Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão
Secretaria de Planejamento e Investimentos Estratégicos
AJUSTE COMPLEMENTAR
ENTRE O BRASIL E CEPAL/ILPES
POLÍTICAS PARA GESTÃO DE INVESTIMENTOS PÚBLICOS
CURSO DE AVALIAÇÃO SOCIOECONÔMICA DE PROJETOS
APOSTILA
CONSIDERAÇÃO DO RISCO NA AVALIAÇÃO DE PROJETOS
Claudia Botteon
BRASÍLIA, MAIO DE 2009
1
CONSIDERAÇÃO DO RISCO NA AVALIAÇÃO DE PROJETOS
A. Avaliação determinística de projetos
B. Métodos que não levam em conta a probabilidade da ocorrência de cada
evento.
1. Determinação das variáveis críticas
2. Ponto de nivelação das variáveis
3. Análise da sensibilidade
4. Análise de cenários
C. Simulação com o modelo Monte Carlo.
D. Bibliografia
1
2
3
6
7
8
10
13
CONSIDERAÇÃO DO RISCO NA AVALIAÇÃO DE PROJETOS
Até este momento mostrou-se como realizar a avaliação determinística de um projeto, que
considera o valor médio ou esperado de cada uma das variáveis aleatórias. Isto implica que
os valores dos indicadores de rentabilidade do projeto são os esperados.
No entanto, quando se avalia um projeto, não se tem certeza da maioria dos benefícios e os
custos. Inclusive a duração prevista para o projeto pode ser duvidosa.
As variáveis para as quais há certeza do seu valor no momento da avaliação são as
variáveis certas ou não aleatórias. Por exemplo, na avaliação de um projeto de produção de
vinho se assinará um contrato de compra da uva pelos próximos 5 anos, fixando o preço da
mesma ,esta variável se torna certa no período.
As variáveis cujo valor exato não é conhecido são denominadas aleatórias.
Devido ao fato de muitas das variáveis que intervêm na avaliação serem aleatórias, é
necessário considerar o risco na avaliação de projetos.
Mais adiante serão apresentados vários métodos para a incorporação do risco nas decisões.
A principal função desses métodos é explicitar o risco associado aos projetos. Não se deve
crer que apenas a aplicação destes métodos elimine os riscos.
Como nenhum dos métodos é exato, é aconselhável utilizá-los de forma complementar.
Os temas a analisar são:
•
A avaliação determinística de projetos.
•
Os métodos que não levam em conta a probabilidade de ocorrência de cada evento.
•
A simulação com o modelo Monte Carlo.
A. Avaliação determinística de projetos
Para apresentar os métodos de inclusão de risco, considera-se o seguinte fluxo anual de um
projeto avaliado desde o ponto de vista social, onde os valores das variáveis são os valores
médios:
Exemplo 1
Considera-se um projeto de impermeabilização de um canal de irrigação. Os benefícios
associados a este tipo de projeto consistem no aumento da produção agrícola, devido a
menor infiltração e perda de água.
1
Estes benefícios serão denominados, daqui em diante, “benefício líquido agrícola”, que
resultam iguais ao valor social da produção adicional agrícola obtida na área de influência
do projeto, menos os custos agrícolas sociais necessários para obtê-la.
Supõe-se que o investimento na impermeabilização (em valores sociais) seja de R$120.000,
instantâneo (executado, em sua totalidade, no momento 0), e que sua vida útil seja 30 anos.
Os custos sociais de operação do projeto são iguais a R$ 5.000 anuais vencidos.
Para simplificar, considera-se que na zona exista um só tipo de cultivo (bem Y). O benefício
líquido agrícola é calculado com os seguintes valores:
•
A quantidade de Y produzida aumenta em 4.000 unidades anuais (quantidade adicional
daqui em diante).
•
O preço social do bem Y é igual a R$ 7.
•
Os custos variáveis unitários para produzir Y são iguais a R$ 2.
•
Os benefícios líquidos agrícolas ocorrem ao final de cada ano.
A taxa social de desconto é de 8% ao ano.
O fluxo que permite decidir se o projeto é socialmente conveniente é o seguinte:
Fluxo anual de benefícios e custos de
Impermeabilização do canal versus não impermeabilização
Conceito
0
1 a 30
Investimento social (I*)
Custos operativos sociais (COS)
Custo social dos insumos (CSY)
Valor social da produção (VSP)
-120.000
Benefícios líquidos
-120.000 15.000
-5.000
-8.000
28.000
O VSP refere-se ao valor da produção adicional de Y avaliada a preços sociais.
O valor líquido atual esperado do projeto, calculado a 8%, é igual a R$ 48.866,75. Por ser
positivo, é melhor impermeabilizar o canal do que deixar de executar o projeto.
Esta avaliação é determinística. A informação disponível inclui valores médios das variáveis.
O problema é que variáveis aleatórias podem adotar valores diferentes daqueles médios
estimados e, com isso, a rentabilidade observada resulta diferente da projetada. Este risco
pode ser explicitado por meio do uso de métodos que permitem incorporá-lo.
B. Métodos que não levam em conta a probabilidade da ocorrência de cada
evento.
Este grupo apresenta os seguintes métodos:
•
Determinação das variáveis críticas.
2
•
Determinação do ponto de nivelação das variáveis.
•
Análise de sensibilidade.
•
Análise dos cenários.
1. Determinação das variáveis críticas
As variáveis críticas de um projeto são aquelas cuja variação pode influir mais fortemente na
rentabilidade ou viabilidade do mesmo.
A determinação das variáveis críticas ajuda a aprofundar a análise, estudando como se
comportarão ao longo do tempo. Por exemplo, se pagamentos de salários é uma variável
crítica, deve-se aprofundar a análise dos acordos salariais da atividade, o atraso nos ajustes
de salários etc. Também podem ser utilizados para negociar, por exemplo, o caso de uma
franquia ao considerar qual é o valor máximo a ser pago pode ser negociado com o dono da
marca.
Qualquer uma das variáveis aleatórias de um projeto pode ser crítica. Para identificar as
variáveis mais críticas, deve-se estimar para cada variável aleatória:
•
•
•
A elasticidade do VPL referente a essa variável.
A variabilidade da variável.
O indicador de variável crítica.
Elasticidade do VPL
A elasticidade do VPL referente a uma variável X (EVPL,X) mensura sua sensibilidade a
variações em X e é calculada da seguinte forma:
∆VPL
E VPL,X = VPL .
(1)
∆X
X
Isto é, considera uma variação percentual do VPL em relação a uma variação percentual na
variável X.
Se o sinal da elasticidade for positivo, existe uma relação direta entre a variável X e o VPL.
Por exemplo, no caso em que a elasticidade do VPL referente ao preço de um bem é 2,
significa que se o preço aumenta 10%, e o VPL incrementa 20%. Se o sinal for negativo, a
relação é inversa. Por exemplo, se a elasticidade do VPL referente aos custos operativos for
– 4 significam que se esses custos aumentarem 10%, o VPL diminuirá 40%.
Variabilidade da variável.
Existem diferentes maneiras de considerar a variabilidade de uma variável aleatória X:
•
A faixa ou banda de variação da variável em termos percentuais: Por exemplo, a banda
de variação da quantidade produzida de um bem de 10%,implica que essa quantidade
pode tomar valores na faixa: média ± 10%.
3
•
O coeficiente de variação da variável (CVX), que é igual ao desvio-padrão da variável
(σX) dividido por sua média ( X ):
CVX =
σX
X
A média e o desvio-padrão são calculados como:
X=
m
∑
Xi ⋅ Ai , σ X =
i =1
m
∑ (X
i
− X)2 ⋅ Ai
(2)
(3)
i =1
onde Xi são os m valores diferentes que podem ser assumidos pela variável X e Ai é a
frequência relativa (ou probabilidade) correspondente ao valor Xi.
Se a distribuição da variável for normal, 68,27% dos valores que assume a variável X
encontram-se no intervalo definido por ( X ± σ X ). Por exemplo, se o preço médio do bem
for R$ 10 e o CV do preço do bem 0,5, 68,27% dos valores fazem parte do intervalo
10 ⋅ (1 ± 0,50) .
O avaliador pode optar por uma ou outra medida, em função da informação disponível. Em
certas ocasiões considera a opinião de especialista no tema, que se expressa como
percentagem esperada da mudança na variável (faixa de variação). Em outros casos, o
avaliador dispõe de séries históricas que permitem calcular o coeficiente de variação.
Indicador de variável crítica
Este indicador é:
Indicador = EVPL,X · Medida da variabilidade de X.
Em caso de opção pelo uso da banda de variação da variável em termos percentuais, o
indicador mostra a máxima variação percentual do VPL, devido à variação dessa variável.
Por exemplo, se o indicador correspondente aos custos fixos anuais for 25%, a máxima
variação observada do VPL, devido à variabilidade nessa variável, é de 25%.
No uso do CV da variável, a variação percentual no VPL, devido à variabilidade dessa
variável, será igual ao indicador, com uma confiança de 68,27%. Por exemplo, se o
indicador do preço do bem é 30% e tem uma distribuição normal, a variação percentual no
VPL, devido à variabilidade do preço, é 30%, com uma confiança de 68,27%.
Determinação das variáveis críticas do Exemplo 1 usando banda
de variação da variável
Considere a informação do exemplo, ao qual se adicionam os dados referentes à
variabilidade de cada uma das variáveis que incidem no VPL:
4
Banda de
variação
Elasticidade
Variáveis
Investimento (I*)
Custos operativos sociais
Custos sociais variáveis unitários (cv*)
Preço social do bem Y (P*)
Quantidade adicional de unidades de Y
-2,456
-1,152
-1,843
6,451
4,608
Indicador de
variável crítica
0,01%
10,00%
5,00%
8,00%
15,00%
-0,02%
-11,52%
-9,22%
51,60%
69,11%
Ordem
5º
3º
4º
2º
1º
O cálculo da elasticidade é muito simples. Por exemplo, a correspondente ao preço social
do bem Y:
•
Sabe-se que o VPL é R$ 48.866,75 se o preço for R$ 7.
•
Calcula-se o preço com um aumento de 1%: 7 · (1,01) = R$ 7,07.
•
Calcula-se o VPL com esse novo preço: R$ 52.018,93.
•
Calcula-se a variação do VPL:
•
Calcula-se a elasticidade do VPL correspondente ao preço:
52.018,93 − 48.866,75
= 6,45% .
48.866,75
6,45%
= 6,45 .
1%
Na tabela foi considerada a variabilidade da variável através da faixa de variação. O
indicador de variável crítica é obtido com a multiplicação da elasticidade do VPL referente a
uma variável pela banda de variação dessa variável.
As variáveis são ordenadas de mais a menos críticas, em função do valor absoluto deste
indicador. A variável mais crítica resulta ser a quantidade adicional de unidades de Y. Não
obstante o preço social seja a variável com maior elasticidade e fique em segundo lugar no
ordenamento. Isto porque a elasticidade é só um dos componentes do indicador. Se uma
variável tem alta elasticidade e alta variabilidade, indubitavelmente é crítica. Se tiver baixa
elasticidade e pouca variabilidade, é “quase” certa. Uma alta elasticidade não garante que a
variável seja preocupante, se é que sua variabilidade esperada é quase nula.
Determinação do indicador da variável crítica da quantidade
adicional de Y do Exemplo 1 usando o coeficiente de variação
Conhecida a distribuição de probabilidades da variável Y, o CV pode ser calculado. Por
exemplo, se a tabela de freqüências relativas da quantidade for:
Yi
Ai
3.200
3.500
4.000
4.500
4.800
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
Isto é, 40% de uma amostra de 100 variáveis é igual a 4.000 unidades adicionais; 20%
corresponde a 3.500 etc.
5
Calcula-se a média, o desvio-padrão da distribuição, o CV e o indicador de variável crítica
(considerando a elasticidade previamente indicada para a quantidade adicional de Y):
Conceito
Valor
Média
Desvio-padrão
Coeficiente de variação
Indicador de variável crítica
2.
4.000
477,49
11,94%
55,00%
Ponto de nivelação das variáveis
O ponto de nivelação refere-se ao valor mínimo ou máximo que deve ser assumido por uma
variável para que resulte na execução do projeto do que não fazê-lo. Seu cálculo supõe que
as demais variáveis mantêm seu valor médio1. É esse valor de nivelação que faz que o VPL
seja igual à zero.
É interessante identificar este valor quando não se conhece o valor de uma variável do
projeto. Por exemplo, num projeto de reciclagem de resíduos, pode-se determinar o máximo
preço que se pode pagar pelo resíduo/insumo ao órgão que o recolhe
Determinação do ponto de nivelação das variáveis mais críticas
do projetoExemplo 1
É importante considerar as variáveis mais críticas do projeto para aprofundar sua análise
Exemplo 1, o incremento na quantidade de Y e o preço social são as variáveis mais críticas
e, portanto, são calculados os valores mínimos que podem assumir, a partir dos quais o
projeto começa a ser conveniente.
A quantidade adicional de nivelação de Y surge quando Y é colocado como incógnita no
seguinte fluxo, sendo a montada a equação de VPL igual à zero:
Fluxo anual de benefícios e custos de
Impermeabilização do canal versus não impermeabilização
Conceito
0
1 a 30
Investimento social (I*)
Custos operativos sociais (COS)
Custo social dos insumos (CSY)
Valor social da produção (VSP)
-120.000
Benefícios líquidos
-120.000 -5.000+5·Y
VPL = − 120.000 + ( −5.000 + 5 Y ) ⋅
-5.000
-2 · Y
7·Y
(1,08 )30 − 1
= 0|,
(1,08)30 ⋅ 0,08
1
A apostila sobre os e fluxos apresentou uma primeira aproximação deste tema ao calcular o aluguel
mínimo diário dos bangalôs ou cabanas.
6
onde Y = 3.132 e indica que é conveniente executar o projeto se a quantidade adicional
produzida na zona for pelo menos 3.132 unidades anuais.
De maneira similar procede-se à determinação do preço mínimo social: R$ 5,91.
Em alguns casos é útil calcular combinações de ambas as variáveis que permitem que o
VPL seja zero. Esta tarefa fica para o leitor.
3. Análise da sensibilidade
A análise da sensibilidade consiste em determinar o efeito que produzem sobre um
indicador de rentabilidade do projeto, as possíveis modificações nos valores de uma ou de
várias das variáveis que incidem em seu cálculo.
A determinação das variáveis críticas permite saber em quais delas se centrará a análise de
sensibilidade. A taxa de desconto é uma das variáveis às que se aplica este método, devido
principalmente às dificuldades na determinação do seu valor.
Esta análise requer uma faixa ou banda de variação “razoável” para cada variável, que
deverá ser correspondente à banda de variação ou desvio-padrão da variável.
Análise de sensibilidade no Exemplo 1
As ferramentas da informática conhecidas permitem realizar análises de sensibilidade para
uma e para duas variáveis.
Caso seja necessário optar por uma só variável, deve ser a quantidade adicional de
unidades, por ser a mais crítica. A informação disponível desta variável indica que a faixa de
variação estimada pelo especialista no setor é de 15% e o CV, 11,94%. Submetendo o
especialista a uma revisão do seu prognóstico, em função das informações dos dados
estatísticos, chega-se a um ajuste de 13%. Isto implica que 68,27% das observações
estarão entre 3.480 e 4.520 unidades adicionais anuais. Dado que isto não abarca a
totalidade dos casos, abaixo se amplia um pouco a banda (3.200 a 4.800 unidades
adicionais anuais) e se realiza a análise de sensibilidade:
Unidades
adicionais
de Y
VPL
3.200
3.400
3.600
3.800
4.000
4.200
4.400
4.600
4.800
3.835,62
15.093,40
26.351,18
37.608,97
48.866,75
60.124,53
71.382,32
82.640,10
93.897,88
Neste caso se observa que para todas as quantidades adicionais de Y consideradas o VPL
é positivo. Isto era de se esperar, já que o valor de nivelação da quantidade adicional foi de
3.132 unidades anuais.
7
Introduzido o preço social na análise, há que se ter em conta que a faixa de variação
estimada pelo especialista é de 8%. Os valores máximos e mínimos esperados para o preço
são R$ 7,56 e R$ 6,44. Se o avaliador dúvida do prognóstico do especialista, pode decidir
ampliar um pouco a banda (R$ 6 a R$8) e realizar a análises de sensibilidade:
Sensibilidade do VPL à quantidade adicional anual de Y e ao preço social
Quantidade
adicional
de Y
3.200
3.400
3.600
3.800
4.000
4.200
4.400
4.600
4.800
Preço social de Y
6,00
6,50
-32.189,29
-23.183,06
-14.176,84
-5.170,61
3.835,62
12.841,84
21.848,07
30.854,30
39.860,52
-14.176,84
-4.044,83
6.087,17
16.219,18
26.351,18
36.483,19
46.615,19
56.747,20
66.879,20
7,00
7,50
8,00
3.835,62 21.848,07 39.860,52
15.093,40 34.231,63 53.369,86
26.351,18 46.615,19 66.879,20
37.608,97 58.998,76 80.388,54
48.866,75 71.382,32 93.897,88
60.124,53 83.765,88 107.407,22
71.382,32 96.149,44 120.916,56
82.640,10 108.533,00 134.425,90
93.897,88 120.916,56 147.935,24
A tabela indica o VPL correspondente a cada combinação de valores de ambas as variáveis.
Por exemplo, para 4.800 unidades adicionais anuais e um preço social de R$ 6, o VPL é
igual a R$ 39.860,52.
Podem ser identificadas as faixas de combinação de valores dessas variáveis que permitem
obter VPLs positivos. Caso essas combinações pareçam razoáveis, pode-se concluir que a
execução do projeto é conveniente. Não sendo assim, existem dúvidas sobre sua
conveniência. Combinações com VPL negativo indicam a não conveniência do projeto. Um
especialista na área pode indicar a necessidade de observar essas combinações.
Como indicado, é interessante sensibilizar o VPL relativo à taxa de desconto. O avaliador
pode não estar seguro sobre a taxa utilizada ao avaliar o projeto, mas pode considerar que
está incluída numa determinada faixa. A título de exemplo se considera que a faixa de taxas
relevante vai de 5% a 14% ao ano:
Taxa de
desconto
VPL
5,00%
6,50%
8,00%
9,50%
11,00%
12,50%
14,00%
110.586,77
75.880,14
48.866,75
27.520,79
10.406,89
-3.504,33
-14.960,04
A tabela revela que o ponto de nivelação da taxa de desconto está entre 11% e 12,5% ao
ano. Como se trata de um fluxo convencional, pode-se calcular a TIR anual (12,09%), a qual
resulta ser única.
4. Análise de cenários
Os denominados cenários são combinações alternativas e coerentes das variáveis mais
críticas do projeto. À diferença da análise de sensibilidade, a de cenários pode incorporar
8
mais de duas variáveis. Para definir cada cenário, devem-se levar em conta as relações
existentes entre as variáveis.
Este método é muito útil quando o avaliador não está seguro sobre o cenário originalmente
proposto. Por exemplo, este método foi utilizado na avaliação da transferência do “Cassino
de Mendoza”, na Província de Mendoza (Argentina), que estava sob a administração estatal,
para os seus empregados. Este cassino era o único na Província, mas, no momento da
avaliação,,estava sendo construído um hotel de 5 estrelas, que incorporava outro cassino.
Com isso, o cassino estatal passava a ter concorrência, e não se sabia como isto poderia
afetar sua receita. Foram supostos cenários alternativos, considerando a percentagem de
diminuição da receita.
Pode-se definir um amplo número de cenários. Todavia, isto seria pouco prático. O tomador
de decisão contaria com um conjunto muito amplo de informação, que só contribuiria para
complicar sua tarefa. Considera-se conveniente definir não mais de 5 cenários.
Análise de cenários no Exemplo 1
Propõem-se três cenários para o caso do exemplo: um otimista, um esperado (o proposto
originalmente, com os valores médios das variáveis) e outro pessimista. Os cenários se
constroem com combinações alternativas de preço social e quantidade adicional anual de Y:
Cenário
Otimista
Médio
Pessimista
Quantidade Preço social
adicional de Y
de Y
4.500
4.000
3.500
7,8
7,0
6,4
VPL(8%)
117.539,23
48.866,75
-2.919,30
Estes cenários são denominados “diretos”, o que significa que as variáveis se movem no
mesmo sentido: tanto o preço quanto a quantidade adicional, aumentam em um e diminuem no
outro. 2
Uma vez determinado o VPL de cada cenário, atribuem-se probabilidades de ocorrência a cada
um deles, em função da opinião de especialistas ou de análises estatísticas.
Cenário
Otimista
Médio
Pessimista
Probabilidade
5%
14%
81%
Finalmente assume-se que o VPL para a tomada de decisão final é o valor esperado dos VPLs
dos diferentes cenários ponderados por sua probabilidade de ocorrência:
VPL esperado = 0,05 ⋅ 117.539,23 + 0,14 ⋅ (-2.919,05) + 0,81 ⋅ 48.866,75 = R$ 45.050,36 .
2
Os cenários são “cruzados”, se as variáveis que os definem se combinam de maneira inversa. Por
exemplo, seria o caso no que o valor social da produção aumenta, mas, também, o fazem os custos
operativos sociais.
9
C. Simulação com o modelo Monte Carlo.
Este método, diferentemente dos anteriores, permite chegar a uma distribuição das
probabilidades dos indicadores de rentabilidade. O resultado obtido não será um VPL, mas a
distribuição de probabilidades associadas a esse indicador, com os parâmetros pertinentes:
média e desvio-padrão.
Não há restrições quanto ao número de variáveis aleatórias que influem no projeto com as
que se pode trabalhar no processo de simulação.
Por exemplo, este método pode ser aplicado na estimativa das reservas orçamentárias
necessárias para defrontar com passivos contingentes relacionados com garantias em obras
de infraestrutura. Cabe destacar que um passivo contingente é uma obrigação que só se
efetivará se ocorrer eventualmente algum fato específico, e que o governo está
comprometido por lei ou por contrato a cumprir. É muito comum que os governos entreguem
algum tipo de garantia aos outros agentes da economia, para ajudá-los a cobrir riscos
relacionados com a eventual ocorrência de certos fatos. Esta modalidade foi usada em
muitos casos de concessões de estradas, onde o Estado garante determinado rendimento
no conceito de pedágios. Se o concessionário não consegue esse nível de rendimentos, o
Estado compromete-se lhe pagar a diferença.
Passos a seguir para aplicar o modelo Monte Carlo
•
Identificação da variável dependente: o VPL (ou qualquer outro indicador), a previsão
para o passivo contingente, etc.
•
Identificação das variáveis independentes: aquelas que influem sobre a dependente
identificada. Por exemplo: investimento, quantidade a vender por período, rendimento
garantido, etc.
•
Definição das relações existentes entre todas as variáveis e classificação das mesmas
como variáveis certas e aleatórias.
•
Para cada variável aleatória:
-
Definição do tipo de distribuição (normal, uniforme, etc.), e dos valores dos
parâmetros que a caracterizam. Para isso há que se basear na informação disponível
e/ou à experiência.
-
Geração de uma determinada quantidade de números aleatórios, os quais devem
responder à distribuição identificada.
•
Para cada uma das combinações de valores das variáveis é calculado um valor da
variável dependente (VPL, nível de previsão, etc.). Gerados z números aleatórios para
cada variável, as combinações possíveis são z, assim como o número de resultados.
Desta forma foi determinada uma distribuição de probabilidades associada à variável
dependente.
•
A análise deve ser completada, até a geração dos parâmetros da distribuição e outra
informação que, a partir dela pode ser calculada. Por exemplo, se a variável dependente
for o VPL, pode ser calculado o valor médio do VPL, seu desvio-padrão e seu coeficiente
de variação. As fórmulas são:
10
z
VPL =
∑ VPL
i =1
z
i
, σ VPL =
1
⋅
( z − 1)
z
∑ ( VPL − VPL)
2
i
, CVVPL =
i =1
σ VPL
VPL
,
onde os VPLsi são os z valores do VPL obtidos a partir do processo de simulação.
Também podem ser diagramados a tabela de frequências e o histograma, podendo ser
identificada a probabilidade de obtenção de um VPL negativo ou inferior a um
determinado valor, etc.
Com as estimativas anteriores o investidor pode tomar suas decisões, tendo em conta suas
preferências em relação ao risco.
Para aplicação deste modelo há programas de computação específicos. Um deles é o
Crystal Ball, que é uma ferramenta que se incorpora ao Microsoft Excel e permite fazer a
simulação. As ferramentas do Microsoft Excel básico que permitem utilizar o modelo são
muito limitadas e servem para casos muito simplificados.
Aplicação do Modelo de Monte Carlo no Exemplo 1
O modelo é simulado considerando duas variáveis aleatórias:
•
A quantidade adicional anual de Y, considerando uma distribuição normal, com média
igual a 4.000 e desvio-padrão de 477,49. Considera-se uma correlação perfeita entre os
valores das quantidades observadas durante os 30 anos. Isto é, se a primeira
quantidade adicional considerada ao gerar os números aleatórios for 3.879, para calcular
o primeiro dos VPL, essa quantidade adicional se repete durante os 30 anos.
•
O preço social do bem Y, cuja distribuição de probabilidades é uniforme, entre R$ 6,44 e
R$ 7,56 e considera-se que existe correlação perfeita.
Na simulação apresentada a seguir foram gerados 300 números para cada uma das
variáveis. A tabela seguinte apresenta somente os 6 primeiros:
Quantidade Preço social
adicional de Y
de Y
3.858,63
3.899,94
3.820,75
2.474,97
3.981,82
4.532,69
6,45
7,23
7,39
7,19
6,66
6,52
VPL
17.207,99
53.483,27
55.680,63
-31.753,44
32.436,55
54.300,92
A tabela abaixo apresenta as freqüências do VPL:
11
Frequência
Faixa do VPL
Menor a -29.000
-29.000 a -17.000
-17.000 a -5.000
-5.000 a 7.000
7.000 a 19.000
19.000 a 31.000
31.000 a 43.000
43.000 a 55.000
55.000 a 67.000
67.000 a 79.000
79.000 a 91.000
91.000 a 103.000
103.000 a 115.000
115.000 a 127.000
127.000 a 139.000
2
3
5
13
33
36
53
32
37
30
15
17
13
7
4
Apresenta-se também o histograma:
60
Freqüência
50
40
30
20
10
0
-29.000
-5.000
19.000
43.000
67.000
91.000 115.000 139.000
VPL em reais
A partir dos 300 VPL foram obtidos os seguintes resultados:
Conceito
Valor
Valor médio do VPL
Desvio-padrão do VPL
Coeficiente de variação do VPL
Quantidade de VPL negativos
Quantidade de VPL < Media - Desvio-padrão
Quantidade de VPL < Media + Desvio-padrão
Quantidade de VPL < a R$ 3.000
R$ 49.371,74
R$ 33.508,19
0,6787
16
44
249
18
Probabilidade
de ocorrência
5,33%
14,67%
83,00%
6,00%
É este conjunto de informação que permite ao tomador de decisão determinar o que fazer. É
provável que, neste caso, decida-se pela execução do projeto, já que a probabilidade de
resultados negativos é escassa.
12
D. Bibliografia
FERRÁ, Coloma y BOTTEON, Claudia, Evaluación privada de proyectos (Mendoza, FCEUNC, 2007).
FONTAINE, Ernesto, Evaluación social de proyectos, 12a. ed. (México, Alfaomega, 1999).
HILLIER, Frederick S., The Derivation of Probabilistic Information for the Evaluation of Risky
Investments, en "Management Science" (abril 1963).
HIRSHLEIFER, Jack, Investment, Interest and Capital (Prentice-Hall, 1970).
YAMARE, Taro, Matemática para economistas, trad. por J. López U. (Barcelona, Ariel,
1965).
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