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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo
Capítulo 2: Funções
2.1- Definições
Sejam A e B dois conjuntos não vazios.
Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A
um único elemento y de B.
O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f).
O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f.
O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos
que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f.
Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o
conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(A). Simbolicamente,
temos: Im( f ) = f ( A) = { f ( x); x ∈ A} .
Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A → B (leia: f de A
em B).
Duas funções f : A → B e g : C → D são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x),
∀x ∈ A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a
mesma regra de correspondência.
Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função
f : A → B , onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções
reais de uma variável real.
- Observações:
1. Usa-se a notação x  f (x) para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).
2. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num
ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f.
3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável
dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x.
4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) ∈ B quando é dado x ∈ A é inteiramente
arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições:
1ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x ∈ A;
2ª) A cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x’ em A
então f(x) = f(x’) em B.
5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de
correspondência x  f (x) . Mesmo quando dizemos simplesmente “a função f”, ficam subentendidos
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seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim
sendo, uma pergunta do tipo “Qual é o domínio da função f(x) = 1/x ?”, estritamente falando, não faz
sentido. A pergunta correta seria: “Qual é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a fórmula f(x) = 1/x define
uma função f : A → R ?” Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra x  f (x) ou,
simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito
que o contradomínio é R e que o domínio é o “maior” subconjunto de R para o qual faz sentido a regra
em questão, ou seja, f(x) é um número real.
- Notações:
R+ = [ 0, + ∞
)
R+* = ( 0, + ∞
)
R− = ( − ∞ , 0]
R−* = ( − ∞ , 0 )
- Exemplos e Contra-exemplos:
1. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + 1 define uma função
f : N → N , sendo f(n) = n + 1. D(f) = N e Im(f) = N – {1}.
2. A regra que associa a cada x ∈ [1,2] o seu dobro define uma função f : [1,2] → R , com f(x) = 2x.
D(f) = [1, 2] e Im(f) = [2, 4].
3. A fórmula A = πr2 da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A,
determinando assim, uma função f : R+* → R tal que f(r) = πr2. D( f ) = R+* e Im( f ) = R+* .
4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções
de A em B.
5. Seja dada a regra f ( x) = 4 − x 2 . Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) ∈ R é
4 – x2 ≥ 0, ou seja, - 2 ≤ x ≤ 2. Logo D(f) = [-2, 2] e Im(f) = [0, 2].
2.2- Gráfico de uma função
Seja f : A → B uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R.
O conjunto G ( f ) = { ( x, f ( x) ) ; x ∈ A} ⊂ AxB denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é
um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais.
Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode
então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela
que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a
não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de
gráficos.
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- Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa
o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio
pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer
reta vertical corta a curva no máximo em um ponto.
A curva C1 representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C2 não representa.
- Exemplos:
1. Considere a função f(x) = x2. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e a figura abaixo esboça o gráfico de f.
2. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico.
 − 2, se x ≤ − 2

3. Seja f : R → R definida por f ( x) =  2, se − 2 < x ≤ 2 . Temos: D(f) = R, Im(f) = {– 2, 2, 4} e o
 4, se x > 2

gráfico de f é mostrado pela figura a seguir.
14
4. Seja f ( x) = x . Então D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo.
5. Seja f ( x) =
1
. Então D(f) = R – {0} e Im(f) = R – {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f.
x
6. Seja f ( x) = [ x ] = maior inteiro ≤ x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por:
2.3- Operações

Operações aritméticas sobre funções
Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A ∩ B ≠ ∅, podemos definir:
a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A ∩ B.
b) Função Diferença de f e g: (f – g) (x) = f(x) – g(x), sendo D(f – g) = A ∩ B.
c) Função Produto de f e g: (f . g) (x) = f(x) . g(x), sendo D(f . g) = A ∩ B.
 f
 f
f ( x)
, sendo D  = { x ∈ A ∩ B; g ( x ) ≠ 0} ≠ φ .
d) Função Quociente de f por g:   ( x ) =
g ( x)
 g
 g
- Observação:
Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k ∈ R, então o produto de f e g será kg. Desta forma,
multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções.
15
- Exemplo:
Sejam as funções f ( x) = 4 − x e g ( x) = x 2 − 1 .
Então D( f ) = A = { x ∈ R; x ≤ 4} e D( g ) = B = { x ∈ R; x ≤ − 1 ou x ≥ 1} .
Temos:
( f + g )( x ) =
( f − g )( x ) =
( f .g )( x ) =
4− x +
x 2 − 1 ; D( f + g ) = A ∩ B = { x ∈ R; x ≤ − 1 ou 1 ≤ x ≤ 4}
4− x −
x 2 − 1 ; D( f − g ) = A ∩ B = { x ∈ R; x ≤ − 1 ou 1 ≤ x ≤ 4}
4 − x . x 2 − 1 ; D( f .g ) = A ∩ B = { x ∈ R; x ≤ − 1 ou 1 ≤ x ≤ 4}
 f
 f
4− x
  ( x ) =
; D  = { x ∈ A ∩ B; g ( x ) ≠ 0} = { x ∈ R; x < − 1 ou 1 < x ≤ 4}
2
x −1
 g
 g
(− 5) f ( x ) = − 5 4 − x ; D( − 5 f ) = R ∩ A = A = { x ∈ R; x ≤ 4}

Composição de Funções
Sejam f : A → R e g : B → R duas funções tais que Im(f) ⊂ B, ou seja, para todo x ∈ A temos
que o valor f(x) ∈ B. A função gof : A → R definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função
composta de g e f.
- Exemplos:
1. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = x2 + 4x. Determinar as funções gof e fog.
Temos:
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ∞).
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g(3x – 2) = (3x – 2)2 + 4 (3x – 2) = 9x2 – 4 e D(gof) = D(f) = R.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4x) = 3(x2 + 4x) – 2 = 3x2 + 12x – 2 e D(fog) = D(g) = R.
Logo: gof : R → R definida por gof ( x ) = 9 x 2 − 4 e fog : R → R dada por fog ( x ) = 3x 2 + 12 x − 2 .
2. Sejam f e g funções dadas por f ( x) = x e g ( x) = x 2 . Determinar as funções gof e fog.
Temos:
D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+.
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x )2 = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2) =
x 2 = x , pois D(fog) = D(g) = R.
Logo: gof : R+ → R definida por gof ( x) = x e fog : R → R dada por fog ( x) = x .
- Observações:
1. A função h: R → R definida por h(x) = (x2 – 1)10 pode ser considerada como a composta gof das
funções f: R → R dada por f(x) = x2 – 1 e g: R → R definida por g(x) = x10 .
2. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) ⊄ D(g). Neste caso,
D( gof ) = { x ∈ D( f ); f ( x) ∈ D( g )} .
Por exemplo: f ( x ) = 2 x − 3 e g ( x ) =
x . Temos:
16
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, +∞); Im(g) = [0, +∞).
3

2 x − 3 e D( gof ) = { x ∈ D( f ); f ( x) ∈ D( g )} = { x ∈ R;2 x − 3 ≥ 0} =  ,+ ∞ .
2

Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog ( x ) = 2 x − 3 e D( fog ) = D( g ) = [ 0,+ ∞) .
Im(f) ⊄ D(g) ⇒ gof ( x ) =
2.4- Exercícios
Páginas 20, 21, 22, 23 e 24 do livro texto.
2.5- Funções Especiais

Função Constante
f : R → R definida por f ( x) = k , sendo k um número real fixo
 D(f) = R e Im(f) = {k}
 Exemplo: f : R → R; f ( x) = − 3

Função Identidade
f : R → R definida por f ( x) = x (Notação: f = idR)
 D(f) = R e Im(f) = R

Função do 1º Grau
f : R → R definida por f ( x) = ax + b, sendo a e b números reais e a ≠ 0
 D(f) = R e Im(f) = R
 Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de
coeficiente linear.
 Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x)
também cresce.
 Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x)
decresce.
 O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados.
 Exemplos:
a) f(x) = 2x + 3 é uma função do 1º grau crescente pois a = 2 > 0.
b) f(x) = – 3x + 1 é uma função do 1º grau decrescente pois a = – 3 < 0.
17

Função Módulo
f : R → R definida por f ( x) = x
 D(f) = R e Im(f) = [0, +∞)

Função Quadrática ou Função do 2º Grau
f : R → R definida por f ( x) = ax 2 + bx + c, sendo a, b e c números reais e a ≠ 0
 D(f) = R
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo
vertical (y).
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
 Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
 A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função.
 Se x1 e x2 são os zeros da função quadrática f ( x) = ax 2 + bx + c então S = x1 + x2 =
P = x1.x2 =
−b
,
a
c
e f ( x) = a ( x 2 − Sx + P ) = a ( x − x1 )( x − x2 ).
a
 A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de
−b − ∆ 
,
 , sendo ∆ = b 2 − 4ac .
coordenadas 
2
a
4
a


 Dada uma função quadrática f ( x) = ax 2 + bx + c , usando a técnica de completar os
2
quadrados, podemos escrevê-la na forma f ( x) = a ( x − xv ) + yv , sendo ( xv , yv ) o vértice
da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv.
18

Função Polinomial
f : R → R definida por f ( x) = an x n + an − 1 x n − 1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 , sendo a0 , a1 , a2 , ... , an − 1 , an
números reais chamados coeficientes, an ≠ 0, e n um inteiro não negativo que determina o grau da
função.
 D(f) = R
 Exemplos:
a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero.
b) A função f(x) = ax + b, a ≠ 0, é uma função polinomial do 1º grau (grau 1).
c) A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma função polinomial do 2º grau
(grau 2).
d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica.
e) A função f(x) = x4 – 1 é uma função polinomial de grau 4.

Função Racional
Uma função racional f é uma função dada por f ( x) =
p ( x)
, onde p e q são funções
q( x)
polinomiais.
19
 D( f ) = { x ∈ R; q( x) ≠ 0}
 Exemplos:
a) A função f ( x) =
x− 1
é racional de domínio D( f ) = R − { − 1} .
x+ 1
b) A função f ( x) =
( x + 3x − 4).( x − 9)
( x + x − 12).( x + 3)
2
2
2
é racional de domínio D( f ) = R − { − 4,− 3,3} .
2.6- Função Par e Função Ímpar
Uma função f : A → R diz-se par quando para todo x ∈ A tem-se − x ∈ A e f (− x) = f ( x) .
 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
 Exemplo: f : R → R; f ( x) = x 2
Uma função f : A → R diz-se ímpar quando para todo x ∈ A tem-se − x ∈ A e f ( − x) = − f ( x)
.
 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
 Exemplo: f : R → R; f ( x) = x 3 + x 5
2.7- Funções Periódicas
Uma função f : A → R é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo
x ∈ A tem-se x ± p ∈ A e f ( x + p ) = f ( x) .
 O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f.
 O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p.
 Exemplos: f ( x) = senx e g ( x) = cos x são periódicas de período 2π.
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2.8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
f :A→ B
Dizemos que uma função
é injetora quando, para quaisquer
x1 , x2 ∈ A com x1 ≠ x2 , tem - se f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Em outras palavras, dizemos que f : A → B é injetora
se f ( x1 ) = f ( x2 ) , com x1 e x2 em A, então x1 = x2 .
 Exemplo: f : R+ → R definida por f ( x) =
x é injetora.
Dizemos que uma função f : A → B é sobrejetora quando, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que
y = f(x). Em outros termos, f : A → B é sobrejetora quando Im(f) = B.
 Exemplo: f : R → R+ definida por f ( x) = x 2 é sobrejetora.
Dizemos que uma função f : A → B é bijetora quando é injetora e sobrejetora.
 Exemplo: f : R → R definida por f ( x) = x 3 é bijetora.
2.9- Função Inversa de uma Função Bijetora
Seja f : A → B uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que
para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora.
Podemos, então, definir uma função g : B → A que a y ∈ B associa o único x ∈ A tal que f(x) = y, ou
seja, g ( y ) = x ⇔ f ( x) = y .
Se f : A → B é uma função bijetora, a função g : B → A definida por g ( y ) = x ⇔
denomina-se função inversa da função f e denotada por f − 1 .

f − 1of = id A : A → A, pois f − 1 ( f ( x )) = f − 1 ( y ) = x = id A (x), ∀ x ∈ A

fof − 1 = id B : B → B, pois f ( f − 1 ( y )) = f ( x ) = y = id B ( y ), ∀ y ∈ B
f ( x) = y
 Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas
ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de
f em apenas um ponto.
 Os gráficos da função bijetora f : A → B e de sua inversa f − 1 : B → A são simétricos em
relação à bissetriz y = x do 1º e 3º quadrantes, pois
( x, y ) ∈ G ( f ) ⇔ y = f ( x ) ⇔ x = f − 1 ( y ) ⇔ ( y , x ) ∈ G ( f − 1 )
 Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta
traçarmos a reta y = x e observamos a simetria.
21
 Exemplos:
a) A função f : R → R dada por f ( x) = 3 x + 1 é bijetora. Logo, admite inversa f − 1 : R → R .
Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para f − 1 .
1º modo: Sendo y = 3x + 1, basta tirar x em função de y, isto é, x =
f − 1 ( y) =
y− 1
x− 1
, ∀ y ∈ R, ou seja, f − 1 ( x ) =
, ∀ x∈ R.
3
3
y− 1
. Logo,
3
2º modo: Sendo f ( f − 1 ( y )) = y, ∀ y ∈ R, segue que 3 f − 1 ( y ) + 1 = y, ou seja,
y− 1
f − 1 ( y) =
,∀ y ∈ R .
3
*
*
b) A função f : R → R dada por f ( x ) =
−1
dada por f ( x) =
1
é bijetora. Logo, admite inversa f − 1 : R* → R*
x
1
. Excepcionalmente temos f = f − 1 .
x
c) O gráfico abaixo ilustra a função f : R → R dada por f ( x) = x 2 que não possui inversa.
Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa.
Por exemplo, a função f : [ 0, + ∞ ) → [ 0, + ∞ ) definida por f ( x ) = x 2 tem como inversa a
função f − 1 : [ 0, + ∞ ) → [ 0, + ∞
)
dada por f − 1 ( x) =
x.
22
2.10- Algumas Funções Elementares

Função Exponencial de base a
A função f : R → R definida por f ( x) = a x , sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, é denominada
função exponencial de base a.
 D(f) = R e Im(f) = R *+ = (0, + ∞)
 O gráfico de f ( x) = a x está todo acima do eixo das abscissas (x), pois y = a x > 0 para
todo x ∈ R.
 O gráfico de f ( x) = a x corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, 1), pois a0 = 1.
 Quando a > 1, f ( x) = a x é crescente.
 Quando 0 < a < 1, f ( x) = a x é decrescente.
 Um caso particular importante é a função exponencial f ( x) = e x , onde e é o número
irracional conhecido por constante de Euler (e ≅ 2,718281828459 ... ).
 Propriedades:
Se a, x, y são números reais e a > 0, então:
(a )
x y
= a xy , em particular a − x =
1
ax
a x .a y = a x + y , em particular a x − y =
( a.b ) x =
ax
ay
a x .b x , para b > 0
x
1
 1
  = x
a
 a

Função Logarítmica de base a
*
A função f : R+ → R definida por f ( x) = log a x, sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, é denominada
função logarítmica de base a.
 D(f) = R *+ e Im(f) = R
23
 O gráfico de f ( x) = log a x está todo à direita do eixo y.
 O gráfico de f ( x) = log a x corta o eixo das abscissas (x) no ponto (1, 0), pois loga1 =0.
 Quando a > 1, f ( x) = log a x é crescente.
 Quando 0 < a < 1, f ( x) = log a x é decrescente.
*
 As funções f : R+ → R definida por f ( x) = log a x
e
g : R → R+* definida por g ( x) = a x ,
y
sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, são inversas uma da outra, pois y = log a x ⇔ x = a .
Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x.
 Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função
logarítmica natural, que denotamos por f ( x ) = ln x .
 Propriedades:
Se 0 < a ≠ 1 e x e y números reais positivos, então:
log a x d = d log a x , para qualquer número real d
log a ( x. y ) = log a x + log a y
 x
log a   = log a x − log a y
 y
 Funções Trigonométricas
•
Medida de ângulo em radiano (rad)
É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo
centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não
depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte:
A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo
ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo.
α = AÔB = A' ÔB '
s
AÔB =
radianos
R
s'
A' ÔB ' =
radianos
R'
s
α =
⇒ s = α .R
R
24
 A medida de um ângulo de “uma volta”, ou seja, 360o, em radianos é 2π rad, pois
s = α R ⇒ 2π R = α R ⇒ α = 2π rad .
 Um ângulo mede 1 radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo,
o


360


o
 ≅ 57  .
cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo.  1rad = 
 2π 


 Quando o raio R do círculo é igual a 1, a medida do ângulo em radianos coincide com o
comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre
ângulos e números reais.
•
Círculo Trigonométrico
. eixo u: eixo dos cossenos
. eixo v: eixo dos senos
. eixo t: eixo das tangentes
. eixo c: eixo das cotangentes
OA = 1
OP1 = senx
OP2 = cos x
AT = tgx
BC = cot gx
OS = sec x
OD = cos sec x
•
Relações Fundamentais
sen 2 x + cos 2 x = 1
cos sec x =
senx
cos x
cos x
cot gx =
senx
1
sec x =
cos x
tgx =
•
cot gx =
1
senx
1
tgx
sec 2 x = 1 + tg 2 x
cos sec 2 x = 1 + cot g 2 x
Ângulos Notáveis
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
2π
30o
45o
60o
Seno
0o
0
1
2
2
2
180o
0
270o
-1
360o
0
Cosseno
1
3
2
2
2
3
2
1
2
90o
1
0
-1
0
1
Tangente
0
3
3
1
Não existe
0
Não existe
0
3
25
•
Fórmulas de Transformação
sen ( a + b ) = sena. cos b + senb. cos a
sen ( a − b ) = sena. cos b − senb. cos a
cos( a + b ) = cos a. cos b − sena.senb
cos( a − b ) = cos a. cos b + sena.senb
tga + tgb
1 − tga.tgb
tga − tgb
tg ( a − b ) =
1 + tga.tgb
tg ( a + b ) =
a+ b
a− b
. cos
2
2
a+ b
a− b
cos a − cos b = − 2 sen
.sen
2
2
a+ b
a− b
sena + senb = 2 sen
. cos
2
2
a− b
a+ b
sena − senb = 2 sen
. cos
2
2
sen ( a + b )
tga + tgb =
cos a. cos b
sen ( a − b )
tga − tgb =
cos a. cos b
cos a + cos b = 2 cos
sen 2a = 2sena. cos a
cos 2a = cos 2 a − sen 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sen 2 a
2tga
tg 2a =
1 − tg 2 a
1 − cos 2a
sen 2 a =
2
1
+
cos
2a
cos 2 a =
2
1 − cos 2a
2
tg a =
1 + cos 2a
•
Função Seno
f : R → R definida por f ( x ) = OP1 = senx
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função f ( x) = senx é ímpar, pois sen( − x ) = − senx .
 A função f ( x) = senx é periódica de período 2π, pois sen( x + 2π ) = senx .
 A função f ( x) = senx é crescente nos intervalos [0, π/2] e [3π/2, 2π] e decrescente
no intervalo [π/2, 3π/2].
 O gráfico da função f ( x) = senx é denominado senóide.
•
Função Cosseno
f : R → R definida por f ( x) = OP2 = cos x
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função f ( x) = cos x é par, pois cos( − x ) = cos x .
 A função f ( x) = cos x é periódica de período 2π, pois cos( x + 2π ) = cos x .
 A função f ( x ) = cos x é decrescente no intervalo [0, π] e crescente no intervalo
[π, 2π].
 O gráfico da função f ( x) = cos x é denominado cossenóide.
26
•
Função Tangente
π
senx


f :  x ∈ R; x ≠
+ kπ , k ∈ Z  → R definida por f ( x ) = AT = tgx =
2
cos x


π


+ kπ , k ∈ Z  e Im( f ) = R
 D( f ) =  x ∈ R; x ≠
2


 A função f ( x) = tgx é ímpar, pois tg ( − x ) = − tgx .
 A função f ( x) = tgx é periódica de período π, pois tg ( x + π ) = tgx .
 A função f ( x) = tgx é crescente nos intervalos [0, π/2), (π/2, 3π/2) e (3π/2, 2π].
 O gráfico da função f ( x) = tgx é denominado tangentóide.
•
Função Cotangente
f : { x ∈ R; x ≠ kπ , k ∈ Z } → R definida por f ( x ) = BC = cot gx =




•
cos x
1
=
senx tgx
D( f ) = { x ∈ R; x ≠ kπ , k ∈ Z } e Im( f ) = R
A função f ( x) = cot gx é ímpar, pois cot g ( − x ) = − cot gx .
A função f ( x) = cot gx é periódica de período π, pois cot g ( x + π ) = cot gx .
A função f ( x) = cot gx é decrescente nos intervalos (0, π) e (π, 2π).
Função Secante
π
1


f :  x ∈ R; x ≠
+ kπ , k ∈ Z  → R definida por f ( x ) = OS = sec x =
2
cos x


π


+ kπ , k ∈ Z  e Im( f ) = R − ( − 1,1)
 D( f ) =  x ∈ R; x ≠
2


 A função f ( x) = sec x é par, pois sec( − x ) = sec x .
 A função f ( x) = sec x é periódica de período 2π, pois sec( x + 2π ) = sec x .
 A função f ( x) = sec x é crescente nos intervalos [0, π/2) e (π/2, π] e decrescente
nos intervalos [π, 3π/2) e (3π/2, 2π].
27
•
Função Cossecante
f : { x ∈ R; x ≠ kπ , k ∈ Z } → R definida por f ( x ) = OD = cos sec x =
1
senx
 D( f ) = { x ∈ R; x ≠ kπ , k ∈ Z } e Im( f ) = R − ( − 1, 1)
 A função f ( x) = cos sec x é ímpar, pois cos sec( − x ) = − cos sec x .
f ( x) = cos sec x
 A
função
é
periódica
de
período
2π,
pois
cos sec( x + 2π ) = cos sec x .
 A função f ( x) = cos sec x é crescente nos intervalos [π/2, π) e (π, 3π/2] e
decrescente nos intervalos (0, π/2] e [3π/2, 2π).
 Funções Trigonométricas Inversas
•
Função Arco Seno
É impossível definir uma função inversa para a função f : R → R dada por f ( x) = senx ,
pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de
f ( x) = senx necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções
trigonométricas.
 π π 
Seja f :  − ,  → [ − 1, 1] a função definida por f ( x ) = senx . Esta função é bijetora e,
 2 2
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por
 π π 
f − 1 : [ − 1, 1] →  − ,  onde f − 1 ( x) = arc sen x .
 2 2
π
π
Simbolicamente, para − ≤ y ≤ , temos : y = arc sen x ⇔ seny = x .
2
2
f ( x) = senx
f − 1 ( x) = arc sen x
28
Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de
f ( x) = senx a qualquer dos seguintes intervalos: [π/2, 3π/2], [3π/2, 5π/2], [5π/2, 7π/2], ... ou
[-3π/2, -π/2], [-5π/2, -3π/2], [-7π/2, -5π/2], ... .
•
Função Arco Cosseno
Seja f : [ 0, π ] → [ − 1, 1] a função definida por f ( x) = cos x . Esta função é bijetora e,
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por
f − 1 : [ − 1, 1] → [ 0, π ] onde f − 1 ( x) = arc cos x .
Simbolicamente, para 0 ≤ y ≤ π , temos : y = arc cos x ⇔ cos y = x .
f ( x) = cos x
f − 1 ( x) = arc cos x
Observação:
π
A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação arc cos x = − arc sen x .
2
•
Função Arco Tangente
 π π 
f :  − ,  → R a função definida por f ( x) = tgx . Esta função é bijetora e,
 2 2
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por
 π π 
f − 1 : R →  − ,  onde f − 1 ( x) = arc tg x .
 2 2
π
π
Simbolicamente, para − < y < , temos : y = arc tg x ⇔ tgy = x .
2
2
Seja
f ( x) = tgx
f − 1 ( x) = arc tg x
29
•
Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante





f : ( 0, π ) → R ; f ( x) = cot gx é bijetora .
π
f − 1 : R → ( 0, π ) ; f − 1 ( x) = arc cot gx = − arc tgx .
2
 π 
π

f :  0,    , π  → ( − ∞ , − 1]  [1, + ∞ )
 2
 2 
 π 
π
f − 1 : ( − ∞ , − 1]  [1, + ∞ ) →  0,    , π
 2
 2
; f ( x) = sec x é bijetora .

 1
−1
 ; f ( x) = arc sec x = arc cos x  .

 
 π

 π 
f :  − , 0    0,  → ( − ∞ , − 1]  [1, + ∞ ) ; f ( x) = cos sec x é bijetora .
 2 
 2

 π

 π 
 1
f − 1 : ( − ∞ , − 1]  [1, + ∞ ) →  − , 0    0,  ; f − 1 ( x) = arc cos sec x = arc sen  .
 2 
 2
 x
 Funções Hiperbólicas
•
Função Seno Hiperbólico
f : R → R definida por f ( x) = senhx =
e x − e− x
2
 D(f) = R e Im(f) = R
•
Função Cosseno Hiperbólico
f : R → R definida por f ( x) = cosh x =
e x + e− x
2
 D(f) = R e Im(f) = [1, +∞)
30
Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva
representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação
 x
correspondente é y = cosh  , onde a ∈ R e a ≠ 0. Esta curva recebe a denominação de catenária.
 a
•
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas
As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas
respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por:
senhx e x − e − x
 tghx =
=
; D( tgh ) = R e Im( tgh ) = ( − 1, 1)
cosh x e x + e − x

cot ghx =
cosh x e x + e − x
=
; D( cot gh ) = R − { 0} e Im( cot gh ) = ( − ∞ , − 1)  (1, + ∞
senhx e x − e − x
 sec hx =
1
2
= x
; D( sec h ) = R e Im( sec h ) = ( 0, 1]
cosh x e + e − x
 cos sec hx =
•
)
1
2
= x
; D( cos sec h ) = R − { 0} e Im( cos sec h ) = R − { 0}
senhx e − e − x
Identidades Hiperbólicas
cosh 2 x − senh 2 x = 1
1
tghx =
cot ghx
sec h 2 x = 1 − tgh 2 x
− cos sec h 2 x = 1 − cot gh 2 x
31

Funções Hiperbólicas Inversas
•
Função Inversa do Seno Hiperbólico
Analisando o gráfico da função f ( x) = senhx vemos que ela é bijetora; logo admite
inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e
denotada por arg senh, é definida por:
f − 1 : R → R ; f − 1 ( x) = arg senhx .
 D( f − 1 ) = R e Im( f − 1 ) = R
 y = arg senhx ⇔
•
x = senhy
Função Inversa do Cosseno Hiperbólico
Seja f : [ 0, + ∞ ) → [1, + ∞ ) a função dada por f ( x) = cosh x . Esta função é bijetora. A sua
inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por:
f − 1 : [1, + ∞ ) → [ 0, + ∞ ) ; f − 1 ( x) = arg cosh x .
 D( f − 1 ) = [1, + ∞
)
 y = arg cosh x ⇔
•
e Im( f − 1 ) = [ 0, + ∞
)
x = cosh y , y ≥ 0
Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas


f : R → ( − 1, 1) ; f ( x) = tghx é bijetora .
f − 1 : ( − 1, 1) → R ; f − 1 ( x) = arg tghx .


f : R − { 0} → ( − ∞ ,− 1)  (1,+ ∞) ; f ( x) = cot ghx é bijetora .
f − 1 : ( − ∞ ,− 1)  (1,+ ∞) → R − { 0} ; f − 1 ( x) = arg cot ghx .


f : [ 0,+ ∞) → ( 0, 1] ; f ( x ) = sec hx é bijetora .
f − 1 : ( 0, 1] → [ 0,+ ∞) ; f − 1 ( x) = arg sec hx .


f : R − { 0} → R − { 0} ; f ( x) = cos sec hx é bijetora .
f − 1 : R − { 0} → R − { 0} ; f − 1 ( x) = arg cos sec hx .
32
•
Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas
(
arg cosh x = ln (x +
arg senhx = ln x +
)
− 1) , x ≥ 1
x2 + 1 , x ∈ R
x2
1  1+ x 
ln 
 , − 1< x < 1
2  1− x 
1  x + 1
arg cot ghx = ln 
, x >1
2  x − 1
arg tghx =
 1+
arg sec hx = ln 



arg cos sec hx = ln 


1 − x 2 
, 0< x≤1

x

1
1 + x 2 
+
, x≠ 0

x
x

33
2.11- Aplicações
1. Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as
informações recebidas na tabela seguinte:
Opções
Locadora 1
Locadora 2
Locadora 3
Diária
R$ 50,00
R$ 30,00
R$ 65,00
Preço por km rodado
R$ 0,20
R$ 0,40
km livre
a) Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por dia, em função do número de km rodados,
em cada uma das situações apresentadas na tabela.
b) Represente, no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas equações.
c) A partir de quantos quilômetros o turista deve preferir a Locadora 1 ao invés da Locadora 2?
d) A partir de quantos quilômetros o turista deve optar pela Locadora 3?
2. Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro
R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna
máxima a receita da companhia?
3. A massa de materiais radioativos, como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar
do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de
meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário
para que sua massa seja reduzida à metade.
Denotando por M0 a massa inicial (corresponde ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante
− kt
qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por M = M 0e , sendo k > 0 uma
constante. Essa equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante k depende do
material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele.
Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar:
a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial, para esse material;
b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0;
c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da
quantidade original.
4. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por
CT ( q) = q 2 + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada
por R (q ) = 120q .
a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo?
5. Veja outros exemplos no livro texto, páginas 43 a 53.
2.12- Exercícios
Páginas 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59 do livro texto.
34