UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Relatório de Pesquisa
Densidade no conjunto R dos Números Reais
Quéssia de Oliveira Gimenez
Bolsista pelo Programa de Iniciação Cientí…ca
Projeto "Integrando a Amazônia"/UNIR/SBM
Thiago Ginez Velanga Moreira
Orientador
Porto Velho, 12 de Dezembro de 2012
IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO
1. TÍTULO DO PROJETO
Iniciação aos Fundamentos da Análise Matemática
2. LOCAL DE EXECUÇÃO
Departamento de Matemática - NCET - UNIR - Campus de Porto Velho
3. ÁREA DE PESQUISA
Análise
4. COORDENADOR
Prof. Dr. Tomas Daniel Menendez Rodriguez
5. ORIENTADOR
Prof. Msc. Thiago Ginez Velanga Moreira
6. ORIENTANDA
Laís Ribeiro Lima
7. PERÍODO DE REALIZAÇÃO
Maio a Dezembro de 2012
Thiago Ginez Velanga Moreira
Orientador
Quéssia de Oliveira Gimenez
Aluna
ii
Sumário
1 Detalhamento do Relatório
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . .
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . .
1.3 Metodologia . . . . . . . . . . .
1.3.1 Conteúdo Desenvolvido
.
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1
1
2
2
2
2 Resultados Preliminares
2.1 Conjuntos e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 O Princíopio da Boa Ordenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
3 Corpos Ordenados
3.1 De…nições e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Corpo Ordenado Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
11
4 A densidade em R.
13
.
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iii
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Capítulo 1
Detalhamento do Relatório
1.1
Introdução
O projeto "Integrando a Amazônia"é uma proposta da Sociedade Brasileira de
Matemática para desenvolver e consolidar as atividades de pesquisa e pós-graduação
em Matemática (SBM) na região norte. Propõe-se uma estrutura de cooperação
acadêmica entre as universidades federais desta região e os programas de pós-graduação
de excelência na área (notas 6 e 7), coordenada pela SBM. Espera-se, com isto, que
seja elevado o nível dos conhecimentos de matemática dos alunos desta região, a …m de
incrementar a qualidade dos professores nas escolas do estado.e o número de mestres e
doutores na área.
A aluna Quéssia de Oliveira Gimenez, do curso de Licenciatura em Matemática
da Fundação Universidade Federal de Rondônia – UNIR, foi submetida a um exame
de ingresso o qual a selecionou para formar parte do programa de iniciação cientí…ca
criado pelo projeto “Integrando a Amazônia”. Ao longo de suas atividades gerais, a
aluna foi iniciada na realização de pesquisas que fazem uso dos elementos e técnicas
de demonstrações da Análise Matemática visando, com isso, progressivo e futuro
aprofundamento nessa área de conhecimento e suas aplicações.
Este trabalho descreve e resume as atividades exercidas pela bolsista neste programa
de iniciação cientí…ca no período de maio a dezembro de 2012. Serão exibidos aqui uma
exposição introdutória do plano de trabalho executado, seus objetivos, a metodologia
e, …nalmente, o conteúdo pesquisado e desenvolvido.
1
1.2
Objetivos
O objetivo geral deste trabalho é norteado por duas importantes perspectivas, a
saber: incrementar os conhecimentos da bolsista em conteúdos da Análise Matemática
visando introduzí-la em pesquisas petinentes a este ramo da matemática pura e,
…nalmente, reforçar sua preparação em conteúdos relevantes para o ingresso em cursos
de mestrado em matemática.
O objetivo especí…co é compreender e demonstrar que o conjunto Q dos números
racionais e seu complementar (R Q) dos números irracionais são ambos densos em R.
1.3
Metodologia
A orientanda participou de um curso de extensão, com duração de 100 horas/aula,
denominado Introdução à Análise Matemática. Neste curso, foi desenvolvido, com
detalhes, todo o conteúdo referente à teoria geral dos conjuntos e das funções,
culminando num estudo relativamente aprofundado sobre o corpo ordenado dos números
reais. Concomitantemente e, com freqüência de uma vez a cada mês, foram realizados
encontros especí…cos, em forma de seminário, nos quais foram resolvidos exercícios e
problemas em geral relacionados ao curso.
Paralelamente, sob orientação especí…ca de seu orientador, a bolsista realizou
um estudo dirigido sobre o Corpo Ordenado dos Números Reais, o qual forneceu
embasamento teórico su…ciente para atingir o objetivo especí…co deste trabalho.
1.3.1
Conteúdo Desenvolvido
De acordo com o cronograma elaborado no plano de trabalho deste projeto de
iniciação cientí…ca, a aluna trabalhou os seguintes tópicos abaixo listados:
1. Conjuntos e Funções
(a) Conjuntos
(b) Operações entre conjuntos
(c) Funções
(d) Composição de funções
2
2. Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis
(a) Números naturais
(b) Princípio da boa ordenação
(c) Conjuntos …nitos e in…nitos
(d) Conjuntos enumeráveis
(e) Conjuntos não-enumeráveis
3. Numeros Reais
(a) Corpos
(b) Corpos ordenados
(c) Números reais
3
Capítulo 2
Resultados Preliminares
Neste capítulo, provaremos alguns fatos básicos a respeito de conjuntos e funções que
se farão necessários para a compreensão de nosso resultado principal. Alguns resultados
encontram-se apenas enunciados, sem demonstração. Assim o …zemos pois optamos
pelo critério da objetividade do trabalho, no qual tais resultados têm aplicação mais
relevante do que sua própria demonstração.
2.1
Conjuntos e funções
Passaremos agora a adotar os conceitos de função injetora, sobrejetora e composição
de funções com o objetivo de enunciar e provar os resultados desta seção. Começaremos
com a seguinte
Proposição 2.1.1 Sejam f : A ! B e g : B ! C funções bijetoras. Então, a composta
g f : A ! C é também uma bijeção.
Demonstração: Sejam dados x; y 2 A quaisquer. Temos que
(g f )(x) = (g f )(y)
) g(f (x)) = g(f (y)),
como g é injetora, esta última igualdade implica
f (x) = f (y):
Utilizando agora o fato de f ser injetora, concluímos que
x = y.
Fica mostrado, com isto, que a composta g f é injetora.
Para mostrar que g f é sobrejetora, seja dado z 2 C arbitrário. Vamos mostrar
que existe x 2 A tal que z = (g f ) (x). De fato, g é sobrejetora, então, existe y 2 C
tal que
z = g(y).
(2.1)
4
Utilizando agora o fato de f ser sobrejetora, obtemos x 2 A tal que
y = f (x) .
(2.2)
Segue de (2:1) e (4:1) que
z = (g f ) (x) ,
mostrando que g f é sobrejetora. Concluimos daí que a composta g f é bijeção.
Observação 2.1.2 O resultado que acabamos de mostrar é de aplicação rotineira e
muitas vezes é utilizado sem ao menos ser citado. É importante notar que, a …m de
que a composta g f seja injetora, basta que a imagem f (A) esteja contida no domínio
da g:
Daqui em diante, faremos constante uso do conceito de função inversível Antes
disso, de…niremos inversa à esquerda e à direita de uma dada função f .
De…nição 2.1.3 Dadas as funções f : A ! B e g : B ! A, diremos que g é uma
inversa à esquerda para f quando
g f = idA : A ! A
De…nição 2.1.4 Dadas as funções f : A ! B e g : B ! A, diremos que g é uma
inversa à direita para f quando
f
g = idB : B ! B
Os dois seguintes teoremas caracterizam funções injetivas e sobrejetivas.
Teorema 2.1.5 Uma função f : A ! B possui inversa à esquerda se, e somente se, é
injetiva.
Teorema 2.1.6 Uma função f : A ! B possui inversa à direita se, e somente se, é
sobrejetiva.
Finalmente, daremos agora o conceito de função inversa.
De…nição 2.1.7 Uma função g : B ! A chame-se inversa da função f : A ! B
quando
g f = idA e f g = idB ,
isto é, quando g é inversa à esquerda e à direita para f:
É fácil mostrar que a composição de funções é uma operação associativa, isto é
consequência imediata da própria de…nição desta operação. Utilizaremos este fato para
mostrar que se uma função f : A ! B possui uma inversa, ela é única.
5
Proposição 2.1.8 Seja f : A ! B uma função inversível. Então, a função inversa de
f é única.
Demonstração: Suponhamos que g : B ! A e h : B ! A sejam duas inversas de f:
Então, utilizando a De…nição 2.1.7, obtemos que
h = h idB = h (f
g) = (h f ) g = idA g = g,
e, portanto, a inversa é única.
Observação 2.1.9 Esta última demonstração contém um fato extra, o qual podemos
enunciá-lo da seguinte forma: "Se f possui uma inversa á esquerda, h, e uma inversa
à direita, g, então
h=g
e f tem uma inversa.
Observação 2.1.10 Escreveremos f
f :A!B
1
: B ! A para indicar a inversa da bijeção
Uma função inversível passa a ser agora caracterizada pelo seguinte fato:
Proposição 2.1.11 Uma função f : A ! B possui inversa se, e somente se, f é uma
bijeção.
Demonstração: Se f possui uma inversa, seja g sua inversa. Então, pela De…nição
2.1.7, g é uma inversa à esquerda e à direita para f . Segue dos Teoremas 2.1.5 e 2.1.6
que f é bijeção.
Reciprocamente, se f é bijeção, então os teoremas 2.1.5 e 2.1.6 garantem a existência
de uma inversa à esquerda, h, e de uma inversa à direita, g, para f: Pela Observação
2.1.9,
h = g = f 1.
Portanto, f possui inversa.
2.2
O Princíopio da Boa Ordenação
Seja X um conjunto de números naturais. Dizemos que um número p 2 X é o
menor elemento de X (ou elemento mínimo de X) quando se tem
p
n para todo n 2 X:
Muitas vezes, escreveremos
p = min X
para signi…car que p 2 X é o menor elemento de X:
6
Vamos mostrar que o menor elemento de um conjunto, quando existe, é unico.
De fato, dado X
N, suponhamos que p 2 X e q 2 X sejam ambos os menores
elementos de X. Como p = min X e q 2 X, segue que
p
q.
q
p,
Analogamente, obtemos que
donde vem que
q
p
q;
e, portanto, p = q. Assim, o menor elemento de um conjunto X N é unico.
Um resultado de grande importância é o fato de que todo conjunto não-vazio de
números naturais possui um menor elemento. Este fato é conhecido como o Princípio
da Boa Ordenação.
Teorema 2.2.1 (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio A
N possui um elemento
Observação 2.2.2 A demonstração deste teorema faz uso dos chamados Axiomas
de Peano, os quais são de extrema importância para a construção do conjunto N
dos números naturais. Por brevidade e objetividade, optamos por evitar as regressões
necessárias e enunciá-lo sem sua demonstração. O leitor poderá encontrá-la em [1, p.
39]
7
Capítulo 3
Corpos Ordenados
3.1
De…nições e propriedades
Aqui e, no restante do relatório, usaremos a noção de corpo sem fornecer sua
de…nição. Recomendamos uma veri…cação em [1]: Começaremos com a de…nição de
corpo ordenado; a qual será usada com frequência em todo conteúdo seguinte.
De…nição 3.1.1 Um corpo ordenado é um corpo K, no qual pode ser encontrado
um subconjunto P
K, chamado o conjunto dos elementos positivos de K, tal que as
seguintes condições são satisfeitas:
(i) A soma e o produto de elementos positivos são positivos. Ou seja,
x + y 2 P; 8x; y 2 P
;
x y 2 P 8x; y 2 P
(ii) Dado x 2 K, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre:
ou x = 0; ou x 2 P ou
x 2 P:
De…nição 3.1.2 Num corpo ordenado K, escreveremos x < y, e diremos que x é
menor do que y, para sigini…car que y x 2 P . Isto equivale a dizer que existe z 2 P
tal que
y = x + z.
A relação de ordem x < y num corpo ordenado K goza das propriedades seguintes:
O1. (Transitividade) Se x < y e y < z, então, x < z:
O2. (Tricotomia) Para quaisquer x; y 2 K dados, ocorre exatamente uma das
alternativas seguintes:
ou x = y; ou x < y ou x > y.
8
O3. (Monotonicidade da adição) Se x < y, então,
x + z < y + z;
para todo z 2 K.
O4. (Monotonicidade da multiplicação) Esta, se apresenta de duas maneiras:
Se x < y então,
x z < y z;
para todo z > 0.
Se x < y, então,
x z>y z
sempre que z < 0.
Vamos demonstrar tais propriedades. Todas elas são consequências da De…nção
3.1.2: Veja como, a seguir.
[Prova de O1.] Suponha que x < y e y < z. Então, por de…nição, temos que
y
x2P
z
y 2 P:
e
Aplicando (P 1) e, novamente a De…nição 3.1.2, obtemos que
(z
=)
=)
y) + (y x) 2 P
z x2P
x < z.
[Prova de O2.] Dados x,y 2 K, temos, por (P 2), três possibilidades que se excluem
mutuamente. São elas:
x) 2 P ;
(y
(y
x) = 0;
(y
x) 2 P:
No primeiro caso temos, por de…nição, que
x < y.
No segundo caso, tem-se
x = y:
9
O terceiro caso diz que
y) 2 P;
(x
dode vem que
x > y,
e concluímos (O2).
[Prova de O3.] Se x < y; então, (y
x) 2 P: Daí,
(y + z) (x + z) = y
=) x + z < y + z
x 2 P:
[Prova de O4.] Suponha que x < y: Seja dado z > 0 arbitrário. Então
x2P
y
e
z2P
O item (i) da De…nição 3.1.2 nos garante que
y z
x) z 2 P .
x z = (y
Novamente, pela mesma de…nição,
x z<y z
donde vem a primeira parte da prova de (O4). A segunda parte se prova assim:
Suponha que x < y e, seja dado z < 0 arbitrário. Isto quer dizer que
x) 2 P
(y
e
z 2 P.
Logo,
x z
y z = (y
x) ( z) 2 P ,
donde vem que
x z > y z,
como queríamos demonostrar.
Num corpo ordenado K, existe a importante noção de intervalo, cuja de…nição é a
que segue.
10
De…nição 3.1.3 Dados a; b 2 K, com a < b, usaremos as notações abaixo:
[a; b] = fx 2 K; a x bg
[a; b) = fx 2 K; a x < bg
(a; b] = fx 2 K; a < x bg
(a; b) = fx 2 K; a < x < bg
( 1; b] = fx 2 K; x bg
( 1; b) = fx 2 K; x < bg
[a; +1) = fx 2 K; a xg
(a; +1) = fx 2 K; a < xg
( 1; +1) = K
3.2
Corpo Ordenado Completo
Antes de falar sobre a completeza de um corpo, apresentaremos algumas de…nições
necessárias.
De…nição 3.2.0.1 Um subconjunto X de um corpo ordenado K chama-se limitado
superiormente quando existe b 2 K tal que b x para todo x 2 X.
De…nição 3.2.1 Um subconjunto X de um corpo ordenado K diz-se limitado
inferiormente quando existe a 2 K tal que a x para todo x 2 X.
Um subconjunto X de um corpo ordenado K chama-se limitado quando é limitado
superior e inferiormente, isto é, quando existem a; b 2 K tais que X [a; b].
Teorema 3.2.2 Num corpo ordenado K, as seguintes a…rmações são equivalentes:
(i) N
K é ilimitado superiormente;
(ii) Dados a; b 2 K, com a > 0, existe n 2 N tal que n:a < b;
(iii) Dado qualquer a > 0 em K, existe n 2 N tal que 0 <
1
n
< a.
Demonstração: (i) ) (ii) :Como N é ilimitado, dados a > 0 e b em K, existe n 2 N
tal que ab < n e, portanto, b < a:n. Para provar que (ii) ) (iii), dado a > 0, existe, em
virtude de (ii), um n 2 N tal que n:a > 1. Então 0 < n1 < a. Finalmente, mostraremos
que (iii) ) (i). Dado qualquer b > 0 existe, por (iii) um n 2 N tal que n1 < 1b , ou seja
n > b.
De…nição 3.2.3 Um corpo K chama-se arquimediano quando nele é válida qualquer
das três condições equivalentes citadas no Teorema 3.2.2.
De…nição 3.2.4 Sejam K um corpo ordenado e X
K um subconjunto limitado
superiormente. Um elemento b 2 K chama-se supremo do subconjunto X quando
b é menor das cotas superiores de X em K. Assim, para que b 2 K seja supremo de
um conjunto X
K, é necessário e su…ciente que sejam satisfeitas as duas condições
abaixo:
11
S1. Para todo x 2 X, tem-se x
S2. Se c 2 K é tal que x
b;
c para todo x 2 X, então b
c.
De…nição 3.2.5 Um elemento a 2 K chama-se ín…mo de um conjunto Y
K,
limitado inferiormente, quando a é maior das cotas inferiores de K. Para que a 2 K
seja ín…mo de Y
K é necessário e su…ciente que as condições abaixo sejam satisfeitas:
I1. Para todo y 2 Y tem-se a
I2. Se c 2 K é tal que c
y.
y para todo y 2 Y , então c
a.
De…nição 3.2.6 Um corpo K chama-se completo quando todo subconjunto não-vazio,
limitado superiormente, X K, possui supremo em K.
Resulta da de…nição que, num corpo ordenado completo, todo conjunto não-vazio,
limitado inferiormente, Y
K, possui um ín…mo. Com efeito, dado Y , seja X = Y ,
isto é, X = f y; y 2 Y g. Então X é não-vazio e limitado superiormente; logo existe
a = sup X. Como se vê facilmente, tem-se a = inf Y .
Proposição 3.2.7 Todo corpo completo é arquimediano
Demonstração: Seja dado um corpo não-arquimediano K. Vamos mostrar que K
não é completo. De fato, o conjunto N K é limitado superiormente. Se b 2 K é uma
cota superior de N, então
n + 1 b; 8n 2 N:
Segue-se que
n
b
1; 8n 2 N:
Isto mostra que, se b 2 K for uma cota superior de N, então, b 1 também o será.
Como b 1 < b, a condição (S2) da De…nição 3.2.4 não ocorre. Segue-se que num corpo
não-arquimediano K, o conjunto N dos númros naturais é limitado superiormente mas
não existe sup N em K.
Axioma 3.2.8 Existe um corpo ordenado completo, R, chamado o corpo dos números
reais.
12
Capítulo 4
A densidade em R.
Apresentaremos agora o conceito de densidade no conjunto R dos números reais e,
a seguir, enunciaremos e demonstraremos o resultado objeto de nosso estudo.
De…nição 4.0.9 Um conjunto X
R chama-se denso em R quando todo intervalo
aberto (a; b) contém algum ponto de X.
Teorema 4.0.10 O Conjunto Q dos números racionais e o conjunto (R
números irracionais são ambos densos em R.
Q) dos
Demonstração: Dado um intervalo aberto (a; b) qualquer em R.
Vamos mostrar que existe um q 2 (a; b), com q 2 Q.
Como o intervalo (a; b) = fx 2 R; a < x < bg. Então,
a<b)b
a > 0:
Como R é arquimediano, pelo item (iii) do teorema 3, existe um número p 2 N tal
que
1
(4.1)
0 < < b a:
p
Seja
m
A = m 2 Z;
b ;
p
temos que p1 ; b 2 R; com p1 > 0. Pelo item (ii) do teorema 7, existe um m 2 N tal
que m p1 > b. Logo, A é não vazio. Além disso, dado m 2 A, temos que mp > b: Logo
m > b:p e, portanto, A é limitado inferiomente por b:p: Como R é completo, o conjunto
A possui um menor elemento. Seja m0 2 A o menor elemento de A. Então,
m0
b
:
p
Mas, como m0
1 < m0 , então m0
12
= A. Assim, temos
m0
1
p
13
< b:
(4.2)
m0 1
p
Vamos mostrar que o número racional q =
a<
m0
1
2 (a; b). Isto é
< b:
p
De fato, se não fosse assim, teríamos
m0
m0 1
ou
p
p
a
b:
Por 4.2, a segunda parte não ocorre. Logo,
m0
1
a<b
p
m0
:
p
Assim,
m0
1
p
)
m0
p
a
m0
:
p
m0
eb
:
p
aeb
1
Somando membro a membro, obtemos
b
a
(
m0
1
p
)+
m0
1
= ;
p
p
o que contradiz 4.1. Logo, o número racional m0p 1 pertence ao intervalo (a; b).
Para obter um número irracional no intervalo aberto (a; b) qualquer, vamos mostrar
que existe um i 2 (a; b), com i 2 R Q.
Como o intervalo (a; b) = fx 2 R; a < x < bg, então,
a<b)b
a>0
Como R é arquimediano, pelo item (iii) do teorema7, existe um número p 2 N tal que
ou seja,
p
2
<b a
p
Seja
(
)
p
2
A = m 2 Z;
b ;
p
temos que
p
p
m 2
>
p p
2
,
p
b 2 R, com
p
2
p
> 0. Pelo item (ii) do teroema 7, existe um m 2 N tal
p
que
b. Logo, A é não vazio. Além disso, dada m 2 A, temos que mp 2 > b.
Logo m 2 > b:p e, portanto, A é limitado inferiormente por b:p. Como R é completo,
o conjunto A possui menor elemento. Seja m0 2 A o menor elemento de A. Então,
p
m0 2
b
p
14
Mas, com (m0
p
p
1) 2 < m0 2, então (m0
p
1) 2 2
= A. Assim, temos
p
1 2
m0
p
p
m0 1 2
p
Vamos mostrar que o número irracional i =
a<
<b
p
1 2
m0
p
2 (a; b). Isto é,
<b
De fato, se não fosse assim, teríamos
p
p
m0 2
m0 1 2
a
ou
p
p
Como a segunda parte não ocorre. Logo,
p
m0 1 2
a<b
p
Assim,
p
1 2
m0
p
m0
a
b
p
m0 2
p
p
m0 2
aeb
p
p
p
1 2
m0 2
eb
p
p
Somando membro a membro obtemos:
b
a
p
1 2
m0
p
p
m 0p 2
2
+
=
p
p
p
O que contradiz p2 < b a. Logo, o número irracional m0
(a; b):Nesta seção, indicaremos pelo símbolo In o conjunto
In = fp 2 N; 1
p
ng .
Nesta seção, indicaremos pelo símbolo In o conjunto
In = fp 2 N; 1
15
p
ng .
p
1 2
p
pertence ao intervalo
Referências Bibliográ…cas
[1] E. Lages, Curso de Análise, Vol. 1. 11. ed., Coleção Projeto Euclides, 2006.
16