de classes de equivalência com
o conceito de grupos.
Definição 2.13. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Para a, b ∈ G,
definimos a relação a ≡ b(mod H), que deve ser lida como “a é congruente
a b módulo H”, se ab′ ∈ H.
Proposição 2.3. A relação a ≡ b(mod H) é uma relação de equivalência.
Demonstração: Propriedade reflexiva: para todo a ∈ G, aa′ = e ∈ H.
Logo, a ≡ a(mod H).
Propriedade simétrica: Sejam a, b ∈ G e a ≡ b(mod H). Assim, ab′ ∈
H e como H é um grupo, então ba′ = (ab′ )′ ∈ H. Logo, b ≡ a(mod H).
Propriedade transitiva: Sejam a, b, c ∈ G, a ≡ b(mod H) e b ≡
c(mod H). Daí ab′ ∈ H e bc′ ∈ H, e como H é um grupo, então
ac′ = ab′ bc′ ∈ H. Daí, a ≡ c(mod H).
A classe de equivalência de um elemento a de G, é denotada por:
a = {b ∈ G : b ≡ a(mod H)} = {b ∈ G : ba′ ∈ H}.
Segue então que b ∈ a se, e somente se, existe h ∈ H tal que ba′ = h
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se, e somente se, b = ha, para algum h ∈ H se, e somente se, b ∈ Ha =
{ha : h ∈ H}. Assim, a = Ha.
Definição 2.14. Chamamos de classe lateral à direita de H em G a cada
classe de equivalência Ha.
Denotamos o conjunto quociente de G pela relação de equivalência
dada pela congruência módulo H por:
G/H = {Ha : a ∈ G},
que é o conjunto das classes laterais à direita de H em G.
Observar que:
(CL1 ) a ∈ Ha, pois a = ea e e ∈ H;
(CL2 ) Ha = Hb ⇔ a ∈ Hb, pois duas classes de equivalência ou
coincidem ou são disjuntas;
(CL3 ) Ha = Hb ⇔ ab′ ∈ H (verificar);
(CL4 ) Ha
=
H
⇔
a
∈
H, pois H
=
He e por (b),
Ha = He ⇔ a ∈ He = H.
Se X é um conjunto, denotamos por |X| o número cardinal de X. O
cardinal de um conjunto indica sua quantidade de elementos. Se X é
finito, então |X| = n, para algum número natural n.
Definição 2.15. Se G é um grupo finito, a ordem de G é dada por |G|. Se
G é um grupo qualquer e g ∈ G é tal que ⟨g⟩ é um grupo finito, chamamos
de ordem de g ao número | ⟨g⟩ |, o qual será denotado simplesmente por
|g|. Dizemos que um grupo G tem ordem prima se |G| é um número primo.
Lema 2.4. Sejam G um grupo finito e H < G. Se a ∈ G, então |Ha| = |H|.
Demonstração: Consideremos a função f : H → Ha, definida por
f (h) = ha. Precisamos mostrar que f é bijetiva. A função f é injetiva,
pois se f (h) = f (k), então ha = ka e, daí, h = k. A função f também
é sobrejetiva, pois se ha ∈ Ha, então f (h) = ha. Portanto, f é bijetiva e
|H| = |Ha|.
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Definição 2.16. Se H < G e G/H é um conjunto finito, então chamamos
de índice de H em G ao número |G/H|.
Notação: (G : H) = |G/H| é o número de classes laterais à direita
de H em G.
Teorema 2.5. (Teorema de Lagrange) Se G é um grupo finito e H < G,
então |G| = |H|(G : H).
Demonstração: Como G é finito, então G/H é finito, digamos, G/H =
{Ha1 , Ha2 , ..., Han }, com Hai ̸= Haj quando i ̸= j. Como Hai e Haj
são classes de equivalências distintas quando i ̸= j, então Hai ∩Haj = ∅.
Por outro lado, G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ ... ∪ Han . Então, pelo lema anterior,
|G| = |Ha1 | + |Ha2 | + ... + |Han | = n · |H| = |H| · n = |H| · |G/H|. Desse
modo, |G| = |H|(G : H).
Em vista do Teorema de Lagrange temos que se H é um subgrupo de
G, então a ordem de H divide a ordem de G. Portanto, {0, 3, 6, 9} não é
subgrupo de Z10 .
Exemplo 2.33. Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Então, pelo Teorema de Lagrange, (S3 : H) = |S3 |/|H| = 6/2 = 3. Logo, temos 3 classes laterais
distintas:
H = {e, (1, 2)} (= H(1, 2))
H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} (= H(1, 2, 3))
H(1, 3) = {(1, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 3, 2))
e assim, G/H = {H, H(2, 3), H(1, 3)}.
Quando G é um grupo aditivo e H é um subgrupo de G, temos que
a ≡ b(mod H) ⇔ a − b ∈ H e as classes laterais são da forma H + a =
{h + a : h ∈ H}.
Exemplo 2.34. Seja H = {0, 2, 4} < Z6 . Então (Z6 : H) = |Z6 |/|H| =
6/3 = 2. Daí, temos 2 classes laterais:
H = {0, 2, 4} (= H + 2 = H + 4)
H + 1 = {1, 3, 5} (= H + 3 = H + 5).
Corolário 2.6. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então |a| divide |G|.
Demonstração: Do Teorema de Lagrange, temos que |G| = |a|(G : ⟨a⟩).
Logo, |a| divide |G|.
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Proposição 2.7. Sejam G um grupo e a ∈ G tal que ⟨a⟩ é um grupo finito.
Então |a| é o menor inteiro positivo n tal que an = e.
Demonstração: Se a = e, então n = 1 e ⟨a⟩ = {e}. Agora, consideremos
a ̸= e. Como ⟨a⟩ = {an : n ∈ Z} é finito, então existem inteiros i e j
(podemos supor i < j), tais que ai = aj . Logo, aj−i = aj a−i = ai a−i = e
e j − i > 0.
Assim, {n ∈ N∗ : an = e} ̸= ∅ e, pelo princípio da boa ordenação,
contém um menor elemento n. Mostraremos que ⟨a⟩ = {e, a, ..., an−1 } e
que os elementos e, a, ..., an−1 são todos distintos. Daí, concluímos que
|a| = n.
Sejam i, j ∈ Z tais que 0 ≤ j ≤ i < n. Se ai = aj , então ai .a−j =
aj .a−j . Logo, ai−j = aj−j = a0 = e. Como 0 ≤ i − j < n e n é o menor
inteiro positivo tal que an = e, então i − j = 0, ou seja, i = j. Diante
disso, {e, a, ..., an−1 } é um subconjunto de ⟨a⟩ que contém exatamente n
elementos. Se b ∈ ⟨a⟩, digamos que b = am , para algum m ∈ Z, então, pelo
algoritmo da divisão, existem q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n, tais que m = qn+r.
Logo, b = am = aqn+r = (an )q .ar = eq .ar = e.ar = ar ∈ {e, a, ..., an−1 }.
Assim, ⟨a⟩ = {e, a, ..., an−1 } e, portanto, |a| = n.
Corolário 2.8. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então a|G| = e.
Demonstração: Sejam |a| = n e |G| = m. Pelo corolário anterior, n divide
m, ou seja, m = nr, r ∈ N. Então am = anr = (an )r = er = e. Desse
modo, a|G| = e.
Exemplo 2.35. Como |S3 | = 6, então para todo a ∈ S3 , temos que a6 = e.
Exemplo 2.36. Como |Z8 | = 8, então 8.a = 0, para todo a ∈ Z8 .
Corolário 2.9. Se G é um grupo de ordem prima, então G é cíclico e é
gerado por qualquer a ̸= e.
Demonstração: Seja p = |G|, em que p é um número primo. Tomemos
a ∈ G, com a ̸= e. Então |G| = |a|(G : ⟨a⟩), isto é, |a| divide |G| = p.
Como |a| > 1 e os únicos divisores de p são 1 e p, então |a| = p = |G|.
Logo, ⟨a⟩ = G.
Exemplo 2.37. Em Z7 , ⟨a⟩ = Z7 , para cada a ̸= 0.
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Definição 2.17. Sejam 1 < r ≤ n inteiros. Um r-ciclo em Sn é uma
permutação (i1 , i2 , . . . , ir ) para i1 , i2 , . . . , ir inteiros distintos entre 1 e n.
Proposição 2.10. Para todo inteiro n ≥ 2, temos que:
(i) O grupo Sn é gerado pelos seus 2-ciclos;
(ii) Os ciclos (1, 2) e (1, 2, ..., n) geram o grupo Sn .
Demonstração: (i) Para cada r-ciclo temos que (i1 , i2 , ..., ir )
=
(i1 , ir )(i1 , ir−1 )...(i1 , i3 )(i1 , i2 ). Como toda permutação é um produto de
r-ciclos, então toda permutação é um produto de 2-ciclos. Assim, os 2ciclos geram Sn .
(ii) Seja H o subgrupo de Sn gerado por a e b, em que a = (1, 2) e
b = (1, 2, ..., n). Mostraremos que H = Sn . Por (i), basta mostrarmos que cada 2-ciclo está em H. Como cada 2-ciclo se escreve como
(i, j) = (1, i)(1, j)(1, i), basta mostrarmos que cada 2-ciclo (1, i) está em
H:
bab−1 = (2, 3), pois aplicando as compostas, temos 1 → n → n → 1;
2 → 1 → 2 → 3; 3 → 2 → 1 → 2, 4 → 3 → 3 → 4, ...,
n → n − 1 → n − 1 → n. Assim, (2, 3) está em H.
b2 ab−2 = (3, 4) pois aplicando as compostas, temos 1 → n−1 → n−1 → 1
; 2 → n → n → 2; 3 → 1 → 2 → 4, 4 → 2 → 1 → 3, ...,
n → n − 2 → n − 2 → n. Assim, (3, 4) está em H.
···
bn−2 ab−(n−2) = (n − 1, n) e bn−1 ab−(n−1) = (n, 1)
Assim, temos {(1, 2), (2, 3), (3, 4), ..., (n − 1, n), (n, 1)} ⊆ H.
Também, (1, 2)(2, 3)(1, 2)
=
(1, 3); (1, 3)(3, 4)(1, 3)
=
(1, 4);
(1, 4)(4, 5)(1, 4) = (1, 5); ... ; (1, n − 1)(n − 1, n)(1, n − 1) = (1, n).
Finalmente, {(1, 2), (1, 3), (1, 4), ..., (1, n)} ⊆ H.
Definição 2.18. Dois ciclos (i1 , i2 , ..., ir ) e (j1 , j2 , ..., js ) são disjuntos se
os conjuntos {i1 , i2 , ..., ir } e {j1 , j2 , ..., js } são disjuntos.
Enunciaremos agora alguns resultados, cujas demonstrações, algumas imediatas, outras nem tanto, podem ser encontradas em textos da
bibliografia, como em [8].
Lema 2.11. Para todo inteiro n ≥ 2 temos:
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(i) A ordem de cada r-ciclo é r;
(ii) Toda permutação a ∈ Sn , a ̸= e, pode ser escrita de modo único, a
menos da ordem, como um produto de ciclos disjuntos;
(iii) Se a = a1 a2 ...am , em que a1 , a2 , . . . , am são ri -ciclos disjuntos 2 a
2, então a ordem de a é igual a mmc(r1 , r2 , ..., rm );
(iv) Se n é primo e a é uma permutação de ordem n, então a é um nciclo.
(v) Se n é primo, a é um 2-ciclo e b é um n-ciclo então a e b geram Sn .
Exercícios
1. Encontrar G/H para:
(a) G = S3 e H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}
(b) G = Z10 e H = {0, 2, 4, 6, 8}
(c) G = Z10 e H = {0, 5}
(d) G = Z e H = 3Z.
2. Para H < G e a ∈ G, definimos aH = {ah : h ∈ H} e aHa′ = {aha′ :
h ∈ H}. Mostrar que:
(a) aH = Ha ⇔ aHa′ = H
(b) aHa′ = H ⇔ aH = Ha
(c) aG = G.
3. Em Z12 , encontrar as ordens dos seguintes elementos:
(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6.
4. Em S5 , encontrar as ordens dos seguintes elementos:
(a) (1, 2, 4, 3) (b) (1, 3, 2) (c) (1, 2)(3, 4) (d) (1, 3) (e) (1, 3)(2, 4, 5).
2.9 Subgrupos normais
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Ao definirmos a congruência módulo H, partimos da relação de equivalência a ≡ b(mod H)
se, e somente se, ab′ ∈ H e definimos as classes laterais à direita Ha.
De maneira análoga, partindo da relação de equivalência a ≡ b(mod H)
quando a′ b ∈ H, chegaremos à definição de classe lateral à esquerda de
H, dada por aH = {ah : h ∈ H}, com resultados análogos. Natural-
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mente, se G é um grupo abeliano, então aH = Ha. Porém, quando G
não é abeliano podemos ter aH ̸= Ha.
Exemplo 2.38. Seja H
= {e, (1, 2)} < S3 .
Temos H(2, 3) =
{(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo, H(2, 3) ̸= (2, 3)H.
Exemplo 2.39. Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Como |H| = 3 e
|S3 | = 6, temos então 2 classes laterais à direita:
He = H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} = H(1, 2, 3) = H(1, 3, 2);
H(1, 2) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} = H(1, 3) = H(2, 3).
De modo semelhante, temos 2 classes à esquerda:
eH = H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} = (1, 2, 3)H = (1, 3, 2)H;
(1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} = (1, 3)H = (2, 3)H.
Neste caso, Ha = aH, para todo a ∈ S3 , mesmo diante do fato de S3
não ser abeliano.
Definição 2.19. Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Dizemos que
N é um subgrupo normal de G se para todo a ∈ G, aN = N a.
Notação: indicamos que N é um subgrupo normal de G por N G.
Proposição 2.12. Se G é um grupo e N um subgrupo de G, então as seguintes condições são equivalentes:
(i) N G;
(ii) para todo a ∈ G, aN a′ = N , em que aN a′ = {ana′ : n ∈ N };
(iii) para todo a ∈ G, aN a′ ⊆ N .
Demonstração: (i) ⇔ (ii): aN = N a ⇔ aN a′ = N aa′ = N e = N .
(ii) ⇒ (iii) Imediato.
(iii) ⇒ (ii) Dado a ∈ G, como a′ ∈ G, então, por hipótese, a′ N a =
a′ N (a′ )′ ⊆ N . Assim, N = eN e = aa′ N (a′ )′ a′ ⊆ aN a′ . Como, por
hipótese, aN a′ ⊆ N , temos a igualdade.
Exemplo 2.40. Se G é um grupo abeliano, então todo subgrupo H de G é
um subgrupo normal, pois aH = Ha para todo a ∈ G.
Exemplo 2.41. Se G é um grupo, verifica-se facilmente que {e} G.
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Exemplo 2.42. Se G é um grupo, G G, pois para qualquer a ∈ G, aG =
G e Ga = G.
Exemplo 2.43. Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Já vimos que para
todo a ∈ S3 , aH = Ha. Logo H S3 .
Exemplo 2.44. Seja H
= {e, (1, 2)} < S3 .
Temos H(2, 3) =
{(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo, H(2, 3) ̸= (2, 3)H
e, portanto, H não é um subgrupo normal de S3 .
Observemos que aN = N a não significa que an = na, para cada
n ∈ N . Significa, contudo, que para cada n ∈ N , existe m ∈ N de
maneira que an = ma.
Exemplo 2.45. Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Temos que
H(1, 2) = (1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3) ̸=
(2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3), mas (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2).
Exercícios
1. Sejam G um grupo, H e K subgrupos de G e HK = {hk : h ∈ H e k ∈
K}. Mostrar a validade de:
(a) HK é um subgrupo de G se, e somente se, HK = KH.
(b) se G é abeliano, então HK < G.
(c) se H G ou K G, então HK < G.
(d) se H G e K G, então HK G.
(e) se H G e K G, então H ∩ K G.
(f) se K G, então H ∩ K H.
(g) se H G, K G e H ∩ K = {e}, então hk = kh, para quaisquer
h ∈ H, k ∈ K.
2. Z(G) G, em que Z(G) = {g ∈ G : ga = ag, para todo a ∈ G}.
3. Se (G : H) = 2, então H G.
2.10 Grupo quociente
Vimos, nas seções anteriores, que dados um grupo G e um subgrupo
H de G, podemos obter a estrutura quociente módulo H, denotada por
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G/H. Contudo, nem sempre G/H é um grupo. Nessa seção tratamos
dos casos em que esta estrutura quociente determina um grupo.
Definição 2.20. Sejam (G, ·, e) um grupo e N um subgrupo normal de G.
Definimos uma operação em G/N = {N a : a ∈ G} do seguinte modo:
para N a, N b ∈ G/N , (N a)·(N b) = N (a·b).
Para simplificar a notação, escrevemos N aN b = N ab.
Precisamos verificar que esta operação está bem definida, isto é,
verificar que o que foi definido é realmente uma operação.
Sejam N a = N c e N b = N d, então N aN b = N ab = (N a)b =
(N c)b = (cN )b = c(N b) = c(N d) = (cN )d = (N c)d = N cd = N cN d.
Observamos, assim, que a operação está definida em G/N .
Proposição 2.13. G/N com a operação definida acima determina um
grupo.
Demonstração: Propriedade associativa: (N aN b)N c = N abN c =
N (ab)c = N a(bc) = N aN bc = N a(N bN c).
Elemento neutro: N e é o neutro de G/N , pois N aN e = N ae = N a =
N ea = N eN a.
Elemento inverso: N aN a′ = N aa′ = N e = N a′ a = N a′ N a. Logo,
(N a)′ = N a′ .
Definição 2.21. O grupo (G/N, ·, N e), em que · é a operação N aN b =
N ab é denominado grupo quociente de G por N .
Quando G é um grupo aditivo, denotamos G/N = {N + a : a ∈ G}.
Exemplo 2.46. Por exemplo, Z/5Z = {5Z+n : n ∈ Z} = {5Z, 5Z+1 , 5Z+
2, 5Z + 3, 5Z + 4}, pois se n ∈ Z, então existem q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < 5,
tais que n = q5 + r. Logo, n − r ∈ 5Z e, portanto, n ≡ r(mod 5Z). Assim,
5Z + n = 5Z + r.
Teorema 2.14. (Teorema de Cauchy) Se G é um grupo e p é um número
primo que divide |G|, então existe um elemento a ∈ G com ordem p.
Demonstração:
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Caso 1: G abeliano. Mostraremos por indução sobre |G|.
Se |G| = 1, nada temos a verificar, pois, neste caso, não existe número
primo que divide |G|.
Suponhamos, então, que o resultado vale para todo grupo com ordem
menor que a |G|.
Se |G| não possui subgrupos além de {e} e do próprio G, então G é
cíclico de ordem prima p (ver exercício no final da seção). Nesse caso, o
único primo que divide |G| é p e como G = ⟨a⟩, então a tem ordem p.
Se G possui um subgrupo H com H ̸= {e} e H ̸= G, então |H| =
n, com 1 < n < |G|. Desde que G é abeliano, então H é um subgrupo
normal de G, G/H é também um grupo e |G/H| = |G|/|H|, ou seja, |G|
= |H| · |G/H|. Assim, se p é primo e p divide |G|, então p divide |H| ou p
divide |G/H|.
Se p divide |H|, como |H| < |G|, pela hipótese de indução, existe a ∈
H < G com ordem p, ou seja, a ∈ G e a tem ordem p.
Se p não divide |H|, então p divide |G/H| e como |G/H| < |G|, pela
hipótese de indução, existe g ∈ G tal que gH tem ordem p. Assim,
g p H = gH p = H, ou seja, g p ∈ H. Por um corolário do Teorema de
Lagrange, (g p )|H| = e, ou seja (g |H| )p = e. Para a = g |H| , temos que
ap = e. Mostraremos que a ̸= e. Suponhamos então a = g |H| = e. Então
(gH)|H| = e e gH tem ordem p. Logo, p divide |H| (ver exercício no final
da seção), o que é uma contradição, pois estamos assumindo, neste caso,
que p não divide |H|. Portanto, a ̸= e, ap = e e, como p é primo, então a
tem ordem p. Assim, fica provado o caso em que G é abeliano.
Caso 2: G é um grupo qualquer. Procederemos também por indução
sobre |G|. Se |G| = 1, como no caso abeliano, o resultado vale.
Suponhamos que o resultado vale para todo grupo com ordem menor
que |G|.
Seja p um primo que divide |G|. Se existe H < G, H ̸= G tal que p | |H|,
pela hipótese de indução, existe a ∈ H, e portanto a ∈ G, com ordem p.
Suponhamos, agora, que não existe H < G, H ̸= G tal que p | |H|.
Dizemos que b ∈ G é um conjugado de a ∈ G em G se existe c ∈ G
tal que b = c−1 ac, o qual denotamos por a v b. Esta é uma relação de
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equivalência e para cada a ∈ G, denotamos a classe de equivalência de a
por a (ver exercício no final da seção).
Tomando {a1 , a2 , . . . , ar } o conjunto quociente de G pela relação de
∑
∑
|ai | =
|G|/|C(ai )|, em que C(a) =
equivalência, temos que |G| =
{g ∈ G : ag = ga} é um subgrupo de G (ver exercícios no final da seção).
Para cada a ∈ Z(G) (= {g ∈ G : ga = ag, para todo a ∈ G}), temos
C(a) = G. Neste caso, |G|/|C(a)| = 1.
Assim, temos que |G| = |Z(G)| +
∑
C(ai )̸=G |G|/|C(ai )|.
Como, para
cada i, C(ai ) < G, e como p | |G|, então p - |C(ai )|, caso C(ai ) ̸= G e,
portanto, p | |Z(G)|. Como Z(G) < G e p | |Z(G)|, então G = Z(G), ou
seja, G é abeliano e, pelo Caso 1, existe a ∈ G tal que a tem ordem p.
Exercícios
1. Mostrar que se G é um grupo abeliano e H < G, então G/H é um
grupo abeliano.
2. Mostrar que se G é um grupo cíclico e H < G, então G/H é um grupo
cíclico.
3. Mostrar que se G é um grupo finito e N é um subgrupo normal de G,
então |G/N | = |G|/|N |.
4. Seja G um grupo que não possui subgrupos além dos triviais {e} e G.
Mostrar que G é cíclico de ordem prima.
5. Sejam G um grupo e a ∈ G um elemento de ordem n. Mostrar que se
m é um inteiro e am = e, então n divide m.
6. Sejam G um grupo, a ∈ G, a ̸= e e p um número primo tal que ap = e.
Mostrar que a tem ordem p.
7. Sejam G um grupo e a, b ∈ G. Dizemos que b é um conjugado de a
em G se existe c ∈ G de maneira que b = c−1 ac, o qual denotamos por
a v b. Mostrar que:
(a) a relação de conjugação é uma relação de equivalência.
(b) para cada a ∈ G, a classe de equivalência de a é a = {c−1 ac : c ∈ G}
(c) para cada a ∈ G, C(a) = {x ∈ G : xa = ax} é um subgrupo de G e
a função f : a → G/C(a), definida por f (c−1 ac) = C(a)c é bijetiva.
(d) |a| = |G|/|C(a)|.
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2.11 Homomorfismo de grupos
Nessa seção estudamos algumas funções especiais definidas entre
dois grupos para investigar propriedades que podem ser preservadas
de um grupo ao outro através dessas funções.
Definição 2.22. Sejam (G1 , #, u) e (G2 , ∗, e) grupos e f : G1 → G2 uma
função. A função f é um homomorfismo do grupo G1 no grupo G2 quando,
para todos a, b ∈ G1 , vale f (a#b) = f (a) ∗ f (b).
Para diversas outras estruturas algébricas temos os seus respectivos
homomorfismos. A condição da definição de homomorfismo nos indica
que a função f é compatível com as estruturas dos dois grupos.
Exemplo 2.47. A função identidade iG : G → G, em que iG (a) = a, para
todo a ∈ G, é um homomorfismo, pois iG (ab) = ab = iG (a)iG (b).
Exemplo 2.48. A função constante f : G1 → G2 , definida por f (a) = e,
em que e é o elemento neutro de G2 , é um homomorfismo de grupos, pois
f (a#b) = e = e ∗ e = f (a) ∗ f (b).
Exemplo 2.49. A função f : Z → Z definida por f (a) = na, em que n é
um inteiro fixo, é um homomorfismo, pois f (a + b) = n(a + b) = na + nb =
f (a) + f (b).
Exemplo 2.50. A função f : Z → R∗ , dada por f (n) = 2n é um homomorfismo, pois f (n + m) = 2n+m = 2n · 2m = f (n) · f (m).
Exemplo 2.51. Seja um inteiro n > 1. A função f : Z → Zn , definida por
f (a) = r, em que r é o resto da divisão de a por n, é um homomorfismo,
pois f (a + b) = a + b = a + b = f (a) + f (b).
Exemplo 2.52. Se H G, então a função f : G → G/H, em que f (a) =
Ha, é um homomorfismo, pois f (ab) = H(ab) = Ha · Hb = f (a) · f (b).
Exemplo 2.53. A função f : Z → Z, definida por f (a) = a + 2, não é um
homomorfismo, pois f (1 + 1) = f (2) = 2 + 2 = 4 ̸= 6 = (1 + 2) + (1 + 2) =
f (1) + f (1).
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Exemplo 2.54. f : Z × Z → Z, dada por f (m, n) = m + n, é um
homomorfismo de grupos, pois f ((m, n) + (a, b)) = f (m + a, n + b) =
(m + a) + (n + b) = (m + n) + (a + b) = f (m, n) + f (a, b).
Definição 2.23. Um homomorfismo injetivo é também denominado monomorfismo e um homomorfismo sobrejetivo é denominado epimorfismo.
Definição 2.24. Seja f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) um homomorfismo de
grupos. O conjunto {a ∈ G : f (a) = e} é chamado de núcleo do homomorfismo f e é denotado por N (f ).
Proposição 2.15. Seja f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) um homomorfismo de
grupos. Então:
(i) f (u) = e;
(ii) f (a′ ) = (f (a))′ , para todo a ∈ G1 ;
(iii) N (f ) G1 ;
(iv) Im(f ) = {f (a) : a ∈ G1 } < G2 ;
(i) f (an ) = (f (a))n para todo n ∈ Z, para todo a ∈ G1 .
Demonstração: (i) Como f (u) = f (u#u) = f (u) ∗ f (u), então (f (u))′ ∗
f (u) = (f (u))′ ∗(f (u)∗f (u)) = ((f (u))′ ∗f (u))∗f (u). Daí, e = e∗f (u) =
f (u).
(ii) Como e = f (u) = f (a#a′ ) = f (a) ∗ f (a′ ), então (f (a))′ = f (a′ ).
(iii) Por (i), u ∈ N (f ) e, então, N (f ) ̸= ∅. Agora, se a, b ∈ N (f ),
então f (a) = f (b) = e. Logo, f (a#b′ ) = f (a) ∗ f (b′ ) = e ∗ (f (b))′ =
(f (b))′ = e′ = e. Assim, a#b′ ∈ N (f ) e, portanto, N (f ) < G1 .
Resta verificar que N (f ) G1 .
Mostraremos que a(N (f ))a′ ⊆
N (f ), para todo a ∈ G1 . Se b ∈ a(N (f ))a′ , digamos, b = a#c#a′ ,
para algum c ∈ N (f ), então f (b) = f (a#c#a′ ) = f (a) ∗ f (c) ∗ f (a′ ) =
f (a) ∗ e ∗ (f (a))′ = f (a) ∗ (f (a))′ = e. Logo, b ∈ N (f ).
(iv) Im(f ) ̸= ∅, pois e = f (u) ∈ Im(f ). Agora, se c, d ∈ Im(f ),
digamos, c = f (a) e d = f (b), para a, b ∈ G1 , então c∗d′ = f (a)∗(f (b))′ =
f (a) ∗ f (b′ ) = f (a#b′ ) ∈ Im(f ). Diante disso, Im(f ) < G2 .
(v) Basta fazer indução sobre n.
Proposição 2.16. Seja f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) um homomorfismo de
grupos. Então f é uma função injetiva se, e somente se, N (f ) = {e}.
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Proposição 2.17. Sejam f
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:
(G1 , ∗1 , e1 )
→
(G2 , ∗2 , e2 ) e g
:
(G2 , ∗2 , e2 ) → (G3 , ∗3 , e3 ) dois homomorfismos de grupos. Então:
(i) gof é um homomorfismo de (G1 , ∗1 , e1 ) em (G3 , ∗3 , e3 );
(ii) se f e g são monomorfismos, então gof é um monomorfismo;
(ii) se f e g são epimorfismos, então gof é um epimorfismo.
Definição 2.25. Seja f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) uma função. Dizemos
que f é um isomorfismo de G1 em G2 quando f é um homomorfismo bijetivo. Neste caso dizemos também que G1 e G2 são isomorfos.
Notação: denotamos um isomorfismo entre G1 e G2 por G1 ∼
= G2 .
Definição 2.26. Um isomorfismo de G em G é denominado um automorfismo de G.
Proposição 2.18. Se f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) é um isomorfismo então:
(i) f −1 é um isomorfismo;
(ii) G1 é abeliano se, e somente se, G2 é abeliano;
(iii) G1 é cíclico se, e somente se, G2 é cíclico;
(iv) Se a ∈ G e |a| está definida, então também |f (a)| está definida e
|a| = |f (a)|;
(v) Se H < G1 , então f (H) < G2 ;
(vi) Se H G1 , então f (H) G2 .
Devemos observar que se dois grupos são isomorfos, então, do
ponto de vista da teoria dos grupos, eles não diferem um do outro, pois
existe uma bijeção entre eles que preserva as estruturas dos grupos e
identifica as suas propriedades.
Teorema 2.19. (Teorema do Homomorfismo) Seja f : (G1 , #, u) →
(G2 , ∗, e) epimorfismo com núcleo N . Então G1 /N ∼
= G2 .
Demonstração: Mostraremos que h : G1 /N → G2 , definida por h(N a) =
f (a) é um isomorfismo.
Temos N a = N b ⇔ a#b′ ∈ N ⇔ f (a#b′ ) = e ⇔ f (a) ∗ (f (b))′ = e
⇔ f (a) = f (b) ⇔ h(N a) = h(N b). Assim, h é uma função injetiva.
Como f é uma função sobrejetiva, se b ∈ G2 , então existe a ∈ G1 tal que
f (a) = b. Desse modo, h(N a) = b e, portanto, h é uma função sobrejetiva.
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Se N a, N b ∈ G1 /N , então h(N aN b) = h(N a#b) = f (a#b) = f (a) ∗
f (b) = h(N a) ∗ h(N b) e h é um homomorfismo.
Assim, h é um isomorfismo.
Corolário 2.20. Se f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) é um homomorfismo de
grupos com núcleo N , então G/N ∼
= Im(f ).
Corolário 2.21. Z/nZ ∼
= Zn .
Lema 2.22. Se S é um conjunto finito com n elementos, então o grupo das
permutações de S, P (S), é isomorfo a Sn .
Demonstração: Sejam S = {x1 , x2 , ..., xn } e ρ : S → {1, 2, ..., n}, definida
por ρ(xi ) = i, que é uma bijeção.
Definimos, agora, F : P (S) → Sn por F (f ) = ρ ◦ f ◦ ρ′ . Então F (f ◦
g) = ρ ◦ f ◦ g ◦ ρ′ = ρ ◦ f ◦ ρ′ ◦ ρ ◦ g ◦ ρ′ = F (f ) ◦ F (g). Logo, F é um
homomorfismo de grupos.
Se f, g ∈ P (S), com F (f ) = F (g), então ρ ◦ f ◦ ρ′ = ρ ◦ g ◦ ρ′ . Logo,
f = ρ′ ◦ ρ ◦ g ◦ ρ′ ρ = g e, portanto, F é injetiva.
Se σ ∈ Sn , então ρ′ ◦ σ ◦ ρ ∈ P (S) e F (ρ′ ◦ σ ◦ ρ) = ρ ◦ ρ′ ◦ σ ◦ ρ ◦ ρ′ = σ
e, desse modo, F é sobrejetiva.
Lema 2.23. Se a ∈ G, tal que G é um grupo finito e Ta : G → G é uma
função definida por Ta (g) = ag, então Ta ∈ P (G).
Teorema 2.24. (Teorema de Cayley) Se G é um grupo finito de ordem n,
então G é isomorfo a um subgrupo de Sn .
Demonstração: Definimos uma função F : G → P (G) por F (a) = Ta .
Assim, F é um homomorfismo, pois se a, b ∈ G, então F (ab) = Tab =
Ta ◦ Tb = F (a) ◦ F (b), posto que para todo g ∈ G, (Ta ◦ Tb )(g) =
Ta (Tb (g)) = Ta (bg) = abg = Tab (g).
F é injetiva, pois se F (a) = F (b) ⇒ Ta = Tb ⇒ Ta (e) = Tb (e) ⇒ a =
b.
Como F é injetiva, então pela Proposição 2.16, N (F ) = e. Daí,
∼ G/{e} ∼
pelo corolário do Teorema do Homomorfismo, segue que G =
=
G/N (F ) ∼
= F (G) < P (G). Assim, G é isomorfo a um subgrupo de P (G).
Como P (G) é isomorfo a Sn , então G é isomorfo a um subgrupo de Sn .
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Exercícios
1. Seja f : (G1 , #, u)) → (G2 , ∗, e)) um homomorfismo de grupos
e n um inteiro positivo. Mostrar que, para a1 , a2 , ..., an ∈ G, vale
f (a1 #a2 #...#an ) = f (a1 ) ∗ f (a2 ) ∗ ... ∗ f (an ).
2. Achar o núcleo do homomorfismo f : Z → C∗ definido por f (m) =
im .
3. Determinar o núcleo do homomorfismo f : R∗+ → R definido por
f (x) = log x.
4. Dar uma demonstração da Proposição 2.17.
5. Dar uma demonstração da Proposição 2.16.
6. Dar uma demonstração das propriedades da Proposição 2.18.
7. Mostrar a validade do Lema 2.22.
8. Verificar se as seguintes funções são homomorfismos.
(a) f : Z → Z × Z, dada por f (n) = (−n, n).
(b) f : Z × Z → Z, dada por f (m, n) =((
m·n.
))
a b
(c) f : M2×2 (R) → R × R, dada por f
= (a − d, b − c).
c d
((
))
a b
∗
(d) f : GL2 (R) → R , dada por f
= ad − bc, onde GL2 (R)
c d
é o grupo multiplicativo das matrizes reais(2 × 2 invertíveis.
)
a
−b
(e) f : C∗ → GL2 (R) dada por f (a + bi) =
.
b a
(f) f : C∗ → C∗ , dada por f (a + bi) = a − bi.
(g) f : C∗ → C∗ , dada por f (a + bi) = b + ai.
(h) f : C∗ → R∗ , dada por f (z) = |z|.
(i) f : R → R, dada por f (x) = x2 .
(j) f : R∗ → R∗ , dada por f (x) = x2 .
(k) f : Z → C∗ , dada por f (n) = in .
9. Determinar o núcleo de cada homomorfismo do exercício anterior.
10. Sejam G um grupo e g ∈ G. Verificar que função f : G → G definida
por f (a) = gag ′ é um isomorfismo.
11. Seja G um grupo. Verificar que a função f : G → G, definida por
f (a) = a′ , é um homomorfismo. Caso G seja abeliano, mostrar que f é
um isomorfismo.
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12. Verificar se f : (Z, +) → (Z, ⊕) definida por f (n) = n − 1 é um
homomorfismo de grupos, para a ⊕ b = a + b + 1.
13. Seja f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) um homomorfismo de grupos e seja
H um subgrupo de G1 . Mostrar que o conjunto f (H) = {f (a) | a ∈ H}
é um subgrupo de G2 .
14. Seja f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) um homomorfismo de grupos e
seja K um subgrupo de G2 . Mostrar que o conjunto f −1 (K) = {a ∈
G1 | f (a) ∈ K} é um subgrupo de G2 .
15. Seja f : (G1 , #, u) → (G2 , ∗, e) um homomorfismo sobrejetor de
grupos com núcleo N e seja K um subgrupo de G2 . Mostrar que:
(a) o conjunto f −1 (K) = {a ∈ G1 | f (a) ∈ K} é um subgrupo de G2 que
contém N ;
(b) se K é um subgrupo normal de G2 , então f −1 (K) é um subgrupo
normal de G1 .
2.12 Grupos solúveis
Os grupos solúveis serão vinculados, no Capítulo 5, com os polinômios solúveis.
Definição 2.27. Dizemos que um grupo finito G é solúvel se existe uma
sequência de subgrupos {e} = Nn ⊆ ... ⊆ N1 ⊆ N0 = G tal que para
cada i ∈ {0, ..., n − 1}, Ni+1 é subgrupo normal de Ni e o grupo quociente
Ni /Ni+1 é abeliano.
Exemplo 2.55. Todo grupo abeliano G é solúvel, pois basta tomarmos
N1 = {e} G e G/{e} ≡ G.
Exemplo 2.56. Já vimos que {e} N = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} S3 e S3 /N
é um grupo abeliano, pois só possui 2 elementos. Assim, S3 é um grupo
solúvel.
Exemplo 2.57. O grupo S4 também é solúvel, pois para
N2
=
{e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} e N1
=
{e, (1, 2, 3),
(1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 2)(3, 4),
(1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}, temos: {e} N2 N1 S4 ; S4 /N1 é um grupo
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abeliano, pois possui 2 elementos; N1 /N2 é abeliano, pois possui 3 elementos e N2 /{e} ≡ N2 é abeliano. Assim, S4 também é um grupo solúvel.
Temos uma outra maneira de caracterizar um grupo solúvel, que
passamos a indicar a seguir.
Definição 2.28. Seja G um grupo. O comutador do grupo G é o subgrupo
G′ de G gerado por todos os elementos de G da forma aba′ b′ , para a, b ∈ G.
Desse modo, o comutador G′ = ⟨S⟩, em que S = {aba′ b′ : a, b ∈ G}.
Naturalmente, quando G é abeliano, então G′ = {e}. O conjunto S não
é em geral subgrupo de G.
Proposição 2.25. Sejam G um grupo e G′ seu comutador. Então:
(i) G′ G;
(ii) G/G′ é um grupo abeliano;
(iii) Se N G e G/N é abeliano, então G′ < N .
Demonstração: (i) Sejam a, b ∈ G. Mostraremos que para todo c ∈ G,
tem-se que: c(aba′ b′ )c′ ∈ G′ :
caba′ b′ c′
=
(ca)e(ba′ )(b′ c′ )
=
(ca)(c′ a′ ac)(ba′ )(b′ c′ )
=
(cac′ a′ )(acb)(a′ b′ c′ ) = (cac′ a′ )(a(cb)a′ (cb)′ ) ∈ G′ .
Assim, para todo c ∈ G, cG′ c′ ⊆ G′ e, portanto, G′ G.
(ii) Para a, b ∈ G, temos: G′ aG′ b = G′ ab = G′ (ab)(a′ b′ ba) =
G′ (aba′ b′ )(ba) = G′ (ba) = G′ bG′ a. Assim, G/G′ é abeliano.
(iii) Como N G e G/N é abeliano, então para quaisquer a, b ∈ G
temos que N aN b = N bN a. Logo, N ab = N ba e, portanto, aba′ b′ =
ab(ba)′ ∈ N .
Assim, G′ = ⟨{aba′ b′ : a, b ∈ G}⟩ ⊆ N .
Dado um grupo G, temos que G′ < G.
Agora, consideraremos G(1) = G′ , G(2) = (G(1) )′ e, para n inteiro
positivo, G(n+1) = (G(n) )′ .
A proposição anterior nos garante que G(n+1) G(n) e que
G(n) /G(n+1) é um grupo abeliano.
Proposição 2.26. O grupo G é solúvel se, e somente se, G(r) = {e}, para
algum inteiro positivo r.
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Demonstração: (⇒) Como G é solúvel, então existem subgrupos tais que
{e} = Nr ...N1 N0 = G e Ni /Ni+1 é abeliano, para i ∈ {0, ..., n−1}.
Logo, pela proposição anterior Ni′ < Ni+1 . Assim:
G(1) = G′ < N1 ⇒ G(2) < N1′ < N2 ⇒ G(3) < N2′ < N3 ⇒ ...
⇒ G(r) < Nr = {e}, donde segue que G(r) = {e}.
(⇐) Seja r ≥ 1 tal que G(r) = {e}. Pela proposição anterior, temos a
seguinte cadeia:
{e} = G(r) G(r−1) ...G(1) G(0) = G e G(i) /G(i+1) é abeliano
para todo i ∈ {0, ..., n − 1}. Portanto, G é solúvel.
Lema 2.27. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo
normal de G tal que N é um subgrupo de H. Então:
(i) N H;
(ii) se H/N G/N , então H G.
Proposição 2.28. Seja G um grupo. Então:
(i) Se H é um subgrupo de G e G é solúvel, então H é solúvel;
(ii) Se G é solúvel e h : G → J é um homomorfismo sobrejetivo de
grupos, então J é solúvel;
(iii) Se N é um subgrupo normal de G tal que N e G/N são solúveis,
então G é solúvel.
De (ii) segue que se G é solúvel e N G, então G/N é solúvel.
Demonstração:
(i) H < G ⇒ H ′ < G′ ⇒ H (2) < G(2) ... ⇒ H (j) < G(j) , para todo j
inteiro positivo. Assim, se G é solúvel, pela proposição anterior, existe um
inteiro positivo r tal que G(r) = {e}. Como H (r) < G(r) , então H (r) = {e}.
Novamente, pela proposição anterior, H é solúvel.
(ii) Se a, b ∈ G, então h(aba′ b′ ) = h(a)h(b)h(a)′ h(b)′ ∈ J ′ . Assim,
h(G′ ) ⊆ J ′ . Por outro lado, se c, d ∈ J, então existem a, b ∈ G tais que
h(a) = c e h(b) = d. Logo, cdc′ d′ = h(aba′ b′ ) ∈ h(G′ ) e, portanto, J ′ ⊆
h(G′ ). Assim, J ′ = h(G′ ). Indutivamente, temos que J (i) = h(G(i) ), para
cada i > 0. Como G é solúvel, então existe r > 0 tal que G(r) = {e}. Daí,
J (r) = h(G(r) ) = h({e}) = {e} e, portanto, J é solúvel.
(iii) Como N e G/N são grupos solúveis, então existem cadeias:
{e} = Nr ... N1 N0 = N [1] e
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{e} = Gs /N ... G1 /N G0 /N = G/N [2]
tais que para cada i ∈ {0, ..., n − 1}, Ni+1 é subgrupo normal de
Ni e o grupo quociente Ni /Ni+1 é abeliano [3] e para cada j
∈
{0, ..., s − 1}, Gj+1 /N é subgrupo normal de Gj /N e o grupo quociente
(Gj /N )/(Gj+1 /N ) é abeliano. Além disso, pelo lema anterior, podemos
considerar:
N = Gs ... G1 G0 = G [4]
uma cadeia de subgrupos de G.
Para cada j ∈ {0, ..., s − 1}, temos que o homomorfismo sobrejetivo h : Gj /N → Gj /Gj + 1, h(N x) = Gj+1 x tem núcleo Gj+1 /N e,
pelo Teorema do homomorfismo, (Gj /N )/(Gj+1 /N ) ≡ Gj /Gj + 1. Como
(Gj /N )/(Gj+1 /N ) é abeliano, então Gj /Gj + 1 também é abeliano [5].
Temos, por hipótese, que N G e como N < Gs < G, então N Gs
[6].
Assim, por [1], [3], [4], [5] e [6], temos que a cadeia {e} = Nr ...N1 N0 = N Gs ... G1 G0 = G garante que G é solúvel.
Lema 2.29. Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. Então N ′
é um subgrupo normal de G.
Demonstração: Sejam c, d ∈ N e a ∈ G. Então:
a(cdc′ d′ )a′ = (aca′ )(ada′ )(ac′ a′ )(ad′ a′ ) = (aca′ )(ada′ )(aca′ )′ (ada′ )′ ∈ N ′ ,
pois como N G, c, d ∈ N e a ∈ G, então aca′ , ada′ ∈ N . Logo, aN ′ a′ ⊆
N ′ e, portanto, N ′ G.
Para recordar, um r-ciclo em Sn é uma permutação (i1 , i2 , . . . , ir )
para i1 , i2 , . . . , ir inteiros distintos entre 1 e n.
Lema 2.30. Se N é um subgrupo normal de Sn , n ≥ 5, e N contém cada
3-ciclo de Sn , então N ′ também contém cada 3-ciclo de Sn .
Demonstração: Seja (x, y, z) um 3-ciclo de Sn e sejam t, w ∈ {1, 2, ..., n}
tais que x, y, z, t, w sejam 2 a 2 distintos. Desse modo, a = (x, y, t) e
b = (x, z, w) estão em N e (x, y, z) = (x, y, t)(x, z, w)(x, t, y)(x, w, z) =
aba′ b′ ∈ N ′ . Portanto, N ′ contém cada 3-ciclo de Sn .
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Teorema 2.31. Seja G = Sn , com n ≥ 5. Para cada r ≥ 1, o grupo G(r) é
um subgrupo normal de G que contém cada 3-ciclo de Sn . Em particular,
para n ≥ 5, Sn não é solúvel.
Demonstração: Por indução sobre r ∈ N.
Para r = 0, G(0) = G. Logo, G(0) G e G(0) contém cada 3-ciclo de
Sn .
Se G(r) G e G(r) contém cada 3-ciclo de Sn , pelo lema anterior, G(r+1)
contém cada 3-ciclo de Sn e pelo Lema 2.29, G(r+1) G.
Logo para todo r, G(r) contém cada 3-ciclo de Sn . Se Sn fosse solúvel,
pela Proposição 2.26, G(r) = {e} para algum r, o que é uma contradição.
Logo, para n ≥ 5, o grupo Sn não é solúvel.
Exercícios
1. Verificar as afirmações do exemplo 2.57.
2. Verificar que o comutador de S3 é o subgrupo {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}.
3. Demonstrar o Lema 2.27.
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Capítulo 3
Anéis
Neste capítulo, partimos de uma estrutura de grupo abeliano
e acrescentamos uma segunda operação. As propriedades partilhadas
por estas duas operações determinarão as novas estruturas algébricas
investigadas.
O estudo de Anéis se originou da necessidade de uma classificação
de inúmeros exemplos de conjuntos numéricos com operações aritméticas. Apesar do conceito de Corpo, que é um caso particular de anel,
estar implícito nos trabalhos de Niels Henrik Abel (1802-1829) e Évariste Galois (1811-1832), foi Richard Dedekind (1831-1916) o primeiro
a formalizar o conceito de Corpo, como um conjunto com duas operações que satisfazem propriedades elementares das operações com números reais, racionais e complexos. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
estendeu o conceito de número inteiro para o conjunto dos números da
forma a + bi, em que a e b são números inteiros. Tal conjunto não chega
a ser um corpo, pois nem todo elemento não nulo possui um inverso
multiplicativo, embora satisfaça todas as outras exigências para ser um
corpo.
Em 1830, George Peacock (1791-1858) procurou dotar a Álgebra de
uma estrutura lógica comparável com a célebre obra “Os elementos” de
Euclides, na publicação do seu “Teatrise on Algebra”. Ao contrário de
Peacock, para quem os símbolos representariam números ou grandezas, Augustus De Morgan (1806-1871) considerava os símbolos como
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objetos abstratos, deixando sem significado não só as letras de variáveis, mas também os símbolos de operações. Com isso, pretendia formar uma gramática para as diversas álgebras conhecidas. Foi, todavia,
George Boole (1815-1864) quem finalmente concluiu o formalismo algébrico. A partir daí, a característica fundamental dessa parte da Matemática passou a ser a sua forma, mas não necessariamente o seu conteúdo. Desse modo, qualquer tópico constituído de símbolos e de regras
operatórias precisas sobre aqueles símbolos e com consistência interna,
isto é, sem contradições, passaria a ser considerado como uma estrutura
algébrica e, assim, parte da Matemática.
3.1 Definições e exemplos
Incluiremos axiomas algébricos ao conjunto (G1 ) − (G4 ) e com isso
obteremos teorias mais específicas e, então, os seus modelos algébricos
serão em menor quantidade, no sentido que nem todos os grupos estudados conduzirão naturalmente a algum anel, mas ainda assim veremos
que abundam, na Matemática, exemplos de anéis e de corpos.
Definição 3.1. Denominamos anel a uma estrutura algébrica (A, +, ·, 0),
em que + e · são duas operações binárias sobre A e valem as condições:
(G1 ) para todos a, b, c ∈ G: a + (b + c) = (a + b) + c (associatividade
da adição)
(G2 ) o elemento 0 ∈ G é tal que para todo a ∈ G: a + 0 = 0 + a = a
(zero do anel)
(G3 ) para todo a ∈ G, existe b ∈ G tal que: a + b = 0 = b + a (simétrico
da adição)
(G4 ) para todos a, b ∈ G: a + b = b + a (comutatividade da adição)
(A1 ) para todos a, b, c ∈ A: a · (b · c) = (a · b) · c (associatividade da
multiplicação)
(A2 ) para todos a, b, c ∈ A: (a + b) · c = a · c + b · c (distributividade à
direita)
(A3 ) para todos a, b, c ∈ A: c · (a + b) = c · a + c · b (distributividade à
esquerda).
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As propriedades G1 , G2 , G3 e G4 garantem que (A, +, 0) é um grupo
abeliano.
Definição 3.2. Seja (A, +, ·, 0) um anel. Dizemos que (A, +, ·, 0) é um
anel comutativo quando:
(A4 ) para todos a, b ∈ A: a·b = b·a (comutatividade da multiplicação).
Para um anel comutativo, as condições (A2 ) e (A3 ) são equivalentes.
Definição 3.3. Seja (A, +, ·, 0) um anel. Dizemos que (A, +, ·, 0, 1) é um
anel com unidade quando existe 1 ∈ A, denominado a unidade do anel,
tal que 0 ̸= 1 e para todo a ∈ A:
(A5 ) 1 · a = a · 1 = a (elemento unidade do anel).
Se A = {0}, dizemos que A é um anel nulo .
Se (A, +, ·, 0) é um anel, como + e · são operações sobre A, isto é,
são funções +, · : A×A → A então, naturalmente, para a, b ∈ A, tem-se
que a + b ∈ A e a · b ∈ A e, além disso, se a, b, c, d ∈ A e a = b e c = d,
então a + c = b + d e a · c = b · d.
Como usualmente, adotaremos a seguinte notação ab = a · b.
Sempre que não houver problema com a notação indicaremos o anel
(A, +, ·, 0) (ou (A, +, ·, 0, 1)) simplesmente por A.
Desde que temos novos conceitos definidos, então é momento de
vermos alguns exemplos.
Exemplo 3.1. Os conjuntos numéricos Z, Q, R e C são anéis comutativos
com unidade, com as usuais operações de adição e multiplicação.
Exemplo 3.2. Se n ∈ Z e n > 1, então nZ, o conjunto dos inteiros que
são múltiplos de n, é um anel comutativo, mas sem unidade.
Exemplo 3.3. Anéis de Matrizes: O conjunto M2 (R) das matrizes reais
de ordem 2 é um anel com unidade, porém não comutativo. Esta estrutura
satisfaz todas as condições para ser um anel, a matriz identidade I2 é o
elemento unidade, mas a multiplicação não é comutativa, pois:
(
)(
) (
) (
)(
) (
)
1 0
1 1
1 1
1 1
1 0
2 1
=
e
=
1 1
1 0
2 1
1 0
1 1
1 0
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Exemplo 3.4. Generalizando, para todo n ∈ N, o conjunto das matrizes reais de ordem n determina um anel com unidade (Mn (R), +, ·, O, In ).
Além disso, se n > 1, então este anel não é comutativo.
Exemplo 3.5. Se (A1 , +1 , ·1 , 01 ) e (A2 , +2 , ·2 , 02 ) são anéis, então o anel
produto de A1 por A2 é o anel (A1 × A2 , +, ·, (01 , 02 )), em que as operações
+ e · são definidas por (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 +1 b1 , a2 +2 b2 ) e (a1 , a2 ) ·1
(b1, b2 ) = (a1 ·1 b1 , a2 ·2 b2 ), para a1 , b1 ∈ A1 e a2 , b2 ∈ A2 .
Vejamos também alguns contra-exemplos:
Exemplo 3.6. O conjunto N dos números naturais não é um anel com as
operações de adição e multiplicação de números naturais, pois 2 ∈ N, mas
2 não tem simétrico aditivo, ou oposto, em N.
Exemplo 3.7. O conjunto A = {−1, 0, 1} com as operações de adição
e multiplicação de números inteiros, apesar de satisfazer as propriedades
(G1 )−(G4 ) e (A1 )−(A3 ), não é um anel, pois a adição não é uma operação
em A, desde que 1 ∈ A, mas 1 + 1 = 2 ∈
/ A.
Definição 3.4. Sejam (A, +, ·, 0) um anel e a ∈ A tal que a ̸= 0. Dizemos
que a é um divisor de zero se:
(A6 ) existe b em A tal que b ̸= 0 e ab = 0 ou ba = 0.
Definição 3.5. Seja (A, +, ·, 0, 1) um anel com unidade. Dizemos que a ∈
A é inversível em A se:
(A7 ) existe b ∈ A tal que ab = ba = 1.
Indicamos, no capítulo anterior, o elemento simétrico de a para uma
operação genérica ∗ por a′ e consideramos que, como usualmente, se ∗
é uma soma, então indicamos este elemento, o oposto, por −a, e se
∗ é uma multiplicação, indicamos o inverso por a−1 . Como estamos
denotando as duas operações de uma anel por + e ·, então manteremos
estas notações e o elemento b da definição anterior será indicado por
b = a−1 .
Exemplo 3.8. Os elementos inversíveis de Z são 1 e −1 e Z não possui
divisores de zero.
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(
Exemplo 3.9. Sejam A =
1 0
)
(
0 0
)
eB =
. Temos AB = O,
1 0
1 1
em que O é a matriz nula. Assim, A e B são divisores de zero em M2 (R).
Temos também que BA ̸= O, mostrando que num anel, ab = 0 não implica
que ba = 0. Temos também que AB = AO, mas B ̸= O, ou seja, não vale
a lei do cancelamento (à esquerda) para o produto.
(
)
1 0
Exemplo 3.10. A matriz A =
é inversível em M2 (R), pois to1 1
(
)
1 0
mando B =
, temos que AB = BA = I2 .
−1 1
Exemplo 3.11. O número 2 é inversível em R, mas não é inversível em Z.
Definição 3.6. Seja (A, +, ·, 0, 1) um anel comutativo com unidade. Dizemos que (A, +, ·, 0, 1) é um domínio de integridade, ou anel de integridade, se para todos a, b ∈ A:
(A8 ) ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0.
Assim, um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade mas sem divisores de zero.
Definição 3.7. Seja (K, +, ·, 0, 1) um anel comutativo com unidade. Dizemos que (K, +, ·, 0, 1) é um corpo, se:
(A9 ) a ∈ K e a ̸= 0, então a é inversível em K.
Exemplo 3.12. Se K é um corpo então K −{0} é o conjunto dos elementos
inversíveis de K.
Exemplo 3.13. Os anéis Q, R e C são corpos.
Exemplo 3.14. O anel Z é um domínio de integridade, mas Z não é um
corpo.
Exemplo 3.15. O Anel Mn (R) não é um domínio de integridade, para
todo n ≥ 2.
Exemplo 3.16. Anel dos quatérnios: O anel dos quatérnios teve origem
na tentativa de Hamilton (1805-1865) de desenvolver uma álgebra para
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trabalhar com vetores no espaço, de modo que o comprimento do produto
fosse igual ao produto dos comprimentos dos vetores. Esta condição era
desejável, pois se tratava de uma necessidade da Física da época. Contudo,
isso só foi possível ao se tratar com álgebras reais de dimensão 4, isto é,
com o R4 .
Seja Q = R4 = {(a, b, c, d) : a, b, c, d ∈ R}. Podemos denotar elementos (a, b, c, d) ∈ Q por a + bi + cj + dk e definir as operações:
(a+bi+cj+dk)+(a′ +b′ i+c′ j+d′ k) = (a+a′ )+(b+b′ )i+(c+c′ )j+(d+d′ )k
e
(a + bi + cj + dk) · (a′ + b′ i + c′ j + d′ k) = (aa′ − bb′ − cc′ − dd′ ) + (ab′ +
a′ b + cd′ − c′ d)i + (ac′ + a′ c + db′ − d′ b)j + (ad′ + a′ d + bc′ − b′ c)k.
Embora esta fórmula para a multiplicação pareça complicada, podemos fazer a multiplicação formal, como nos números complexos, ao considerarmos i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i e
ki = −ik = j. Verifica-se, com um pouco de trabalho, que Q é um anel.
Além disso, todo elemento não nulo de Q é inversível:
b
c
d
a
se x = a + bi + cj + dk e x ̸= 0, então x−1 = − i − j − k, em
e
e
e
e
que e = a2 + b2 + c2 + d2 . Apesar disso, Q não é um corpo, pois Q não é
comutativo: ij ̸= ji.
Exercícios
1. Verificar que o anel (M3 (R), +, ·, O, I3 ) não é comutativo.
2. Sobre R definimos as operações: a ⊕ b = a + b − 1 e a ⊙ b = a + b − ab.
Verificar se R com essas duas operações é um corpo.
3. Seja A = {a + bi : a, b ∈ Z}, em que as operações em A seguem as
regras para as operações de números complexos. Verificar que A é um
anel. A é um corpo?
√
4. Seja A = {a + b 2 : a, b ∈ Q}. Verificar se A é um corpo.
√
5. Seja A = {a 2 : a ∈ Z}. Verificar se A é um corpo.
6. Mostrar que num anel A, se a, b, c ∈ A são tais que a + b = a + c,
então b = c.
7. Sejam A um domínio de integridade e a, b, c ∈ A tais que c ̸= 0 e
ac = bc. Mostrar que a = b e que esta propriedade nem sempre vale,
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quando A não é um domínio de integridade.
8. Mostrar que se a é inversível em um anel A, então a não é um divisor
de zero.
9. Mostrar que se A é um corpo, então A é um domínio de integridade.
10. Mostrar que se A é um domínio de integridade finito, então A é um
corpo.
11. Em cada caso, verificar se Z × Z é um anel com as operações dadas:
(a) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (ad, bc);
(b) (a, b) + (c, d) = (a + d, b + c) e (a, b) · (c, d) = (ac, bd);
(c) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
3.2 Os anéis Zn
Mais uma vez, resgatamos a estrutura algébrica determinada sobre
Zn , como na Seção 1.8. No conjunto Zn = {0, 1, 2, ..., n − 1}, lembramos
que sempre que a ̸= b segue-se que a ̸= b, e que para a, b ∈ Zn , a + b = r
e a · b = s, de modo que r é o resto da divisão de a + b por n e s é o resto
da divisão de a · b por n. Naquela seção, pudemos observar que estas
operações são bem definidas.
Exemplo 3.17. Em Z15 , temos 10 + 10 = 5; 3 + 7 = 10; 6 + 12 = 3;
5 · 5 = 10; 10 · 6 = 0.
Quando a ∈ Zn e a > 0, então o inverso aditivo de a é dado por
−a = n − a, pois 0 < n − a < n e a + (n − a) = a + n − a = a − a + n =
0 + n = n, isto é, a + n − a = 0. Assim, por exemplo, em Z15 , −7 = 8 e
−1 = 14.
A Seção 1.8 nos dá todos os detalhes para observarmos que Zn é
um anel comutativo com unidade.
Como exemplo das tabelas da adição e da multiplicação em Zn ,
tratemos do caso Z6 :
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+
0
1
2
3
4
5
·
0
1
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4
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0
0
1
2
3
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0
0
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0
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2
2
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2
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4
2
5
5
0
1
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
Olhando para a tabela da adição vemos que os simétricos aditivos
de 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 5, 4 3 , 2 e 1. Na tabela da multiplicação vemos que 2, 3 e 4 são divisores de zero pois 2 · 3 = 4 · 3 = 0; 1
e 5 são inversíveis pois 1 · 1 = 5 · 5 = 1.
Denotamos o máximo divisor comum entre a e b por mdc(a, b).
Proposição 3.1. Sejam n um número inteiro positivo e a ∈ Zn , com a ̸= 0:
(i) se mdc(n, a) = 1, então a é inversível;
(ii) se mdc(n, a) ̸= 1, então a é um divisor de zero.
Demonstração: (i) Como mdc(n, a) = 1, então existem r, s ∈ Z tais que
sa + rn = 1. Seja b o resto da divisão de s por n, isto é, s = qn + b,
com q, b ∈ Z e 0 ≤ b < n. Assim, (qn + b)a + rn = 1 e, portanto,
ba = −(qa + r)n + 1, ou seja, o resto da divisão de ba por n é 1. Logo,
b · a = 1, e daí, a é inversível.
(ii) Se d = mdc(n, a) > 1, então d é divisor de n e de a e, portanto,
existem b, c ∈ N∗ tais que n = db e a = dc. Como 0 < b < bd = n, então
b ̸= 0. Temos ab = dcb = bdc = nc. Assim, a · b = 0 e, portanto, a é um
divisor de zero.
Corolário 3.2. Se p é um número primo, então Zp é um corpo.
Demonstração: Já sabemos que Zp é um anel comutativo com unidade.
Seja a ∈ Zp , tal que a ̸= 0. Daí, 0 < a < p. Como p é um número primo,
então mdc(a, p) = 1. Assim, pela proposição anterior, a é inversível. Portanto, Zp é um corpo.
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Exercícios
1. Encontrar os elementos inversíveis e os divisores de zero de Z6 .
2. Encontrar os divisores de zero e os elementos inversíveis de Z12 .
3. Quais são os elementos inversíveis e quais são os divisores de zero
do anel Z2 × Z3 ?
4. Mostrar que se n não é um número primo, então Zn não é um domínio
de integridade.
3.3 Propriedades dos anéis
Nessa seção mostramos algumas propriedades dos anéis. Algumas
coincidem com as propriedades dos grupos, pois afinal, cada anel é um
grupo com a adição.
As seguintes propriedades são válidas num anel (A, +, ·, 0):
(P1 ) Unicidade do zero: existe um único zero em A.
(P2 ) Unicidade do oposto ou simétrico aditivo: para cada a ∈ A,
existe um único elemento b ∈ A tal que a + b = 0 = b + a. Notações:
b = −a e a − b = a + (−b). Assim, a − a = −a + a = 0.
(P3 ) Unicidade do elemento unidade: se o anel A tem o elemento
unidade 1, então ele é único.
Se 1 e u são dois elementos unidade, então 1 = 1 · u = u.
(P4 ) Multiplicação por zero: para todo a ∈ A, 0a = a0 = 0.
0a = (0 + 0)a = 0a + 0a e, daí, 0a − 0a = 0a + 0a − 0a e, portanto,
0 = 0a + 0 = 0a. Analogamente, a0 = 0.
(P5 ) Para todo a ∈ A, −(−a) = a.
Como a + (−a) = 0, então, −(−a) = a.
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(P6 ) Para todos a, b ∈ A, (−a)b = a(−b) = −(ab).
Como ab + (−a)b = (a + (−a))b = 0b = 0, então (−a)b = −(ab). De
modo análogo, prova-se que a(−b) = −(ab)
(P7 ) Para todos a, b ∈ A, (−a)(−b) = ab.
(P8 ) Para todos a, b1 , b2 , ..., bn ∈ A, a(b1 + b2 + ... + bn ) =
ab1 + ab2 + ... + abn e (b1 + b2 + ... + bn )a = b1 a + b2 a + ... + bn a.
Se A é anel com unidade, então:
(P9 ) Para todo a ∈ A, (−1)a = −a.
Por (P6 ), (−1)a = −(1a) = −a.
(P10 ) −(−1) = 1.
(P11 ) (−1)(−1) = 1.
Temos (−1)(−1) = −(−1) = 1, por (P5 ) e (P9 ).
Exercícios
1. Demonstrar as propriedades acima que não foram comprovadas no
texto.
2. Se A é um anel sem divisores de zero, então A é um domínio de
integridade?
3. Sejam a, b, c elementos de um anel A:
(a) Mostrar que a(b − c) = ab − ac e (a − b)c = ac − bc;
(b) Mostrar que (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 ;
(c) Mostrar ou dar um contra-exemplo para (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
4. Seja A um anel tal que a2 = a, para todo a ∈ A. Mostrar que:
(a) −x = x (sugestão: iniciar com x + x = (x + x)2 );
(b) A é um anel comutativo (sugestão: iniciar com a + b = (a + b)2 );
(c) se A é um domínio de integridade, então A = {0, 1} (sugestão: para
todo a ∈ A, a2 = a).
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5. Sejam A um anel, a ∈ A e n ∈ N. Definimos:
0a = 0, já foi demonstrado;
(n + 1)a = na + a;
a0 = 1 e;
an+1 = an a. Verificar a validade das seguintes propriedades para
a, b ∈ A e m, n ∈ N:
(a) (m + n)a = ma + na;
(e) am+n = am an = an am ;
(b) (mn)a = m(na) = n(ma);
(f) amn = (am )n = (an )m ;
(c) m(ab) = (ma)b = a(mb);
(g) se ab = ba, então an b = ban ;
(d) (mn)(ab) = (ma)(nb) = (na)(mb); (h) se ab = ba, então (ab)n = an bn .
6. Anéis de funções: Seja A um anel e F(A) o conjunto das funções f
: A → A.
Definimos soma e produto de funções por:
(f + g)(t) = f (t) + g(t) e (f g)(t) = f (t)g(t).
(a) Mostrar que F(A) com estas duas operações é um anel.
(b) Mostrar que se A é um anel comutativo, então F(A) também é anel
comutativo.
(c) Mostrar que se A é um anel com unidade, então F(A) também é
anel com unidade.
(d) Se A é um corpo, então F(A) também é um corpo?
3.4 Subanéis
Mais uma vez tratamos de uma subestrutura, agora um subanel.
Definição 3.8. O anel (B, +, ·, 0) é um subanel do anel (A, +, ·, 0) se partilham as mesmas operações e B ⊆ A.
Quando B é um subanel de A, então o elemento zero é o mesmo nos
dois anéis, pois se 0′ é o zero de B, então 0′ ∈ A e 0′ + 0′ = 0′ = 0′ + 0
e, portanto, 0 = 0′ .
Exemplo 3.18. Z é um subanel de Q; Q é um subanel de R; R é um subanel
de C.
Exemplo 3.19. Para cada n inteiro, nZ é um subanel de Z.
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Exemplo 3.20. O anel Z × {0} é um subanel de Z × Z. Ambos são anéis
com unidade, mas possuem unidades distintas. A estrutura Z × {0} é um
domínio de integridade e Z × Z é um anel com divisores de zero.
Agora um contra-exemplo.
Exemplo 3.21. Z2 não é um subanel de Z3 , pois as operações são distintas: em Z2 , 1 + 1 = 0 e em Z3 , 1 + 1 = 2 ̸= 0.
Proposição 3.3. Sejam (A, +, ·, 0) um anel e B um subconjunto de A. Então (B, +, ·, 0) é um subanel de A se, e somente se, as seguintes condições
são válidas:
(i) 0 ∈ B
(ii) para todos a, b ∈ B, a − b ∈ B;
(iii) para todos a, b ∈ B, ab ∈ B.
Demonstração: (⇒) Se B é um subanel de A, então (B, +, ·, 0) é um anel.
Logo, as três condições estão satisfeitas.
(⇐) Por outro lado, se valem as três condições, temos o seguinte:
Por (i), 0 ∈ B. Se b ∈ B, como 0 ∈ B, então, por (ii), −b = 0 − b ∈ B
e, assim, o oposto de b está em B. Agora, se a, b ∈ B, como −b ∈ B
então, por (ii), a + b = a − (−b) ∈ B, o que mostra que + é uma operação
em B. A condição (iii) garante que a multiplicação de A, restrita a B,
também é uma operação em B. Como as propriedades associativa para
+ e ·, a propriedade comutativa para + e a distributiva da adição para
a multiplicação valem em A e B ⊆ A, então essas propriedades valem
também em B. Logo, (B, +, ·, 0) é um anel, portanto, subanel de A.
Sejam (A, +, ·, 0) um anel e (B, +, ·, 0) um subanel de A. Se A é um
anel comutativo, então B também é comutativo.
Pode ocorrer que o anel A seja um corpo, mas que o subanel B não
o seja. Por exemplo, Z é um subanel de Q. Enquanto Q é um corpo, o
subanel Z não o é.
Temos também 2Z ⊂ Z, que é um domínio de integridade, mas 2Z
não é, pois 2Z não possui unidade.
Poderíamos trocar a condição (i), 0 ∈ B, da proposição anterior por
(i∗ ),
B ̸= ∅, pois se a ∈ B, então, por (ii), 0 = a − a ∈ B.
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A proposição anterior é usada para mostrar que alguns conjuntos
determinam estruturas de anéis, desde que estejam contidos em um
anel.
Exemplo 3.22. Z[i] = {a + ib : a, b ∈ Z} é um anel, pois é subanel de C.
{(
a 0
)
}
: a, b ∈ R é anel, pois é subanel de
0 b
M2 (R). Neste caso A é um anel comutativo, apesar de M2 (R) não o ser.
Exemplo 3.23. A =
Exercícios
1. Justificar os exemplos dos subanéis Z[i] e A acima.
√
2. Dado A = {a + b 3 : a, b ∈ Q}, verificar se A é um corpo.
3. Para A = {2a + bi : a, b ∈ Z}, verificar que A é um anel. Verificar se
A é um domínio de integridade.
a
, a, b ∈ Z, b ̸=
b
0 e tal que p não divide b}. Mostrar que A é um anel, mas não é um
4. Sejam p um número primo e A = {x ∈ Q : x =
corpo.
5. Verificar se {n2 : n ∈ Z} é um anel com as operações de adição e
multiplicação usuais dos inteiros.
6. Sejam B e C subanéis de um anel A. Mostrar que B ∩ C é um subanel
de A.
7. Seja B um subanel de A:
(a) Mostrar que se A não possui divisores de zero, então B também não
os possui.
(b) Mostrar que se B é um anel com unidade e A é um domínio de
integridade, então B é também um domínio de integridade e que
1B = 1A .
8. Sejam a um elemento de um anel A e B = {b ∈ A : ab = ba}. Mostrar
que B é um subanel de A.
9. Quais dos seguintes subconjuntos são subanéis de M2 (R)?
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{(
(a) A =
{(
(c) A =
{(
(e) A =
a 0
0 0
a b
0 0
a b
)
}
{(
:a∈R
)
(b) A =
}
{(
: a, b ∈ R
)
0 c
(d) A =
}
: a, b, c ∈ R
{(
(f) A =
0 a
0 0
a 0
b 0
a b
c 0
)
}
:a∈R
)
}
: a, b ∈ R
)
}
: a, b, c ∈ R .
10. Quais dos seguintes subconjuntos são subanéis de Z6 ? Nos casos
em que são subanéis, quais deles são corpos?
(a) {0, 3} (b) {0, 2, 4} (c) {0, 1, 3, 5}.
11. Para as operações a ⊕ b = a + b − 1 e a ⊙ b = a + b − ab, já vimos
que (R, ⊕, ⊙) é um corpo.
(a) Verificar que (Z, ⊕, ⊙) é um subanel de (R, ⊕, ⊙);
(b) Verificar se (Z, ⊕, ⊙) é um domínio de integridade;
(c) Verificar se (Z, ⊕, ⊙) é um corpo;
(d) Verificar se o conjunto I dos números ímpares é um subanel de
(Z, ⊕, ⊙).
12. Mostrar que se A1 é um subanel do anel A e B1 é um subanel do
anel B, então A1 × B1 é um subanel do anel A × B.
13. Mostrar que se A é um subanel de Q e 1 ∈ A, então Z ⊆ A.
14. Mostrar que Q não contém subcorpos, isto é, se K é um subcorpo
de Q, então K = Q.
3.5 Ideais
Veremos aqui outro tipo de subestrutura de um anel: os ideais. Na
realidade, os ideais são subanéis com uma propriedade de absorção: se
a está no anel e b no ideal então ab (ou ba) está no ideal.
Definição 3.9. Sejam (A, +, ·, 0) um anel e I um subconjunto não vazio
de A.
Dizemos que I é um ideal à esquerda de A se:
(i) para todos a, b ∈ I, a − b ∈ I;
(ii) para todo r ∈ I e todo a ∈ A, segue que ar ∈ I, isto é, AI ⊆ I.
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Dizemos que I é um ideal à direita de A se:
(i) para todos a, b ∈ I, a − b ∈ I
(i) para todo r ∈ I e para todo a ∈ A, segue que ra ∈ I, isto é, IA ⊆ I).
Dizemos que I é um ideal bilateral, ou simplesmente um ideal de A
quando I é ao mesmo tempo um ideal à esquerda e à direita de A.
Os conjuntos {0} e A são ideais (bilaterais) de A.
Se A é um anel comutativo, então todo ideal à esquerda (ou à direita)
é bilateral, pois para todo r ∈ I e para todo a ∈ A, ar = ra.
Se I é um ideal (à esquerda ou à direita) e se 1 ∈ I, então I = A,
pois para todo a ∈ A, a = a1 = 1a. Logo, a ∈ I.
Se I é um ideal à esquerda (ou à direita) então valem:
(i) 0 ∈ I, pois como I ̸= ∅, existe a ∈ I. Logo, 0 = a − a ∈ I.
(ii) Se a ∈ I, como 0 ∈ I, então −a = 0 − a ∈ I.
(iii) Se a, b ∈ I, como −b ∈ I, então a + b = a − (−b) ∈ I.
(iv) Se a, b ∈ I, como a, b ∈ A, então ab ∈ I e ba ∈ I.
(v) I é um subanel de A.
Exemplo 3.24. Qualquer que seja n ∈ Z, a estrutura nZ é um ideal de Z.
Exemplo 3.25. Z é um subanel de Q, mas Z não é um ideal de Q.
{(
)
}
a 0
Exemplo 3.26. O conjunto I =
: a, b ∈ R é um ideal
b 0
à
2 (R)((verificar),
( esquerda
) ( de M)
) mas não é um ideal à direita:
1 0
1 1
1 1
=
.
1 0
1 1
1 1
Exemplo 3.27. Se A é um anel e a ∈ A, então aA = {ar : r ∈ A} é um
ideal à direita de A e Aa = {ra : r ∈ A} é um ideal à esquerda de A.
Definição 3.10. Sejam (A, +, ·, 0) um anel comutativo e I um ideal de A.
Dizemos que I é um ideal principal de A se existe a ∈ A tal que I = aA.
Proposição 3.4. Todo ideal de Z é principal.
Demonstração: Seja I um ideal de Z. Se I = {0}, então I = 0Z que
é um ideal principal. Se I ̸= {0}, então existe a ∈ I, tal que a ̸= 0.
Como −a = −1.a ∈ I, então o conjunto I + = {a ∈ I : a > 0} ̸= ∅.
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Pelo princípio da boa ordem, existe d ∈ I + , tal que d é menor elemento
de I + . Mostraremos que I = dZ. Como d ∈ I e I é um ideal de Z, então
dZ = {dn : n ∈ Z} ⊆ I. Por outro lado, seja c ∈ I. Pelo algoritmo
da divisão, existem q, r ∈ Z tais que c = qd + r e 0 ≤ r < d. Logo,
r = c − qd ∈ I, pois c ∈ I e qd ∈ I. Como r < d e d é o menor elemento
de I + , então r = 0, ou seja, c = qd = dq ∈ dZ. Assim, I ⊆ dZ e, portanto,
I = dZ.
Exercícios
1. Justificar o exemplo 3.25.
2. Justificar o exemplo 3.27.
3. Verificar se os seguintes conjuntos são ideais à direita ou à esquerda
de M2 (Z).
{(
(a) I =
{(
a b
0 0
0 a
)
}
: a, b ∈ Z
)
}
{(
(b) I =
a 0
0 b
)
}
: a, b ∈ Z
: a, b ∈ Z
0 b
4. Verificar se os seguintes conjuntos são ideais de Z6 .
(c) I =
(a) {0, 2, 4} (b) {0, 3} (c) {1, 3, 5}.
5. Verificar se o conjunto I dos números ímpares é um ideal de (Z, ⊕, ⊙),
para a ⊕ b = a + b − 1 e a ⊙ b = a + b − ab.
6. Seja F(R) o anel das funções f : R → R, definido em 3.3. Verificar se
o conjunto I = {f ∈ F(R) : f (1) = 0} é um ideal de F(R).
7. Mostrar que se K é um corpo e se I é um ideal de K, então I = {0}
ou I = K.
8. Mostrar que se A é um anel comutativo com unidade tal que os únicos ideais de A são {0} e A, então A é um corpo.
9. Sejam I e J ideais de um anel A. Mostrar que:
(a) I ∩ J é um ideal de A;
(b) I + J {
= {a + b : a ∈ I e b ∈ J} é um ideal de A;
}
n
∑
(c) IJ =
ai bi : n ∈ N, n > 0, ai ∈ I e bi ∈ J é um ideal de A;
i=1
(d) IJ ⊆ I ∩ J;
(e) I ⊆ I + J e J ⊆ I + J;
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(f) Se A é um anel comutativo com unidade e se I e J são ideais principais, então IJ é um ideal principal.
10. Seja a um elemento de um anel A. Mostrar que o conjunto O(a) =
{x ∈ A : xa = 0} é um ideal à esquerda de A.
11. Sejam a, b ∈ A e A um anel. Mostrar que o conjunto I = {ra + sb :
r, s ∈ A} é um ideal à esquerda de A.
12. Mostrar que se I é um ideal do anel A e J é um ideal do anel B,
então I × J é um ideal do anel A × B.
3.6 Homomorfismo de anéis
Essa seção trata dos homomorfismos, mas agora entre anéis. São
funções entre anéis que preservam algumas propriedades fundamentais dos anéis.
Sejam (A1 , +, ·, 0) e (A2 , +, ·, 0) dois anéis. Denotaremos as operações dos dois anéis pelos mesmos símbolos + e · e também usaremos o
mesmo símbolo 0 para denotar os zeros dos dois anéis.
Definição 3.11. Dados dois anéis (A1 , +, ·, 0) e (A2 , +, ·, 0), um homomorfismo do anel A1 no anel A2 é uma função f : A1 → A2 tal que para
todos a, b ∈ A1 :
(i) f (a + b) = f (a) + f (b);
(ii) f (ab) = f (a)f (b).
Exemplo 3.28. Seja A um anel. Então são homomorfismos de anéis:
(i) a aplicação identidade i : A → A, dada por i(a) = a, para todo
a ∈ A;
(ii) a aplicação nula n : A1 → A2 , n(a) = 0, para todo a ∈ A.
Exemplo 3.29. A função f : Z → Zn , definida por f (a) = a = r, em que
r é o resto da divisão de a por n, é um homomorfismo de anéis.
Exemplo
3.30. A função f : C → M2 (R), definida por f (a + ib) =
(
)
a −b
, para todo a + ib ∈ C, é um homomorfismo de anéis.
b a
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Exemplo 3.31. A função f : Z → Z, dada por f (a) = 2a, para todo a ∈ Z
não é um homomorfismo de anéis.
Também temos o conceito de núcleo de um anel.
Definição 3.12. Seja f : A1 → A2 um homomorfismo de anéis. Chamamos de núcleo de f ao conjunto N (f ) = {a ∈ A1 : f (a) = 0}.
Exemplo 3.32. Para f : Z → Zn , f (a) = a, N (f ) = {rn : r ∈ Z} = nZ.
(
)
a −b
Exemplo 3.33. Para f : C → M2 (R), f (a + ib) =
,
b a
N (f ) = {0} )
e a imagem}
de f é dada por Im(f ) = {f (a + ib) : a, b ∈ R} =
{(
a −b
: a, b ∈ R .
b a
Proposição 3.5. Se f : A1 → A2 é um homomorfismo de anéis, então:
(i) 0 ∈ N (f ), isto é, f (0) = 0;
(ii) f (−a) = −f (a), para todo a ∈ A1 ;
(iii) f (a − b) = f (a) − f (b), para todos a, b ∈ A1 ;
(iv) N (f ) é um ideal de A1 ;
(v) se A1 é anel com unidade, então f é o homomorfismo nulo se, e
somente se, f (1) = 0;
(vi) f é homomorfismo injetivo se, e somente se, N (f ) = {0};
(vii) Im(f ) é um subanel de A2 , em que Im(f ) = {f (a) : a ∈ A1 }.
Demonstração: (i) f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0). Logo, f (0) − f (0) =
f (0) + f (0) − f (0) e, assim, 0 = f (0).
(ii) f (a) + f (−a) = f (a + (−a)) = f (a − a) = f (0) = 0. Logo,
−f (a) = f (−a).
(iii) f (a − b) = f (a + (−b)) = f (a) + f (−b) = f (a) + (−f (b)) =
f (a) − f (b).
(iv) Por (i), N (f ) ̸= ∅. Se a, b ∈ N (f ), então f (a) = f (b) = 0. Logo,
f (a − b) = f (a) − f (b) = 0 − 0 = 0. Assim, a − b ∈ N (f ). Se a ∈ N (f )
e r ∈ A1 , então f (ra) = f (r)f (a) = f (r)0 = 0 e f (ar) = f (a)f (r) =
0f (r) = 0. Logo, ar ∈ N (f ) e ra ∈ N (f ). Assim, N (f ) é um ideal de A1 .
(v) Fica como exercício.
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(vi) Se f é injetiva e se a ̸= 0, então f (a) ̸= 0, pois f (0) = 0. Logo,
N (f ) = {0}. Por outro lado, se N (f ) = {0}, sejam a, b ∈ A1 , com f (a) =
f (b). Então f (a − b) = f (a) − f (b) = f (b) − f (b) = 0. Logo, a − b ∈
N (f ) = {0} e, portanto, a − b = 0, isto é, a = b. Assim, f é injetiva.
(vii) Por (i), 0 ∈ Im(f ). Se x, y ∈ Im(f ), digamos, x = f (a) e y =
f (b), com a, b ∈ A1 , então x − y = f (a) − f (b) = f (a − b) ∈ Im(f ) e
xy = f (a)f (b) = f (ab) ∈ Im(f ). Dessa maneira, Im(f ) é um subanel de
A2 .
Definição 3.13. Dizemos que f : A1 → A2 é um isomorfismo se f é um
homomorfismo injetivo e sobrejetivo de anéis. Dizemos que dois anéis A1 e
A2 são isomorfos, se existe um isomorfismo f : A1 → A2 .
Indicamos que A1 e A2 são isomorfos por A1 ∼
= A2 .
Se os anéis A1 e A2 são isomorfos, podemos identificar A1 com A2
pois, um isomorfismo, além de ser uma bijeção, identifica as operações
dos dois anéis e, deste modo, identifica também todas as propriedades
destes anéis.
Por exemplo, se f : A1 → A2 é um isomorfismo, então:
a é um divisor de zero em A1 se, e somente se, f (a) é um divisor de
zero em A2 ;
a é inversível em A1 se, e somente se, f (a) é inversível em A2 ;
ab = ba se, e somente se, f (a)f (b) = f (b)f (a);
A1 é um corpo se, e somente se, A2 é um corpo.
Exercícios
1. Conferir os exemplos de homomorfismo.
2. Verificar se as funções seguintes são homomorfismos de anéis:
(a) f : Z → Z, f (n) = n + 1;
(b) f : Z3 → Z6 , f (n) = 2n;
(c) f : Z6 → Z3 , f (n) = n;
(d) f : C → R, f (a + bi) = a(2 + b2 ; )
a 0
(e) f : R → M2 (R), f (a) =
;
0 a
√
√
√
√
(f) f : Z[ 2] → Z[ 3], f (a + b 2) = a + b 3;
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√
√
√
√
(g) f : Z[ 2] → Z[ 2], f (a + b 2) = a − b 2;
(h) f : Z × Z −→ Z, f (a, b) = a + b;
(i) f : Z × Z −→ Z, f (a, b) = b;
(j) f : Z × Z −→ Z × Z, f (a, b) = (b, −a);
(k) f : C −→ R × R, f (a + bi) = (a, b);
(l) f : R −→ (R, ⊕, ⊙), f (x) = 1 − x, em que x ⊕ y = x + y − 1 e
x ⊙ y = x + y − xy.
3. No exercício anterior, determinar o núcleo e a imagem de cada homomorfismo.
4. Sejam A1 e A2 anéis com unidade e f : A1 → A2 um homomorfismo
não nulo de anéis. Mostrar que:
(a) se 1 ∈ Im(f ), então f (1) = 1;
(b) se a é um elemento inversível de A1 e 1 ∈ Im(f ), então f (a−1 ) =
[f (a)]−1 ;
(c) se A2 é um domínio de integridade, entãof (1) = 1.
5. Sejam f : A1 → A2 e g : A2 → A3 dois homomorfismos. Mostrar que
a aplicação composta gof : A1 → A3 também é um homomorfismo.
6. Dar uma demonstração do item (v) da Proposição 3.5.
7. Seja f : A1 → A2 um isomorfismo. Mostrar que f −1 também é um
isomorfismo.
8. Sejam f : A1 → A2 um homomorfismo de anéis e J um ideal à
esquerda (respectivamente à direita) de A2 . Mostrar que o conjunto
I = {a ∈ A1 : f (a) ∈ J} é um ideal à esquerda (respectivamente à
direita) de A1 .
9. Sejam f : A1 −→ A2 um homomorfismo sobrejetivo de anéis e I um
ideal de A1 . Mostrar que f (I) é um ideal de A2 .
3.7 Anel quociente
Veremos nesta seção mais um caso de determinação de uma estrutura pelo procedimento de passar o quociente através de uma relação
de equivalência. Trata-se de procedimento algébrico típico e aplicado
muitas vezes em diversas situações.
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Definição 3.14. Sejam (A, +, ·, 0) um anel e I um ideal de A. Dizemos
que dois elementos a, b ∈ A são congruentes módulo I quando a − b ∈ I.
Denotamos a congruência módulo I por: a ≡ b (mod I), o que
devemos ler como a é congruente a b módulo I.
Devemos observar que o conceito de “congruência módulo I” é uma
generalização do conceito de “congruência módulo n” para inteiros,
posto que a − b é múltiplo de n é equivalente a dizer que a − b pertence
ao ideal nZ.
Proposição 3.6. Seja (A, +, ·, 0) um anel. Se a, b, c, d ∈ A, então:
(i) a ≡ a (mod I) (reflexividade);
(ii) se a ≡ b (mod I), então b ≡ a (mod I) (simetria);
(iii) se a ≡ b (mod I) e b ≡ c (mod I), então a ≡ c (mod I) (transitividade);
(iv) se a ≡ b (mod I), então a + c ≡ b + c (mod I) e ac ≡ bc (mod I);
(v) se a ≡ b (mod I) e c ≡ d (mod I), então valem a + c ≡ b + d (mod I)
e ac ≡ bd (mod I).
Demonstração: Faremos a demonstração da propriedade (v): se a ≡
b (mod I) e c ≡ d (mod I), por (iv), ac ≡ bc (mod I), bc ≡ bd (mod I),
a+c ≡ b+c (mod I) e b+c ≡ b+d (mod I). Logo, por (iii), ac ≡ bd (mod I)
e a + c ≡ b + d (mod I).
As propriedades (i), (ii) e (iii) garantem que a relação “congruência
módulo I” é uma relação de equivalência.
A classe de equivalência de a ∈ A é o conjunto {b ∈ A : b − a ∈ I}.
Assim, x ∈ {b ∈ A : b − a ∈ I} ⇔ x − a = c ∈ I ⇔ x = a + c,
c ∈ I ⇔ x ∈ a + I = {a + c : c ∈ I}.
Podemos então denotar a classe de equivalência de a por a + I
e o conjunto quociente de A por esta relação de equivalência por
A/I = {a + I : a ∈ A}.
Definiremos, agora, uma estrutura de anel em A/I a partir das
operações de A.
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Para a + I, b + I ∈ A/I, definimos:
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I e
(a + I)(b + I) = ab + I.
Estas operações são bem definidas pois, se a + I = a′ + I e
b + I = b′ + I, isto é, se a ≡ a′ (mod I) e se b ≡ b′ (mod I) então,
pela Propriedade (v), ab ≡ a′ b′ (mod I) e a + b ≡ a′ + b′ (mod I).
Logo, ab + I = a′ b′ + I e (a + b) + I = (a′ + b′ ) + I, ou seja,
(a + I)(b + I) = (a′ + I)(b′ + I) e (a + I) + (b + I) = (a′ + I) + (b′ + I).
O zero de A/I é a classe 0 + I = I e a + I = I se, e somente se,
a ∈ I.
Se (A, +, ·, 0, 1) é anel com unidade 1, então o elemento unidade de
A/I é a classe 1 + I.
Definição 3.15. O anel A/I = {a + I : a ∈ A} é o anel quociente de A
módulo I.
Exercícios
1. Dar uma demonstração para os ítens (i) - (iv) da Proposição 3.6.
2. Verificar as demais condições para que A/I seja um anel.
3.8 O teorema do isomorfismo
Agora generalizamos o Teorema do Homomorfismo de grupos para
o Teorema do Isomorfismo de anéis.
Proposição 3.7. Seja (A, +, ·, 0) um anel. A função f : A → A/I definida
por f (a) = a + I é um homomorfismo sobrejetivo em que N (f ) = I.
Proposição 3.8. (Teorema do isomorfismo) Seja f : A → B um homomorfismo sobrejetivo de anéis. Então f : A/N (f ) → B, definida por
f (a + N (f )) = f (a) é um isomorfismo de anéis.
Demonstração: A operação f está bem definida, pois se a + N (f ) =
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b + N (f ), então a − b ∈ N (f ). Logo, 0 = f (a − b) = f (a) − f (b), isto é,
f (a) = f (b) e, portanto, f (a + N (f )) = f (a) = f (b) = f (b + N (f )).
Temos também que f é um homomorfismo de anéis pois:
f (a + N (f ) + b + N (f )) = f (a + b + N (f )) = f (a + b) = f (a) + f (b) =
f (a + N (f )) + f (b + N (f ));
f ((a + N (f ))(b + N (f ))) = f (ab + N (f )) = f (ab) = f (a)f (b) =
f (a + N (f ))f (b + N (f )).
Resta verificar que f é bijetiva, e isso fica como exercício.
Corolário 3.9. Z/nZ ∼
= Zn .
Demonstração: Basta aplicar a proposição anterior para o homomorfismo
f : Z → Zn , em que f (a) = a.
Corolário 3.10. Se f : A → B é um homomorfismo de anéis, então
A/N (f ) ∼
= Im(f ).
Demonstração: Como f : A → Im(f ) é um homomorfismo sobrejetivo,
pela proposição temos o resultado.
Corolário 3.11. A/{0} ∼
= A.
Demonstração: Basta tomar a aplicação identidade i : A → A.
Definição 3.16. Sejam (A, +, ·, 0) um anel e P um ideal de A, com P ̸= A.
Dizemos que P é um ideal primo de A se para a, b ∈ A: ab ∈ P ⇒ a ∈ P
ou b ∈ P .
Exemplo 3.34. {0} é um ideal primo de Z.
Exemplo 3.35. Sejam A = Z e P = pZ, em que p é um número primo.
Então P é um ideal primo: pZ ̸= Z, pois 1 ∈
/ pZ e se a, b ∈ Z com ab ∈ pZ,
digamos, ab = pn, para algum n ∈ Z, segue que p é um divisor de ab, e
como p é um número primo, então p é um divisor de a ou de b. Logo, a ∈ pZ
ou b ∈ pZ.
Exemplo 3.36. Sejam A = Z e I = 6Z. Nesse caso, I não é um ideal
primo pois 2, 3 ∈ Z, 2 ∈
/ 6Z e 3 ∈
/ 6Z, mas 2 · 3 = 6 = 6 · 1 ∈ 6Z.
Exemplo 3.37. Em geral, se n não é um número primo, digamos, n > 0
e n = rs, para r, s ∈ Z, com r > 1 e s > 1, então r, s ∈
/ nZ, pois 0 < r,
s < n, mas rs = n ∈ nZ. Logo, nZ não é um ideal primo.
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Definição 3.17. Sejam (A, +, ·, 0) um anel e M um ideal de A. Dizemos
que M é um ideal maximal de A se M ̸= A e não existe ideal I de A tal
que M ⊂ I ̸= A.
Exemplo 3.38. Se p é um número primo, então pZ é um ideal maximal de
Z, pois se I é um ideal de Z, com pZ ⊆ I ⊆ Z, precisamos mostrar que
I = pZ ou I = Z. Se I = pZ, nada temos a mostrar. Se I ̸= pZ, então seja
x ∈ I, x ∈
/ pZ, ou seja, x é um inteiro que não é múltiplo de p. Então, o
máximo divisor comum entre p e x é 1 e, desse modo, existem r, s ∈ Z tais
que 1 = rp + sx ∈ I, pois p ∈ pZ ⊆ I e x ∈ I. Assim, I = Z e, portanto,
pZ é um ideal maximal de Z.
Exemplo 3.39. {0} não é um ideal maximal de Z, pois {0} ⊂ 2Z ⊂ Z.
Exemplo 3.40. 15Z não é um ideal maximal de Z, pois 15Z ⊂ 3Z ⊂ Z.
Exemplo 3.41. Se K é um corpo, então {0} é um ideal maximal de K,
pois os únicos ideais de K são {0} e K.
Proposição 3.12. Sejam (A, +, ·, 0) um anel comutativo e P um ideal de
A. Então:
(i) A/P é um anel comutativo;
(ii) A/P é um domínio de integridade se, e somente se, P é um ideal
primo;
(iii) A/P é um corpo se, e somente se, P é um ideal maximal.
Demonstração: (i) Fica como exercício.
(ii) Suponhamos que A/P seja um domínio de integridade. Sejam a, b ∈
A tais que ab ∈ P . Então ab + P = P e, desse modo, (a + P )(b + P ) = P .
Como A/P é um domínio de integridade, então a + P = P ou b + P = P ,
ou seja, a ∈ P ou b ∈ P . Assim, P é um ideal primo.
Por outro lado, seja P um ideal primo. Sejam a + P, b + P ∈ A/P tais
que (a + P )(b + P ) = P . Então, ab + P = P , ou seja, ab ∈ P . Como P é
um ideal primo, então a ∈ P ou b ∈ P , ou seja, a + P = P ou b + P = P .
Assim, A/P é um domínio de integridade.
(iii) Suponhamos que A/P seja um corpo. Seja I um ideal de A tal que
P ⊂ I ⊆ A. Então, existe a ∈ I − P e a + P ̸= P . Como A/P é um
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corpo, então existe b + P ∈ A/P tal que (a + P )(b + P ) = 1 + P , ou seja,
ab + P = 1 + P . Logo, ab − 1 ∈ P ⊂ I e, portanto, ab − 1 = c ∈ I. Como
a ∈ I, então ab ∈ I. Logo, 1 = ab − c ∈ I e, desse modo, I = A. Assim, P
é um ideal maximal de A.
Por outro lado, seja P um ideal maximal. Se a+P ∈ A/P , com a+P ̸=
P , então a ∈
/ P . Logo, P ⊂ P + aA ⊆ A. Como P é maximal, então
aA + P = A e como 1 ∈ A = P + aA, existem b ∈ P e r ∈ A tais que
b + ar = 1. Logo, ar − 1 = b ∈ P , ou seja, ar + P = 1 + P e, portanto,
(a + P )(r + P ) = ar + P = 1 + P . Assim, todo elemento não nulo de A/P
é inversível e portanto, A/P é um corpo.
Corolário 3.13. Todo ideal maximal é primo.
Demonstração: Se P é um ideal maximal de um anel A, então A/P é um
corpo. Logo, A/P é um domínio de integridade e, portanto, P é um ideal
primo.
Corolário 3.14. Todo ideal primo não nulo de Z é maximal.
Demonstração: Já vimos nos exemplos anteriores que se P é um ideal
primo e não nulo de Z, então P = pZ, em que p é um número primo. Vimos
também que pZ é um ideal maximal. Assim, todo ideal primo não nulo de
Z é maximal.
Corolário 3.15. Seja (A, +, ·, 0) um anel comutativo. Então:
(i) A é um domínio de integridade se, e somente se, {0} é um ideal
primo.
(ii) A é um corpo se, e somente se, {0} é um ideal maximal.
Demonstração: Pelo Corolário 3.11, A ∼
= A/{0}. Logo, basta aplicar a
proposição anterior.
Exemplo 3.42. Tomando A = Z × Z, temos que (1, 0)(0, 1) = (0, 0). Logo
{(0, 0)} não é um ideal primo de A e, portanto, A não é um domínio de
integridade. Consideremos a função f : Z × Z → Z, definida por f (a, b) =
b. Verifica-se facilmente que f é um homomorfismo sobrejetivo. Além disso
N (f ) = {(a, 0) : a ∈ Z}. Assim, pelo Teorema do Homomorfismo, (Z ×
Z)/N (f ) ≡ Z. Como Z é um domínio de integridade, mas não é um corpo,
segue que N (f ) é um ideal primo, mas não é um ideal maximal.
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Exercícios
1. Fazer uma demonstração de que a função f : A → A/I definida por
f (a) = a + I é um homomorfismo sobrejetivo em que N (f ) = I.
2. Sejam A um anel comutativo, B um domínio de integridade e f :
A → B um homomorfismo de anéis. Mostrar que N (f ) = A ou N (f ) é
um ideal primo de A.
3. Sejam P = {0, 2, 4, 6} e Q = {0, 4} ideais de Z8 . Verificar se P e Q são
ideais primos.
4. Mostrar, através de um exemplo, que pode acontecer de A ser um
domínio de integridade, sem que A/I seja um domínio de integridade.
5. Sejam F(R) = {f : R → R : f é função } o anel das funções definido
no exercício 3.3, a ∈ R e P = {f ∈ F(R) : f (a) = 0}. Mostrar que P é
um ideal maximal. (Sugestão: Tomar a função G : F(R) → R definida
por G(f ) = f (a) e aplicar as Proposições 3.8 e 3.12).
6. Terminar a demonstração da Proposição 3.8.
3.9 Característica de um anel
Nesta seção associamos um número inteiro positivo a cada anel.
Definição 3.18. Sejam A um anel e C = {n ∈ N∗ : na = 0 para todo a ∈
A}. Se C = ∅, então a característica de A é zero. Se C ̸= ∅, então a
característica de A é o menor elemento de C.
Assim, a característica de um anel A é um número inteiro n ≥ 0.
Exemplo 3.43. Os anéis Z, Q, R e C têm característica 0, pois para a = 1,
se m ̸= 0, então ma = m1 = m ̸= 0.
Proposição 3.16. Seja A um anel com unidade:
(i) se A tem característica p > 0, então p é o menor inteiro positivo tal que
p · 1 = 0;
(ii) se A tem característica zero, então n · 1 = 0 ⇒ n = 0, para todo inteiro
n.
Demonstração: Se r ≥ 0 é o menor inteiro positivo tal que r·1 = 0, então,
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para todo a ∈ A, ra = r(1a) = (r1)a = 0a = 0. Assim, a característica de
A é um inteiro positivo p tal que p ≤ r.
(i) Se A tem característica p > 0, então p·1 = 0. Logo, r ≤ p, portanto,
r = p. Assim, p é o menor inteiro positivo tal que p · 1 = 0.
(ii) Se A tem característica zero, então n · 1 = 0 ⇒ n = 0.
Exemplo 3.44. A característica de cada anel Zm é m, pois se n é um inteiro tal que 0 < n ≤ m, então n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 = n · 1 = n. Assim,
se n = m, então n · 1 = n = m = 0, e se 0 < n < m, então n · 1 = n ̸= 0.
Desse modo, pela proposição anterior, Zm tem característica m.
Proposição 3.17. Se (A, +, ·, 0, 1) é um anel de integridade, então a característica de A é 0 ou um número primo.
Demonstração: Consideremos que a característica de A não é 0. Então a
característica de A é algum natural p > 0.
Se p não é primo, então existem 1 < r, s < p tais que p = rs. Daí,
r · 1 ̸= 0 e s · 1 ̸= 0, com r · 1 · s · 1 = r · s · 1 = p · 1 = 0. Logo, r · 1 e s · 1
são divisores de 0 num anel de integridade, o que é uma contradição.
Portanto, p é primo.
Seja (A, +, ·, 0A , 1A ) um anel com unidade. Para n ∈ Z, n ≥ 0, definimos 0 · 1A = 0A e (n + 1) · 1A = n · 1A + 1A . Verifica-se por indução que n · 1A ∈ A, para todo n ∈ Z, n ≥ 0. Para n < 0 definimos
n · 1A = −(−n)1A ∈ A. Assim, para todo n ∈ Z, n · 1A ∈ A, o qual
denotamos simplesmente por n1A .
Proposição 3.18. Se (A, +, ·, 0A , 1A ) é um anel com unidade, então:
(i) para m, n ∈ Z, m1A · n1A = (mn)1A ;
(ii) para m, n ∈ Z, m1A + n1A = (m + n)1A ;
(iii) o conjunto Z · 1A = {q · 1A : q ∈ Z} é um subanel de A;
(iv) se A possui característica m > 0 então a função f : Zm → Z · 1A ,
definida por f (r) = r · 1A é um isomorfismo;
(v) se A possui característica m > 0 então a função f : Z → Z · 1A ,
definida por f (r) = r · 1A é um isomorfismo.
Demonstração: Fica como exercício.
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Exercícios
1. Seja (A, +, ·, 0, 1) um anel com unidade. Mostrar que se para todo
x ∈ A, x2 = x, então a característica de A é 2.
2. Seja (A, +, ·, 0) um anel. Mostrar que se a característica de A é um
número natural composto n > 0, então o anel A possui divisores de
zero.
3. Mostrar que dois anéis isomorfos possuem a mesma característica.
4. Seja (A, +, ·, 0) um anel. Mostrar que cada subanel de A tem característica menor ou igual a característica de A.
5.Verificar se o anel Z6 possui subanéis com características 2 e 3.
6. Fazer a demonstração da Proposição 3.18
3.10 O corpo de frações de um domínio de integridade
O corpo dos números racionais é obtido a partir do anel dos inteiros
através de uma relação de equivalência em Z × Z∗ . Ver mais detalhes
em [3]. A técnica utilizada pode ser abstraída e aplicada aqui, de
maneira que, dado um domínio de integridade, construímos um corpo,
o menor possível, que contém o anel.
Seja (A, +, ·, 0, 1) um domínio de integridade e consideremos A∗ =
A − {0}. Definimos em A × A∗ a relação:
(a, b) ≡ (c, d) ⇔ ad = bc.
Esta é uma relação de equivalência em A × A∗ , pois para quaisquer
(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ A × A∗ valem as propriedades:
(i) reflexiva: como ab = ba, então (a, b) ≡ (a, b).
(ii) simétrica: se (a, b) ≡ (c, d), então ad = bc. Logo, cb = da e,
portanto, (c, d) ≡ (a, b).
(iii) transitiva: se (a, b) ≡ (c, d) e (c, d) ≡ (e, f ), então ad = bc e cf = de.
Fazendo o produto na primeira igualdade por f e na segunda por b,
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temos adf = bcf e bcf = bde. Portanto, adf = bde e, então, af d = bed.
Como d ̸= 0 e A é um domínio de integridade, podemos cancelar d.
Assim, af = be, ou seja, (a, b) ≡ (e, f ).
Se (a, b) ∈ A × A∗ , denotaremos sua classe de equivalência por:
(a, b) = {(c, d) ∈ A × A∗ : (c, d) ≡ (a, b)}.
Também, denotaremos o conjunto quociente por Q(A), isto é:
Q(A) = {(a, b) : (a, b) ∈ A × A∗ } = {(a, b) : a, b ∈ A e b ̸= 0}.
A partir das operações do anel A, induziremos operações em Q(A)
e mostraremos que Q(A), com estas operações, é um corpo.
Para (a, b), (c, d) ∈ Q(A) definimos:
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
e
(a, b) · (c, d) = (ac, bd).
Observamos que (a, b) + (c, d) e (a, b) · (c, d) estão em Q(A), pois
ad + bc, ac, bd ∈ A e bd ̸= 0.
Precisamos verificar que estas operações estão bem definidas.
Sejam (a, b), (c, d), (a′ , b′ ), (c′ , d′ )
(a′ , b′ )
e (c, d) =
(c′ , d′ ),
isto é,
ab′
=
ba′
∈
e
cd′
Q(A) tais que (a, b)
=
=
dc′ .
Devemos mostrar que
(a, b) + (c, d) = (a′ , b′ ) + (c′ , d′ ) e (a, b) · (c, d) = (a′ , b′ ) ·
(c′ , d′ ):
(a, b) + (c, d) = (a′ , b′ ) + (c′ , d′ ) ⇔ (ad + bc, bd) = (a′ d′ + b′ c′ , b′ d′ ) ⇔
(ad + bc)b′ d′ = (a′ d′ + b′ c′ )bd ⇔ adb′ d′ + bcb′ d′ = a′ d′ bd + b′ c′ bd ⇔
ab′ dd′ + cd′ bb′ = ba′ dd′ + dc′ bb′ , que é válida pois ab′ = ba′ e cd′ = dc′ .
(a, b) · (c, d) = (a′ , b′ ) · (c′ , d′ ) ⇔ (ac, bd)(a′ c′ , b′ d′ ) ⇔ acb′ d′ = a′ c′ bd ⇔
ab′ cd′ = ba′ dc′ , que é válida pois ab′ = ba′ e cd′ = dc′ .
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Assim, as operações estão bem definidas. Resta verificarmos que
Q(A) é um corpo com as operações definidas acima. Mas isto é um trabalho de rotina e fica como exercício.
Definição 3.19. O corpo Q(A) é denominado corpo de frações do domínio
de integridade (A, +, ·, 0, 1).
Seja f : A → Q(A) definida por f (a) = (a, 1). É fácil verificar que f
é um homomorfismo injetivo e que Im(f ) = {(a, 1) : a ∈ A}.
Assim, A ∼
= A/{0} ∼
= Im(f ). Logo A ∼
= {(a, 1) : a ∈ A} e podemos
considerar A como um subanel de Q(A) ao identificarmos A com Im(f )
em Q(A).
Se (A, +, ·, 0, 1) é um domínio de integridade e K é um corpo que
contém A, então definimos f : Q(A) → K por f ((a, b)) = ab−1 .
Assim, Q(A) ∼
= Im(f ), isto é, o corpo Q(A) é isomorfo a um subcorpo de K que contém A. Neste sentido, Q(A) é o menor corpo que
contém A.
Exercícios
1. Mostrar que Q(A) é um corpo com as operações definidas acima.
2. Mostrar que a função f (a) = (a, 1) é um homomorfismo injetivo e
que Im(f ) = {(a, 1) : a ∈ A}.
3. Mostrar que a função f : Q(A) → K definita por f ((a, b)) = ab−1 é
um homomorfismo injetivo.
3.11 Sobre um corpo ordenado e completo
O corpo ordenado e completo dos números reais, R, é construído
a partir do corpo ordenado dos racionais, Q, como pode ser visto
em [5]. Esta construção é feita a partir dos cortes de Dedekind, mas
outras construções a partir das sequências de Cauchy ou intervalos
encaixantes, entre outras, são possíveis. A seguir, mostraremos que
qualquer corpo ordenado e completo é isomorfo ao corpo dos números
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reais.
Uma parte importante do trabalho matemático consiste em buscar
uma coleção de axiomas que caracterizem plenamente um certo tema
de interesse.
Por exemplo, a Aritmética consiste da teoria que teria como modelo
o conjunto dos números naturais, com os destacados elementos zero
e um, com as operações de sucessor, adição e multiplicação de números naturais e com a relação de menor ou igual entre naturais. Quando
conhecemos os axiomas de Peano para a Aritmética, imaginamos que
somente eles dariam conta deste modelo. Porém, posteriormente, percebemos que existem outros modelos da Aritmética que não coincidem
com o modelo usual acima.
Observamos também que para algumas teorias, os seus modelos
são todos isomorfos e para outras, como a Aritmética de primeira
ordem, existem modelos não isomorfos entre si.
Diante disso, dizemos o seguinte.
Definição 3.20. Uma teoria é categórica ou tem a propriedade da categoricidade se todos os seus modelos são isomorfos entre si.
Veremos agora que a teoria dos corpos ordenados e completos tem
a propriedade da categoricidade.
Como todo corpo é um anel, então a característica de um corpo é
zero, se para todo inteiro positivo n tem-se n · 1 = 1| + 1 +
{z· · · + 1} ̸= 0;
n vezes
e é k > 1, se k é o menor inteiro positivo tal que k · 1 = 0.
Dado um corpo F = (F, 0, 1, +, .) de característica zero, a função
φ : Z → F definida por φ(n) = n · 1 (n vezes) é um homomorfismo
injetivo de anéis de Z em F e, desse modo, como F tem característica
zero, ZF = Im(φ) é uma cópia isomórfica de Z em F. Em muitas
oportunidades, abusaremos desta situação e consideraremos que estes
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elementos de Z são elementos de F, assim como assumimos que os
elementos de N são elementos de Z.
Definição 3.21. Seja F = (F, 0, 1, +, . ) um corpo de característica zero.
O conjunto QF dos números racionais de F é determinado por todos os
a
elementos de F do tipo a · b−1 , denotado por , em que a, b ∈ ZF e b ̸= 0.
b
Observamos que
a
c
a c
ad + bc
a c
ac
= ⇔ ad = bc, + =
e · =
.
b
d
b d
bd
b d
bd
Naturalmente ZF ⊆ QF , pois para cada a ∈ ZF temos que a =
QF .
a
∈
1
Doravante, consideraremos que F e G são corpos de característica
zero.
Lema 3.19. (i) QF determina um subcorpo (QF , 0, 1, +, ·) de F;
(ii) (QF , 0, 1, +, ·) é o menor subcorpo de F e está contido em qualquer outro subcorpo de F.
Demonstração: (i) [1] 0F ∈ ZF ⊆ QF e 1F ∈ ZF ⊆ QF . Como 0F ̸= 1F ,
então QF tem pelo menos dois elementos.
a
c
a c
∈ QF isto é, a, b, c, d ∈ F e b ̸= 0 ̸= d. Daí − =
[2] Sejam ,
b d
b
d
a·d−b·c
∈ QF , pois a · d − b · c, b · d ∈ ZF e 0 ̸= b · d ∈ ZF . Também,
b·d
a c
a·c
· =
∈ QF .
b d
b·d
[3] Temos assim que QF é um anel comutativo com unidade. Resta mosa
trar que todo elemento não nulo de QF possui inverso para a multiplicab
ção.
a
a
b
Seja ∈ QF , com ̸= 0 isto é, a, b ∈ ZF e a ̸= 0 ̸= b. Daí ∈ QF e
b
b
a
a b
a·b
· =
= 1.
b a
b·a
Logo, QF = (QF , 0, 1, +, ·) é um subcorpo de F
(ii) Seja G = (G, 0, 1, +, · ) um subcorpo de F. Então 0F ∈ G e 1F ∈ G e
G é fechado para a adição, donde segue que a imagem de N por φ, NF ⊆ G.
Mas também −1F ∈ G e G é fechado para a multiplicação, donde segue
que ZF ⊆ G. Ainda por ser G um corpo, então G é fechado para quocientes
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de elementos não nulos e, portanto, QF ⊆ G. Logo, o corpo (QF , 0, 1, +, ·)
está incluso em G.
Teorema 3.20. Para cada corpo F de característica 0, segue que QF é
isomorfo a Q.
Demonstração: Seja φ : Z → F o monomorfismo (homomorfismo injetivo
ou imersão) mencionado anteriormente. Estenderemos este monomorfismo
a um isomorfismo entre Q e QF .
a
Se r ∈ Q, então r = , com a, b ∈ Z e b ̸= 0. Definimos então ψ(r) =
b
φ(a)
e é imediato que ψ : Q → QF é um isomorfismo.
φ(b)
[1] ψ é injetiva:
φ(a)
φ(0)
a
=
e daí φ(a) · φ(1) =
Seja r = . Se ψ(r) = 0, então
b
φ(b)
φ(1)
φ(b)·φ(0) = φ(b).0 = 0, e como φ(1) ̸= 0, então φ(a) = 0. Portanto, a = 0
a
0
0
e = = = 0.
b
b
1
[2] ψ é sobrejetiva:
x
Seja z ∈ QF . Assim, z = , com x, y ∈ ZF e y ̸= 0. Temos que existem
y
a, b ∈ Z, com b ̸= 0 de modo que φ(a) = x e φ(b) = y, pois φ é isomorfismo
φ(a)
x
a
= = z.
de Z em ZF . Logo, o racional r = é tal que ψ(r) =
b
φ(b)
y
[3] ψ preserva soma:
a
c
a
c
Sejam r = e s = dois racionais. Então ψ(r + s) = ψ( + ) =
b
d
b
d
ad + bc
φ(ad + bc)
φ(a).φ(d) + φ(b).φ(c)
φ(a)
φ(c)
ψ(
) =
=
=
+
=
bd
φ(bd)
φ(b).φ(d)
φ(b)
φ(d)
ψ(r) + ψ(s).
[4] ψ preserva produto: Fica como exercício.
Definição 3.22. Um corpo ordenado F = (F, 0, 1, +, · , <) é um corpo
que conta com uma ordem total < a qual satisfaz:
(i) x < y ⇒ x + z < y + z;
(ii) x < y e 0 < z ⇒ x · z < y · z.
Como consequência, temos:
(iii) 0 < x ⇔ −x < 0;
(iv) 0 < x e 0 < y ⇒ 0 < x · y;
(v) x < 0 e y < 0 ⇒ 0 < x · y;
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(vi) 0 < 1;
(vii) 0 < x ⇔ 0 < x−1 ;
(viii) x < 0 ⇔ x−1 < 0;
(ix) x < y ⇔ x − y < 0;
(x) x < 0 e 0 < y ⇒ x · y < 0;
(xi) x < y e z < 0 ⇒ x · z > y · z.
Dois corpos ordenados F e G são ordem isomorfos quando existe
um isomorfismo φ entre esses dois corpos que preserva a ordem, isto é,
a < b ⇒ φ(a) < φ(b).
Corolário 3.21. (i) Seja F = (F, 0, 1, +, · , <) um corpo ordenado. Então
o corpo (QF , 0, 1, +, · , <) é ordem isomorfo a Q;
(ii) Sejam F e G dois corpos ordenados. Os subcorpos ordenados QF
e QG são ordem isomorfos.
Demonstração: (i) Basta mostrarmos que o isomorfismo ψ do teorema anterior preserva ordem. Observamos que o isomorfismo φ : Q → QF preserva a ordem, pois em F, 0 < 1, −1 < 0 e se n ∈ Z, n > 0, então
φ(n) = 1 + 1 + · · · + 1 > 0 e φ(−n) = −φ(n) < 0.
a
Seja r = > 0 um racional. Então a e b são ambos positivos ou ambos
b
negativos.
φ(a)
= φ(a)φ(b)−1 > 0, pois, neste
Caso 0 < a e 0 < b, então ψ(r) =
φ(b)
caso, 0 < φ(a) e 0 < φ(b).
φ(a)
Caso a < 0 e b < 0, então ψ(r) =
= φ(a)φ(b)−1 > 0, pois, neste
φ(b)
caso, φ(a) < 0 e φ(b) < 0.
Assim, em ambos os casos, r > 0 ⇒ ψ(r) > 0.
Se r = 0 então ψ(r) = 0.
Se r < 0, então −r > 0. Desse modo, −r > 0 ⇒ ψ(−r) > 0. Assim,
−ψ(r) > 0 ⇒ ψ(r) < 0.
Portanto, r > 0 ⇔ ψ(r) > 0. É claro que disso podemos concluir
também que r < 0 ⇔ ψ(r) < 0.
Mostraremos, agora, que a função ψ preserva a ordem.
Sejam r e s dois racionais. Sem perda de generalidade, consideremos
r < s. Assim:
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r < s ⇔ 0 < s − r ⇔ 0 < ψ(s − r) ⇔ 0 < ψ(s) − ψ(r) ⇔ ψ(r) < ψ(s).
(ii) Se F e G são corpos ordenados, por (i), temos que QF ∼
=Q∼
= QG .
Pela transitividade segue que QF e QG são isomorfos.
Definição 3.23. Um corpo ordenado F = (F, 0, 1, +, · , <) é arquimediano se para cada elemento positivo x ∈ F , existe n ∈ N tal que
x < nF (= 1| + 1 +
{z· · · + 1}).
n vezes
Definição 3.24. Um corpo ordenado F = (F, 0, 1, +, · , <) é completo se
para cada A ⊆ F , o sup(A) ∈ F .
Lema 3.22. Todo corpo ordenado e completo é arquimediano.
Demonstração: Seja F um corpo ordenado e completo e seja x um elemento positivo de F . Suponhamos que x > nF , para todo natural n. Então
o conjunto A = {nF : n ∈ N} é limitado. Como F é completo, então existe
y ∈ F tal que y é o supremo de A. Assim, para todo n ∈ N, nF ≤ y. Como
y − 1 < y = sup(A), então existe n ∈ N tal que y − 1 < nF . Portanto,
y < 1 + nF = (n + 1)F , o que contradiz y = sup(A). Essa contradição
surgiu ao supormos x > nF , para todo natural n. Logo, existe n ∈ N tal
que x < nF .
Agora estamos em condições de fazer a demonstração do resultado
fundamental desta seção.
Teorema 3.23. Todo corpo ordenado e completo é isomorfo ao corpo ordenado completo dos números reais.
Demonstração: Sejam G = (G, 0, 1, +, . , <) um corpo ordenado e completo qualquer e (R, 0, 1, +, . , <) o corpo ordenado e completo do reais.
Pelo corolário anterior, existe um isomorfismo ψ : Q → QG . Agora,
estendê-lo-emos a um isomorfismo σ : R → G.
Para z ∈ R, sejam Az = {x ∈ Q : x < z} e Bz = {ψ(x) : x ∈ Az }.
Como R é um corpo ordenado e completo e, desse modo, arquimediano,
então existe um número natural n tal que z < n. Observamos que ψ(n)
é um limitante superior de Bz . Assim, sendo Bz limitado superiormente
e G um corpo completo, então existe o supremo de Bz em G. Definimos
σ(z) = sup Bz .
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Resta-nos mostrar que a função σ : R → G definida por σ(z) = sup Bz
é um isomorfismo de R em G, em que R = (R, 0, 1, +, . , <).
[1] σ é uma extensão de ψ.
Se z ∈ Q, então ψ(z) = Sup Bz = σ(z). Em particular, σ(0) = 0 e
σ(1) = 1.
[2] σ preserva ordem: x < z ⇔ σ(x) < σ(z).
Se x, z ∈ R e x < z, como Q é denso em R, tomemos y ∈ Q tal que
x < y < z. Mais uma vez, tomemos w ∈ Q tal que x < y < w < z. Daí,
ψ(y) é um limitante superior de Bx e ψ(w) ∈ Bz . Logo, σ(x) ≤G ψ(y) <
ψ(w) ≤G σ(z), ou seja, σ(x) < σ(z).
Se x ≮G z, então z ≤ x. Se z < x, por um raciocínio análogo temos
σ(z) < σ(x). Se z = x, certamente vale σ(z) = σ(x).
[3] σ é injetiva:
Para x ̸= y em R, temos x < y ou y < x. Logo, por [2], σ(x) < σ(y) ou
σ(y) < σ(x). Portanto, σ(x) ̸= σ(y).
[4] σ é sobrejetiva.
Dado w ∈ G, seja Dw = {v ∈ QG : v < w}. Assim, w = supDw . Como
G é completo, então G é arquimediano e, portanto, existe n ∈ N tal que
w < nG Agora, seja Cw = {ψ −1 (v) : v ∈ Dw } ⊆ F . Como R é completo e
ψ −1 (nG ) é um limitante superior de Cw , então existe Sup(Cw ) em R. Seja
z = Sup(Cw ). Assim, Cw = {x ∈ Q : x < z} = Az .
Como Cw = Az e Dw = Bz , então w = Sup(Dw ) = Sup(Bz ) = σ(z).
[5] σ preserva a soma: σ(x + y) = σ(x) + σ(y). Fica como exercício.
[6] σ(−y) = −σ(y).
σ(y)+σ(−y) = σ(y+(−y)) = σ(y−y) = σ(0) = 0 ⇒ σ(−y) = −σ(y).
[7] σ preserva o produto: σ(x · y) = σ(x) · σ(y).
Sejam x, y ∈ R:
Caso 1. x = 0 ou y = 0. Nesse caso, x · y = 0. Como σ(0) = 0, então
σ(x) = 0 ou σ(y) = 0. Portanto, σ(x · y) = 0 = σ(x) · σ(y).
Caso 2. x > 0 e y > 0. Se a ∈ Q e 0 < a < x · y, seja s ∈ Q tal que
a/x < s < y. Então a/s < x. Tomando r = a/s ∈ Q, temos que a = r · s.
Assim, para qualquer a ∈ Q, com 0 < a < x · y, existem r, s ∈ Q tais que
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0 < r < x, 0 < s < y e a = rs.
Mostraremos abaixo que σ(x · y) ≤ σ(x) · σ(y).
Como σ(x · y) = supBx·y > 0, seja w ∈ Bx·y tal que 0 < w. Então
w = ψ(a) e 0 < a < x · y. Como vimos acima, existem r, s ∈ Q tais que
0 < r < x, 0 < s < y e a = r·s. Temos w = ψ(a) = ψ(r·s) = ψ(r)·ψ(s) ≤
σ(x) · σ(y). Assim, para todo w ∈ Bx·y , temos que w ≤ σ(x) · σ(y). Como
σ(x · y) = supBx·y então σ(x · y) ≤ σ(x) · σ(y).
Mostraremos agora que σ(x) · σ(y) ≤ σ(x · y).
Como G é arquimediano, existe k ∈ N tal que σ(x) + σ(y) < kG . Dado
n ∈ N, seja m ∈ N tal que m > 2kn e mG > max{1/σ(x), 1/σ(y)}.
Como σ(x) = supBx e σ(y) = supBy , existem r1 ∈ Bx e s1 ∈ By tais que
0 < σ(x) − 1/mG < r1 e 0 < σ(y) − 1/mG < s1 . Logo, existem a1 , b1 ∈ Q,
com 0 < a1 < x e 0 < b1 < y tais que ψ(a1 ) = r1 e ψ(b1 ) = s1 . Daí,
σ(x) < r1 + 1/mG = ψ(a1 ) + 1/mG e σ(y) < s1 + 1/mG = ψ(b1 ) + 1/mG ;
σ(a1 ) < σ(x) e σ(b1 ) < σ(y), pois σ preserva ordem.
Como a1 · b1 < x · y então σ(a1 · b1 ) < σ(x · y); Como também 1/m <
1/2kn, então k/m < 1/2n e 1/m2 < 1/m < 1/2kn < 1/2n.
Assim, σ(x) · σ(y) < (ψ(a1 ) + 1/mG )(ψ(b1 ) + 1/mG ) = ψ(a1 )ψ(b1 ) +
(ψ(a1 )+ψ(b1 ))/mG +1/m2G = ψ(a1 ·b1 )+(ψ(a1 )+ψ(b1 ))/mG +1/m2G =
σ(a1 · b1 ) + (σ(a1 ) + σ(b1 ))/mG + 1/m2G < σ(x · y) + (σ(x) + σ(y))/mG +
1/m2G < σ(x · y) + kG /mG + 1/m2G < σ(x · y) + 1/2nG + 1/2nG <
σ(x · y) + 1/nG .
Portanto, σ(x) · σ(y) − σ(x · y) < 1/nG , para todo n ∈ N∗ e σ(x) ·
σ(y) − σ(x · y) ≤ 0, ou seja, σ(x) · σ(y) ≤ σ(x · y).
Concluímos então que, neste caso, σ(x) · σ(y) = σ(x · y)
Caso 3. x > 0 e y < 0. σ(x · y) = σ(−(x · (−y))) = −σ(x · (−y)) =
−(σ(x) · σ(−y)) = −(σ(x) · (−(σ(y)))) = −(−σ(x) · σ(y)) = σ(x)σ(y).
Caso 4. x < 0 e y > 0. É análogo ao caso anterior.
Caso 5. x < 0 e y < 0. σ(x · y) = σ((−x) · (−y))) = σ(−x) · σ(−y) =
(−σ(x)) · (−σ(y))= σ(x) · σ(y).
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Corolário 3.24. Dois corpos ordenados e completos são sempre isomorfos.
Exercícios
1. Comprovar o item [4] do Teorema 3.20.
2. Comprovar as consequências da Definição 3.22.
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Capítulo 4
Polinômios
Na tradição escolar, observamos que um polinômio é uma expressão do tipo f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 , em que n ∈ N e,
para cada i, ai ∈ R. De fato, estes são casos importantes de polinômios,
mas daremos um tratamento um pouco mais geral, em que para cada i,
ai ∈ A e A é um anel.
4.1 Anel de polinômios
Estudaremos aqui os anéis de polinômios em uma variável x.
Se (K, +, ·, 0, 1) é um corpo, veremos que existem muitos conceitos
semelhantes entre o anel de polinômios sobre K e o anel dos números
inteiros. Por exemplo, mostraremos que o algoritmo da divisão, o máximo divisor comum e a noção de elementos irredutíveis (os números
primos, no caso dos inteiros) terão uma correspondente versão nos
anéis de polinômios.
Para não nos fazermos repetitivos, consideraremos a partir daqui
que A é um domínio de integridade e K é um corpo. Assim, todo resultado que vale para A, vale também para K, desde que todo corpo é um
domínio de integridade.
Definição 4.1. O conjunto dos polinômios sobre A, que é denotado
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por A[x], é o conjunto de todas as expressões da forma f (x) = an xn +
an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 , em que n ∈ N e, para cada i, ai ∈ A.
Definição 4.2. Os termos an , an−1 , ..., a1 , a0 são os coeficientes do polinômio f (x) e, para cada i > 0, ai é o coeficiente de xi , enquanto a0 é o
termo independente.
Convencionamos que podemos omitir os termos do tipo 0xm da expressão do polinômio. Por exemplo, x3 − 2 = x3 + 0x2 + 0x − 2 =
0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x − 2.
Definição 4.3. Se f (x), g(x) ∈ A[x], dizemos que f (x) = g(x) se f (x) e
g(x) têm exatamente os mesmos coeficientes.
Assim, se f (x)
=
an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 e
g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + ... + b1 x + b0 , então f (x) = g(x) se
ai = bi para todo i e n = m.
Definiremos a seguir uma estrutura de anel em A[x].
Definição 4.4. Sejam f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 e g(x) =
bm xm +bm−1 xm−1 +...+b1 x+b0 polinômios de A[x]. Se n > m, escrevemos
g(x) = 0xn + ... + 0xm+1 bm−1 xm−1 + bm xm + ... + b1 x + b0 , isto é, bi = 0,
para i > m. Do mesmo modo, se m > n, escrevemos f (x) = 0xm + ... +
0xn+1 + an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 . Diante disso, poderemos supor,
caso necessário, n = m. Assim definimos:
(i) Adição (ou soma): considerando n = m, f (x)+g(x) = (an +bn )xn +
... + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 ).
(ii) Multiplicação (ou produto): f (x)g(x) = cm+n xm+n + ... + ck xk +
∑
... + c1 x + c0 em que, para cada k, com 0 ≤ k ≤ m + n, ck =
ai bj .
i+j=k
Assim, na multiplicação, c0 = a0 b0 , c1 = a0 b1 + a1 b0 , c2 = a2 b0 +
a1 b1 + a0 b2 , . . . , cn+m = an bm .
Exemplo 4.1. Sejam f (x) = x2 + 1 e g(x) = x3 + 2x − 1 dois polinômios
de Q[x].
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Então a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 0 e b0 = −1, b1 = 2, b2 = 0 e b3 = 1.
Assim:
f (x) + g(x) = x3 + x2 + 2x e
f (x)g(x) = x5 + 3x3 − x2 + 2x − 1, pois:
c5 = a2 b3 = 1·1 = 1
c4 = a2 b2 + a1 b3 = 1·0 + 0·1 = 0
c3 = a2 b1 + a1 b2 + a0 b3 = 1·2 + 0·0 + 1·1 = 3
c2 = a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 = 1·(−1) + 0·2 + 1·0 = −1
c1 = a1 b0 + a0 b1 = 0·(−1) + 1·2 = 2
c0 = a0 b0 = 1·(−1) = −1
Fica como exercício verificar que A[x] é um anel comutativo com
unidade.
Definição 4.5. Denominamos A[x] de anel dos polinômios sobre A.
Definição 4.6. Se f (x) = an xn + ... + a1 x + a0 ∈ A[x], com an ̸= 0,
dizemos que o polinômio f (x) tem grau n. Se f (x) = 0, dizemos f (x) tem
grau −∞.
Denotamos o grau do polinômio f (x) por ∂f (x), ou simplesmente,
∂f .
Exemplo 4.2. Para f (x) = 3x5 − 2x2 , temos que ∂f (x) = 5; e para
g(x) = 2, segue que ∂g(x) = 0; para h(x) = 0, ∂h(x) = −∞.
Definimos, para cada n ∈ N:
−∞ + n = n + −∞ = −∞;
−∞ + −∞ = −∞;
−∞ < n, para todo n ∈ N;
0n = 0, para todo n > 0;
f (x)0 = 1, se f (x) ̸= 0.
Assim, x0 = (x2 + x − 1)0 = 1 e 00 não está definido.
Proposição 4.1. Se f (x), g(x) ∈ A[x], então:
(i) ∂(f (x) · g(x)) = ∂f (x) + ∂g(x);
(ii) ∂(f (x) + g(x)) ≤ max{∂f (x), ∂g(x)} (= o maior número entre
∂f (x) e ∂g(x));
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(iii) Se ∂f (x) ̸= ∂g(x), então ∂(f (x) + g(x)) = max{∂f (x), ∂g(x)}.
Demonstração: (i) Sejam f (x) = an xn + ... + a1 x + a0 e g(x) = bm xm +
... + b1 x + b0 dois polinômios de A[x].
Se f (x) = 0 ou g(x) = 0, então f (x)g(x) = 0 e ∂(f (x)g(x)) = ∂0 =
−∞ = ∂f (x) + ∂g(x), pois ∂f (x) = −∞ ou ∂g(x) = −∞.
Se f (x) ̸= 0 e g(x) ̸= 0, então consideremos an ̸= 0 e bm ̸= 0, isto
é, ∂f (x) = n e ∂g(x) = m. Então f (x)g(x) = cn+m xn+m + (termos com
graus menores que n+m). Como cn+m = an ·bm ̸= 0, então ∂(f (x)g(x)) =
n + m = ∂f (x) + ∂g(x).
Fica como exercício a demonstração de (ii) e (iii).
Exemplo 4.3. Sejam f (x) = 2x3 − 3x + 1 e g(x) = −2x3 + x2 − 5
dois polinômios de A[x]. Então f (x) + g(x) = x2 − 3x − 4 e, nesse caso,
∂(f (x) + g(x)) < max{∂f (x), ∂g(x)}.
Corolário 4.2. O anel A[x] é um domínio de integridade.
Demonstração: Sejam f (x), g(x) ∈ A[x], com f (x) ̸= 0 e g(x) ̸= 0. Então
∂(f (x)g(x)) = ∂f (x) + ∂g(x) ≥ 0 + 0 = 0 > −∞. Logo, f (x)g(x) ̸= 0 e,
portanto, A[x] é um domínio de integridade.
Veremos, a seguir, que assim como no anel dos números inteiros,
temos um algoritmo para a divisão. Também em K[x] podemos dividir
f (x) por g(x) ̸= 0 e obtemos um quociente q(x) e um resto r(x), isto é,
f (x) = g(x)q(x) + r(x), com ∂r < ∂g.
Proposição 4.3. (Algoritmo da divisão) Sejam f (x), g(x) ∈ K[x], com
g(x) ̸= 0. Então existem e são únicos os polinômios q(x), r(x) ∈ K[x],
com ∂r(x) < ∂g(x) e tais que f (x) = q(x)g(x) + r(x).
Demonstração: Existência: Se ∂f (x) < ∂g(x), basta tomarmos q(x) = 0
e r(x) = f (x).
Se ∂f (x) ≥ ∂g(x), então procedemos por indução sobre ∂f (x) ∈ N.
Se ∂f (x) = 0, então ∂g(x) = 0. Logo, f (x), g(x) ∈ K − {0} e, então,
f (x) = f (x)(g(x))−1 g(x) + 0, isto é, q(x) = f (x)(g(x))−1 e r(x) = 0.
Hipótese de indução: A proposição vale sempre que ∂f (x) < n e n > 0.
Consideremos f (x) = an xn + ...a1 x + a0 e g(x) = bm xm + ...b1 x + b0 ,
com an ̸= 0 e bm ̸= 0. Seja h(x) = f (x) − an (bm )−1 g(x)xn−m = an xn +
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... + a1 x + a0 − an (bm )−1 (bm xm + ...b1 x + b0 )xn−m = an xn + ...a1 x +
a0 − (an xn + termos com graus menores que n). Temos então que h(x) =
an−1 xn−1 +(termos com graus menores que n) de K[x] e ∂h(x) < n.
Pela hipótese de indução, existem q(x), r(x) ∈ K[x], com ∂r(x) <
∂g(x), tais que h(x) = q(x)g(x) + r(x).
xn−m an (bm )−1 g(x).
Mas h(x) = f (x) −
Logo, f (x) = h(x) + xn−m an (bm )−1 g(x) =
q(x)g(x) + r(x) + xn−m an (bm )−1 g(x) = (q(x) + xn−m an (bm )−1 )g(x) +
r(x), o que garante a existência.
Unicidade: Se f (x) = q1 (x)g(x) + r1 (x) = q2 (x)g(x) + r2 (x), com
∂r1 (x), ∂r2 (x) < ∂g(x), então r1 (x) − r2 (x) = (q2 (x) − q1 (x))g(x). Logo,
∂(r1 (x) − r2 (x)) = ∂((q1 (x) − q2 (x))g(x)) = ∂(q1 (x) − q2 (x)) + ∂g(x).
Mas ∂(r1 (x) − r2 (x)) ≤ max{∂r1 (x), ∂r2 (x)} < ∂g(x). Logo, ∂(q1 (x) −
q2 (x)) = −∞, isto é, q1 (x) = q2 (x). Como q1 (x)g(x)+r1 (x) = q2 (x)g(x)+
r2 (x), então r1 (x) = r2 (x), o que garante a unicidade.
Proposição 4.4. Sejam f (x), g(x) ∈ A[x], com g(x) ̸= 0. Suponhamos
g(x) = xm + ... + b1 x + b0 , isto é, o coeficiente do termo de maior grau de
g(x) é 1. Então existem e são únicos q(x), r(x) ∈ A[x], com ∂r(x) < ∂g(x)
e tais que f (x) = q(x)g(x) + r(x).
Demonstração: É mesma da proposição anterior, ao considerarmos bm =
1.
Exemplo 4.4. Sejam f (x) = x4 + x2 + 1 e g(x) = x2 − x dois polinômios
sobre Z[x]. Então f (x) = x4 +x2 +1 = (x2 +x+2)(x2 −x)+(2x+1). Assim,
para q(x) = x2 + x + 2 e r(x) = 2x + 1, temos f (x) = q(x)g(x) + r(x),
em que q(x), r(x) ∈ Z[x] e ∂r(x) < ∂g(x).
Definição 4.7. Sejam f (x) ∈ A[x] e a ∈ A. Dizemos que a é uma raiz de
f (x) se f (a) = 0.
Exemplo 4.5. Para f (x) = x2 + 1 ∈ C[x], i e −i são raízes de f .
Exemplo 4.6. Para f (x) = x2 + 1 ∈ R[x], f (x) não tem raízes em R.
Exemplo 4.7. Se f (x) = ax + b ∈ K[x], com a ̸= 0, então −ba−1 é uma
raiz de f (x).
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Proposição 4.5. Sejam f (x) ∈ A[x] e a ∈ A. Então a é raiz de f (x) se, e
somente se, existe um polinômio h(x) ∈ A[x] tal que f (x) = (x − a)h(x).
Demonstração: Fica como exercício. Sugestão: aplicar o algoritmo da divisão para g(x) = x − a.
Proposição 4.6. Seja f (x) ∈ A[x], com ∂f (x) = n ≥ 0. Então f (x) tem
no máximo n raízes distintas.
Demonstração: Por indução sobre n = ∂f (x).
Se n = 0, então f (x) = a ∈ A, com a ̸= 0. Logo f (x) não tem raízes.
Hipótese de indução: Seja n ≥ 0 e a proposição é válida para todo
polinômio com grau n. Agora, tomemos ∂f (x) = n + 1. Se f (x) não tem
raízes, nada temos a provar. Se f (x) tem pelo menos uma raiz, seja a ∈ A
uma raiz de f (x). Pela proposição anterior, existe g(x) ∈ A[x] tal que
f (x) = (x − a)g(x). Então n + 1 = ∂f (x) = ∂(x − a) + ∂g(x) = 1 + ∂g(x).
Logo, ∂g(x) = n e, pela hipótese de indução, g(x) tem no máximo n raízes.
Observemos que para b ∈ A, segue que f (b) = (a − b)g(b). Assim, b é raiz
de f (x) se, e somente se, b = a ou b é raiz de g. Portanto, f (x) tem no
máximo uma raiz a mais que g(x). Concluindo, f (x) tem no máximo n + 1
raízes, o que encerra a demonstração.
Exemplo 4.8. O polinômio complexo f (x) = (x − 1)2 x3 tem exatamente
duas raízes: 0 e 1, pois f (0) = f (1) = 0 e para a ∈ C, com a ̸= 0 e a ̸= 1,
segue que a − 1 ̸= 0 e f (a) = (a − 1)2 a3 ̸= 0.
Sejam f (x) ∈ A[x] e a ∈ A, tal que a é uma raiz de f (x). Temos
então que f (x) = (x − a)g(x), para algum g(x) ∈ A[x]. Se a é uma
raiz de g(x), então g(x) = (x − a)h(x), para algum h(x) ∈ A[x]. Logo,
f (x) = (x − a)2 h(x). Continuando este processo, chegamos em f (x) =
(x − a)m k(x), em que k(x) ∈ A[x] e a não é uma raiz de k(x).
Definição 4.8. Nas condições acima, dizemos que m é a multiplicidade
da raiz a no polinômio f (x).
Exemplo 4.9. Consideremos o polinômio real f (x) = x3 − x2 − x + 1 =
(x − 1)2 (x + 1). A multiplicidade de 1 em f (x) é 2; a multiplicidade de −1
em f (x) é 1; e a multiplicidade de 3 em f (x) é zero.
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Exercícios
1. Verificar que A[x], com as operações definidas em 4.4, é um anel comutativo com unidade.
2. Fazer as demonstrações dos ítens (ii) e (iii) da Proposição 4.1.
3.
Escrever f (x) = q(x)g(x) + r(x) com ∂r(x) < ∂g(x), para
f (x), g(x), q(x), r(x) ∈ Z[x], em cada caso:
(a) f (x) = x4 − 1 e g(x) = x2 + 1
(b) f (x) = x4 + 1 e g(x) = x2 + 1
(c) f (x) = x3 + x2 + x + 1 e g(x) = x2 − 2
(d) f (x) = x2 − 1 e g(x) = x3 + 1
(e) f (x) = x5 − 1 e g(x) = x − 1
(f) f (x) = xn − 1, n ∈ N∗ e g(x) = x − 1
(g) f (x) = xn + 1 n ∈ N∗ , n ímpar e g(x) = x + 1.
4. Determinar a soma e o produto dos polinômios f (x) = x3 + 3x2 +
2x + 1, g(x) = x4 + 3x + 4 sobre Z5 .
5. Desenvolver a potência (x + 1)3 em Z2 .
6. Fazer a demonstração da Proposição 4.5.
7. Seja a uma raiz de f (x) ∈ A[x]. Mostrar que a multiplicidade de a em
f (x) é maior que 1 se, e somente se, a é raiz de f ′ (x), em que f ′ (x) é a
derivada de f (x) com relação a variável x.
8. Verificar se f (x) = x4 + x ∈ R[x], possui raízes com multiplicidade
m > 1.
9. Verificar se f (x) = x4 + x ∈ Z3 [x], possui raízes com multiplicidade
m > 1. Em caso afirmativo, encontrar a multiplicidade.
10. Mostrar que f (x) = xn − 1 ∈ C[x], não possui raízes com multiplicidade m > 1.
11. Qual a multiplicidade de 1 em f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1 ∈ Q[x].
4.2 Ideais principais e máximo divisor comum
Como no caso dos números inteiros, verificaremos que todo ideal
em K[x] é principal. A partir daí, mostraremos a existência de máximo
divisor comum entre dois polinômios.
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Proposição 4.7. Se K é um corpo, então todo ideal de K[x] é principal.
Demonstração: Seja I um ideal de K[x]. Se I = {0}, então I = 0·K[x] é
um ideal principal.
Se I ̸= {0}, então existe f (x) ∈ I, tal que f (x) ̸= 0. Seja A = {∂f (x) :
f (x) ∈ I, f (x) ̸= 0}. Então ∅ ̸= A ⊆ N e, portanto, A possui um menor
elemento, digamos ∂g(x), ou seja, g(x) é um elemento não nulo de I, de
menor grau.
Para cada f (x) ∈ I, aplicando-se o algoritmo da divisão para f (x)
e g(x), existem q(x), r(x) ∈ K[x], com ∂r(x) < ∂g(x), tais que f (x) =
q(x)g(x) + r(x). Logo r(x) = f (x) − q(x)g(x) ∈ I, pois f (x), g(x) ∈ I.
Como ∂g(x) é o menor possível entre os graus dos polinômios não nulos de
I e ∂r(x) < ∂g(x), então r(x) = 0, ou seja, f (x) = q(x)g(x) = g(x)q(x) ∈
g(x)K[x]. Assim, I ⊆ g(x)K[x]. Mas como g(x) ∈ I, então g(x)K[x] ⊆ I
e, portanto, I = g(x)K[x].
Exemplo 4.10. Se I = {f (x) ∈ Q[x] : f (0) = 0}, então I é um ideal de
Q[x].
Pela proposição anterior, sabemos que todo ideal de Q[x] é principal.
Assim, procuraremos um polinômio p(x) ∈ Q[x], tal que I = p(x)·Q[x].
Se f (x) ∈ I, então f (0) = 0, isto é, 0 é raiz de f (x). Logo, f (x) =
(x − 0)g(x) = xg(x), para algum g(x) ∈ Q[x] e, portanto, f (x) ∈ xQ[x].
Assim, I ⊆ xQ[x]. Por outro lado, se f (x) ∈ xQ[x], então f (x) = xg(x) e,
portanto, f (0) = 0g(0) = 0. Logo, xQ[x] ⊆ I e, assim, I = xQ[x].
Definição 4.9. Se f (x) e g(x) pertencem a A[x], então dizemos que f (x)
divide g(x), ou que f (x) é um divisor de g(x), se existe h(x) ∈ A[x] tal que
g(x) = f (x)h(x).
Indicamos que f (x) divide g(x) por f (x)|g(x). Neste caso temos
que g(x) ∈ f (x)A[x].
Se f (x) e g(x) são polinômios não nulos de A[x] e se f (x)|g(x) e
g(x)|f (x), então existem os polinômios h1 (x), h2 (x) ∈ A[x] tais que
g(x) = h1 (x)f (x) e f (x) = h2 (x)g(x). Daí, f (x) = h2 (x)h1 (x)f (x) e,
assim, ∂f (x) = ∂h1 (x) + ∂h2 (x) + ∂f (x), ou seja, ∂h1 (x) + ∂h2 (x) = 0.
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Logo, ∂h1 (x) = ∂h2 (x) = 0, isto é, h1 (x), h2 (x) ∈ A. Portanto, f (x) =
ag(x), em que a ∈ A.
Proposição 4.8. (Existência do máximo divisor comum) Se f (x), g(x) ∈
K[x], com f (x) ̸= 0 e g(x) ̸= 0, então existe h(x) ∈ K[x] tal que:
(i) h(x)|f (x) e h(x)|g(x);
(ii) se k(x) ∈ K[x] e k(x)|f (x) e k(x)|g(x), então k(x)|h(x);
(iii) existem h1 (x), h2 (x) ∈ K[x] tais que h(x) = h1 (x)f (x) +
h2 (x)g(x).
Demonstração: (i) Consideremos o ideal I = f (x)K[x] + g(x)K[x]. Segundo a Proposição 4.7, existe h(x) ∈ K[x] tal que I = h(x)K[x]. Desse
modo f (x) = f (x) · 1 + g(x) · 0 ∈ I = h(x)K[x]. Logo, existe f1 (x) ∈ K[x]
tal que f (x) = h(x)f1 (x), isto é, h(x)|f (x). De modo análogo, h(x)|g(x).
(ii) e (iii) Se k(x)|f (x) e k(x)|g(x), então existem f1 (x), g1 (x) ∈ K[x]
tais que f (x) = k(x)f1 (x) e g(x) = k(x)g1 (x). Como h(x) = h(x) · 1 ∈
h(x)K[x] = f (x)K[x] + g(x)K[x], então existem h1 (x), h2 (x) ∈ K[x]
tais que h(x) = f (x)h1 (x) + g(x)h2 (x), o que mostra a validade de (iii).
Logo, h(x) = k(x)f1 (x)h1 (x) + k(x)g1 (x)h2 (x) = k(x)(f1 (x)h1 (x) +
g1 (x)h2 (x)), isto é, k(x)|h(x), que mostra a validade de (ii).
Definição 4.10. Neste caso dizemos que h(x) é um máximo divisor comum de f (x) e g(x).
Definição 4.11. Dizemos que um polinômio f (x) ∈ A[x] é mônico
quando o coeficiente do termo de maior grau de f (x) é 1, isto é, se ∂f (x) =
n e f (x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a0 .
Exemplo 4.11. Os polinômios x2 + 2x − 5, 1, x7 − 3 são exemplos polinômios mônicos.
Se h(x) ∈ K[x] é um máximo divisor comum de f (x), g(x) ∈ K[x]
e se o coeficiente do termo de maior grau de h(x) é a ∈ K, com a ̸= 0,
então a−1 h(x) é um máximo divisor comum de f (x) e g(x) e a−1 f (x) é
mônico.
Se h(x) é um máximo divisor comum de f (x) e g(x) e se h(x) é mônico, então h(x) é único com esta propriedade, isto é, se h(x) e k(x) são
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máximos divisores comuns de f (x) e g(x) e se h(x) e k(x) são mônicos,
então h(x) = k(x).
Exemplo 4.12. Determinar um máximo divisor comum para os polinômios f (x) = x5 + 2x4 + 2x2 − 5 e g(x) = x4 + x − 2.
Aplicamos sucessivamente o algoritmo da divisão até chegarmos no
resto zero:
x5 + 2x4 + 2x2 − 5 = (x + 2)(x4 + x − 2) + x2 − 1
x4 + x − 2 = (x2 + 1)(x2 − 1) + (x − 1)
x2 − 1 = (x + 1)(x − 1).
Assim, um máximo divisor comum de f (x) e g(x) é o polinômio x − 1,
que é o último resto diferente de zero.
Exercícios
1. Determinar quais dos seguintes conjuntos são ideais de R[x]. Nos
casos de ideais, determinar f (x) ∈ R[x], tal que I = f (x).R.
(a) I = {f (x) ∈ R[x] : f (1) = f (−1) = 0}
(b) I = {f (x) ∈ R[x] : f (0) = 1}
(c) I = {f (x) ∈ R[x] : f (1) ̸= 0}
(d) I = {f (x) ∈ R[x] : f (1) = f (2)}.
2. Mostrar que o ideal I = 2Z[x] + xZ[x] é um ideal não principal de
Z[x].
3. Mostrar a unicidade máximo divisor comum mônico.
4. Verificar que o algoritmo usado para o cálculo do máximo divisor
comum de números inteiros (veja em, por exemplo, em [16] da bibliografia), pode ser usado para polinômios sobre um corpo K.
5. Sejam f (x), g(x), h(x) ∈ A[x]. Mostrar que se h(x)|f (x) e h(x)|g(x),
então h(x)|(k1 (x)f (x) + k2 (x)g(x)) para todos k1 (x), k2 (x) ∈ A[x].
6. Determinar um máximo divisor comum dos polinômios x4 + 3x2 −
10x − 20 e x3 − 2x − 4.
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4.3 Polinômios irredutíveis
Veremos agora que os polinômios irredutíveis no anel K[x] possuem
propriedades análogas às dos números primos no anel dos números inteiros.
Definição 4.12. Um polinômio f (x) ∈ A[x], com f (x) ∈
/ A, é irredutível
sobre A, se para toda fatoração de f (x) na forma f (x) = g(x)h(x), com
f (x), g(x) ∈ A[x], implica que g(x) ∈ A ou h(x) ∈ A. Caso contrário, o
polinômio f (x) é redutível sobre A.
Assim, se f (x) é irredutível, então não é fatorável como um produto
de polinômios de graus menores que o seu grau; e se f (x) é redutível
sobre A, então f (x) = g(x)h(x), com f (x), g(x) ∈ A[x], ∂f (x) ≥ 1 e
∂g(x) ≥ 1.
Exemplo 4.13. Se f (x) ∈ A[x] com ∂f (x) ≥ 2 e a é uma raiz de f (x),
então f (x) = (a − x)g(x) e ∂g(x) = ∂f (x) − 1 ≥ 1. Portanto, f (x) é
redutível sobre A.
Exemplo 4.14. Se f (x) ∈ A[x] e ∂f (x) = 1, então f (x) é irredutível sobre
A.
Exemplo 4.15. f (x) = x2 − 2 é irredutível sobre Q, mas é redutível sobre
R, pois
f (x) = (x +
√
2)(x −
√
2).
Lema 4.9. Sejam f (x), g(x) ∈ K[x], f (x) ̸= 0:
(i) se f (x) ∈ g(x)K[x], então ∂f (x) ≥ ∂g(x);
(ii) se f (x) ∈ g(x)K[x] e ∂f (x) = ∂g(x), então f (x)K[x] = g(x)K[x];
(iii) se f (x)K[x] = g(x)K[x], então ∂f (x) = ∂g(x);
(iv) f (x)K[x] = K[x] se, e somente se, f (x) ∈ K e f (x) ̸= 0.
Ao fazer-se a demonstração desse lema, deve-se observar que os
ítens (i) e (iii) também valem ao considerarmos um domínio de integridade A no lugar do corpo K.
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Proposição 4.10. Para p(x) ∈ K[x], com ∂p(x) ≥ 1, as condições seguintes são equivalentes:
(i) p(x) é um polinômio irredutível;
(ii) p(x)K[x] é um ideal maximal.
Demonstração: Sejam p(x) um polinômio irredutível e I um ideal de K[x],
tal que p(x)K[x] ⊆ I ⊆ K[x]. Segundo a Proposição 4.7, existe h(x) ∈
K[x] tal que I = h(x)K[x]. Como p(x) ∈ p(x)K[x] ⊆ I = h(x)K[x],
então existe g(x) ∈ K[x] tal que p(x) = h(x)g(x). Desde que p(x) é irredutível, então h(x) ∈ K ou g(x) ∈ K. Se h(x) ∈ K, pelo lema anterior, I = h(x)K[x] = K[x]. Se g(x) ∈ K, como g(x) ̸= 0, então
∂p(x) = ∂h(x) + ∂g(x) = ∂h(x) + 0 = ∂h(x). Logo, pelo lema anterior, p(x)K[x] = h(x)K[x] = I. Portanto, p(x)K[x] é um ideal maximal.
Por outro lado, se p(x)K[x] é um ideal maximal e se p(x) = f (x)g(x),
então p(x) ∈ f (x)K[x]. Logo, p(x)K[x] ⊆ f (x)K[x]. Como p(x)K[x]
é um ideal maximal, então p(x)K[x] = f (x)K[x] ou f (x)K[x] = K[x].
Se p(x)K[x] = f (x)K[x], então, pelo lema anterior, ∂p(x) = ∂f (x) e,
desse modo, ∂g(x) = 0. Se f (x)K[x] = K[x], também, pelo lema anterior,
∂f (x) = 0. Assim, f (x) ∈ K ou g(x) ∈ K e, portanto, p(x) é um polinômio
irredutível.
Corolário 4.11. Sejam p(x) um polinômio irredutível de K[x] e
f (x), g(x) ∈ K[x]. Se p(x)|f (x)g(x), então p(x)|f (x) ou p(x)|g(x).
Demonstração: Suponhamos que p(x)|f (x)g(x), isto é, f (x)g(x) ∈
p(x)K[x]. Como, pela proposição anterior, p(x)K[x] é um ideal maximal, então p(x)K[x] é um ideal primo, logo f (x) ∈ p(x)K[x] ou g(x) ∈
p(x)K[x], isto é, p(x)|f (x) ou p(x)|g(x).
Exercícios
1. Mostrar que f (x) = x2 − 2 não é redutível sobre Q.
2. Fazer a demonstração do Lema 4.9.
3. Encontrar exemplos de Z[x] em que não valem os ítens (ii) e (iv) do
Lema 4.9.
4. Sejam p(x) ∈ K[x] irredutível e f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) ∈ K[x]. Mostrar que se p(x)|(f1 (x)f2 (x) . . . fn (x)), então p(x)|fi (x), para algum i ∈
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{1, 2, . . . , n}.
4.4 Fatoração em polinômios irredutíveis
Segundo o Teorema Fundamental da Aritmética, dado um número
inteiro n > 1, podemos escrevê-lo como um produto de números primos. No caso de polinômios, mostraremos que se f (x) ∈ K[x] e
∂f (x) ≥ 1, isto é, se f (x) ̸= 0 e f (x) não é inversível em K[x], então f (x) pode ser escrito como um produto de polinômios irredutíveis.
O caso em que K = C é mais simples, pois C é algebricamente fechado.
Definição 4.13. Dizemos que um corpo K é algebricamente fechado
quando todo polinômio com grau positivo e coeficientes em K admite uma
raiz em K.
Exemplo 4.16. O corpo C é algebricamente fechado. Este resultado é
conhecido como “Teorema Fundamental da Álgebra” e sua demonstração
pode ser encontrada em textos de funções de uma variável complexa.
Exemplo 4.17. O corpo R não é algebricamente fechado. O polinômio
f (x) = x2 + 1 ∈ R[x] não tem raízes em R, pois para qualquer r ∈ R,
f (r) = r2 + 1 ≥ 1.
Proposição 4.12. Se K é um corpo algebricamente fechado e f (x) ∈
K[x], com ∂f (x) ≥ 1, então f (x) pode ser fatorado em um produto
de polinômios de grau 1, isto é, existem c, a1 , a2 , ..., an ∈ K tais que
f (x) = c(x − a1 )(x − a2 ). ... .(x − an ).
Demonstração: Por indução sobre n = ∂f (x).
Em consonância com a proposição anterior, segue que num corpo
algebricamente fechado, os únicos polinômios irredutíveis são os de
grau 1.
Proposição 4.13. Seja f (x) ∈ K[x], com ∂f (x) ≥ 1. Então f (x) pode ser
escrito na forma f (x) = p1 (x)p2 (x)...pn (x), em que para cada i, pi é um
polinômio irredutível. Além disso, tal expressão é única, a menos da ordem
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dos pi (x)’s e a menos de fatores constantes não nulos.
Demonstração: (Existência da fatoração) Por indução sobre m = ∂f (x).
Se ∂f (x) = 1, então f (x) = ax + b é irredutível.
Consideremos que a proposição vale para todo g(x) ∈ K[x], com 1 ≤
∂g(x) < m. Agora, seja ∂f (x) = m. Se f (x) é irredutível, nada há para
se provar. Se f (x) = g(x)h(x), com g(x), h(x) ∈ K[x] e ∂g(x), ∂h(x) > 1,
como ∂f (x) = ∂g(x) + ∂h(x), então ∂g(x) < m e ∂h(x) < m. Pela hipótese de indução, podemos escrever g(x) e h(x) como produto de polinômios
irredutíveis e, portanto, f (x) pode ser escrito como um produto de polinômios irredutíveis. Isto garante a existência da fatoração.
(Unicidade) Se f (x) = p1 (x)p2 (x)...pr (x) = q1 (x)q2 (x)...qs (x),
em que cada pi (x) e cada qj (x) é um polinômio irredutível, temos que
p1 (x)|q1 (x)q2 (x)...qs (x). Logo, p1 (x)|qj (x), para algum j. Após um rearranjo dos qj (x)′ s podemos supor p1 (x)|q1 (x), isto é, q1 (x) = p1 (x)h(x),
para algum h(x) ∈ K[x]. Como q1 (x) é irredutível, então h(x) =
c1 ∈ K. Desse modo, q1 (x) = c1 p1 (x), com c1 ∈ K. Então f (x) =
p1 (x)p2 (x)...pr (x) = q1 (x)q2 (x)...qs (x) = c1 p1 (x)q2 (x)...qr (x). Logo,
p2 (x)...pr (x) = c1 q2 (x)...qs (x). Repetindo a argumentação de maneira
indutiva, concluímos que, após possíveis reordenações dos qj (x)′ s, para
cada i, qi (x) = ci pi (x), com ci ∈ K. Isto garante a unicidade, a menos de
fatores constantes.
Se os polinômios irredutíveis da proposição anterior são todos mônicos, então eles são univocamente determinados, pois na justificação
temos que qi (x) = ci pi (x) e, portanto, ci = 1.
Exemplo 4.18. Podemos tomar fatorações distintas do polinômio 4x2 −1:
1
1
4x2 − 1 = (2x + 1)(2x − 1) = 4(x + )(x − ). Neste caso, os polinômios
2
2
irredutíveis da primeira fatoração, são os irredutíveis da segunda multipli1
1
1
cado por constantes: 2x + 1 = ·4(x + ) e 2x − 1 = 2(x − )
2
2
2
Exercícios
1. Dar uma demonstração da Proposição 4.12.
2. Seja f (x) ∈ K[x], com ∂f (x) = 2 ou ∂f (x) = 3. Mostrar que f (x) é
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redutível sobre K se, e somente se, f (x) possui raiz em K.
3. Para um polinômio qualquer f (x) ∈ C[x], f (x) = an xn +...+a1 x+a0 ,
definimos o conjugado de f (x) por f (x) = an x + ... + a1 x + a0 . Mostrar
que se f (x), g(x) ∈ C[x] e a ∈ C, então:
(a) f (x) + g(x) = f (x) + g(x); (b) f (x) · g(x) = f (x) · g(x); (c) a · f (x) =
a · f (x).
4. Seja f (x) ∈ R[x] e a ∈ C uma raiz de f . Mostrar que a também é raiz
de f .
5. Seja f (x) ∈ R[x], com ∂f (x) ≥ 3. Mostrar que f (x) é redutível sobre
R.
6. Seja f (x) ∈ R[x]. Mostrar que se ∂f (x) é um número ímpar, então
f (x) tem uma raiz em R.
7. Decompor os seguintes polinômios sobre Z3 como produtos de polinômios irredutíveis:
(a) x2 + 2 (b) x2 + x + 1 (c) x4 + 2 (d) x3 + 1 (e) x2 + 1.
8. Decompor o polinômio x3 − x2 + x − 1 como produtos de polinômios
irredutíveis em: (a) R e (b) C.
9. Decompor o polinômio x4 − 16 como produtos de polinômios irredutíveis em: (a) R e (b) C.
10. Sejam a ∈ K e I = {f (x) ∈ K[x] : f (a) = 0}. Mostrar que I é um
ideal maximal de K[x]. (Sugestão: usar a Proposição 4.10).
11. Mostrar que o anel quociente R[x]/(x2 + 1)R[x] ∼
= C. (Sugestão:
usar o homomorfismo F : R[x] → C definido por F (f (x)) = f (i) e aplicar o Teorema do Isomorfismo.
12. Sejam f (x), g(x) ∈ K[x] cujas fatorações em polinômios irredutíveis mônicos são dadas por f (x) = u.p1 (x)i1 p2 (x)i2 ...pr (x)ir e g(x) =
v.p1 (x)j1 p2 (x)j2 ...pr (x)jr , em que u, v ∈ K e os polinômios pk (x)’s
são irredutíveis, dois a dois distintos e i1 , i2 , ..., ir , j1 , j2 , ..., jr ∈ Z.
Seja h(x) um máximo divisor comum de f (x) e g(x). Mostrar que
h(x) = t.p1 (x)k1 p2 (x)k2 ...pr (x)kr , em que t ∈ K e, para cada n, kn =
mínimo{in , jn }.
13. Calcular um máximo divisor comum entre os polinômios:
(a) x(x − 1)4 (x − 2)2 e x5 (x − 1)(x − 2)2 ;
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(b) (x + 1)3 (x − 3)5 (x − 4) e (x + 1)2 (x + 3)3 (x − 7).
4.5 Polinômios sobre os inteiros
Nessa seção tratamos dos polinômios com ênfase sobre o anel dos
inteiros.
Relembrando, dada uma sequência a1 , a2 , ..., an de números inteiros, dizemos que eles são relativamente primos, ou primos entre si,
quando o máximo divisor comum entre eles é 1.
Definição 4.14. Um polinômio que f (x) ∈ Z[x] é primitivo se f (x) ̸= 0
e seus coeficientes são relativamente primos.
Exemplo 4.19. Os polinômios f (x) = x2 + 2x + 4 e g(x) = 2x3 + 6x2 −
9x + 3 são primitivos.
Proposição 4.14. Seja f (x) ∈ Q[x], com f (x) ̸= 0. Então existe r ∈ Q
tal que rf (x) é um polinômio primitivo.
a1
a0
an n
x + ... + x +
∈ Q[x], de maneira
Demonstração: Seja f (x) =
bn
b1
b0
que, para cada i, ai , bi ∈ Z e bi ̸= 0. Consideremos agora que b = b0 b1 ...bn .
ai b
∈ Z.
Então bf (x) = cn xn + ... + c1 x + c0 em que, para cada i, ci =
bi
cn
c0 c1
Seja d o máximo divisor comum de c0 , c1 , ..., cn . Então , , ...,
são
d d
d
b
cn n
inteiros relativamente primos (ver em [16]) e, portanto, f (x) =
x +
d
d
c0
c1
... + x +
é um polinômio primitivo.
d
d
4
14
15
Exemplo 4.20. Para f (x) = x2 + x + 2, segue que f (x) = 10x2 +
3
5
2
21x + 15 é primitivo.
Proposição 4.15. Se f (x), g(x) ∈ Z[x] são polinômios primitivos, então
f (x)g(x) também é um polinômio primitivo.
Demonstração: Sejam f (x) = an xn + ... + a1 x + a0 e g(x) = bm xm +
... + b1 x + b0 polinômios primitivos e p um número primo. Como f (x) é
primitivo, então p não divide algum coeficiente ai . Seja j tal que p - aj ,
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mas p | ai , para todo i < j. Analogamente, seja k tal que p - bk , mas
p | bi para todo i < k. Em f (x)g(x), o coeficiente de xj+k é cj+k = aj bk +
(aj+1 bk−1 +aj+2 bk−2 +...)+(aj−1 bk+1 +aj−2 bk+2 +...). Como p | ai e p | bl
para todos i < j e para todos l < k, então p | (aj+1 bk−1 + aj+2 bk−2 + ...)
e p | (aj−1 bk+1 + aj−2 bk+2 + ...). Como p - aj e p - bk , então p - aj bk .
Logo, p - cj+k . Assim, não existe número primo p tal que p divide todos os
coeficientes de f (x)g(x) e, portanto, f (x)g(x) é um polinômio primitivo.
Lema 4.16. (Lema de Gauss) Seja f (x) ∈ Z[x] um polinômio primitivo.
Então f (x) é redutível sobre Z se, e somente se, f (x) é redutível sobre Q.
Demonstração: (⇒) É imediata.
(⇐) Como f (x) é redutível sobre Q, então f (x) = g(x)h(x), em que
g(x), h(x) ∈ Q[x], com ∂g(x) ≥ 1 e ∂h(x) ≥ 1. Pela Proposição 4.14,
existem r, s ∈ Q tais que rg(x), sh(x) são polinômios primitivos. Então,
pela proposição anterior, rsf (x) = rg(x)sh(x) é um polinômio primitivo.
a
Como rs ∈ Q e rs ̸= 0, existem a, b ∈ N, com b ̸= 0 tais que rs = .
b
a
Então f (x) = rg(x)sh(x). Logo, af (x) = b(rg(x)sh(x)). Como f (x)
b
é primitivo, então o máximo divisor comum entre os coeficientes de af (x)
é a. Da mesma forma, o máximo divisor comum entre os coeficientes de
b(rg(x)sh(x)) é b. Assim, a = b e, portanto, f (x) = (rg(x))(sh(x)), com
rg(x), sh(x) ∈ Z[x], ∂(rg(x)) = ∂g(x) ≥ 1 e ∂(sh(x)) = ∂h(x) ≥ 1. Logo,
f (x) é redutível em Z.
Corolário 4.17. Se f (x) ∈ Q[x] e r ∈ Q, com r ̸= 0, então f (x) é redutível
sobre Q se, e somente se, rf (x) é redutível sobre Q.
Demonstração: (⇒) Se f (x) é redutível sobre Q, então f (x) = g(x)h(x),
com g(x), h(x) ∈ Q[x], ∂g(x) ≥ 1 e ∂h(x) ≥ 1. Logo, para r ∈ Q, r ̸= 0,
rf (x) = (rg(x))h(x), com rg(x), h(x) ∈ Q[x], ∂(rg(x)) ≥ 1 e ∂h(x) ≥ 1.
Ou seja, rf (x) é redutível sobre Q.
(⇐) Segue da primeira parte, pois f (x) = 1r (rf (x)).
Corolário 4.18. Se f (x) ∈ Z[x] e n ∈ Z, com n ̸= 0, então f (x) é redutível
sobre Z se, e somente se, nf (x) é redutível sobre Z.
Demonstração: (⇒) Se f (x) = g(x)h(x), então nf (x) = (ng(x))h(x).
Logo, se f (x) é redutível, então nf (x) é redutível.
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(⇐) Tomando d como o máximo divisor comum dos coeficientes de
f (x), temos que o polinômio d1 f (x) é primitivo. Assim, se nf (x) é redutível sobre Z, então nf (x) também é redutível sobre Q. Logo, d1 f (x) =
1
1
nd (nf (x)) é redutível sobre Q e, portanto, d f (x) é redutível sobre Z. Como
f (x) = d d1 f (x), da primeira parte, segue que f (x) é redutível sobre Z.
Corolário 4.19. Se f (x) ∈ Z[x], então f (x) é redutível sobre Z se, e somente se, f (x) é redutível sobre Q.
Demonstração: Tomando d como o máximo divisor comum dos coeficientes de f (x), temos que o polinômio d1 f (x) é primitivo. Assim, f (x) é redutível sobre Z se, e somente se, d1 f (x) é redutível sobre Z se, e somente
se, d1 f (x) é redutível sobre Q se, e somente se, f (x) = d d1 f (x) é redutível
sobre Q.
Proposição 4.20. (Critério de Eisenstein) Dado um polinômio f (x) =
an xn + ... + a1 x + a0 ∈ Z[x], se existe um número primo p tal que:
(i) p | ai , para todo i < n
(ii) p - an
(iii) p2 - a0
então f (x) é irredutível sobre Z e, portanto, também é irredutível sobre Q.
Demonstração: Seja f (x) = an x + ... + a1 x + a0 um polinômio de Z que
satisfaz as três condições acima. Se f (x) = g(x)h(x), em que g(x), h(x) ∈
Z[x], então precisamos mostrar que g(x) ∈ Z ou h(x) ∈ Z. Consideremos,
agora, g(x) = bm xm + ... + b1 x + b0 e h(x) = cr xr + ... + c1 x + c0 . Como
p - an = bm · cr , então p - bm e p - cr . Mas, p | a0 = b0 · c0 e p2 - a0 , então
p divide somente um dentre b0 e c0 . Podemos supor que p | b0 e p - c0 , o
outro caso é análogo. Como p - bm , mas p | b0 , tomamos i tal que p - bi ,
mas p | bj para todo j < i. Temos então que ai = bi c0 + bi−1 c1 + ... e como
p - bi c0 , mas p | (bi−1 c1 + ...), então p - ai . Logo, i = n e, portanto, bi = bn ,
ou seja, ∂g(x) ≥ n. Desde que n = ∂f (x) = ∂g(x) + ∂h ≥ n + ∂h(x),
segue que ∂h(x) = 0, ou seja, h(x) ∈ Z. Portanto, f (x) é irredutível sobre
Z.
Exemplo 4.21. Os polinômios 2x4 −6 e x3 +6x2 +4x−10 são irredutíveis
sobre Q ao considerarmos os primos p = 3 e p = 2, respectivamente. O
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Critério de Eisenstein não se aplica aos polinômios x4 − 4, 6x4 − 12x + 2 e
2x3 + 9x2 + 3x + 1.
Exemplo 4.22. Se p é um número primo e n é um inteiro positivo, então
os polinômios xn + p e xn − p são irredutíveis sobre Q.
Exemplo 4.23. O Critério de Eisenstein não se aplica ao polinômio f (x) =
10x3 +12x2 +8x+4, mas se aplica ao polinômio g(x) = 5x3 +6x2 +4x+2,
ao considerarmos o primo p = 2. Assim, g(x) é irredutível e, portanto,
f (x) = 2g(x) é também irredutível.
Exercícios
1. Verificar que os seguintes polinômios são irredutíveis sobre Q:
(a) x3 + 2x2 + 6x + 6
(b) x5 − 29
(c) x4 − 20
(d) x9 + 3x4 + 3
(e) 6x5 + 4x3 − 20
(f) 6x7 − 9x + 18.
2. Seja f (x) = an xn + ... + a1 x + a0 um polinômio com coeficientes
inteiros e primos entre si e com a0 ̸= 0. Mostrar que se b e c são inteiros
b
primos entre si, com c ̸= 0 e tais que f ( ) = 0, então c | an e b | a0 .
c
(Isto nos permite determinar todas as raízes racionais de f (x)).
3. Seja f (x) = xn + ... + a1 x + a0 um polinômio com coeficientes
inteiros. Mostrar que se f (x) admite uma raiz racional, então esta raiz
é inteira e divide o termo a0 .
4. Determinar as raízes racionais dos seguintes polinômios:
(a) x5 − 1
(b) x6 − 1
(c) x4 + 1
(e) 6x3 − 3x2 + 4x − 2
x4
−
2x3
+
2x2
(d) x3 + 1
(f) 3x2 − 27
(g)
− 2x − 4.
5. Mostrar que os seguintes polinômios são redutíveis sobre Q:
(a) x2 + 4x + 4
x4
+
x3
−
7x2
(b) x5 + x2 − x − 1
(c) 2x4 − x3 + 4x2 − 1
(d)
+ 9.
6. Seja f (x) ∈ Z[x] um polinômio de grau 2 ou 3. Mostrar que f (x) é
redutível sobre Z se, e somente se, f (x) tem raiz em Q.
7. Determinar quais dos seguintes polinômios são irredutíveis sobre os
racionais:
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(a) x + 4
(b) x4 + 2
(c) x5 + 1
(d) x3 + x2 − 3x − 2
(e) x3 − 9
(f) x3 − x + 1
(g) x3 + 2x + 10
(h) x3 − x + 1
(i) x4 − 2x
(j) x4 − x2 − 2
(k) x4 − x + 1
(l) x4 + x3 + 2x2 + 3x + 1
(m) x5
(n) x5 − x2 − x.
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Capítulo 5
Corpos
Évariste Galois, jovem nascido em uma aldeia nas proximidades de Paris, viveu no início do século XIX, período em que a França
vivia um clima de turbulência política após a Revolução Francesa. Foi
um entusiasta político desse período, além de manter também grande
paixão pela Matemática, o que o levou a tentar resolver a questão da solubilidade de equações polinomiais por meio de radicais. Assim, Galois
investigou sob quais condições as raízes de uma equação polinomial
qualquer poderiam ser expressas através de radicais de seus coeficientes. Seria uma versão geral da famosa solução de Bhaskara para equações do segundo grau, dada pelas raízes dos coeficientes das equações
consideradas.
Galois já mostrava, no período escolar, grande interesse pela Matemática. Apesar disso, seus trabalhos foram considerados medíocres e
ele um excêntrico, por seus professores. Por duas vezes tentou entrar na
École Polytecnique e foi recusado. Galois ingressou na École Normale
com o propósito de se preparar para ensinar, mas também para continuar as suas pesquisas em Matemática. Aos 17 anos, entregou seus
resultados a Cauchy e solicitou-lhe que os apresentasse a Acadèmie,
mas Cauchy acabou perdendo o manuscrito. Em 1830 apresentou seu
trabalho a Fourier com o objetivo de um concurso na Acadèmie. Fourier
levou o artigo para casa, todavia morreu logo em seguida e o manuscrito
se perdeu. Tentou novamente apresentar seu trabalho à Acadèmie atra-
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“Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 132 — #126
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vés de Poisson, que o devolveu com a observação de que o trabalho era
incompreensível.
A adesão de Galois à Revolução Francesa teve, possivelmente, entre
outras causas, suas frustrações com sucessivas tentativas de apresentar
suas descobertas, seu espírito inquieto e também o suicídio de seu pai.
Uma carta com críticas ao conservadorismo do diretor da École Normale resultou em sua expulsão da escola. Em 1831, foi preso por uma
manifestação interpretada como uma ameaça à vida do rei Louiz Philippe. Solto logo em seguida, foi novamente preso, poucos meses depois, condenado a seis meses de prisão por vestir indevidamente uniforme militar.
Por causa de uma mulher, certo tempo depois, foi desafiado a um duelo do qual, em nome do código de honra do seu tempo, não teve como
recusar. Na noite que precedeu ao duelo, Galois escreveu uma carta a
um amigo em que descrevia suas pesquisas na Matemática e solicitou
que a publicasse. Isto aconteceu no mesmo ano. O duelo ocorreu na
manhã do dia 30 de maio de 1832, quando Galois recebeu um tiro que o
levou a falecer na manhã seguinte, com 20 anos de idade. Seu funeral
foi acompanhado por milhares de revolucionários.
Os trabalhos de Galois forneciam respostas às indagações da solubilidade de equações polinomiais por meio de radicais o que, adicionalmente, foi importante ferramenta para a resolução dos famosos problemas gregos clássicos, como veremos nesse capítulo.
A partir do conceito de extensão de corpos, introduzidos por Galois,
foi possível a obtenção de resultados que garantiriam a impossibilidade
de algumas construções por meio de régua sem marcas e do compasso, e
também da impossibilidade de solução de equações polinomiais gerais
de graus superiores a 4.
5.1 Extensões algébricas
A partir de agora, trataremos de relações entre dois corpos K e L,
quando Q ⊆ K ⊆ L ⊆ C.
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Definição 5.1. Sejam K e L corpos tais que K ⊆ L e seja b ∈ L. O
elemento b é um número algébrico sobre K se existe um polinômio não
nulo f (x) ∈ K[x] tal que f (b) = 0.
Em geral diz-se que um número é algébrico se ele é algébrico sobre
Q. O número complexo i é algébrico, pois é raiz do polinômio f (x) =
x2 + 1 ∈ Q[x].
Certamente, se b ∈ K, então b é um número algébrico sobre K, pois
b é raiz do polinômio f (x) = x − b. Todavia, podem existir elementos
de L que não são elementos de K, mas que são algébricos sobre K.
Exemplo 5.1. Se b2 = 3, então b é uma das duas possíveis raízes quadradas de 3. Assim, b é uma das raízes do polinômio f (x) = x2 − 3 e,
√
√
desse modo, b é um número algébrico. Porém 3 e − 3 não são números
racionais.
Exemplo 5.2. Se b3 = 2, então b é uma raiz de f (x) = x3 − 2 e, portanto,
b é um número algébrico.
Definição 5.2. Se b não é um número algébrico sobre K, então ele é um
número transcendente sobre K.
Em geral, diz-se que um número é transcendente, se é transcendente sobre Q.
Os famosos números reais e e π são exemplos de números transcendentes. Demonstrações de que e e π são transcendentes podem ser
vistas nos itens [4] e [9] da bibliografia.
Definição 5.3. Um corpo L é uma extensão de um corpo K, se K ⊆ L.
Definição 5.4. Um corpo L é uma extensão algébrica de um corpo K, se
K ⊆ L e se todo elemento de L é algébrico sobre K.
Em geral diz-se que uma extensão é algébrica, se é algébrica sobre
Q.
A partir de agora usaremos alguns conceitos básicos da Álgebra Linear, como base, dimensão, espaço e subespaço.
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Se L é uma extensão de K, então com as operações usuais de corpo
em L, observamos que L é um espaço vetorial sobre K.
Definição 5.5. O grau da extensão do corpo L sobre o corpo K é a dimensão de L enquanto espaço vetorial sobre K.
Denotamos o grau de L sobre K por [L : K] .
Tem fundamental importância, para os passos seguintes, o caso em
que [L : K] é finito, ou seja, quando o espaço vetorial L sobre o corpo
K tem dimensão finita.
Definição 5.6. O corpo L é uma extensão finita do corpo K quando [L :
K] é finito.
Exemplo 5.3. O corpo dos números complexos C é uma extensão finita de
R e o conjunto {1, i} é uma base de C sobre R. Logo, [C : R] = 2.
Proposição 5.1. Se L é uma extensão finita de K, então todo elemento de
L é algébrico sobre K.
Demonstração: Dado b ∈ L, sejam 1 = b0 , b, ..., bn as n + 1 primeiras
potências de b em L. Se dim(L) = r e r < n, então {1, b, ..., bn } não é
linearmente independente sobre K. Logo, existem a0 , a1 , ..., an ∈ K, não
todos nulos, de modo que an bn + ... + a1 b + a0 = 0 e, portanto, b é um
número algébrico sobre K.
Exemplo 5.4. Como nem todo número real é algébrico sobre os racionais,
então, pela proposição anterior, o corpo dos números reais R não é uma
extensão finita do corpo dos racionais Q. Logo, [R : Q] é infinito.
Lema 5.2. Se b é um número algébrico sobre K e J = {g(x) ∈ K[x] :
g(b) = 0}, então:
(i) J = p(x)K[x] e p(x) é mônico e irredutível sobre K[x];
(ii) o polinômio p(x) é o único polinômio mônico irredutível tal que J =
p(x)K[x];
(iii) p(x) é o polinômio de menor grau que possui b como raiz.
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Definição 5.7. Chamamos o polinômio p(x) acima de o polinômio irredutível de b sobre K. O grau do polinômio p(x) é chamado grau de b sobre
K. Também dizemos que b é um elemento algébrico de grau n sobre K,
em que n = ∂p(x).
Proposição 5.3. Sejam b um número algébrico sobre K e n o grau do
polinômio irredutível p(x) de b sobre K. Então o espaço vetorial sobre K
gerado por {1, b, ..., bn−1 } é um corpo e a dimensão desse espaço vetorial é
n.
Demonstração: Se f (x) ∈ K[x], então existem q(x), r(x) ∈ K[x] tais
que f (x) = q(x)p(x) + r(x), com ∂r(x) < ∂p(x). Daí segue que f (b) =
q(b)p(b) + r(b) = r(b) ∈ [1, b, ..., bn−1 ] em que [1, b, ..., bn−1 ] é o espaço
vetorial sobre K gerado pelas n primeiras potências de b. Além disso, se
u ∈ [1, b, ..., bn−1 ] podemos tomar u = f (b) para algum f (x) ∈ K[x].
Agora, seja M = [1, b, ..., bn−1 ]. Como M é um espaço vetorial é, claramente, um grupo abeliano para a adição. Se u, v, w ∈ M = [1, b, ..., bn−1 ],
então podemos considerar u = f1 (b), v = f2 (b) e w = f3 (b) para
f1 (x), f2 (x), f3 (x) ∈ K[x] e, assim, uv = f1 (b)f2 (b) = (f1 f2 )(b) ∈ M ;
(uv)w = ((f1 f2 )f3 )(b) = (f1 (f2 f3 ))(b) = u(vw), 1 ∈ M e uv =
(f1 f2 )(b) = (f2 f1 )(b) = vu. Portanto, M é um anel comutativo com unidade. Como precisamos mostrar que M é um corpo, resta-nos mostrar que
todo elemento não nulo de M é inversível.
Se f (b) ̸= 0, então f (x) ∈
/ p(x)K[x]. Como pela Proposição 4.10
p(x)K[x] é um ideal maximal de K[x], então p(x)K[x] + f (x)K[x] =
K[x]. Assim, 1 ∈ p(x)K[x] + f (x)K[x] e, portanto, existem polinômios
g(x), h(x) ∈ K[x] tais que h(x)p(x) + g(x)f (x) = 1.
Daí, h(b)p(b) + g(b)f (b) = 1, e então, g(b)f (b) = 1, isto é, cada elemento não nulo f (b) ∈ M tem o inverso g(b) ∈ M .
Para concluir que a dimensão de M sobre K é n, basta verificarmos que
os elementos 1, b, ..., bn−1 são linearmente independentes. Caso fossem linearmente dependentes, existiriam a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ K, não todos nulos,
tais que a0 + a1 b + · · · + an−1 bn−1 = 0, ou seja, b seria raiz do polinômio
f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 e ∂f (x) < n, isto é, f (x) ∈ p(x)K[x] e
∂f (x) < n = ∂p(x), uma contradição.
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Se K(b) = {f (b) : f (x) ∈ K[x]}, quando b é algébrico sobre K e n é
o grau do polinômio irredutível de b sobre K, então segue, pela proposição anterior, que K(b) = {a0 + a1 b + · · · + an bn−1 : ai ∈ K} é o corpo
M gerado pelas potências de b sobre K.
No caso em que b não é algébrico sobre K, não é possível garantir
que exista n inteiro positivo tal que K(b) = {a0 + a1 b + · · · + an bn−1 :
ai ∈ K} e nem que K(b) seja corpo.
Exemplo 5.5. O polinômio irredutível de b =
√
√
Q( 5) = {a + b 5 : a, b ∈ Q}.
Exemplo 5.6. O polinômio irredutível de b =
√
√
√
Q( 3 2) = {a + b 3 2 + c( 3 2)2 : a, b, c ∈ Q}.
√
5 é p(x) = x2 − 5. Então
√
3
2 é p(x) = x3 − 2. Então
Corolário 5.4. Seja K ⊆ L e a ∈ L. Então:
(i) K(a) é o menor subcorpo de L que contém K e a;
(ii) Se a é algébrico de grau n sobre K, então [K(a) : K] = n.
Corolário 5.5. Se K ⊆ L e a ∈ L, então as seguintes condições são equivalentes:
(i) a é algébrico sobre K;
(ii) [K(a) : K] é finito;
(iii) K(a) é uma extensão algébrica de K.
Demonstração: (i) ⇒ (ii) Pelo corolário anterior.
(ii) ⇒ (iii) Pela Proposição 5.1.
(iii) ⇒ (i) Pela definição de extensão algébrica.
Corolário 5.6. Se K ⊆ L e a ∈ L é um elemento transcendente sobre K,
então a extensão K(a) de K é infinita.
Proposição 5.7. Se K2 é uma extensão finita de K1 e K3 é uma extensão
finita de K2 , então K3 é uma extensão finita de K1 e, mais, [K3 : K1 ] =
[K3 : K2 ]·[K2 : K1 ].
Demonstração: Sejam {u1 , ..., un } uma base de K2 sobre K1 e {v1 , ..., vm }
uma base de K3 sobre K2 . Verificaremos que os elementos do conjunto
{ui vj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} formam uma base de K3 sobre K1 .
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Seja w um elemento de K3 . Da sua base sobre K2 , segue que w =
a1 v1 + · · · + am vm = Σm
j=1 aj vj , com aj ∈ K2 .
Agora, cada elemento aj é uma combinação linear dos elementos da
base {u1 , ..., un }, com coeficientes em K1 .
m
n
Daí, aj = Σni=1 cij ui e w = Σm
j=1 aj vj = Σj=1 Σi=1 cij ui vj , donde segue
que os elementos de {ui vj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} geram K3 sobre K1 .
n
Agora, se Σm
j=1 Σi=1 cij ui vj
n
Σm
j=1 (Σi=1 cij ui )vj
=
0, com cij
∈
K1 , então
= 0.
Como {v1 , ..., vm } é uma base de K3 , então Σni=1 cij ui = 0, para cada
j. E como {u1 , ..., un } é uma base de K2 , segue que cij = 0, para todos
1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Portanto, {ui vj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} é uma base de K3 sobre K1 .
Assim, os m·n elementos {ui vj } formam uma base de K3 sobre K1 , isto
é, [K3 : K1 ] = m·n, com [K3 : K2 ] = m e [K2 : K1 ] = n.
Corolário 5.8. Se K3 é uma extensão finita de K1 e K2 é um subcorpo de
K3 que contém K1 , então [K2 : K1 ] divide [K3 : K1 ].
Demonstração: Como [K3 : K1 ] = n e K1 ⊆ K2 ⊆ K3 , então:
(1) [K3 : K2 ] ≤ n;
(2) se um conjunto de elementos de K2 ⊆ K3 é linearmente independente
sobre K1 , então este conjunto tem, no máximo, n elementos. Logo, [K2 :
K1 ] ≤ n.
Daí, pela proposição anterior, [K3 : K1 ] = [K3 : K2 ] · [K2 : K1 ] e,
portanto, [K2 : K1 ] divide [K3 : K1 ].
Segue do corolário anterior, que se [K3 : K1 ] é um número primo,
então não pode existir corpo entre K1 e K3 .
Se b e c são números algébricos sobre o corpo K, então c é algébrico
sobre K(b) e, daí, podemos formar o corpo K(b)(c).
Todo corpo que contém K, b e c também contém K(b)(c), que é o
menor corpo que contém K, b e c.
A proposição anterior garante que K(b)(c) é uma extensão finita sobre K:
K ⊆ K(b) ⊆ K(b)(c).
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Segue então que K(b)(c) é um corpo algébrico sobre K.
Mais ainda, os corpos K(b)(c) e K(c)(b) coincidem e, então, serão
denotados por K(b, c).
Se b1 , b2 , ..., bs são números algébricos sobre o corpo K, então,
verifica-se por indução sobre s, que K(b1 , b2 , ..., bs ) é a menor extensão
K, que contém K, b1 , b2 , ..., e bs .
Corolário 5.9. Se L é uma extensão finita de K, então existem a1 , ..., an ∈
L tais que L = K(a1 , ..., an ).
Demonstração: Seja [L : K] = m. Se L = K, acabamos. Se L ̸= K,
seja a1 ∈ L − K. Pela Proposição 5.1, a1 é algébrico sobre K e, pelo
Corolário 5.4, [K(a1 ) : K] = m1 > 1. Portanto, 1 < m1 ≤ m. Se L =
K(a1 ), acabamos. Caso contrário, repetindo o processo, existe a2 ∈ L
tal que [K(a1 , a2 ) : K(a1 )] = m2 > 1 e, portanto, [K(a1 , a2 ) : K] =
m1 · m2 e 1 < m1 < m1 · m2 ≤ m. Assim, após repetirmos o processo uma
quantidade finita de vezes, chegamos em L = K(a1 , ..., an ).
Proposição 5.10. Se K2 é uma extensão algébrica de K1 e K3 é uma extensão algébrica de K2 , então K3 é uma extensão algébrica de K1 .
Demonstração: Seja c um elemento de K3 . Devemos verificar que c satisfaz algum polinômio com coeficientes em K1 . Inicialmente, como K3 é
uma extensão algébrica de K2 , c é algébrico sobre K2 e, portanto, satisfaz um polinômio xn + a1 xn−1 + ... + an , com a1 , ..., an ∈ K2 . Agora,
como K2 é uma extensão algébrica de K1 , então a1 , a2 , ..., an são algébricos sobre K1 e, portanto, K1 (a1 , a2 , ..., an ) é uma extensão finita de K1 .
Desde que c satisfaz o polinômio xn + a1 xn−1 + ... + an , com a1 , ..., an ∈
K1 (a1 , a2 , ..., an ), então c é um número algébrico sobre K1 (a1 , a2 , ..., an ),
então K1 (a1 , a2 , ..., an , c) é uma extensão finita de K1 (a1 , a2 , ..., an ). Como
K1 (a1 , a2 , ..., an ) é uma extensão finita de K1 , então K1 (a1 , a2 , ..., an , c) é
uma extensão finita de K1 . Pela Proposição 5.1, c é algébrico sobre K1 .
Proposição 5.11. Se K ⊆ L são corpos, então os elementos de L que são
algébricos sobre K formam um subcorpo de L que contém K.
Lembramos que um corpo K é algebricamente fechado quando todo
polinômio não constante de K[x] possui uma raiz em K.
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Se K é algebricamente fechado, então todas as raízes de f (x) estão
em K, pois se a é uma raiz de f (x), então f (x) = (x − a)·g(x) com g(x)
em K[x]. Logo, g(x) possui raiz em K. Como as outras raízes de f (x)
são as raízes de g(x), procedendo indutivamente chegamos que todas
as raízes de f (x) estão em K.
A seguir enunciaremos, mas não apresentaremos uma demonstração, o Teorema Fundamental da Álgebra, cuja primeira demonstração
é devida a Gauss.
Teorema 5.12. O corpo dos números complexos, C, é algebricamente fechado.
Uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra pode ser
encontrada em [11].
Em decorrência, se K ⊆ C e f (x) ∈ K[x] é um polinômio tal que
∂f (x) ≥ 1 e b1 , b2 , ..., bs são todas as distintas raízes do polinômio f (x)
no corpo C, então, para algum c ∈ K vale:
f (x) = c·(x − b1 )m1 ...(x − bs )mr ∈ C[x].
Já vimos que cada expoente mi é a multiplicidade da raiz bi . Quando
mi = 1, bi é uma raiz simples de f (x).
Proposição 5.13. Se p(x) é um polinômio irredutível sobre o corpo K e
∂p(x) = n, então p(x) possui n raízes distintas no corpo C.
Demonstração: Seja p(x) = c·(x−b1 )...(x−bn ) ∈ K[x], com b1 , ..., bn ∈ C.
Seja b uma raiz qualquer de p(x). Então (1/c)p(x) é o polinômio irredutível de b sobre K. Portanto é o polinômio (não nulo) de menor grau que
possui b como raiz. Precisamos mostrar que b é uma raiz simples. Sabemos
que p ′ (x) também é um polinômio de K[x] e que ∂p ′ (x) < ∂p(x). Assim,
p ′ (b) ̸= 0, pois p ′ (x) não é o polinômio nulo. Portanto, b tem multiplicidade 1, isto é, b é uma raiz simples.
Exercícios
1. Fazer a demonstração do Lema 5.2.
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2. Fazer a demonstração do Corolário 5.4.
3. Fazer a demonstração da Proposição 5.11.
5.2 Imersão
Como nos casos de homomorfismos injetivos de grupos e de anéis,
obteremos uma cópia isomórfica de um corpo dentro de um outro corpo.
Definição 5.8. A imersão de um corpo K1 num corpo K2 é uma função
h : K1 → K2 tal que para todos x, y ∈ K1 :
(i) h(x + y) = h(x) + h(y);
(ii) h(xy) = h(x)h(y);
(iii) h(1) = 1.
Naturalmente, h é um homomorfismo de anéis. Logo, h(0) = 0.
Além disso, se x ̸= 0, então h(x) ̸= 0, pois 1 = h(1) = h(x.x−1 ) =
h(x)h(x−1 ). Assim o núcleo de h só contém o 0. Portanto, h é um homomorfismo injetivo de K1 em K2 .
Definição 5.9. Uma imersão h : K1 → K2 é um isomorfismo quando
Im(h) = K2 .
Se h : K1 → K2 é uma imersão, então Im(h) é um subcorpo de K2
e K1 é isomorfo a Im(h), o que é denotado por K1 ∼
= Im(h) ⊆ K2 .
Se h : K1 → K2 é um isomorfismo, então h−1 : K2 → K1 é o
isomorfismo inverso de h.
Seja h : K1 → K2 uma imersão. Podemos estender h para hx :
K1 [x] → K2 [x], definindo a imagem do polinômio f (x) = an xn + ... +
a1 x+a0 por hx (f (x)) = h(f )(x) = h(an )xn +...+h(a1 )x+h(a0 ) ∈ K2 [x]
e teremos um homomorfismo de anéis, de acordo com a proposição a
seguir.
Proposição 5.14. Se f (x), g(x) ∈ K1 [x], então para hx : K1 [x] → K2 [x]
valem:
(i) hx é um homomorfismo injetivo de anéis;
(ii) ∂f (x) = ∂hx (f (x)).
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Proposição 5.15. Se p(x) ∈ K1 [x], então p(x) é irredutível em K1 [x] se,
e somente se, hx (p(x)) é irredutível em Im(hx ).
Proposição 5.16. Sejam f (x) ∈ K[x] e b um número algébrico sobre K.
Se h : K(b) → L é uma imersão de K(b) num corpo L, então h(f (b)) =
h(f )(h(b)).
Demonstração: Seja f (x) = an xn + ... + a1 x + a0 . Daí, f (b) = an bn + ... +
a1 b + a0 e, desse modo, h(f (b)) = h(an )h(b)n + ... + h(a1 )h(b) + h(a0 ) =
h(f )(h(b)).
Segue dessa proposição que se b é uma raiz de f (x), então h(b) é uma
raiz de hx (f (x)).
Proposição 5.17. Sejam K ⊆ L, b ∈ L e hb : K[x] → L a função definida
por hb (f (x)) = f (b). Então valem as seguintes afirmações:
(i) hb é um homomorfismo de anéis;
(ii) b é transcendente sobre K se, e somente se, N (hb ) = {0};
(iii) se b é algébrico sobre K e p(x) é o polinômio irredutível de b sobre
K, então N (hb ) = p(x)K[x] é um ideal maximal de K[x];
∼ K(b).
(iv) K[x]/N (hb ) =
Demonstração:
(i) Fica como exercício.
(ii) O elemento b é algébrico sobre K se, e somente se, existe f (x) ∈
K[x], com f (x) ̸= 0, tal que f (b) = 0 se, e somente se, existe f (x) ∈
K[x], f (x) ̸= 0, tal que f (x) ∈ N (hb ) se, e somente se, N (hb ) ̸= {0}.
(iii) Fica como exercício.
(iv) É consequência do Teorema do isomorfismo.
Segue da proposição anterior, que se b é transcendente sobre K, então K(b) ⊆ L e K(b) ∼
= K[x].
Proposição 5.18. Se h : K1 → K2 é uma imersão e o elemento a é algébrico sobre K1 , com o polinômio irredutível p(x), tem-se que:
(i) se b ∈ K2 é uma raiz de hx (p(x)), então existe uma única imersão
h : K1 (a) → K2 que é uma extensão de h e tal que h(a) = b.
(ii) se g é uma extensão de h a K1 (a), então g(a) é uma raiz de hx (p(x)).
Demonstração: (i) Seja f (x) ∈ K1 [x]. Agora, definamos h(f (a)) =
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h(f )(b). Como podem existir outros polinômios g(x) ∈ K1 [x] tais que
g(a) = f (a), então devemos verificar que a definição de h não depende
da escolha do polinômio f (x).
Se f (x), g(x) ∈ K1 [x] são tais que f (a) = g(a), então f (a) − g(a) = 0
e, daí, (f − g)(a) = 0. Assim, existe d(x) ∈ K1 [x] de maneira que (f −
g)(x) = p(x) · d(x), donde segue que hx (f (x)) = hx (g(x)) + hx (p(x)) ·
hx (d(x)) ⇒ h(f )(x) = h(g)(x) + h(p)(x) · h(d)(x). Assim, h(f (a)) =
h(f )(b) = h(g)(b) + h(p)(b) · h(d)(b) = h(g)(b) = h(g(a)).
Logo h está bem definida e fica como exercício verificar que h : K1 (a) →
K2 é imersão e a unicidade.
(ii) Fica como exercício.
Corolário 5.19. Sejam p(x) ∈ K[x] um polinômio irredutível sobre K e
a uma raiz de p(x). Se h : K → C é uma imersão de K em C, então o
número de extensões de h de K(a) em C coincide com ∂p(x).
Demonstração: Como ∂p(x) é o grau de a em K, então o resultado segue
pelas Proposições 5.13 e 5.18.
Corolário 5.20. Seja L uma extensão do corpo K e [L : K] = n. Se
h : K → C é uma imersão de K em C, então o número de extensões de h
como imersão de L em C é igual a n.
Demonstração: Como L é uma extensão finita de K, então L
=
K(a1 , ...an ). Tomemos a seguinte sequência de extensões:
K ⊆ K(a1 ) ⊆ ... ⊆ K(a1 , a2 , ..., an ) = L.
Seja Lr−1 = K(a1 , a2 , ..., ar−1 ). Faremos a justificação por indução
sobre r. Consideremos que o resultado esteja verificado e que o número
de extensões de h a Lr−1 seja igual a [Lr−1 : K] = m. Assim, temos que
h1 , h2 , ..., hm são extensões de h a Lr−1 . Para a próxima raiz, ar , seja d o
seu grau sobre Lr−1 . Daí, para cada i ∈ {1, ..., m}, existem d extensões de
hi a Lr : hi1 , ..., hid . Assim, o conjunto {hij : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ d} é o
conjunto das extensões de h a Lr e, portanto, [Lr : K] = [Lr−1 : K].[Lr :
Lr−1 ] = m·d.
Dessa maneira, o número de extensões de h como imersão de L em C é
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igual a n = [L : K].
Teorema 5.21. Se L é uma extensão finita de K, então existe um elemento
d ∈ L tal que L = K(d).
Demonstração: Se L é uma extensão finita de K, então pelo Corolário 5.9, L = K(a1 , ...an ). Ao raciocinarmos por indução, basta tomarmos o caso em que L = K(a1 , a2 ). Devemos encontrar d de modo que
K(d) = K(a1 , a2 ).
Sejam [L : K] = n e h1 , h2 , ..., hn as n distintas imersões de L em C,
que estendem a função (imersão) identidade de K.
Procuraremos um elemento c ∈ K de modo que os elementos:
[1] hi (a1 + ca2 ) sejam 2 a 2 distintos.
Como as hi são distintas, então para i ̸= j segue que hj (a1 ) − hi (a1 ) ̸=
0 ou hj (a2 ) − hi (a2 ) ̸= 0.
Daí, o polinômio f (x) =
∏n ∏
i=1
j̸=i [(hj (a1 )
− hi (a1 )) + x(hj (a2 ) −
hi (a2 ))] ̸= 0 e, portanto, f (x) tem, no máximo, uma quantidade finita de
raízes. Logo, existe c ∈ K para o qual f (c) ̸= 0 e para esse elemento c vale
[1].
Mostramos agora que se d = a1 + ca2 , então L = K(d).
Como d = a1 + ca2 depende de a1 e a2 e das imersões h1 , h2 , ..., hn ,
então temos n distintas imersões de K(d) em C, que estendem a função
identidade de K. Pelos corolários anteriores, segue que [K(d) : K] ≥ n.
Agora, desde que K(d) é um subespaço vetorial de L sobre K, então n ≤
dim(K(d)) ≤ dim(L) = n. Logo, dim(K(d)) = dim(L) e, portanto,
L = K(d).
Exercícios
1. Fazer uma demonstração da Proposição 5.14.
2. Fazer uma demonstração da Proposição 5.15.
3. Fazer a demonstração dos ítens (i) e (iii) da Proposição 5.17.
4. Seja K ⊆ L. Mostrar que se b, c ∈ L são raízes de um mesmo polinômio irredutível sobre K, então K(b) ∼
= K(c).
5. Completar a demonstração da Proposição 5.18.
√ √
√
√
6. Verificar que Q( 2, 3 2) = Q( 2 + 3 2).
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5.3 Extensões de Galois
Veremos aqui que existe um corpo associado a cada polinômio
dado.
Definição 5.10. O corpo de decomposição do polinômio f (x) ∈ K[x] sobre K é o menor subcorpo de C que contém K e todas as raízes complexas
de f (x).
Denotamos o corpo de decomposição de f (x)
∈
K[x] por
Gal(f (x), K).
Agora, sejam f (x) ∈ K[x] e b1 , ..., bs as distintas raízes de f (x) em
C. Consideremos, então, a seguinte sequência de corpos:
K0 = K,
K1 = K0 (b1 ),
K2 = K1 (b2 ),
...
Ks = Ks−1 (bs ).
Assim, K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Ks−1 ⊆ Ks e, para i ≤ s, Ki é o menor subcorpo de C que contém K e b1 , . . . , bi e Ks = Gal(f (x), K) =
K(b1 , . . . , bs ).
Definição 5.11. Seja L uma extensão finita de K. Dizemos que uma imersão h : L → L é uma K-imersão de L, se h(x) = x para todo x ∈ K.
Definição 5.12. Um automorfismo de um corpo K é um isomorfismo de
corpos h : K → K.
Proposição 5.22. Se L é uma extensão finita de K, h : L → L é uma
K-imersão, então h(L) = L, isto é, h é um automorfismo de L.
Demonstração: Como h induz uma transformação linear injetiva h :
L → L, considerando L como espaço vetorial sobre o corpo K, então
dim h(L) = dim L. Logo, h(L) = L e, portanto, h é sobrejetiva.
Desse modo, h é um isomorfismo de espaços vetoriais, ou mais especificamente, de corpos e, então, h é um automorfismo.
Proposição 5.23. Se K é um corpo, então o conjunto de todos automorfismos de K é um grupo com a operação de composição de funções.
Demonstração: A composição de automorfismos de K é um automorfismo
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de K. A composição de automorfismos possui a propriedade associativa.
A função identidade é um automorfismo de K e é o elemento neutro da
composição de automorfismos de K. Dado um automorfismo de K, a sua
função inversa também é um automorfismo de K. Assim, o conjunto de
todos os automorfismos de K é um grupo com a operação de composição
de funções
Quando G é o grupo dos automorfismos de um corpo K, denotamos
por K G o conjunto de todos os elementos x ∈ K tais que h(x) = x, para
todo automorfismo h ∈ G.
Proposição 5.24. K G é um corpo.
Demonstração: Certamente 0, 1 ∈ K G . Agora, para x, y ∈ K G , temos:
h(x + y) = h(x) + h(y) = x + y
h(x·y) = h(x)·h(y) = x·y.
Logo, x + y ∈ K G e x·y ∈ K G .
Também, se x ∈ K G e x ̸= 0, temos:
h(x−1 ) = (h(x))−1 = x−1 ∈ K G
h(−x) = −h(x) = −x ∈ K G .
Portanto, (K G , 0, 1, +, ·) é um subcorpo de K.
Definição 5.13. O subcorpo K G é denominado o corpo fixo de K por G.
Exemplo 5.7. O corpo Q dos números racionais não admite outro automorfismo que não seja a identidade:
Se h : Q → Q é uma imersão, verifica-se:
(1) por indução, h(n) = n, para todo n ∈ N;
(2) h(n) = n, para todo n ∈ Z;
(3) h(n−1 ) = n−1 , para todo n ∈ Z, com n ̸= 0;
(4) h(x) = x, para todo x ∈ Q.
Definição 5.14. Um K-automorfismo de L é um automorfismo de L que
é uma K-imersão de L.
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Denotamos o grupo dos K-automorfismos de L por G(L, K). Assim,
um automorfismo h de L está em G(L, K) se, e somente se, h(x) = x,
para todo x ∈ K.
Exemplo 5.8. Sejam C o corpo dos números complexos e R o corpo dos
números reais, então existem apenas 2 automorfismos em G(C, R).
Seja h : C → C um automorfismo qualquer. Como i2 = −1, então
h(i).h(i) = h(i2 ) = h(−1) = −1. Daí, h(i) = i ou h(i) = −i.
Como h deixa fixo cada número real, então, para a+bi ∈ C, decorre que
h(a + bi) = h(a) + h(b)·h(i) = a + b·h(i). Assim, temos dois automorfismos
em G(C, R): a função identidade g(a + bi) = a + bi e a função conjugado
h(a + bi) = a − bi.
Exemplo 5.9. Sejam K um corpo e a ∈ K tal que a ̸= c2 , para todo
c ∈ K. Então, se K ⊆ L, b ∈ L e a = b2 , segue que b é raiz do polinômio
f (x) = x2 − a ∈ K[x]. Assim f (x) possui duas raízes: b e −b. Portanto,
K(b) = {a + cb : a, c ∈ K} tem exatamente 2 automorfismos em G(L, K):
a função identidade de K(b), ı(x) = x e a função h : K(b) → K(b), tal que
h(x) = x, para todo x ∈ K, e h(b) = −b.
√
Exemplo 5.10. Sejam K = Q e L = Q( 3 2). Cada elemento de L é do
√
√
tipo a0 + a1 . 3 2 + a2 .( 3 2)2 , com a0 , a1 , a2 ∈ Q. Se h é um automorfismo
√
√
√
de L, então (h( 3 2))3 = h(( 3 2)3 ) = h(2) = 2. Assim, h( 3 2) também é
uma raiz cúbica de 2 e está em L.
Como existe exatamente uma raiz cúbica real de 2 e L ⊆ R, então
√
√
√
√
√
√
3
h( 2) = 3 2. Daí, h(a0 + a1 . 3 2 + a2 .( 3 2)2 ) = a0 + a1 . 3 2 + a2 .( 3 2)2 e,
desse modo, h é o automorfismo identidade.
√
√
Logo, G(Q( 3 2), Q) = {ı} e o corpo fixo de L por G(Q( 2, Q) é L.
Definição 5.15. Uma extensão finita L de K é uma extensão de Galois
quando toda K-imersão de L é um K-automorfismo de L.
Lema 5.25. Sejam K ⊆ L corpos, b ∈ L uma raiz do polinômio p(x) ∈
K[x] e h : L → L uma K-imersão de L. Então h(b) é também uma raiz de
p(x).
Demonstração: Seja p(x) = an xn + ... + a1 x + a0 ∈ K[x]. Como p(b) = 0,
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então an bn + ... + a1 b + a0 = 0. Logo, h(an bn + ... + a1 b + a0 ) = h(0).
Portanto, p(h(b)) = an h(b)n + ... + a1 h(b) + a0 = 0.
Teorema 5.26. Seja L uma extensão finita de K. Então L é uma extensão de Galois de K se, e somente se, existe f (x) ∈ K[x] tal que
L = Gal(f (x), K).
Demonstração: (⇒) Seja L uma extensão de Galois de K. De acordo com
o Teorema 5.21, existe d tal que L = K(d). Agora, seja p(x) o polinômio
irredutível de d sobre K. Pela Proposição 5.18, para cada raiz bi de p(x),
existe uma única imersão hi : L → C tal que hi (d) = bi . Desde que cada
K-imersão é um K-automorfismo, então bi ∈ L.
Portanto, L = K(d) = K(b1 , ..., bn ) e, assim, L é o corpo de decomposição de p(x).
(⇐) Seja L = Gal(f (x), K), com as raízes b1 , b2 , ..., bn . Se h é uma
imersão de L sobre K, então h(bi ) é uma raiz de p(x) e, portanto, h(bi ) ∈
L. Logo, h(L) ⊆ L e, pela Proposição 5.22, h(L) = L. Assim, h é um
automorfismo, ou seja, L é uma extensão de Galois de K.
Em vista desse teorema segue, de imediato, o seguinte corolário.
Corolário 5.27. Se K ⊆ F ⊆ L são corpos e se L é uma extensão de
Galois de K, então L é uma extensão de Galois de F .
Como uma outra consequência do teorema anterior, temos o resultado a seguir.
Corolário 5.28. Sejam L uma extensão de Galois de K e p(x) ∈ K[x],
com p(x) irredutível sobre K. Se p(x) tem uma raiz em L, então p(x) tem
todas as raízes em L.
Demonstração: Sejam a e b duas raízes de p(x), com a ∈ L. Segundo a
Proposição 5.18, existe uma imersão h : K(a) → L tal que h(x) = x,
para todo x ∈ K e h(a) = b. Agora, se estendemos h a L, como uma
K-imersão de L, então temos um automorfismo h : L → L e, portanto,
b = h(a) = h(a) ∈ L.
Proposição 5.29. Se K ⊆ L é uma extensão de Galois e h : L → L é uma
K-imersão, então h(L) = L.
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Demonstração: Seja a ∈ L. Se a ∈ K, então h(a) = a ∈ L. Se a ∈
/ K,
seja p(x) o polinômio irredutível de a sobre K. Pelo Lema 5.25, h(a) é raiz
de p(x) e h(a) ∈ L. Assim, h(L) ⊆ L e, portanto, pela Proposição 5.22,
h(L) = L.
Proposição 5.30. Se L é uma extensão de Galois de K e G = G(L, K),
então K é o corpo fixo de G.
Demonstração: Se K não é o corpo fixo de G, tomemos a ∈ L − K tal
que h(a) = a, para todo h ∈ G. Agora, seja p(x) ∈ K[x] o polinômio
irredutível de a. Como a ∈
/ K, então ∂p(x) > 1. Pela Proposição 5.13,
existe b ̸= a tal que b é raiz de p(x). Pela Proposição 5.18, existe uma Kimersão h : K(a) → K(b) tal que h(a) = b. Pelo Corolário 5.20, h pode
ser estendido a uma K-imersão de L. Como L é uma extensão de Galois
de K, então h é um K-automorfismo de L, o que é uma contradição, pois
tomamos a ∈ L de modo que h(a) = a, para todo K-automorfismo de L.
Assim, K é o corpo fixo de L.
5.4 Elementos da Teoria de Galois
A Teoria de Galois nos permite conexões entre certos corpos
e grupos. A cada extensão finita K ⊆ L temos associado o grupo dos
automorfismos G(L, K), o grupo de Galois de K ⊆ L. Por outro lado,
a cada subgrupo H de G(L, K) associaremos um corpo intermediário
K ⊆ F ⊆ L.
Uma maneira simples de indicar que um polinômio f (x) ∈ K[x] não
é um polinômio constante, inclusive o nulo, é indicar que f (x) ∈ K[x]−
K.
Definição 5.16. Se f (x) ∈ K[x] − K e L é o corpo de decomposição de
f (x) sobre K, então chamamos de Grupo de Galois do polinômio f (x) ao
grupo G(f (x), K) = G(L, K).
Proposição 5.31. Sejam f (x) ∈ K[x] − K e L o corpo de decomposição
de f (x) sobre K. Se f (x) possui n distintas raízes em L, então G(L, K) é
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isomorfo a algum subgrupo de Sn .
Demonstração: Seja S = {b1 , b2 , ..., bn } o conjuntos das n distintas raízes de f (x) em L. Se h ∈ G(L, K), pelo Lema 5.25, para cada bi , segue que h(bi ) também é uma raiz de f (x). Desde que h é injetiva, então
h(S) = {b1 , b2 , ..., bn } e, desse modo, a imersão h realiza uma permutação
no conjunto S.
Agora, seja ψ : G(L, K) → P erm(S), em que P erm(S) é o conjunto
das funções bijetivas de S em S, definida por ψ(h) = h|S . Verificaremos
que ψ é um homomorfismo injetivo de grupos.
Trata-se de um homomorfismo, pois: ψ(h1 oh2 ) = (h1 oh2 )|S =
(h1 )|S o(h2 )|S = ψ(h1 )oψ(h2 ).
É injetivo: se h1 , h2 ∈ G(L, K) são tais que h1 ̸= h2 e como L =
K(b1 , b2 , ..., bn ), então para algum bi ∈ S, h1 (bi ) ̸= h2 (bi ). Logo, (h1 )|S ̸=
(h2 )|S .
Assim, G(L, K) é isomorfo a um subgrupo de P erm(S).
Como
P erm(S) é isomorfo a Sn , então G(L, K) é isomorfo a um subgrupo de
Sn .
Proposição 5.32. Seja f (x) ∈ K[x] − K um polinômio que tenha todas
as suas raízes distintas e seja L = Gal(f (x), K). Então:
(i) Cada imersão h : K → K possui [L : K] extensões a L;
(ii) |G(L, K)| = [L : K].
Demonstração: Seja [L : K] = n.
(i) Mostraremos por indução sobre n que cada imersão h : K → K tem
n extensões a L.
Se n = 1 = [L : K], então L = K e, portanto, G(L, K) = {h}. Assim,
|G(L, K)| = 1.
Consideremos, agora, que [L : K] > 1. Assim, f (x) tem algum fator irredutível p(x) ∈ K[x], com ∂p(x) = d > 1. Seja a uma raiz de
p(x). Da hipótese, segue que p(x) tem d distintas raízes em L. Pelo Corolário 5.19, existem exatamente d extensões ha de h, ha : K(a) → L, já que
pelo Lema 5.25, h(a) também é raiz de p(x).
Temos que [L : K] = [L : K(a)] · [K(a) : K], então [L : K(a)] =
[L : K]
n
=
< n, pois d > 1. Daí, pela hipótese de indução, para
[K(a) : K]
d
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cada imersão de K(a) em L, existem n/d extensões a L. Logo, para cada
imersão h : K → K possui n extensões de L em L.
(ii) Tomando h como a função identidade, por (i), temos n Kautomorfismos de L em L, ou seja, |G(L, K)| = n = [L : K].
Definição 5.17. Seja K ⊆ L uma extensão de corpos. Cada corpo F tal
que K ⊆ F ⊆ L é denominado um corpo intermediário entre K e L.
Proposição 5.33. Se K ⊆ F ⊆ L são extensões de corpos, então G(L, F )
é um subgrupo de G(L, K).
Demonstração: Se h ∈ G(L, F ), então h é um automorfismo de L que fixa
F . Mas como K ⊆ F , então h também fixa K. Logo, G(L, F ) ⊆ G(L, K),
ou seja, G(L, F ) é um subgrupo de G(L, K).
Proposição 5.34. Sejam K ⊆ F ⊆ L e F = Gal(f (x), K). Se h ∈
G(L, K), então
(i) h(F ) = F ;
(ii) h|F ∈ G(F, K).
Demonstração: (i) Mostraremos que h(F ) = F .
Sejam a1 , a2 , ..., an as distintas raízes de f (x) em F e h ∈ G(L, K).
Então pelo Lema 5.25, para cada i, h(ai ) = aj ∈ F e, portanto, h(F ) ⊆ F .
Assim, pela Proposição 5.22, h(F ) = F .
(ii) Segue de (i).
Teorema 5.35. Sejam K ⊆ F ⊆ L extensões de corpos de modo que F =
Gal(f (x), K) e L = Gal(g(x), K), para f (x), g(x) ∈ K[x]. Então G(L, F )
é um subgrupo normal de G(L, K) e G(L, K)/G(L, F ) ∼
= G(F, K).
Demonstração: Seja ψ : G(L, K) → G(F, K) definida por ψ(h) = h|F .
Conforme a proposição anterior, ψ ∈ G(F, K).
Agora, verificamos que ψ é um homomorfismo de grupos.
Se h1 , h2 ∈ G(L, K), pela proposição anterior, para cada a ∈ F ,
(h1 oh2 )(a) = h1 (h2 (a)) = h1 |F (h2 |F (a)) = (h1 |F oh2 |F )(a).
As-
sim, (h1 oh2 )|F = (h1 )|F o(h2 )|F e, portanto, ψ(h1 oh2 ) = (h1 oh2 )|F =
(h1 )|F o(h2 )|F = ψ(h1 )oψ(h2 ). Desse modo, ψ é um homomorfismo.
O núcleo de ψ é N (ψ) = {h ∈ G(L, K) : h|F = i} = G(L, F ). Desse
modo, G(L, F ) G(L, K).
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Se h ∈ G(F, K), então pela Proposição 5.18 e pelo Lema 5.22, h pode
ser estendida a um isomorfismo h1 : L → L, que fixa K. Assim, existe
h1 ∈ G(L, K) tal que ψ(h1 ) = h1 |F = h e, portanto, ψ é sobrejetiva.
Pelo
Teorema do Homomorfismo,
G(L, K)/G(L, F ) ∼
= G(F, K).
temos
o
isomorfismo
Teorema 5.36. Sejam K ⊆ L uma extensão de corpos, H um subgrupo
de G = G(L, K) e LH = {x ∈ L : h(x) = x, para todo h ∈ H}. Então LH
′
é um corpo intermediário entre K e L. Se H < H ′ < G, então LH ⊆ LH .
Demonstração: Para a, b ∈ LH e σ ∈ H temos σ(a − b) = σ(a) − σ(b) =
a − b, σ(a.b) = σ(a) · σ(b) = a.b e σ(b−1 ) = (σ(b))−1 = b−1 , quando
b ̸= 0. Assim, LH é um corpo, e como K ⊆ LH ⊆ F , então, LH é um corpo
intermediário entre K e L.
′
Se a ∈ LH , então h(a) = a, para todo h ∈ H ′ . Como H é um subgrupo
de H ′ , então h(a) = a, para todo h ∈ H, ou seja, a ∈ LH . Dessa maneira,
′
LH ⊆ LH .
A seguir, mostraremos que sob certas condições existe uma bijeção
entre os subgrupos de G(L, K) e os corpos intermediários entre L e K.
Seja G = G(L, K) o grupo dos isomorfismos de L que fixam K. Usaremos as seguintes notações:
I(K, L) é o conjunto dos corpos intermediários entre L e K.
S(G) = {H : H < G(L, K)} é o conjunto dos subgrupos de G(L, K).
O conjunto S(G) reúne todos os subgrupos do grupo dos Kautomorfismos de L, G(L, K).
Como já vimos, se H ∈ S(G), então LH = {x ∈ L : h(x) =
x, para todo h ∈ H} é um corpo intermediário entre K e L e LH é o
corpo fixo de H.
Consideremos agora as seguintes funções (Conexões de Galois):
ψ : I(K, L) → S(G), ψ(F ) = G(L, F )
σ : S(G) → I(K, L), σ(H) = LH .
Seguem destas convenções e resultados anteriores o seguinte:
(i) ψ(K) = G(L, K);
(ii) ψ(L) = G(L, L) = {i};
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(iii) σ({iL }) = {a ∈ L : i(a) = a} = L;
(iv) σ(G) = {a ∈ L : h(a) = a, para todo h ∈ G} e, portanto,
K ⊆ σ(G);
(v) σ(G) = K quando K ⊆ L é uma extensão de Galois.
O corolário seguinte é uma consequência imediata dos dois últimos
teoremas e das convenções acima.
Corolário 5.37. Seja K ⊆ L uma extensão de corpos e G = G(L, K).
Então:
(i) Se F1 , F2 ∈ I(K, L) e F1 ⊆ F2 , então ψ(F2 ) = G(L, F2 ) ⊆
G(L, F1 ) = ψ(F1 );
(i) Se H1 , H2 ∈ S(G) e H1 < H2 , então σ(H2 ) ⊆ σ(H1 ).
Proposição 5.38. Seja K ⊆ L uma extensão de corpos e G(L, K). Então:
(i) para todo F ∈ I(K, L), segue que F ⊆ σoψ(F );
(ii) para todo H ∈ S(G), segue que H < ψoσ(H).
Demonstração: (i) Seja F ∈ I(K, L). Desde que ψ(F ) = G(L, F ), então
F ⊆ σ(G(L, F )) = σ(ψ(F )) = σoψ(F );
(ii) Seja H ∈ S(G). Se F = σ(H) = {x ∈ L : h(x) = x, para todo h ∈
H}, então segue que H < G(L, F ) = ψ(σ(H)) = ψoσ(H).
Na demonstração do próximo teorema verificaremos que ψoσ =
iS(G) e σoψ = iI(K,L) . Dessa forma, ψ e σ são bijeções, ψ −1 = σ e
σ −1 = ψ.
Definição 5.18. O par de funções bijetivas ψ e σ como acima é denominado de Conexão de Galois da extensão de Galois K ⊆ L.
Teorema 5.39. (Teorema Fundamental da Teoria de Galois) Se K ⊆ L é
uma extensão de Galois, então:
(i) para todo F ∈ I(K, L), segue que [L : F ] = |ψ(F )| e [F : K] =
|G(L, K)|
;
|ψ(F )|
(ii) para todo H ∈ S(G), segue que [L : σ(H)] = |H| e [σ(H) : K] =
|G(L, K)|
;
|H|
(iii) σoψ = iS(G) e ψoσ(H) = iI(K,L) ;
(iv) para todo F ∈ I(K, L), ψ(F ) = G(L, F ) G(L, K);
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(v) para todo F ∈ I(K, L), [F : K] = |G(F, K)| e G(L, K)/ψ(F ) ∼
=
G(F, K).
Demonstração: (i) Como K ⊆ L é uma extensão de Galois, então é uma
extensão finita. Logo, pelo Teorema 5.21, existe d ∈ L tal que L = K(d).
Para f (x) ∈ K[x], o polinômio irredutível de d sobre K, temos que L =
Gal(f (x), K). Pelo Corolário 5.28, temos que f (x) tem todas as raízes
distintas. Logo, pela Proposição 5.32, [L : K] = |G(L, K)|. Agora, como
F ∈ I(K, L), então L = Gal(f (x), F ), pois f (x) ∈ F [x] e, portanto,
F ⊆ L também é uma extensão de Galois. Como fizemos para a extensão
de Galois K ⊆ L, temos também que [L : F ] = |G(L, F )| = |ψ(F )|.
Além disso, como |G(L, K)| = [L : K] = [L : F ] · [F : K], temos que
|G(L, K)|
.
[F : K] =
|ψ(F )|
(ii) Sejam H < G(L, K) e F = σ(H). Como |G(L, K)| = [L : K] =
|G(L, K)|
.
[L : σ(H)] · [σ(H) : K], então [σ(H) : K] =
[L : σ(H)]
Resta-nos mostrar que |L : σ(H)| = |H|.
Do item (i), segue que [L : σ(H)] = |ψ(σ(H))|. Pela Proposição 5.38,
temos que H é um subgrupo de ψ(σ(H)). Assim, basta mostrarmos que
H = ψ(σ(H)) para concluirmos a demonstração.
Seja H = {h1 , ..., hn }, em que h1 é a identidade de L. Se existe h ∈
ψ(σ(H)) − H, então n = |H| < |ψ(σ(H))| = [L : σ(H)]. Logo, existem
u1 , u2 , ..., un+1 ∈ L que são linearmente independentes sobre σ(H). Para
cada i entre 1 e n, consideremos a equação linear homogênea:
hi (u1 )x1 + hi (u2 )x2 + ... + hi (un )xn + hi (un+1 )xn+1 = 0.
Temos então n equações com n + 1 incógnitas. Logo, existe uma
solução não nula com a maior quantidade possível de zeros, digamos,
a1 , a2 , ..., ar , 0, ..., 0, após um rearranjo das variáveis. Multiplicando as
soluções por a−1
1 , podemos supor a1 = 1. Assim, para cada i entre 1 e
n, temos:
hi (u1 ) + hi (u2 )a2 + ... + hi (ur )ar = 0 [1]
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Em particular, para i = 1, como h1 é a identidade em L, temos:
u1 + u2 a2 + ... + ur ar = 0,
e como os u′i s são linearmente independentes sobre σ(H), então algum
ai ∈
/ σ(H) e, portanto, para algum h ∈ H segue que h(ai ) ̸= ai . Desse
modo, para todo i entre 1 e n, temos:
hohi (u1 ) + hohi (u2 )h(a2 ) + ... + hohi (ur )h(ar ) = 0.
Como h
∈
H
=
{h1 , . . . , hn }, então hH
=
H, ou seja
{hoh1 , . . . , hohn } = {h1 , ..., hn }. Portanto, para cada i existe k de maneira que hohi = hk . Assim, para todo k entre 1 e n, temos:
hk (u1 ) + hk (u2 )h(a2 ) + ... + hk (ur )h(ar ) = 0 [2]
Mas, por [1] para todo k entre 1 e n temos:
hk (u1 ) + hk (u2 )a2 + ... + hk (ur )ar = 0 [3].
De [2] e [3], para todo k entre 1 e n temos:
hk (u2 )(h(a2 ) − a2 ) + ... + hk (ur )(h(ar ) − ar ) = 0.
Como h(ar ) ̸= ar , então obtivemos uma solução não nula do sistema
com um zero a mais do que a maior quantidade possível de zeros, o que
é uma contradição. Esta contradição surgiu ao supormos H ̸= ψ(σ(H)).
Logo, H = ψ(σ(H)) e concluímos, assim, a demonstração de (ii).
(iii) Na demonstração acima verificamos que para todo H < G(L, K),
H = ψ(σ(H)), ou seja, que ψoσ(H) = iI(K,L) .
Seja F ∈ I(K, L). Pela Proposição 5.27, L é uma extensão de Galois
de F . Logo, pela Proposição 5.30, σ(G(L, F )) = F . Assim, σ(ψ(F )) =
σ(G(L, F )) = F , mostrando que σoψ = iI(K,L) .
(iv) Segue do Teorema 5.35.
(v) Por (i) temos que [F : K] =
|G(L, K)|
. Agora, basta mos|ψ(F )|
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trarmos que se F ∈ I(K, L) e K ⊆ L é uma extensão de Galois, então G(L, K)/ψ(F ) ∼
= G(F, K). Mas isto é dado no Teorema 5.35, com
ψ(F ) = G(L, F ).
5.5 Construções com régua e compasso
Nessa seção, observamos como alguns resultados obtidos da
Teoria de Galois nos permitem dar respostas a alguns problemas matemáticos bem antigos. A partir do conceito de número construtível,
mostraremos que alguns dos célebres problemas da matemática grega
clássica, sobre a construção de alguns entes geométricos apenas com
régua sem marcação e compasso não podem ser realizados.
A matemática grega foi, por largo período, essencialmente geométrica. Todas as noções fundamentais da Matemática eram pensadas segundo a geometria. O conceito de número estava associado ao conceito de comprimento de um segmento. Desta maneira, a determinação
de um número correspondia à construção de um segmento de comprimento identificado com esse número. Para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de dois números, existiam métodos geométricos de construção, a partir de segmentos de retas e circunferências. Tais construções ficaram conhecidas como construções por régua
e compasso. Desta forma, a partir da unidade, eram construídos os números naturais e os números fracionários. Alguns números irracionais
também podiam ser construídos como, por exemplo, a raiz quadrada de
2, que é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos têm medida
1, ou seja, corresponde à diagonal do quadrado de lado 1.
Neste contexto surgiram os famosos problemas clássicos da geometria grega que desafiaram os pensadores matemáticos por milênios.
A seguir, apresentamos os referidos problemas e as suas resoluções
algébricas do século XIX.
Os problemas clássicos:
Alguns problemas de construção não puderam ser resolvidos pelos
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gregos apenas com uma régua sem escala e um compasso. Os três mais
famosos são “a quadratura do círculo”, construir um quadrado com área
igual à de um círculo dado, “a duplicação do cubo”, construir um cubo
cujo volume seja o dobro do volume de um cubo dado, e “a trissecção
do ângulo”, construir um ângulo de medida igual a 1/3 da medida de um
ângulo dado.
Essas construções deveriam ser realizadas para figuras quaisquer e
tendo como ferramentas apenas uma régua sem escala e um compasso.
Uma lenda:
Durante o século quinto a. C., Atenas foi assolada por uma peste
que dizimou uma quarta parte da sua população.
Uma delegação
foi então enviada ao oráculo de Apolo, em Delfos, com a missão de
descobrir como combater a epidemia. Diante da indagação, o oráculo
respondeu que o altar cúbico de Apolo deveria ser duplicado. Em
vista da resposta do oráculo, foi construído um altar cujas dimensões
foram dobradas, mas, mesmo assim, a peste continuou. No caso, foi
construído um cubo cuja aresta era o dobro da aresta do cubo original
e, desse modo, o volume do cubo original foi multiplicado por oito.
Os problemas clássicos permaneceram insolúveis por muito tempo,
algo em torno de 2.200 anos. Muito pouco se pôde afirmar sobre as
possibilidades de tais construções, apesar dos esforços para resolvê-las.
Somente a partir dos trabalhos de Évariste Galois [1811-1832] tais
problemas puderam ser finalmente resolvidos.
Vejamos alguns desenvolvimentos teóricos dos números construtíveis.
As construções pretendidas são de entes geométricos planos. Da
geometria euclidiana, sabemos que podemos efetuar as seguintes
construções:
(1) dados dois pontos, podemos traçar exatamente uma reta que
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passa por esses pontos dados;
(2) dados um ponto e um segmento de reta, podemos construir a
circunferência de centro no ponto e com raio (abertura do compasso)
do comprimento do segmento.
A partir de (1) e (2), podemos realizar também:
(3) Dados uma reta e um ponto qualquer do plano, podemos traçar
uma reta perpendicular àquela reta e que passa pelo ponto dado.
(4) Dados uma reta e um ponto qualquer do plano que não esteja na
reta, podemos traçar uma reta paralela àquela de modo a passar pelo
ponto dado.
(5) Para qualquer ângulo dado, podemos traçar a bissetriz desse
ângulo.
Assim, partindo da unidade 1, isto é, a partir de um segmento entendido como unidade, um padrão de tamanho 1, podemos determinar
os números que são construídos a partir dos procedimentos (1) - (5).
Lembramos que construir um número r significa construir um
segmento de reta de comprimento r.
Soma de dois números
Se a e b são dois números (positivos) construídos, então construiremos o número a + b.
Consideremos que os segmentos AB e CD sejam de comprimentos
−−→
a e b. A intersecção da semirreta AB com a circunferência de centro em
B e raio b resulta em um ponto E, fora do segmento AB, de maneira
que o segmento AE tem medida a + b, como na figura seguinte.
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Produto de dois números
Se a e b são dois números (positivos) construídos, então construiremos o número a · b.
Se a = 1 ou b = 1 nada temos a fazer. Vamos tomar então a ̸= 1
e b ̸= 1. Consideremos duas semirretas r e s, com origem O, como na
figura abaixo, de modo a formar um ângulo de 45o . Sejam os pontos
A, B e I da semirreta r, tais que OA = a, OB = b e OI = 1. Assim,
ao traçarmos retas perpendiculares à reta r, por I e por A, sejam as intersecções destas retas perpendiculares com a semirreta s, respectivab mede 45o , então IC = 1
mente, os pontos C e D. Como o ângulo DOB
e AD = a.
Traçando a reta DE, paralela a CB, obtemos um triângulo ADE
semelhante ao triângulo ICB. Da semelhança de triângulos temos que
IB
1
b−1
IC
=
, ou seja, =
. Logo, (OE − a) · 1 = a · (b − 1) e,
AD
AE
a
OE − a
portanto, OE = a · b.
O inverso multiplicativo
Se a é um número positivo já construído, então construiremos o nú1
mero . Se a = 1 nada temos a fazer. Vamos tomar então a ̸= 1.
a
Consideremos duas semirretas r e s, com origem comum O, como
na figura abaixo, de modo a formar um ângulo de 45o .
Tomamos os pontos A e I da semirreta r tais que OA = a e OI = 1.
Ao traçarmos retas perpendiculares à reta r, pelos pontos I e A, sejam as intersecções destas retas com a semirreta s, respectivamente, os
b mede 45o , então IC = 1 e AD = a.
pontos C e D. Como o ângulo DOA
Por C, traçamos a reta CE, paralela à reta DI, e obtemos os triângu-
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los semelhantes ECI e IDA. Logo,
Portanto, OE =
i
1
.
a
EI
IC
1 − OE
1
=
, ou seja,
= .
IA
AD
a−1
a
A raiz quadrada.
Se a é um números positivo construído, então construiremos o nú√
mero a. Se a = 1 nada temos a fazer. Vamos tomar então a ̸= 1.
Tomamos os pontos A, B e C na semirreta r tais que OA = a, OC =
a+1 e OB = (a+1)/2. Traçando uma perpendicular à reta r, por A, seja
D o ponto de intersecção desta perpendicular com a circunferência com
centro B e raio (a + 1)/2. Assim, BAD é um triângulo retângulo com
hipotenusa BD de medida (a + 1)/2 e cateto AB com medida (a − 1)/2.
√
Logo, o cateto AD mede a.
Observamos que nas diversas construções que realizamos poderíamos ter vários casos para: a < b, b < a, a < 1, entre outros. Nestes
vários casos, teríamos sempre construções semelhantes.
Considerando C+ o conjunto dos números (positivos) construtíveis,
temos que todos os números racionais positivos são construtíveis e que
√
se a ∈ C+ , então a ∈ C+ . Tomando C = C+ ∪{0}∪C− para C− = {−x :
x ∈ C}, temos que C é um subcorpo dos reais que contém os racionais.
Daqui para frente, chamaremos um número x de construtível se x =
0 ou |x| é construtível.
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Os pontos do plano podem ser localizados a partir das suas coordenadas cartesianas. Assim, um ponto de coordenadas reais (a, b) pode
ser construído se, e somente se, os números a e b são construtíveis.
Construir com régua e compasso significa que podemos fazer as seguintes construções:
(I) Traçar uma reta que une dois pontos;
(II) Traçar uma circunferência quando dados o centro e o raio.
Assim, para as construções (I) e (II) em R2 , consideramos:
(I) Retas com equações ax + by = c, para a, b, c números construtíveis;
(II) Circunferências com equações (x−a)2 +(y −b)2 = c2 , para a, b, c
números construtíveis.
Logo, a construção de novos pontos consiste em:
(a) Determinar a intersecção de duas retas construtíveis;
(b) Determinar a intersecção de duas circunferências construtíveis;
(c) Determinar a intersecção de uma reta com uma circunferência
construtíveis.
Assim, um número construtível pode ser obtido a partir dos racionais através de uma sequência finita de resolução de um dos sistemas
seguintes:
{
(a)
{
(b)
{
(c)
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2
a1 x
(x − a2
+
)2
b1 y
+ (y − b2
= c1
)2
= c22
(x − a1 )2 + (y − b1 )2 = c21
(x − a2 )2 + (y − b2 )2 = c22
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O sistema (a) em que os coeficientes estão em um corpo K possui
soluções em K.
As soluções dos sistemas (b) e (c), em que os coeficientes estão em
√
um corpo K, estão em K ou são da forma a, com a ∈ K.
Desta forma, ao construirmos um número por esse processo, em que
os coeficientes estão em um corpo K, obtemos esse número na exten√
√
são K( a) para algum a ∈ K. É claro que pode ocorrer a ∈ K, ou seja,
√
√
K( a) = K. Notemos que todos os elementos de K( a) são construtíveis.
Concluímos, desse modo, que se um número c é construtível, então
existe uma cadeia Q = K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ... ⊆ Kn = L tal que para cada
√
0 ≤ i < n, Ki+1 = Ki ( ci ). Logo, [Ki+1 : Ki ] = 1 ou [Ki+1 : Ki ] = 2 e,
portanto, [L : Q] = 2m , para algum inteiro m ≥ 0.
Como Q ⊆ Q(c) ⊆ L, então [Q(c) : Q] = 2p , para algum inteiro
p ≥ 0. Assim, podemos enunciar o resultado a seguir.
Teorema 5.40. Todo número construtível c é algébrico e o grau da extensão [Q(c) : Q] é uma potência de 2.
Corolário 5.41. Se o número real a satisfaz um polinômio irredutível de
grau k > 1 sobre o corpo Q e se k não é uma potência de 2, então a não é
construtível.
√
2 é construtível, pois é a hipotenusa do triân√
gulo retângulo cujos catetos têm medida 1 de unidade. Notemos que 2 é
Exemplo 5.11. O número
raiz do polinômio f (x) = x2 − 2.
√
Exemplo 5.12. O número 3 2 é raiz do polinômio irredutível f (x) = x3 −
√
2. Isso é suficiente para garantirmos que 3 2 não é raiz de um polinômio
√
irredutível de grau 2n . Assim, 3 2 não é construtível.
Exemplo 5.13. O número π não é construtível pois π é transcendente.
√
√ √
Logo, π não é construtível. Em caso contrário, π = π π seria construtível.
Exemplo 5.14. O número cos(20o ) não é construtível, pois 1/2 =
cos(60o ) = cos(3·20o ) = 4cos3 (20o ) − 3cos(20o ). Logo, 1 = 8cos3 (20o ) −
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3·2cos(20o ). Agora, fazendo u = 2cos(20o ), temos que u3 − 3u − 1 = 0, ou
seja, u é raiz do polinômio irredutível f (x) = x3 −3x−1, isto é, u não é raiz
de um polinômio irredutível de grau 2n . Logo, 2cos(20o ) não é construtível
e, portanto, cos(20o ) também não é construtível.
Estes resultados possibilitam respostas aos problemas clássicos:
(1) A quadratura do círculo: dado um círculo de raio r = 1, construir
o lado a do quadrado cuja área seja igual à do círculo. A área deste
√
círculo é A = π.r2 = π e, portanto, a2 = π, ou seja, a = π, um
número que não é construtível. Assim, não podemos construir a e,
como conseqüência, não podemos construir o quadrado exigido.
(2) A duplicação do cubo: para um cubo de aresta 1, seu volume
√
é igual a 1. A aresta do cubo de volume 2 deve medir 3 2 que é um
número não é construtível.
(3) A trissecção do ângulo: dado um ângulo de 60o , se fosse possível
a construção de um ângulo de 20o , seria possível ainda a construção
cos(20o ), o que já vimos não ser possível. Assim, não podemos fazer a
trissecção do ângulo de 60o por meio de régua e compasso apenas.
Como pudemos observar, problemas de enunciados simples nem
sempre têm solução simples. Para resolver os problemas clássicos foram necessários mais de dois milênios de investigações e o desenvolvimento de uma ferramenta bastante sofisticada para enunciados tão
simples.
5.6 Resolução de equações com radicais
Nesta seção, discutiremos sobre métodos de solução para equações polinomiais quaisquer. Sabemos, com Bhaskara, que toda equação
polinomial de segundo grau tem solução a partir dos coeficientes da
equação. Embora com um pouco mais de trabalho, o mesmo ocorre para
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equações polinomiais de grau 3 e de grau 4. Alguns textos de Ensino
Médio mostram-nos como encontrar as raízes destas equações. Em um
momento posterior a estas soluções, pareceu razoável supor que seria
possível mostrar que toda equação polinomial pode ser solúvel a partir
de seus coeficientes, utilizando raízes. Esta seção conclui com a verificação que para equações de grau maior ou igual a 5, não é possível
resolver toda e qualquer equação utilizando raízes. Para certos casos
particulares, certamente, temos como resolvê-las.
Para uma equação de grau 1, ax+b = 0, a solução é dada por x =
−b
a .
Para uma equação de grau 2, ax2 +bx+c = 0, suas raízes são obtidas
pela fórmula
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
,
2a
uma importante contribuição da matemática árabe.
Matemáticos italianos, do final do século XV e início do século XVI,
mostraram que uma equação de grau 3 poderia ser modificada e expressa numa das seguintes formas: (i) x3 + px = q, (ii) x3 = px + q
ou (iii) x3 + q = px, em que p e q são números inteiros positivos. Naquela época não se trabalhava com números negativos.
Também obtiveram um método para reduzir uma equação do quarto
grau para alguma destas equações de grau 3.
Assim, para se encontrar as raízes de uma equação de grau 3 ou 4,
basta encontrarmos as soluções da equação x3 + px = q, para p e q
3
p
p
números reais. Considerando x = z − 3z
, obtemos a equação z 3 − 27z
3 +
3
p
q = 0 que, multiplicada por z 3 , resulta na equação (z 3 )2 + q.z 3 − 27
= 0,
e esta é uma equação de grau 2 na variável z 3 , a qual pode então ser
resolvida por meio de radicais.
Apesar de Niels Henrik Abel [1802-1829] ter mostrado que nem
sempre seria possível encontrar as raízes de uma equação de grau 5,
por meio dos radicais, não ficaram estabelecidas as condições para se
encontrar tais raízes, quando possível. Apenas nos trabalhos deixados
por Galois e que foram anunciados por Joseph Liouville [1809-1882] em
1843, os polinômios solúveis por meio de radicais foram caracterizados
através de propriedades dos grupos de automorfismos de um corpo.
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O passo seguinte é entender o conceito de solubilidade para os polinômios.
5.7 Polinômios Solúveis
Iniciamos com a definição de polinômio solúvel e, posteriormente, mostramos como interrelacionar este conceito como de grupo
solúvel.
Definição 5.19. Uma extensão de corpos K ⊆ L é denominada extensão
radical, se existe uma sequência finita de corpos K = K0 ⊆ K1 ... ⊆ Kn =
L tal que para cada i ∈ {0, ..., n − 1}, Ki+1 = Ki (ai ) e (ai )ri ∈ Ki , para
algum ri inteiro positivo.
Definição 5.20. Um polinômio f (x) ∈ K[x] é solúvel por radicais sobre
K, se existe uma extensão radical L de K que contém todas as raízes de
f (x).
Assim, se o corpo de raízes de f (x) ∈ K[x] é uma extensão radical
de K, então f (x) é solúvel por radicais.
Proposição 5.42. Seja K ⊆ F uma extensão radical. Então existe uma
extensão de Galois K ⊆ L que é uma extensão radical.
Demonstração: Como F é uma extensão radical de K, existe uma sequência finita de corpos K = K0 ⊆ K1 ... ⊆ Kn = F tal que para cada
i ∈ {0, ..., n − 1}, Ki+1 = Ki (ai ) e (ai )ri ∈ Ki , para algum ri inteiro
positivo.
Seja L o corpo de decomposição do polinômio p(x) = p1 p2 ...pn , em que
cada pi (x) é o polinômio irredutível de ai sobre K. Vamos mostrar que L é
uma extensão radical de K. O processo é indutivo, bastando verificar para
o caso n = 2. Vamos denotar b = a1 , c = a2 , p(x) = p1 (x), q(x) = p2 (x).
Temos então K ⊆ K(b) ⊆ K(b, c) = L. Sejam b1 , b2 , . . . , br e
c1 , c2 , . . . , cs todas as raízes de p(x) e q(x), respectivamente, e vamos considerar b = b1 e c = c1 . Temos então as sequências
K ⊆ K(b1 ) ⊆ K(b1 , b2 ) ⊆ ... ⊆ K(b1 , b2 , . . . , br ) = M e
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M ⊆ M (c1 ) ⊆ M (c1 , c2 ) ⊆ ... ⊆ M (c1 , c2 , . . . , cs ) = L. (1)
Temos então que F ⊆ L, M = Gal(p(x), K) e L = Gal(p(x)q(x), K).
Pela Proposição 5.18 e pelo Corolário 5.20, para cada i = 2, . . . , r existe
um K-automorfismo h : L → L tal que h(b) = bi . Como br1 = d ∈ K,
então bri 1 = h(br1 ) = h(d) ∈ K ⊆ K(b1 , . . . , bi−1 ). (2)
Temos também cr12 = cr2 ∈ K(b) ⊆ M . (3)
Também, pela Proposição 5.18 e pelo Corolário 5.20, para cada i =
2, . . . , s existe um K-automorfismo de h : L → L tal que h(c) = ci .
Como cr2 ∈ K(b), então cr2 = f (b) para algum polinômio f (x) ∈
K[x]. Assim, cr2 = a0 + a1 b + · · · + an bn , com ai ∈ K para todo i. Pela
Proposição 5.34, h|M é um K-automorfismo de M , e como b ∈ M , então
h(b) ∈ M .
Assim, cri 2 = h(cr2 ) = h(a0 + a1 b + · · · + an bn ) = a0 + a1 h(b) + · · · +
an h(b)n ∈ M ⊆ M (c1 , . . . , ci−1 ), para todo i ≥ 2. (4)
De (1), (2), (3) e (4), temos que K ⊆ L = Gal(p(x)q(x), K) é uma
extensão de Galois radical.
Para um inteiro positivo n, a n−ésima raiz primitiva da unidade
2π
2π
é o número complexo un = cos( ) + i sen( ), de modo que
n
n
un , u2n , ..., un−1
são todas as distintas raízes da unidade, ou seja, são ton
das as raízes do polinômio f (x) = xn − 1.
2π
)+
Se r divide n, digamos n = r · m, então temos um
n = (cos(
n
2π
2πm
2πm
2π
2π
i sen( ))m = cos(
) + i sen(
) = cos( ) + i sen( ) = ur , ou
n
n
n
r
r
seja, ur = um
n e todas as outras r−ésimas raízes são também potências
de un .
Proposição 5.43. Seja K um corpo que contém uma raiz n-ésima primitiva da unidade. Para 0 ̸= a ∈ K, f (x) = xn − a ∈ K[x] e L o corpo de
decomposição de f (x) sobre K, temos:
(i) L = K(b), em que b é qualquer raiz de f (x);
(ii) G(L, K) é abeliano.
Demonstração: (i) Se b é uma raiz de f (x), então f (b) = bn − a = 0
e, portanto, f (buin ) = (b(un )i )n − a = bn ((un )i )n − a = bn ((un )n )i −
a = bn 1i − a = bn − a = 0. Assim, b, bun , b(un )2 , . . . , b(un )n−1 são as n
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raízes distintas de f (x), ou seja, K(b) é o corpo de decomposição de f (x).
Portanto, K(b) = L.
(ii) Sejam h, k ∈ G(L, K). Como pela Proposição 5.18 − (ii), h(b) e
k(b) são raízes de f (x) = xn − a, então h(b) = bui e k(b) = buj , com
0 ≤ i, j ≤ n − 1.
Assim:
(hok)(b) = h(k(b)) = h(buj ) = uj h(b) = uj · (bui ) = uj+i b e
(koh)(b) = k(h(b)) = k(bui ) = ui k(b) = ui · (buj ) = uj+i b.
Daí, (hok)(b) = koh)(b). Como L = K(b), então hok = koh em L.
Portanto, G(L, K) é abeliano.
Teorema 5.44. Sejam f (x) ∈ K[x]−K e L o corpo de raízes de f (x) sobre
K. Se f (x) é solúvel por radicais, então o grupo G(L, K) = Gal(f (x), K)
é solúvel.
Demonstração: Seja L = Gal(f (x), K) = G(L, K). Como f (x) é solúvel
por radicais, existe uma sequência de corpos K = K1 ⊆ K2 ... ⊆ Kn = L
tal que para cada i ∈ {1, ..., n − 1}, Ki+1 = Ki (ai ) e (ai )ri ∈ Ki , para
algum ri inteiro positivo.
Segundo a Proposição 5.42, podemos assumir que L é uma extensão
de Galois de K ⊆ L. Como L é uma extensão de Galois de K, então pelo
Corolário 5.27, L é uma extensão de Galois para cada Ki , 1 ≤ i ≤ n − 1.
Pela proposição anterior, cada Ki é uma extensão de Galois de Ki−1 e
como L é extensão de Galois sobre Ki−1 , então, pelo Teorema Fundamental
da Teoria de Galois, G(L, Ki ) G(L, Ki−1 ).
Consideremos agora a cadeia:
⟨e⟩ G(L, Kn−1 ) ... G(L, K2 ) G(L, K1 ) = G(L, K).
Como cada Ki é uma extensão de Galois de Ki−1 , mais uma vez pelo
Teorema Fundamental da Teoria de Galois, segue que:
G(L, Ki−1 )
.
G(Ki , Ki−1 ) ∼
=
G(L, Ki )
Pela proposição anterior, G(Ki , Ki−1 ) é abeliano e, desse modo, todo
G(L, Ki−1 )
grupo quociente
da cadeia acima é abeliano. Logo, por definiG(L, Ki )
ção, G(L, K) é solúvel.
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Já vimos que polinômios com grau entre 1 e 4 são sempre solúveis. O Teorema anterior diz que se f (x) é solúvel por radicais, então o grupo G(L, K) = Gal(f (x), K) é solúvel. Logo, se o grupo
G(L, K) = Gal(f (x), K) não é solúvel, então f (x) não é solúvel por radicais. Assim, para justificarmos que nem todo polinômio possui solução por radicais, precisamos encontrar polinômios tais que o seu grupo
G(L, K) = Gal(f (x), K) não seja solúvel. Como já vimos, Sn não é
solúvel para n ≥ 5. Basta então encontrar polinômios f (x) tais que
G(L, K) = Gal(f (x), K) ∼
= Sn , n ≥ 5.
Esta é uma argumentação geral. Mostraremos que o polinômio
f (x) = x5 − 6x + 3 ∈ Q[x] não é solúvel. A proposição a seguir mostra
que quando o grau de f (x) é um primo maior ou igual a 5, um contraexemplo sempre pode ser conseguido.
Proposição 5.45. Seja p um número primo e f (x) ∈ Q[x] um polinômio
irredutível mônico de grau p. Se f (x) tem exatamente duas raízes complexas não reais, então o grupo de Galois G(f (x), Q) coincide com Sp .
Demonstração: Como C é um corpo algebricamente fechado, então ele
contém o corpo de decomposição de f (x) sobre Q. Denotemos este corpo
por L. Pelas proposições 5.13 e 5.31, G(L, Q) é isomorfo a um subgrupo H
de Sp . Agora, se b ∈ C é uma raiz de f (x), então Q ⊂ Q(b) ⊆ L. Desse
modo, segue que p = [Q(b) : Q] divide [L : Q] = |G(L, Q)|. Pelo Teorema
de Cauchy, o grupo G(L, Q) tem um elemento de ordem p e pelo Lema 2.11,
os elementos de ordem p de Sp são os p-ciclos. Assim existe um p-ciclo em
H. Por outro lado, conjugação complexa ψ(z) = z é um automorfismo de
C que fixa R. Quando restrito a L este ainda é um automorfismo que fixa
R. Assim, ψ fixa as p − 2 raízes reais de f (x) e permuta as duas raízes
complexas não reais de f (x) e, daí, um 2-ciclo também pertence a H. Temos então que H possui um p-ciclo e um 2-ciclo. Logo, pelo Lema 2.10,
G(L, Q) ∼
= H = Sp .
Exemplo 5.15. Agora podemos mostrar que o polinômio f (x) = x5 −6x+
3 ∈ Q[x] não é solúvel por radicais.
Segundo o Critério de Eisenstein, considerando o primo 3, o polinômio
f (x) é irredutível em Q[x]. Como é um polinômio de grau 5, então pela
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Proposição 5.13, f (x) possui exatamente 5 raízes. Argumentaremos que
são exatamente 3 raízes reais e, portanto, 2 complexas não reais. As
3
derivadas primeira e segunda de f (x) são f ′ (x) = 5x4 −√
6 e f ′′ (x)
√= 20x .
Assim, a função f cresce nos intervalos reais (−∞, − 4 65 ) e ( 4 65 , ∞) e
√ √
√
decresce no intervalo (− 4 65 , 4 65 ), possui um máximo local em x = − 4 65
√
e um mínimo local em x = 4 65 . Além disso, como f (−2) = −17,
f (−1) = 8, f (0) = 3, f (1) = −2 e f (2) = 23, então a função tem uma raiz
real no intervalo (−2, −1), outra no intervalo (−1, 1) e outra no intervalo
(1, 2). Logo, f (x) tem exatamente 3 raízes reais. Restam então 2 raízes
complexas. Como f (x) atende o enunciado da proposição anterior, então
o seu grupo de Galois G(f (x), Q) coincide com S5 , que não é solúvel.
Portanto, pela Proposição 5.44, f (x) = x5 − 6x + 3 não é solúvel por
radicais.
Conclusão. Nem todo polinômio com coeficientes racionais e com
grau maior que 4 pode ter todas as suas raízes expressas através apenas
de radicais.
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São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
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Editora, 1982.
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Editora UNESP, 2005.
[4] FIGUEIREDO, D. G. Números Irracionais e Transcendentes. Rio
de Janeiro: SBM, 2002.
[5] FEITOSA, H. A.; NASCIMENTO, M. C.; ALFONSO, A. B. Teoria dos
conjuntos: sobre a fundamentação matemática e a construção de
conjuntos numéricos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna,
2011.
[6] GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Álgebra: um curso de introdução. Rio
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IMPA, Notas de Matemática, no 13, 1958.
[11] LANG S. Estruturas algébricas. Tradução de Cláudio Renato W.
Abramo. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1972.
[12] MARMO C. Curso de Desenho: Livro 3. São Paulo: Editora Mo-
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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS |
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[13] MILIES, C. P. Breve introdução à história da teoria dos anéis. XI
Escola de Álgebra, São Paulo, 1979.
[14] MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos / IMPA, 1969. (Coleção Elementos de Matemática).
[15] MONTEIRO, L. H. J. Iniciação às estruturas algébricas. São
Paulo: Livraria Nobel, 1974. (GEEM - São Paulo)
[16] NASCIMENTO, M. C.; FEITOSA, H. A. Elementos da Teoria dos
Números. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2009.
[17] VILLELA, M. L. T. Teoria de Galois. Niterói: Universidade Federal
Fluminense, 2009. p. 53-94. (Notas de Aulas).
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Índice Remissivo
Anel, 74
com unidade, 75
comutativo, 75
de polinômios, 113
nulo, 75
quociente, 94
Automorfismo, 144
Boa ordenação, 27
Característica de anel, 98
Ciclo, 56
Ciclos disjuntos, 56
Classe de equivalência, 20
Classes laterais, 53
Conexão de Galois, 152
Congruência módulo n, 30
Conjunto
complementar, 17
diferença, 17
intersecção, 17
quociente, 21
união, 17
unitário, 16
vazio, 16
Conjuntos disjuntos, 17
Corpo, 77
algebricamente fechado, 123
de decomposição, 144
de frações, 102
fixo, 145
intermediário, 150
Critério de Eisenstein, 128
Divisor de zero, 76
Domínio de integridade, 77
Elemento inversível, 76
Extensão
algébrica, 133
de corpo, 133
de Galois, 146
finita, 134
grau, 134
radical , 164
Função, 21
bijetiva, 22
injetiva, 22
sobrejetiva, 22
Grupo, 37
abeliano, 39
cíclico, 47
centro de um, 52
comutador de um, 69
de Galois, 148
de permutações, 43
de simetria, 46
ordem de um, 53
quociente, 60
solúvel, 68
Grupos
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— #166
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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS |
isomorfos, 65
produto cartesiano de, 42
Homomorfismo
de anéis, 89
de grupos, 63
Ideal, 86
maximal, 96
primo, 95
principal, 87
Imersão, 140
Indução , 27
Isomorfismo
de anéis, 91
de grupos, 65
Lema
de Gauss, 127
Máximo divisor comum, 28
de polinômios, 119
Monóide, 39
Multiplicidade de uma raiz, 116
grau de um, 113
irredutível, 121
irredutível de um elemento, 135
mônico, 119
primitivo, 126
raiz de um, 115
redutível, 121
sobre um anel, 111
solúvel por radicais, 164
Produto cartesiano, 19
Relação, 19
anti-simétrica, 20
conexa, 20
de equivalência, 20
de ordem, 20
de ordem total, 20
reflexiva, 19
simétrica, 19
transitiva, 19
Semigrupo, 39
Subanel, 83
Subconjunto, 16
próprio, 17
Núcleo
Subgrupo, 49
de um homomorfismo de anéis,
Índice de um, 54
90
gerado, 50
de um homomorfismo de grupos,
normal, 58
64
Número algébrico, 133
Teorema
Número primo, 29
de Cauchy, 60
Número transcendente, 133
de Cayley, 66
Operação, 22
propriedades de, 23
Ordem de um elemento, 53
de Lagrange, 54
do Homomorfismo, 65
do Isomorfismo, 94
Polinômio, 111
coeficientes de um, 111
i
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Cultura
Acadêmica
NASCIMENTO, M.C. do; FEITOSA, H. de A.
O objetivo deste livro é apresentar um texto introdutório sobre os conceitos da álgebra para
um curso de graduação. No capítulo introdutório, está uma breve apresentação de alguns
conceitos básicos sobre conjuntos e operações com conjuntos, seguida do tema das relações,
relações de ordem e relações de equivalência, que são necessários para o desenvolvimento
das estruturas algébricas abordadas nos capítulos seguintes: grupos, anéis e corpos. O volume trata também de polinômios e de extensões de corpos. Estes temas são essenciais para a
parte final, que discute os três problemas clássicos da antiguidade. Desenvolve discussões
sobre as construções geométricas apenas com régua e compasso e, na sequência, sobre
a resolução de equações por meio de radicais.
Mauri Cunha do Nascimento
Hércules de Araujo Feitosa
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Mauri Cunha do Nascimento graduou-se e obteve mestrado e doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas-Unicamp, desenvolvendo trabalhos em
Álgebra Comutativa. Iniciou sua carreira profissional na Universidade Estadual de Londrina, onde trabalhou entre os anos de 1979 e 1993. Atualmente é professor assistente doutor
do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Unesp, Câmpus de Bauru.
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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Hércules de Araujo Feitosa é graduado em Matemática pela Fundação Educacional de
Bauru (1984), obteve o mestrado em Fundamentos da Matemática pela Unesp/IGCE/Rio
Claro (1992) e o doutorado em Lógica e Filosofia da Ciência pela Universidade Estadual
de Campinas/Unicamp/IFCH (1998). Atualmente é professor doutor do Departamento de
Matemática da Faculdade de Ciências da Unesp, Câmpus de Bauru. É professor do Programa de Pós-Graduação em Filosofia da Unesp/FFC/Marília. Tem grande experiência
no ensino de Lógica e Fundamentos da Matemática. Suas investigações científicas estão
voltadas para lógica, traduções entre lógicas, modelos algébricos, quantificadores e lógicas
não clássicas.
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