Movimento
Circular
Uniforme
v1
2
Movimento Circular Uniforme
v8
v7
v2
v6
v3
v5
v1 = v2 = v3 = ... = v8
v4
mas 
v1 v2  v3  ...  v8
Período (T) : tempo para que ocorra uma volta completa.
Período e Frequência
unidades: segundo (SI), minutos, horas, etc
3
Frequência (f) : número de voltas na unidade de tempo.
unidades: voltas por segundo Hertz (HZ)  (SI)
rotações por minuto (rpm)
Exemplo1
Um ponto na periferia de um disco numa vitrola dá
495 voltas em 15 minutos. Determine, em minutos e
rpm, o período e a frequência deste movimento.
495 voltas ----- 15 minutos
1 volta ----- T minutos
15 1
T=
=
minutos
495 33
495 voltas ----- 15 minutos
f
----- 1 minuto
495
f=
= 33 rpm
15
Exemplo2
Período e Frequência
Calcule o período e a frequência, em segundos
e hertz, do movimento da garrafinha localizada
no ponteiro dos segundos do relógio ao lado.
4
1 volta ----- 60 segundos
1 volta ----- T segundos
T = 60 segundos
1 volta ----- 60 segundos
f
----- 1 segundo
1
f=
Hz
60
Observação
1
T
f
Exemplo3
Período e Frequência
Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista
sobre monociclo.
5
O raio da roda do monociclo utilizado é igual a
20cm, e o movimento do equilibrista é retilíneo.
O equilibrista percorre, no início de sua
apresentação, uma distância de 24 metros.
Determine o número de pedaladas, por segundo, necessárias
para que ele percorra essa distância em 30s, considerando o
movimento uniforme.
L  comprimento da roda
L  2 R  2 .0, 2  0, 4 metros
24  30s
0, 4  T
1
1
0, 4 .30

f


f

 2 pedaladas / segundo
T
 0,5s
T
0,5
24
t +t
v
d
v
Velocidade tangencial,
linear ou escalar
R
6
R
t
logo,
Observações:
d
V
t
numa volta completa,
tem-se:
d  2 R e
t  T
2 R
V
T
1) unidades: m/s (SI)
2)
2 R
1
V
, mas T  , logo V  2 R f
T
f
Velocidade tangencial,
linear ou escalar
Exemplo
7
(Fuvest) Um farol marítimo projeta um facho de luz contínuo,
enquanto gira em torno do seu eixo à razão de 10 rotações por
minuto. Um navio, com o costado perpendicular ao facho, está
parado a 6km do farol. Com que velocidade um raio luminoso
varre o costado do navio?
a) 60 m/s
b) 60 km/s
c) 6,3 km/s
X
d) 630 m/s
e) 1,0 km/s
10rotações 10rotações 1
f 

 Hz
min uto
60segundos 6
1
V  2 Rf  2  3,14  6   6, 28km / s
6
V  6,3km / s
s
  (em radianos)
R
O que é o radiano
numa volta completa (360º), em
qualquer circunferência, tem-se:
  6, 28 rad  2 rad
 (graus)
 (radianos)
360º
2
180º

90º
60º
45º
30º
8




2
3
4
6
v
t +t


t
Velocidade angular
v
R

R
t
  2 e
t  T
logo,
Observações:
2

T
1) unidades: rad/s (SI)
2
1
2)  
, mas T  , logo
T
f
9
numa volta completa,
tem-se:
  2 f
Velocidade angular
Exemplo 1
10
(Uel) Um ciclista percorre uma pista circular de raio igual a 20m,
fazendo um quarto de volta a cada 5,0s. Para esse movimento,
a freqüência em Hz, e a velocidade angular em rad/s são,
respectivamente
a) 0,05 e /5
b) 0,05 e /10
X
c) 0,25 e /5
d) 4,0 e /5
e) 4,0 e /10
1
volta ---- 5s
4
f
---- 1s
1
f 
 0, 05 Hz
20
2

 2 f
T
  2 .0, 05


10
significa que a cada
segundo o ciclista varre
um ângulo de 18º.
rad/s
Velocidade angular
Exemplo 2
11
(Uel) Um antigo relógio de bolso tem a
forma mostrada na figura a seguir, com o
ponteiro dos segundos separado dos outros
dois.
A velocidade angular do ponteiro dos segundos,
cujo comprimento é 0,50cm, em rad/s, e a
velocidade linear de um ponto na extremidade
de tal ponteiro, em cm/s, são respectivamente,
iguais a
a) 2  e 
b) 2  e 4 
c)  /30 e  /15
d)  /30 e  /60
X
e)  /60 e 2 
Tsegundos  60s
2 2 


 rad / s
T
60 30
2 R 2 .0,50 
V

 cm / s
T
60
60
Relação entre V e 
2 R
V
T
12
V R
2

T
Exemplo
( PUC-RIO) Um ciclista pedala em uma trajetória circular de
raio R = 5 m, com a velocidade de translação v = 150 m/min.
A velocidade angular do ciclista em rad/min é:
a) 60
b) 50
c) 40
d) 30
e) 20
V
V  .R   
R
150

 30 rad / min
5
No MCU, tem-se:
aR  aC  at
A aceleração no M.C.U.
13
v1
v8
v7
ac
ac
ac
ac
v6
ac
ac
ac
v5
v2
ac
at = 0
ac  0
v3
v4
at = 0, porque em
um movimento
uniforme o
(módulo) valor
da velocidade
não varia.
t +t
2
v
v
14
A aceleração centrípeta
V
aC 
R
ac
ac
ac
então,
t
mas
V  R
( R)
ac 
R
aC   2 R
2
Exemplo 1
Aceleração centrípeta
15
Um móvel realiza um movimento circular e uniforme, com
velocidade de 5 m/s.
Sendo a aceleração centrípeta igual a 10 m/s2, determine
o raio de sua trajetória.
V2
52
25
aC 
 10   R 
 R  2,5m
R
R
10
Exemplo 2
(FEI) Uma automóvel realiza uma curva de raio 20m com
velocidade constante de 72km/h. Qual é a sua aceleração
durante a curva?
a) 0 m/s2
b) 5 m/s2
c) 10 m/s2
d) 20 m/s2
X
e) 3,6 m/s2
V  72km / h  20m / s
V2
202
aC 
 aC 
 aC  20m / s 2
R
20
1º Caso : caso da bicicleta ou engrenagem de relógio
Acoplamento de polias, roldanas,
engrenagens, discos, etc.
1
16
2
2
1
V1 = V2
Conseqüentemente:
1 > 2
f1 > f2
T1 < T2
ac1 > ac2
Acoplamento de polias, roldanas,
engrenagens, discos, etc.
17
(vídeo 1)
Acoplamento de polias, roldanas,
engrenagens, discos, etc.
18
(vídeo 2)
Acoplamento de polias, roldanas,
engrenagens, discos, etc.
2º Caso : polias coaxiais
19
1
2
1
2
1 = 2
Conseqüentemente:
V1 < V2
f1 = f2
T1 = T2
ac1 < ac2
Velocidade angular
Exemplo 1
As polias indicadas na figura
se movimentam em rotação
uniforme, ligadas por um eixo fixo.
Sabendo que a velocidade angular
da polia A é 8 rad/s e que o Raio
de A é 80 cm e o Raio de B é 40
cm, calcule:
a) A velocidade escalar de um ponto da periferia da polia B;
VB
VB
 A  B  como V=.R   A 
 8 

RB
0, 40
VB  8 .0, 40  VB  3,2 m / s  VB  10,1 m / s
b) A aceleração centrípeta de um ponto da periferia da polia A.
aC   .R  aC   8  .0,8  aC  64. 2 .0,8 
2
20
aC  51, 2. 2 m / s 2
2
Velocidade angular
Exemplo 2
21
Duas polias de raios a e b estão acopladas entre si por meio de
uma correia, como mostra a figura adiante. A polia maior, de raio
a, gira em torno de seu eixo levando um tempo T para completar
uma volta. Supondo que não haja deslizamento entre as polias e
a correia, calcule:
a) O módulo V da velocidade do ponto P da correia.
2 a
VP  VA  VB  VP 
T
b) O tempo t que a polia menor leva para dar uma volta completa.
2 a 2 b
b
VA  VB 

t  T
T
t
a
Velocidade angular
Exemplo 3
22
(PUCRS) Um motor aciona o eixo 1, imprimindo a este uma
velocidade angular constante de módulo w . As polias B e C estão
ligadas através de uma correia e as polias A e B estão ligadas por
um eixo.
Com relação aos
sistema, podemos
afirmar que as
velocidades periféricas
tangenciais de módulo v
e angulares de módulo
w de cada polia são
a) vB > vC
b) vB = vC
X
c) vB = vC
d) vB < vC
e) vB < vC
ewB=wA
ewB=wA
e wB>wA
e wB>wA
e wB=wA
Velocidade angular
Exemplo 4
23
Para dar o efeito da saia rodada,
o figurinista da escola de samba
coloca sob as saias das baianas
uma armação formada por três
tubos plásticos, paralelos e em
forma de bambolês, com raios
aproximadamente iguais a r•
1 =
0,50 m, r2 = 0,75 m e r3 = 1,20 m.
Pode-se afirmar que, quando a baiana roda, a relação entre as
velocidades angulares () respectivas aos bambolês 1, 2 e 3 é
a) 1 •> 2 > 3.
b) 1 < 2 < 3.
c) 1 = 2 = 3.
X
d) 1 •= 2 > 3.
e) 1 •> 2 = 3.
Velocidade angular
Exemplo 5
24
(UFPE) A polia A' de raio r‘A=12cm é concêntrica à polia A, de
raio rA=30cm , e está rigidamente presa a ela. A polia A é
acoplada a uma terceira polia B de raio rB=20cm pela correia C,
conforme indicado na figura. Qual deve ser o raio da polia B',
concêntrica a B e rigidamente presa a ela, de modo que A' e B'
possam ser conectadas por uma outra correia C', sem que ocorra
deslizamento das correias?
VB VB '
B  B ' 

RB RB '
VB VB '
1

 VB ' 
RBVB
20 RB '
20
VA VA '
 A   A' 

RA RA '
VA VA '
2

 VA '  VA
30 12
5
2
1
VA '  VB '  VA 
RBVB
5
20
40
VA  VB  RB 
 8cm
5