Instituto Politécnico de Viseu
Escola Superior de Tecnologia
Métodos Matemáticos II
Departamento: Matemática
Curso: Tecnologias e Design de Multimédia Ano: 1o Semestre: 2o Ano Lectivo: 2006/2007
Ficha Prática no 1.6 - Aplicações Lineares
1. Para cada uma das seguintes aplicações, diga se é ou não linear.
(a) T :
(c) G :
(e) T :
(g) F :
(i) H :
IR2 −→ IR2
(x, y) → (x + 1, y)
IR3 −→ IR2
(x, y, z) → (2x, y + z)
IR2 −→ IR
(x, y) → x + y
2
M2×2 (IR) −→ IR
x y
→ (x + y, z)
z t
M2×2 (IR) −→ M2×2 (IR)
A → AT
(b) F :
(d) H :
(f)
T :
(h) G :
(j)
J:
IR3 −→ IR3
(x, y, z) → (x, 3x − y + z, 0)
IR2 −→ IR3
(x, y) → (x − y, 1, x)
IR2 −→ IR
(x, y) → xy
3
IR −→ M2×2 (IR) x y−z
(x, y, z) →
y
1
P2 [x] −→ M2×2
(IR) a b
ax2 + bx + c →
c 0
2. Diga, justificando, quais das seguintes aplicações são lineares:
(a) T : V → V tal que T (x) = cx, sendo V um espaço vectorial e c um escalar.
(b) T : V → V tal que T (x) = x + u, sendo V um espaço vectorial e u um vector de V .
(c) TA : IRn → IRm tal que TA (x) = Ax, sendo A uma matriz m × n.
(d) D : C 1 (a, b) → C 0 (a, b) que a cada f faz corresponder a respectiva função derivada.
(e) F : C 0 (a, b) → C 0 (a, b) definida por (F (f ))(x) = (f (x))2 .
3. Considere a aplicação linear f : IR3 → IR3 definida por f (e1 ) = (2, 0, 1), f (e2 ) = (1, 1, −1)
e f (e3 ) = (0, −2, 3).
(a) Calcule f (1, −2, 0), f (1, 0, −1) e f (2(0, 1, 0) − 3(1, 1, 1)).
(b) Escreva f (e1 ), f (e2 ) e f (e3 ) como combinação linear de e1 , e2 e e3 .
(c) Escreva a matriz da aplicação f relativamente à base (e1 , e2 , e3 ).
(x, y,z) ∈ IR3 : x + z = 0 e a aplicação
linear
1 1
1 0
g : S → M2×2 (IR) definida por g(1, 0, −1) =
e g(0, 1, 0) =
.
1 1
0 1
4. Considere o espaço vectorial S =
(a) Calcule g (2, 3, −2) .
(b) Determine a matriz da aplicação g em relacção à base {(1, 0, −1), (0, 1, 0)} de S e à
base canónica de M2×2 (IR) .
(c) Usando a matriz da alı́nea anterior calcule g (2, −1, −2) .
5. Sejam (e1 , e2 , e3 , e4 ) e (e01 , e02 , e03 ) as bases canónicas de IR4 e IR3 , respectivamente, e seja
(v1 , v2 , v3 ) a base de IR3 onde v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, −2, 0). Considere a
aplicação linear T : IR4 → IR3 definida por T (x, y, z, w) = (x, y + w, x − y + z).
(a) Escreva T (e1 ), T (e2 ), T (e3 ) e T (e4 ) como combinação linear de e01 , e02 e e03 .
(b) Escreva a matriz da aplicação T relativamente às bases (e1 , e2 , e3 , e4 ) e (e01 , e02 , e03 ).
(c) Escreva a matriz da aplicação T relativamente às bases (e1 , e2 , e3 , e4 ) e (v1 , v2 , v3 ).
6. Considere a base de IR2 constituı́da pelos vectores u1 = (1, 2) e u2 = (−1, 1), a base de
IR3 constituı́da pelos vectores v1 = (−2, 1, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, −1) e a aplicação
linear A : IR2 → IR3 definida por A(u1 ) = (1, 1, 0) e A(u2 ) = (0, 1, 0). Escreva a matriz
da aplicação linear A relativamente às bases (u1 , u2 ) e (v1 , v2 , v3 ).


1 0 1 0
7. Considere uma aplicação linear definida como em 2(c),(aplicação TA ), com A =  −1 2 1 0 .
1 0 1 1
(a) Qual a matriz da aplicação linear relativamente às bases canónicas de IR3 e IR4 ?
(b) Qual a matriz da aplicação linear relativamente à base ( (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 2) )
de IR4 e à base ( (1, 0, −1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0) ) de IR3 ?
(c) Determine N(TA ) e Im(TA ).
(d) A aplicação é bijectiva?
8. Seja T : IR3 −→ IR2 a transformação linear definida por
T (1, 0, 0) = (1, 3), T (0, 1, 0) = (3, 1)eT (0, 0, 1) = (1, −1).
Determine os vectores x de IR3 tais que T (x) = (1, 2).
9. Seja T : IR3 −→ IR2 definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 1), T (1, 0, 0) = (1, −1).
Determine T (1, −1, 1) e T (−1, 1, −1).
10. (a) Para cada uma das transformações lineares encontradas no exercı́cio 1, ache a matriz
relativamente às bases canónicas.
(b) Mesmo exercı́cio para a transformação T : IR3 −→ IR3 definida por
T (x, y, z) = (2x − y − z, 2y − x − z, 2z − x − y).
11. Para cada uma das transformações lineares T : IR2 −→ IR2 definidas geometricamente,
calcule uma matriz A tal que T (v) = Av para todo o v (escrito como matriz coluna) do
domı́nio:
(a) T roda cada vector de
π
4
em torno da origem no sentido directo.
(b) T reflecte cada vector v em relação ao eixo dos xx e depois roda-o de π2 .
(c) T duplica a distância de v à origem e depois roda-o de π6 .
12. Determine a matriz que representa a transformação linear T : IR3 −→ IR2 definida
por T (x, y, z) = (x + y, x − z) relativamente às bases {(1, 0, −1), (1, 2, 1), (−1, 1, 1)} e
{(1, −1), (2, −1)}.
 
 
x
x
1 −1 0  
y .
13. Considere a aplicação linear F : IR3 −→ IR2 tal que F  y  =
0 0 1
z
z
(a) Determine a matriz da aplicação linear F relativamente às bases {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)}
e {(1, −1), (2, 0)} de IR3 e IR2 , respectivamente.
(b) Determine o subconjunto N(F ).
(c) Prove que N(F ), determinado na alı́nea anterior, é um subespaço vectorial de IR3 e
determine uma base para esse espaço.
14. Considere a aplicação f : IR2 → IR3 definida por f (x, y) = (x + y, x − y, y − x), a base
B = {(1, 2), (0, 1)} de IR2 e as bases C1 = {(1, 2, 3), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e
C2 = {(2, 1, 0), (2, 0, 0), (3, 3, 3)} de IR3 .
(a) Mostre que f é linear.
(b) Determine a matriz M (f ; B, C1 );
(c) Use a alı́nea anterior para determinar as coordenadas de f ((1, 2) + (0, 1)) na base
C1 .
(d) Determine a matriz de mudança da base C1 para a base C2 .
(e) Escreva o vector (4,5,3) como combinação linear dos vectores de C2 .
(f) Use as alı́neas (d) e (e) para determinar as coordenadas de (4,5,3) na base C1 .
15. Seja B = {(−1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} uma base de IR3 e seja f : IR2 → IR3 a aplicação
linear definida por f (x, y) = (x − y, y, y + x).
(a) Mostre que f preserva a multiplicação escalar.
(b) Determine N(f ) e uma base para esse subespaço.
(c) Determine a matriz de f em relação à base {(1, 1), (1, −1)} de IR2 e à base B de IR3 .
(d) Determine a matriz de mudança da base B para a base B 0 = {(1, 2, 0), (1, 0, 1), (0, 5, 8)} .
(e) Calcule as coordenadas do vector u = (2, 1, 3) na base B, usando a matriz da alı́nea
anterior.