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André Vanderlinde da Silva - IME-USP
Pedro Antonio Santoro Salomão (Orientador) - IME-USP
Tı́tulo do Trabalho: Não-Colapsamento de Órbitas Periódicas
Área: 32Q65 - Pseudoholomorphic curves
Consideraremos M uma 3-variedade fechada satisfazendo c1 (π2 (M )) = 0. Seja λ uma
forma de contato definida em M cuja estrutura de contato ξ = ker λ é tight. Seja ϕt o fluxo (de
Reeb) induzido pelo campo (de Reeb) Xλ satisfazendo
ιXλ dλ = 0
e
ιXλ λ = 1.
Suponha que todas as órbitas periódicas de ϕt são não-degeneradas (λ é dita forma de contato
não-degenerada). Dada uma órbita periódica de Reeb P = (x, T ) não-nó satisfazendo sl(P ) =
−1 e ρ(P ) < 1 (isto é, a média das rotações do fluxo linearizado dϕT : ξx(0) → ξx(0) das
iteradas P k , para k ≥ 1, é menor do que 1) é possı́vel provar, usando a Teoria de Curvas
Pseudo-holomorfas em Simpletizações introduzida por Hofer em [1], a existência de uma órbita
periódica P̄ = (x̄, T̄ ) distinta e não-enlaçada à P tal que ρ(P̄ ) = 1. É natural tentar generalizar
este resultado para o caso em que λ é forma de contato degenerada. Nesta etapa, vimos a
necessidade de verificar o não-colapsamento de órbitas periódicas. Mais precisamente, sejam
fn : M → R∗+ tais que λn = fn λ é forma de contato não-degenerada e
C∞
fn −−→ 1,
fn P = 1
e
dfn P = 0,
∀n ∈ N
(1)
Como P é órbita periódica de λn satisfazendo sl(P ) = −1 e ρ(P ) < 1, para todo n ∈ N existe
Pn = (xn , Tn ), órbita periódica do fluxo de Reeb ϕn,t associado à forma de contato λn , tal que
ρ(Pn ) = 1 é distinta e não-enlaçada à órbita P . Deste modo, dispomos de uma sequência de
órbitas periódicas, todas não-enlaçadas à órbita P cujos perı́odos satisfazem Tn < C, para algum
0 < C < ∞. Portanto, existe uma órbita periódica P̄ = (x̄, T̄ ) do fluxo ϕt e uma subsequência,
ainda denotada por Pn , tal que Pn → P̄ na topologia C ∞ (S 1 , M ). Nesta exposição, faremos um
esboço da prova do não-colapsamento da sequência Pn sobre a órbita P .
Proposição 1: Seja λ uma forma de contato definida em M cuja estrutura de contato ξ = ker λ
é tight. Sejam P = (x, T ) órbita periódica de ϕt satisfazendo ρ(P ) < 1 e sl(P ) = −1, P̄ = (x̄, T̄ )
órbita periódica de ϕt satisfazendo ρ(P̄ ) = 1, Pn = (xn , Tn ) uma sequência de órbitas periódicas
não-enlaçadas à P tais que Pn é órbita do fluxo ϕn,t e Pn → P̄ na topologia C ∞ (S 1 , M ). Então
P̄ 6= P k = (x, kT ), ∀k ∈ N.
Observação 1: O número de rotação ρ(P ) de uma órbita periódica depende da classe de homotopia da trivialização da estrutura de contato sobre P . Como P é contrátil e, portanto, existe D
tal que ∂D = P , o número de rotação ρ(P ) pode ser computado em relação a uma trivialização
da estrutura de contato sobre P que se estende a uma trivialização de ξ|D → D. A hipótese
c1 (π2 (M )) = 0 implica que esta definição independe do disco D e, consequentemente, ρ(P ) está
bem definido.
Seja (U, Φ) um Tubo de Martinet para a órbita P , isto é, um difeomorfismo
Φ : R/Z × B (0) → U ⊂ M
(θ, x, y) 7→ Φ(θ, x, y)
2
onde B (0) ⊂ R2 , tal que Φ(θ, 0, 0) = P e a forma de contato λ satisfaz Φ∗ λ ' g(dθ + xdy) para
C∞
alguma g : U −−→ R conveniente. Se N : ∂D → T D é o campo de vetores normal no bordo ∂D,
podemos construir o tubo de Martinet tal que Φ∗ (∂x ) = Np , ∀p ∈ ∂D. Observe que Φ∗ (∂x ) = Np
trivializa ξ|P → P . Como wind(Z, Φ∗ (∂x )) = sl(P ) = −1, a definição de número de rotação ρ
implica
Afirmação 1: Se ρ(P ) < 1 e existe h ∈ ξx(0) tal que dϕqT (x(0))(h) = h para algum q ∈ N, então
windt∈[0,qT ] (dϕqT (x(0))(h)) < 0
Perceba que a conclusão anterior é essencialmente uma consequência das propriedades
dinâmicas do fluxo ϕt (isto é, ρ(P ) < 1) próximo da órbita P . Este lema é fundamental para o
argumento por contradição que apresentaremos a seguir.
Suponha, por contradição, que Pn → P k na topologia usual de C ∞ (S 1 , M ), para algum
k ∈ N. Dado N > kT + 1 existe uma vizinhança U (N ) de P tal que ϕt (w) ∈ U para todo
w ∈ U (N ) e 0 ≤ t ≤ N . Além disso, como Pn → P k , para n suficientemente grande, Pn ⊂ U (N ).
∞ ([0, N ] × U (N ), U ). Denotaremos por (0, w ) a
Note também que ϕn,t → ϕt na topologia Cloc
n
intersecção de Pn , nas coordenadas acima, com a seção 0×B (0). Segue que wn → 0 e, escolhendo
uma subsequência, wn /kwn k → h 6= 0 ∈ R2 .
Afirmação 2: dϕkT (0, h) = (0, h).
Esboço da Prova: Para todo n ∈ N, existe constante 0 < Cn < ∞ tal que
kϕn,t (0, wn ) − ϕn,t (0, 0) − dϕn,t (0, 0) · (0, wn )k ≤ Cn kwn k2 , ∀t ∈ [0, N ]
Seja Π : R/Z × R2 → R2 a projeção dada por Π(t, w) = w e Π∗ a projeção induzida pela Π no
∞ ([0, N ] × U (N ), U ) e
fibrado tangente. Como ϕn,t → ϕt em Cloc
ϕn,t (0, 0) ∈ R/Z × {0} ⊂ R/Z × B (0)
para todo t ∈ R, podemos encontrar uma constante 0 < K1 < ∞ tal que
kΠ(ϕn,t (0, wn )) − Π∗ dφn,t (0, 0) · (0, wn )k ≤ K1 kwn k2 , ∀t ∈ [0, N ]
(2)
(1)
desde que n seja suficientemente grande. Existe n ↓ 0 tal que
kΠ∗ dϕn,t (0, 0) · (0, wn ) − Π∗ dϕt (0, 0) · (0, wn )k ≤ (1)
n kwn k, ∀t ∈ [0, N ]
(3)
(2)
e n ↓ 0 tal que
kΠ∗ dϕt (0, 0)(0, wn ) − kwn k{Π∗ dϕt (0, 0)(0, h)}k ≤ kwn k · (2)
n , ∀t ∈ [0, N ]
(4)
As equações (3) e (4) implicam
(2)
kΠ∗ dϕn,t (0, 0) · (0, wn ) − kwn k {Π∗ dϕt (0, 0) · (0, h)} k ≤ kwn k (1)
+
↓0
n
n
Combinando (2) e (5) e dividindo por kwn k =
6 0, temos
Π(ϕn,t (0, wn ))
(2)
≤ K1 kwn k + (2)
−
Π
dϕ
(0,
0)(0,
h)
+
↓ 0, ∀t ∈ [0, N ]
∗
t
n
n
kwn k
n→∞
para n suficientemente grande. Visto que ϕn,Tn (0, wn ) = (0, wn ) e Tn −−−→ kT , concluı́mos
(5)
(6)
3
n→∞
0, wn
− dϕTn (0, 0)(0, h)
−−−→ 0
kwn k
(7)
isto é, dϕkT (0, h) = (0, h).
Note que windt∈[0,Tn ] (Π(ϕt,n (0, wn ))) = windt∈[0,kT ] (Π∗ dϕt (0, 0)(0, h)), desde que n seja
(1)
(2)
grande. De fato, escolha K1 kwn k + n + n
t ∈ [0, N ], então a equação (6) implica
menor que o ı́nfimo de kdϕt (0, 0)(0, h)k sobre
Π(ϕn,t (0, wn ))
windt∈[0,Tn ] (Π(ϕn,t (0, wn ))) = windt∈[0,Tn ]
kwn k
= windt∈[0,kT ] (Π∗ dϕt (0, 0)(0, h))
(8)
Observe que windt∈[0,Tn ] (Π(φn,t (0, wn ))) = 0, pois as órbitas Pn são não-enlaçadas à órbita P .
No entanto, isto contradiz a Afirmação 1, isto é,
0 = windt∈[0,Tn ] (Π(φn,t (0, wn ))) = windt∈[0,kT ] (Π∗ dφt (0, 0)(0, h)) < 0
Esta contradição conclui a prova da Proposição 1, ou seja, a sequência Pn não pode convergir
para um recobrimento P k da órbita P .
Referências
[1] H. Hofer. Pseudoholomorphic curves in symplectisations with application to the Weinstein
conjecture in dimension three. Invent. Math. 114 (1993), 515-563.
[2] H. Hofer, K. Wysocki, E. Zehnder. Properties of pseudoholomorphic curves in symplectisations I: Asymptotics. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 13 (1996), 337-379.
[3] H. Hofer, K. Wysocki, E. Zehnder. A characterisation of the tight three-sphere. Duke Math.
J. 81 (1995), 159-226.
[4] H. Hofer, K. Wysocki, E. Zehnder. The Dynamics of strictly convex energy surfaces in R4 .
Ann. of Math. 148 (1998), 197-289.
[5] U. Hryniewicz, P. Salomão. On the existence of disk-like global sections for Reeb flows on
the tight 3-sphere. Duke Math. J. 160 (2011), no. 3, 415-465.
[6] U. Hryniewicz, P. Salomão, A. Momin. A Poincaré-Birkhoff theorem for tight Reeb flows
on S 3 . Disponı́vel em: http://arxiv.org/pdf/1110.3782v2.pdf.