VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
CÁLCULO NUMÉRICO
Conteudista
José Carlos Morais de Araújo
Rio de Janeiro / 2009
TODOS
OS DIREITOS RESERVADOS À
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou
por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo
Branco - UCB.
Un3c Universidade Castelo Branco
Cálculo Numérico / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB,
2009. - 52 p.: il.
ISBN 978-85-7880-051-2
1. Ensino a Distância. 2. Título.
CDD – 371.39
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Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando
oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma
estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Autoestudo
O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Autoestudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja
disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite
interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático .................................................................................................
09
Contextualização da disciplina ....................................................................................................................
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UNIDADE I
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
1.1 - Introdução ...........................................................................................................................................
1.2 - Representação de números ..................................................................................................................
13
13
UNIDADE II
ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS
2.1 - Introdução ............................................................................................................................................
2.2 - Fase I: isolamento das raízes ...............................................................................................................
2.3 - Fase II: refinamento ............................................................................................................................
20
21
23
UNIDADE III
INTERPOLAÇÃO
3.1 - Teorema fundamental da interpolação polinomial ..............................................................................
3.2 - Método de Lagrange ...........................................................................................................................
3.3 - A tabela de diferenças divididas: método de Newton .........................................................................
31
32
34
UNIDADE IV
INTEGRAÇÃO
4.1 - Regra do trapézio .................................................................................................................................
4.2 - Regra de Simpson ...............................................................................................................................
38
40
Glossário ...................................................................................................................................................... 45
Gabarito........................................................................................................................................................
46
Referências bibliográficas ............................................................................................................................
52
Quadro-síntese do conteúdo
programático
UNIDADES DO PROGRAMA
I. NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
1.1 – Introdução
1.2 – Representação de números
II. ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS
2.1 – Introdução
2.2 – Fase I: isolamento das raízes
2.3 – Fase II: refinamento
OBJETIVOS
• Desenvolver uma atitude crítica sobre os resultados
numéricos de um problema matemático. Estudar os
vários tipos de erros, suas causas e o modo como se
propagam ao longo das suas operações de cálculo.
• Saber quando aplicar, como utilizar e como implementar diversos métodos numéricos apropriados para
achar as raízes de equações algébricas e transcendentes.
III. INTERPOLAÇÃO
3.1 – Teorema fundamental da interpolação polinomial
3.2 – Método de Lagrange
3.3 – A tabela de diferenças divididas: método de
Newton
• Estudar os métodos que permitem construir um
novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais conhecidos. O aluno deverá
fazer a reconstituição (aproximada) de uma função
apenas conhecendo algumas das suas abcissas e respectivas ordenadas (imagens).
IV. INTEGRAÇÃO
4.1 – Regra do trapézio
4.2 – Regra de Simpson
• Compreender os métodos do trapézio e Simpson
como ferramentas que visam à aproximação de uma
integral definida. Saber calcular uma integral definida usando os métodos do trapézio e Simpson.
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Contextualização da Disciplina
Para esta disciplina você vai precisar de uma boa máquina de calcular. O cálculo numérico vai colocar você
diante de contas bastante trabalhosas para fazer sem máquina de calcular. Enquanto estiver estudando em casa
você pode utilizar a máquina disponível no computador, mas, para a qualquer avaliação presencial, traga sua
máquina de mão.
Nos dois primeiros capítulos estudaremos como conduzir os cálculos com números decimais, com a limitação
das máquinas de calcular e com os erros advindos de operações. Desenvolveremos processos para determinação de raízes de equações para as quais não dispomos de “fórmulas”, como dispomos da fórmula de Báskara
para resolver uma equação de 2º grau.
Nos dois últimos capítulos estudaremos a interpolação e a integração numérica. O primeiro assunto versa
sobre a determinação da equação de uma curva que passe por pontos que são conhecidos. Esse estudo será
importante no desenvolvimento do segundo, que trata sobre o cálculo da área sob uma curva, assunto do cálculo integral que é dado sob o conceito de integral definida. Quando não conhecemos a expressão analítica da
primitiva da função que se quer integrar, usamos métodos que são explicados pelo cálculo numérico.
Esperamos que essa disciplina contribua para a sua formação trazendo a possibilidade de um novo olhar sobre
assuntos que você estuda em outras disciplinas do curso.
Bom estudo para você!
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UNIDADE I
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
1.1– Introdução
1.1
A maioria dos problemas na matemática surge da necessidade de resolver problemas da vida real, isto porque
tais problemas podem ser descritos através do uso de modelos matemáticos. Assim:
PROBLEMA ⇒ MODELO MATEMÁTICO ⇒ SOLUÇÃO
Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter, ainda que todas as
fases de resolução tenham sido realizadas corretamente.
Os resultados obtidos dependem também:
• da precisão dos dados de entrada;
• da forma como estes dados são representados no computador;
• das operações numéricas efetuadas.
1.2 – Representação de Números
Exemplo 1.
Calcule a área de uma circunferência de raio 100m. Para π igual a:
a) 3,14 área = 31400m2
b) 3,1416 área = 31416m2
c) 3,141592654 área = 31415,92654m2
- Como justificar as diferenças entre os resultados?
- É possível obter “exatamente” esta área?
Exemplo 2.
Efetuar os somatórios seguintes em uma calculadora e em um computador.
, para xi = 0,5 e para xi = 0,11.
Resultados obtidos:
i) para xi = 0,5:
na calculadora: S = 15000
no computador: S = 15000
i) para xi = 0,11:
na calculadora: S = 3300
no computador: S = 3299,99691 (operando em base 2)
Como justificar a diferença entre os resultados obtidos pela calculadora e pelo computador para xi = 0,11?
Os erros ocorridos nos dois problemas dependem da representação dos números na máquina utilizada. A representação de um número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo
de dígitos usados na sua representação.
13
14
O número π, por exemplo, não pode ser representado através de um número finito de dígitos decimais. No
exemplo 1, foi escrito como 3,14; 3,1416 e 3,141592654, respectivamente nos casos (a), (b) e (c). Em cada um
deles foi obtido um resultado diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproximação escolhida
para π. Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será obtida exatamente, uma vez que π é um número irracional.
Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário
1) Represente os números que estão na base 2 na base 10:
a) (11101)2 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29
b) (10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23
c) (10001)2 = 1x24 + 0x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17
d) (0,1101)2 = 1x2-1 + 1x2-2 + 0x2-3+ 1x2-4 = 1/2 + 1/4 + 0 + 1/16 = 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 0,8125
e) (10,001)2 = 1x21 + 0x20 + 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 2 + 0 + 0 + 0 + 1/8 = 2 + 0,125 = 2,125
2) Represente os números que estão na base 10 na base 2.
a) 20
b) 33
c) 0,8125
0,8125 x 2 = 1,625
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
(0,8125)10 = (0,1101)2
d) 5,125
Calculando a parte inteira, temos:
Calculando a parte decimal, temos:
0,125 x 2 = 0,250
0,250 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
(0,125)10 = (0,001)2
Escrevendo as duas partes juntas, temos:
(5,125)10 = (101,001)2
e) 0,11 = (0,000111000010100011110101110000101000111101...)2
0,11
0,22
0,44
0,88
0,76
0,52
0,04
0,08
0,16
0,32
0,64
0,28
0,56
0,12
0,24
0,48
0,96
0,92
0,84
0,68
0,36
0,72
0,44
0,88
0,76
0,52
0,04
0,08
0,16
x 2 = 0,22
x 2 = 0,44
x 2 = 0,88
x 2 = 1,76
x 2 = 1,52
x 2 = 1,04
x 2 = 0,08
x 2 = 0,16
x 2 = 0,32
x 2 = 0,64
x 2 = 1,28
x 2 = 0,56
x 2 = 1,12
x 2 = 0,24
x 2 = 0,48
x 2 = 0,96
x 2 = 1,92
x 2 = 1,84
x 2 = 1,68
x 2 = 1,36
x 2 = 0,72
x 2 = 1,44
x 2 = 0,88
x 2 = 1,76
x 2 = 1,52
x 2 = 1,04
x 2 = 0,08
Começa a repetir
x 2 = 0,16
x 2 = 0,32 período - 01110000101000111101
Podemos ver que o número (0,11)10 não tem representação binária finita. Um computador que operar no sistema binário irá armazenar uma aproximação para (0,11)10, uma vez que possui uma quantidade fixa de posições
para guardar os dígitos da mantissa de um número, e esta aproximação será usada para realizar os cálculos. Não
se pode, portanto, esperar um resultado exato.
Podemos agora entender melhor por que o resultado da operação:
não é obtido exatamente num computador quando opera em base 2.
Aritmética de Ponto Flutuante
Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado aritmética de ponto flutuante. Neste sistema, o número x será representado na forma:
O modo usual de representar um sistema F de ponto flutuante é:
, onde:
• β é a base em que a máquina opera;
• t é o número de dígitos da mantissa;
; j = 1, 2,..., t;
15
16
• e é o expoente no intervalo [m, M];
•
são números inteiros.
Exemplo:
Sistema de ponto flutuante da:
a) HP25: F(10, 9, -98,100)
b) Texas SR50: F(10,10,-98,100)
c) Texas SR52: F(10,12,-98,100)
d) HP41C: F(10,10,-98,100)
Considere, por exemplo, uma máquina que opera no sistema: F(10, 3, -5, 5).
Os números serão representados da seguinte forma neste sistema:
EXEMPLOS:
Considerando a máquina com sistema acima:
1) Qual o menor número representado nesta máquina?
menor número = 0,100 x 10-5
2) Qual o maior número representado nesta máquina?
maior número = 0,999 x 105
3) Caso tenha um número x = 0,245 x 10-7, como posso representá-lo nesta máquina?
Neste caso teremos x < menor número do sistema, logo este número x não poderá se representado no sistema
F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de underflow.
4) Caso tenha um número x = 0,875 x 109, como posso representá-lo nesta máquina?
Neste caso teremos x > maior número do sistema, logo este número x não poderá se representado no sistema
F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de overflow.
Arredondamento
Essa “aproximação” de um número real para um número de ponto flutuante pode ser feita de diversas maneiras.
Tipos de arredondamentos
Os mais conhecidos são:
• arredondamento para cima ou por excesso;
• arredondamento para baixo ou por falta;
• arredondamento para o número de máquina mais próximo ou simétrico.
Exemplo 1: Seja a representação numa máquina com 4 dígitos na mantissa.
x = 0,333 333
y = 0,348 436
z = 0,666 666
Temos então:
17
Exemplo 2: Se w = 0,12345, então:
Durante nossos trabalhos utilizaremos o arredondamento simétrico (ou para o número de máquina mais próximo).
Assim, em linhas gerais, para arredondar um número para o número de máquina mais próximo, na base 10,
devemos apenas observar o primeiro dígito a ser descartado. Se este dígito é menor que 5, deixamos os dígitos
inalterados; e se é maior ou igual a 5, devemos somar 1 ao último dígito que restou.
Truncamento
Simplesmente é desprezada uma parte escolhida da mantissa e o cálculo é feito com o número que ficou.
Exemplo: π = 3,14159265... truncamento de π com 4 casas decimais: π = 3,1415.
Tipos de Erros
• Erros inerentes – ocorrem geralmente na fase de criação ou simplificação de um modelo matemático, ou
ainda em medidas em geral.
• Erros de discretização, ou de aproximação, ou de truncamento – são os erros cometidos quando se substitui
qualquer processo infinito por um processo finito ou discreto.
• Erros de arredondamento – surgem quando trabalhamos com máquinas digitais para representar os números
reais.
A diferença entre o valor aproximado e o valor exato de um número pode ser medida pelo erro absoluto
ou pelo erro relativo.
Sejam:
EA – erro absoluto
ER – erro relativo
VE ou x - valor exato
VA ou x - valor aproximado
Erro Absoluto:
e Erro Relativo:
EXEMPLOS:
1) Digamos que x = 0,003 e que
= 0,002, então:
, analisando a resposta podemos considerar um erro pequeno.
, analisando o erro relativo podemos ver que este erro é grande em
relação aos valores utilizados para cálculo.
2) Digamos que x = 10100 e x = 10000. Então:
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, neste caso teremos um erro relativamente pequeno.
Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante
Exemplo 1) Dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102, obtenha x + y.
A adição aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos dois números. Para
isto, a mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para direita. Este deslocamento deve ser um
número de casas decimais igual à diferença entre os dois expoentes.
Alinhando os pontos decimais dos valores acima, temos:
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104
Então:
x + y = (0,937 +0,001272) x 104 = 0,938272 x 104
Este é o resultado exato desta operação. Suponhamos que esta operação seja efetuada num sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos na mantissa e na base 10.
Teríamos:
i) no arredondamento: x + y = 0,9383 x 104
ii) no truncamento: x + y = 0,9382 x 104
Exemplo 2) No mesmo sistema anterior, obtenha xy.
xy = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102) = (0,937 x 0,1272) x 106 = 0,1191864 x 106
Então, xy = 0,1192 x 106 no arredondamento e xy = 0,1191 x 106 no truncamento.
Exercícios
1. Converta os seguintes números decimais x = 48, y = 1001 e z = 3,125 para sua forma binária.
2. Converta os seguintes números binários para sua forma decimal.
a = (101010)2
b = (111000)2
c = (0,001)2
d = (10,0101)2
3. Qual o antecessor e o sucessor dos seguintes números binários?
a = (100)2
b = (101001000)2
c = (11111)2
d = (100001)2
4. Considere o sistema F(10; 4; 4; 4).
a) Qual o intervalo para s nesse caso?
b) Represente nesse sistema os seguintes números: x1 = – 234,123; x2 = 0,0064395; x3 = 9,998; x4 = 765432,1
e x5 = – 0,00000034
5. Considerando o mesmo sistema do exercício 04, represente os números: x1 = 0,785, x2 = 5,5 e x3 = 0,025,
dados na base 10.
6. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal. Dados os números
x = 0,7237 x104, y = 0,2145 x 10-3 e z = 0,2585 x 101, efetue as seguintes operações, supondo que x, y e z estão
exatamente representados utilizando o arredondamento simétrico.
a) x + y + z
b) x – y – z
c) (xy)/z
d)x(y/z)
7. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: base decimal, o número
de dígitos da mantissa é 4, o menor expoente é –5 e o maior, 5.
a) Qual o menor e o maior número em módulo (valor absoluto) representados nesta máquina?
b) Como serão representados os números 73758 e 0,000034343, se for usado o arredondamento simétrico? E
se for usado o truncamento?
8. Faça as operações abaixo, supondo que as mesmas sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos
significativos e considerando que x1 = 0,3491 . 104 e x2 = 0,2345 . 10-1, estabeleça o resultado em cada um dos
cálculos a seguir e indique qual é o resultado correto.
a) (x2 + x1) – x1
b) x2 + (x1 – x1)
9. Escreva os números que se seguem em linguagem científica, no padrão internacional.
a) 51.321
b) 128.217,33
c) 0 0.00123
d) 0.07
e) 5.945
10. Arredonde simetricamente, com precisão de 2 algarismos decimais exatos, dando sua resposta em linguagem científica, no padrão internacional.
a) 11,5749
b) 2.220,0732
c) 0,0845
d) 0,0245 + 1,888
e) 0,654 x 0,018
11. Dois resultados, x = 3,248 e y = 4,151, foram arredondados simetricamente de modo a ostentarem apenas
três dígitos significativos. Calcule, com precisão de 6 dígitos decimais, o valor de:
a) e
b) Eax e Eay
c) Erx e Ery
d) Epx e Epy
19
20
UNIDADE II
ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS
2.1 - Introdução
Um problema particularmente importante na Matemática é o de se encontrar um valor para a variável livre x,
dado um valor de y, tal que f(x) = y.
Classificação das Funções Reais
Seja f(x) = y. Aos valores reais que tornam y = 0 denominaremos de zero da função f(x) ou raízes da equação
f(x) = 0. Isto é, um número real ξ (ksi) é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se, e somente
se, f(ξ) = 0.
Estudaremos nesta unidade métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares e, embora os valores
de x que anulem f(x) possam ser reais ou complexos, estaremos interessados somente nos zeros reais de f(x).
Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo
.
O procedimento básico dos métodos numéricos para resolver equações polinomiais consiste essencialmente
em obter uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo
iterativo (ou seja repetitivo). Por isso, os métodos constam de duas fases:
FASE I: LOCALIZAÇÃO ou ISOLAMENTO das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a
raiz.
FASE II: REFINAMENTO, que consiste, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado na fase I,
em melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão prefixada.
2.2 – Fase I: Isolamento das Raízes
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II
depende fortemente da precisão desta análise.
A técnica de localização a ser usada baseia-se, em primeiro lugar, no seguinte fato a respeito de funções polinomiais:
Se uma função polinomial real f(x) é contínua num intervalo [a, b] e assume um valor positivo quando x = a,
e um valor negativo quando x = b, o produto de f(a).f(b) será um valor negativo (f(a).f(b) < 0) e isso nos leva
a concluir que a curva intercepta o eixo das abscissas neste intervalo. Então existirá pelo menos um número ξ
entre a e b tal que f(ξ) = 0.
Sob essas hipóteses, se sua derivada f’(x) existir e preservar sinal em (a, b), então este intervalo contém um
único zero de f(x).
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x
e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada no intervalo em que f(x) mudou de sinal.
Exemplo 1.
f(x) = x3 – 9x + 3
Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:
Podemos concluir que:
Como f(x) é um polinômio de grau 3, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim,
localizamos todas as raízes de f(x) = 0.
Exemplo 2.
21
22
Analisando a tabela, vemos que f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2].
Analisando o sinal de f’(x):
Assim podemos concluir que f(x) admite um único zero em todo seu domínio de definição e este zero está no
intervalo [1, 2].
A análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x) = 0 é fundamental para se obter boas aproximações para
a raiz.
Apresentaremos um processo para se localizar a raiz de uma equação, chamado de APROXIMAÇÃO GRÁFICA.
Aproximação Gráfica: a partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo plano cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam. Neste caso teremos f(ξ) = 0 ⇔ g(ξ) = h(ξ).
Exemplo 1. Seja
Da equação
, podemos obter a equação equivalente
. Neste caso, temos
. Após isso, esboçamos os gráficos das duas funções no mesmo eixo cartesiano.
e
Assim, podemos localizar as três raízes da equação nos intervalos abaixo: ξ1 ∈ [-4, -3] ξ2 ∈ [0, 1] e ξ3 ∈ [2,
3]
Exemplo 2. Seja
A partir de f(x) podemos obter
e
.
Analisando a tabela podemos observar que g(x) cresce, mas até x = 1 ainda é menor que h(x), que decresce.
Para x = 2, g(x) > h(x), pois g(2) =
e h(2) = 0,6767. Podemos concluir com isso que as curvas se interceptam no intervalo [1, 2].
2.3 – Fase II: Refinamento
Estudaremos métodos numéricos de refinamento de raiz. Para isso usaremos métodos iterativos.
Critério de Parada
Admitindo que nossa busca é por uma raiz aproximada com precisão ε (epsilon), adotaremos critério de parada para nossos cálculos:
i)
ii)
< ε ou
<ε
Como efetuarmos o teste (i) se não conhecemos ξ?
Uma forma de verificarmos isso é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao se conseguir um
intervalo [a, b] tal que:
e
.
23
24
Métodos Iterativos
1 – MÉTODO DA BISSECÇÃO
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0. É certo que existe pelo menos uma raiz ξ ∈
[a,b] que satisfaz a equação f(x) = 0.
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se seu ponto médio x1, de modo que se tem: [a,b] = [a,x1] U
[x1,b].
Se f(x1) = 0, então ξ = x1. Caso contrário, a raiz estará num dos subintervalos onde a função tem sinais opostos
nos extremos.
Isto é, ξ ∈ [a,x1], se f(a).f(x1) < 0 ou ξ ∈ [x1,b], se f(x1).f(b) < 0.
O novo intervalo que contém ξ é dividido ao meio e obtém-se x2. O processo iterativo se repete até que se
tenha obtido um valor aproximado para ξ, que nos satisfaça (critério de parada).
EXEMPLOS:
1) Calcule a raiz real da equação x2 + ln x=0, com tolerância máxima de ε < 10-2 .
Solução
Adotaremos para
o Intervalo (I) = [0,5;1,0],
e
.
25
Obs.: Na segunda iteração o sinal de f(x1) muda de sinal em relação a f(x2), isto nos mostra que f(x1).f(x2)<0,
logo a raiz está contida no intervalo [0,625;0,75] e não no intervalo [0,5; 0,625]. Com esse tipo de análise,
decidimos a partir de qual intervalo continuaremos a fazer nossos cálculos.
(
2) Calcule a raiz real da equação xlog(x) –1 que tem zero em [2,3], para um erro menor do que 0,001
).
Não há a necessidade de localizarmos a raiz da equação xlog(x) –1= 0 pelo método da aproximação gráfica,
pois a própria atividade nos dá o intervalo onde se localiza a raiz. Com isso, vamos direto para o método da
bissecção para refinar o valor da raiz para o erro estipulado.
Para
Portanto
temos (I) = [2;3],
, com
e
.
Apresentamos abaixo a aproximação gráfica, caso precisássemos localizar a raiz.
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Gráfico de
Exercícios
1. Localize as raízes reais das equações pelo processo da aproximação gráfica.
a) x2 + ln x = 0
b) x3 – 8x + 15 = 0
c) x log x –1 = 0
2. Encontre os intervalos de confinamentos, com amplitude igual a 0,5 para as funções:
a) para os zeros da função f(x) = ex + x2 – 2
b) para as raízes da equação x3 – 9x + 3 = 0
3. Explique porque nós podemos afirmar, analisando somente o intervalo [-3, 1], que existe raiz real da equação x2 –3 = 0, neste intervalo. Podemos afirmar também que existe apenas uma raiz neste intervalo? Justifique
sua resposta.
4. Dada a função f(x) = 3x log x – 2 , analise esta função, sua derivada e o gráfico abaixo. Fundamentado
neste estudo, responda:
a) Pode existir mais de uma raiz real para a equação 3xlog (x) – 2? Justifique.
b) Podemos afirmar que no intervalo [2,3] existe somente uma raiz real, vemos isso bem analisando o gráfico.
Qual teoria discutida em sala nos sustenta esta afirmação quando não temos um gráfico pra analisar?
5. Obtenha a estimativa de raiz da equação x + ex − 2 = 0 a partir de 5 iterações do Método da Bissecção.
6. Determine a partir de quatro iterações do Método da Bissecção a raiz da equação cos x − xex = 0 , situada
no intervalo [0,1].
2 – MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (M.I.L.)
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, f(x) = 0, é possível transformar
tal equação em uma equação equivalente x = F(x) e, a partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xi} de aproximações para ξ (zero de f(x)) pela relação xi+1 = F(xi), uma vez que F(x) é tal que F(ξ) = ξ se,
e somente se, f(ξ) = 0.
Iniciamos o Método de Iteração Linear reescrevendo a função f(x) como, f(x) = F(x) – x. Essa forma de escrever f(x) é bastante útil, pois no ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, onde f(x) = 0 teremos que: f(x) =
F(x) – x = 0, o que equivale a determinar x tal que F(x) = x.
Portanto procuraremos o valor de x que ao ser substituído em F(x) retorna o próprio valor de x. Dizemos que
este valor é o ponto fixo de F(x).
Para encontrarmos esse valor de ξ, vamos utilizar um processo iterativo, onde começamos a calcular o valor
de F(x) com um valor inicial de x0, e recalculamos repetidamente o valor de F(x) sempre usando o resultado
de uma dada iteração.
Ou seja: xi+1 = F(xi), onde i é a ordem da iteração (i = 0, 1, 2, 3, 4, ...). A função F(x) é chamada de função de
iteração. A seguir ilustramos o processo.
Obs.: Dada uma equação do tipo f(x) = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração F(x), no entanto, nem todas convergem para ξ. Omitiremos aqui o estudo dessa convergência, mas aconselhamos que você
pesquise sobre o assunto.
Exemplo:
Seja f(x) = x2 – x – 2.
Então: f(x) = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x2 – 2 = x
Fazendo F(x) = x2 – 2, temos uma função tal que F(x) = x.
Então, podemos admitir F(x) = x2 – 2 como uma função de iteração.
Portanto: xi+1 = F(xi) = xi2 – 2
X0= 0 ⇒ x1 = 02 – 2 = -2
x1 = -2 ⇒ x2 = (-2)2 – 2 = 2
x2 = 2 ⇒ x3 = (2)2 – 2 = 2. ⇒ Encontramos x = 2 tal que F(2) = 2
Naturalmente, para essa função não é necessário lançar mão de qualquer método do calculo numérico. Bastaria resolver a equação x2 – x – 2 = 0 usando Báskara.
27
28
Convergência
Observe o comportamento das iterações representadas a seguir quando usamos o método de Iteração Linear.
Repita o que fizemos no exemplo inicial e você vai perceber que nem todas permitem construir uma sequência
que convirja para a raiz. Não discutiremos aqui sobre convergência, no entanto, listamos a seguir, o teorema
que trata do assunto:
Sendo ξ uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em ξ e f(x) uma função de iteração para
f(x) = 0. Se
i. g(x) e g’(x) são contínuas em I
ii. |g’(x)| ≤ M < 1, x ∈ I e
iii. x1 ∈ I
Então a sequência {xk}gerada pelo processo iterativo xi+1 = F(xi) convergirá para ξ.
3 – MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (M.N.R.)
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente a uma curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas.
Admitamos um xi próximo de ξ e tracemos uma reta tangente à curva pelo ponto (xi, f(xi)). Consideremos xi+1
o ponto onde essa tangente corta o eixo Ox e seja α o ângulo de inclinação dessa tangente.
Então teremos
Mas tg α é a derivada de f no ponto xi. Ou seja, tg α = f´(xi).
Então
Portanto,
Fazendo
converge para ξ rapidamente.
, temos xi+1 = F(xi), como a função de iteração que gera uma sequência {xi} que
29
Repete-se o processo até
que o valor x atenda às
condições de parada.
Obs.: O método de Newton Raphson apresenta, em relação ao Método de Iteração Linear, a vantagem de gerar
um sequência com maior possibilidade de convergência e mais rapidamente.
Exemplo:
Suponha que desejamos encontrar uma aproximação da raiz quadrada de 3. Isto é, queremos x =
Mas: x =
.
⇒ x2 = 3 ⇒ x2 – 3 = 0
Admitindo f(x) = x2 – 3, queremos calcular x tal que f(x) = 0.
Mas f´(x) = 2x.
Então a função de iteração por Newton Raphson é
Ou seja,
Encontraremos x tão próximo de ξ quanto f(x) estiver próximo de zero. Observe que na tabela encontramos
x=
= 1,732142 com uma aproximação ε = 0,00032 < 10-4.
Exercícios
1. Investigue se convergem as funções de iteração F(x), para o método de Iteração Linear.
30
2. Localize graficamente e dê intervalos de amplitude 0.5 que contenha as raízes das equações:
a) ln(x) + 2x = 0
b) ex – sen(x) = 0
c) ln(x) – 2x = – 2
d) 2 cos(x) –
e) 3 ln(x) –
=0
=2
f) (5 – x) ex = 1
3. Utilize o Método da Bissecção e aproxime a menor raiz em módulo com erro relativo menor que 10-1 para
as equações a) e b) do exercício anterior.
4. Utilize o Método Iterativo Linear e aproxime a menor raiz em módulo com erro relativo menor que 10-2
para as equações c) e d) do exercício anterior.
5. Utilize o Método de Newton-Raphson e aproxime a menor raiz em módulo com erro relativo menor que
10-3 para as equações (e) e (f) do exercício anterior.
6. Calcule, utilizando o método de Newton Raphson, as seguintes raízes, com tolerância de 0,001:
a)
b)
c)
7. Dada a função f(x) = ex – 4x2.
a) Isole as raízes da função f(x).
b) Tomando xo = 0,6 e ε = 0,01 ou 4 iterações, aplique o M.I.L. para encontrar uma aproximação para a raiz
positiva, usando a função de iteração F(x) = ln(4x2).
c) Tomando xo = 0,6 e ε = 0,01 ou 4 iterações, use o método de Newton Raphson.
UNIDADE III
31
INTERPOLAÇÃO
O problema da interpolação consiste basicamente em encontrar uma função que seja a expressão lógica de
determinados pontos. Conhecendo-se alguns pontos (x1, y1), (x2, y2).....(xn, yn) e desconhecendo a função analítica a qual pertençam, a Interpolação possibilita que calculemos o valor numérico intermediário da função num
ponto não tabelado, com certo grau de erro.
Erro
Embora não conheçamos a função que contém esses pontos, podemos substituí-la por outra função que é uma
aproximação deduzida a partir dos dados tabelados.
Diante da possibilidade de termos uma função cuja forma analítica é muito complicada, os métodos de interpolação ainda permitem que procuremos uma outra função que seja uma aproximação da função dada, cujo
manuseio seja bem mais simples. A função mais usual é a função polinomial por ser de mais fácil operação
com derivação e integração.
Observe pelo gráfico que para àqueles pontos da tabela que pertencem à função f, teremos f(x) = g(x), onde
g(x) é a função substituta. Esses pontos são conhecidos como pontos de amarração.
Para (n+1) pontos, existe um e somente um polinômio de grau não superior a n.
2 pontos (polinômio de 1º grau)
3 pontos (polinômio de 2º grau)
4 pontos (polinômio de 3º grau)
3.1 - Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial
Se uma função f(x) é contínua num determinado intervalo, então esta função poderá ser substituída no interior
deste intervalo por um polinômio de grau não superior a “n”, conforme a seguinte expressão:
Dados n+1 pontos, se desejamos determinar a função polinomial de grau n, podemos construir um sistema de
n equações, substituindo cada um dos pontos em
.
32
Isso significa que: dados dois pontos (x0, y0) e (x1, y1), podemos obter a função polinomial de 1º grau, definida por
através de um sistema de duas equações a duas incógnitas; que dados três pontos
(x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), o polinômio interpolador será a função quadrática (função polinomial do 2º grau)
.
Nesses dois casos específicos, tanto na interpolação linear, quanto na quadrática, estas funções podem ser
obtidas ao resolvermos, respectivamente, os sistemas de equações:
a) Na interpolação linear
onde a1 e a0 são suas incógnitas.
b) Na quadrática
cujas incógnitas são a2, a1 e a0.
Embora possamos resolver um sistema por escalonamento, sobretudo os de 1º e 2º graus, que não apresentam
dificuldades, no cálculo numérico encontramos métodos, como o de Newton e o de Lagrange, que nos permitem encontrar um polinômio interpolador de grau n de maneira menos trabalhosa que resolver o sistema pelos
processos que aprendemos no Ensino Médio.
3.2 - Método de Lagrange
O método de Lagrange admite para os n+1 pontos, n polinômios pi(x) que passem, cada um deles, pelo ponto
de abscissa xi e possuam para “zeros” os n -1 outros xj onde j ≠ i.
Admitir-se-á que o polinômio interpolador Pn(x) seja a combinação linear destes polinômios. Observemos
que para cada ponto Pi de coordenadas (xi,yi) tem-se yi = Pn(xi) = pi(xi) já que pj(xi) = 0 para j ≠ i. Ou seja, a
imagem de xi para o polinômio Pn(x) é a imagem de xi obtida pela função pi(x) já que para todas as outras a
imagem é zero.
Assim, seja a função polinomial Pn(x) a função substituta de f(x):
33
34
3.3 - A Tabela de Diferenças Divididas: Método de
Newton
Seja f(x) em sua forma tabelada, os valores x0, x1, x2, ..., xn da variável independente {f(x0), f(x1), f(x2), ...,
f(xn)}, chamar-se-ão Diferença Dividida as expressões:
Resumindo teremos
los não equidistantes.
como a interpolação entre interva-
35
Portanto, chamando o polinômio que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn de Pn(x), este será obtido por:
Nos dois métodos apresentados, que usam para aproximação uma função polinomial, o erro associado será
igual a
.
Exemplo:
Determine o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,2), (1,11), (3,71) e (5,227).
Aplicação/Exemplo:
Utilizando os valores de seno, dados pela tabela abaixo é possível determinar a função quadrática que se
aproxima de
, trabalhando com três casas decimais.
36
Podemos usar qualquer um dos métodos para construir a função polinomial P2 (x) = a2x2 +a1x +a0: escalonamento, Lagrange ou Newton. Experimente fazer por cada um deles como exercício.
A função quadrática obtida será
.
Aseguir o gráfico mostra quão próximos são os gráficos das funções
e
no intervalo [0, π/4]. Podemos usar essa função polinomial para determinar o valor aproximado que qualquer
x compreendido entre 0 e π/4 produzirá na função
.
Exercícios
1. Calcule f(3,5), usando a forma de Lagrange do polinômio interpolante para os pontos a seguir: f(1)=0,
f(3)=6, f(4)=24 e f(5)=60.
2. Utilize os dados da tabela para resolver os itens abaixo:
Habitantes de Belo Horizonte
a) Calcule o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1965, usando interpolação linear.
b) Calcule o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1965, usando interpolação quadrática
e os três primeiros pontos da tabela.
3. Dada a função f(x) = 10x4 +2x +1, determine P2(0,15), por interpolação quadrática, usando os valores de
f(0,1), f(0,2) e f(0,3), e por interpolação linear os pontos f(0,1), f(0,2).
4. Calcule, de forma aproximada, o seno de
qual foi o erro da aproximação.
, interpolando a função seno nos pontos x = 0,
, π. Verifique
5. Dada a tabela de valores de f(x) a seguir, determine o valor de M, sabendo que as diferenças de 4a ordem
são nulas.
6. A tabela a seguir mostra a distância d, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão
em t segundos. Encontre a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada, usando todos os
dados da tabela.
37
38
UNIDADE IV
INTEGRAÇÃO
Se uma função f(x) é contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) é conhecida, a integral definida dessa
função nesse intervalo é dada por:
Para calcular a integral definida pelo teorema fundamental do cálculo é necessário conhecermos sua integral
indefinida, mas existem funções para as quais não existe um método conhecido para determinar sua primitiva.
No entanto, se f é um função contínua no intervalo [a,b], a integral definida existe e será um número único.
Usaremos métodos do cálculo numérico para obter um valor aproximado desse número.
Vale lembrar que isso implica em determinar uma aproximação da área compreendida entre os eixo Ox, as
retas x = a e x = b e a curva definida por f(x).
Dois métodos se destacam entre as possibilidades de obter uma boa aproximação dessa integral: o método do
Trapézio e o de Simpson.
4.1 – Regra do Trapézio
Para aproximar a área da região compreendida como a integral definida, usaremos a área de um trapézio. Isto
é, a área da região compreendida entre os eixo Ox, as retas x = a e x = b e a curva definida por f(x), é substituída pela área do trapézio definido pelo eixo Ox, as retas x = a e x = b e o segmento que liga os pontos (a,f(a))
e (b,f(b)).
Se considerarmos, no entanto, o intervalo [a,b] dividido em n subintervalos de amplitude
dá n +1 pontos tais que:
, isso nos
x0 = a, x1 = a + Δx, x2 = a + 2Δx, x3 = a + 3Δx, ... xn-1 = a + (n-1)Δx e xn = b.
Então:
onde
é a área da região limitada pelo eixo Ox, pelas retas x = xi e x = xi+1 e o segmento definido pelos
pontos Pi e Pi+1.
Como a área do trapézio pode ser obtida pela expressão
expressa por:
, cada uma das aproximações pode ser
Logo:
Ou ainda:
Pode-se perceber intuitivamente que quanto maior é o valor de n mais exata será a aproximação. Considerando-se apenas o erro intrínseco do processo, prova-se que
, a ≤ ε ≤ b.
Exemplo: Calcule pela regra dos trapézios, dividindo o intervalo em 6 subintervalos, e depois, analiticamente, e comparar os resultados de:
39
40
a) Pela Regra dos Trapézios:
onde
Mas
, então:
Logo
b) Pelo cálculo da integral:
4.2 – Regra de Simpson
Uma melhor aproximação para a integral definida é obtida pela Regra de Simpson ou Regra da Parábola.
Enquanto na Regra do Trapézio os pontos são ligados por segmentos de reta, nessa nova regra os pontos são
ligados por segmentos de parábolas. Isto é, dados os pontos P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2), a área definida pela
integral
será aproximada para a área da região compreendida pelo eixo Ox, pelas retas x = x0 e x =
x2 e pelo segmento da parábola que passa pelos pontos P0, P1 e P2.
Sejam P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2) três pontos não-colineares que possuam suas abscissas tais que
x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h. Se y = Ax2 + Bx + C é a equação da parábola que contém esses três pontos, então:
Portanto, se f uma função contínua no intervalo fechado [a,b], podemos considerar uma partição de 2n subin, cada um deles, para obtermos n segmentos de parábolas
tervalos de amplitude
A soma das áreas sob as parábolas nos intervalos [x0,x2] , [x2,x4], ..., e [x2n-2,x2n] será a aproximação da integral
definida no intervalo [a,b] pela Regra de Simpson.
Esta soma pode ser expressa por:
Então,
Portanto:
Exemplo: Calculemos agora pela regra de Simpson, dividindo o intervalo em 6 subintervalos a mesma integral definida do exemplo que usamos anteriormente:
Inicialmente calculamos
Obtemos, portanto, os 2n + 1 pontos x0, x1, x2, x3..., x2n-1 e x2n, cujas respectivas imagens estão calculadas na
tabela abaixo.
41
42
Calcularemos
Então:
Portanto, pela Regra de Simpson encontramos I = 0,182320233333...
Observemos que encontramos uma aproximação melhor do que a que encontramos com a Regra do Trapézio (I = 0,182348), já que o cálculo da integral pelo cálculo de sua primitiva dá
Exercícios
1. Calcule
, pelos métodos do Trapézio e de Simpson, usando 4 e 6 subintervalos, e compare os
resultados.
2. Calcular
, pelo método de Simpson, com um erro menor que 10-3?
3. Calcule ln(5) com uma precisão de 5 casas decimais, sabendo que,
son.
, pelo método de Simp-
4. A quantidade de calor empregada para esquentar um objeto é proporcional à integral da temperatura (T) em
função do tempo (t). Supondo a constante de proporcionalidade K=1, ache a quantidade de calor utilizada para
esquentar o objeto cujas temperaturas são representadas na tabela:
5. Considerando que
= 0,45970. Mostre que o resultado de calcular esta integral, de forma
aproximada, pelo método de Simpson, admitindo h = 0,5, é surpreendentemente próximo desse valor.
6. A integral
é muito importante para a estatística matemática. Ela é chamada uma Integral de probabilidade e não pode ser calculada exatamente em termos de funções elementares. Use a regra do trapézio com
n = 6 para encontrar um valor aproximado e expressar o resultado com três casas decimais.
7. Use a regra de Simpson para aproximar o valor de
mais.
com 2n =4. Dê o resultado com 4 casas deci-
43
44
Se você:
1)
2)
3)
4)
concluiu o estudo deste guia;
participou dos encontros;
fez contato com seu tutor;
realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as
avaliações.
Parabéns!
Glossário
Algoritmo: regra + número = regra envolvendo números.
Interpolação: um método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto
de dados pontuais conhecidos.
Iterar = Iterare: repetir, tornar a fazer.
Mantissa: parte decimal de um numeral; parte depois da vírgula.
Número binário: número que possui numeral escrito na base 2.
Ponto flutuante: é um formato de representação digital de números reais, que é usada nos computadores. O
número é dividido numa mantissa (M) e um expoente (E). O valor representado é obtido pelo produto: M • 2.
Produtório: produto, resultado da multiplicação de uma seqüência de fatores. Na matemática usamos a letra
pi para representar o produtório pela letra pi ( Π ).
Somatório: soma. Na matemática o somatório é representado pela letra grega sigma maiúsculo (Σ).
Truncamento: erro de arredondamento quando simplesmente ignoramos os dígitos restantes a partir de uma
determinada casa decimal.
45
46
Gabarito
Unidade I
47
Unidade II - Bissecção
48
Unidade II – Newton Raphson e Método de Iteração Linear
49
50
51
Unidade III
Unidade IV
1. Trapézio com 4 subintervalos: 4,69507591687512109.
Simpson com 6 subintervalos: 4,67079422663377371.
2. Simpson com 4 subintervalos: 1,00013454701700521.
3. Simpson com n = 1,61311.
4. 585
5. Usando Simpson com n = 2, tem-se 0,45986. Uma diferença de 0,00016, de 0,45970.
6. Simpson com 6 subintervalos: 0,881.
7. Simpson com 4 subintervalos: 0,6933.
52
Referências Bibliográficas
BARROSO, L.C.; Araújo, M.M. Araújo; CAMPOS, F. Ferreira; CARVALHO, M.L. Bunte de; Maia, M.L.
Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1993.
CLÁUDIO, D. M. & MARINS, J.M. Cálculo Numérico Computacional. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1994.
HUMES; MELO; YOSHIDA; MARTINS. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1984.
LINHARES, O.D. Cálculo Numérico B. Apostila publicada pelo Departamento de Ciências de Computação e
Estatística do ICMSC, 1969.
RUGGIERO, M. A. Gomes & LÓPES, V.L. Rocha. Cálculo Numérico. Aspectos Teóricos e computacionais.
2 ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
ZAMBONI, L. & outros. Cálculo Numérico para Universitários. São Paulo: Páginas e Letras, 2002.