ET720 – Sistemas de Energia Elétrica I
1 Semestre 2011
Capı́tulo 5 – Linhas de transmissão – Parte 1
5.1
Introdução
◮ Componentes de uma linha de transmissão:
(4)
(1) condutores
(2) isoladores (cadeia de isoladores de porcelana
ou vidro)
(1)
(3) estruturas de suporte (torres, postes)
(2)
(4) cabos pára-raios (cabos de aço colocados no
topo da estrutura para proteção contra raios)
5.2
(3)
Classes de tensão
◮ Sigla
Denominação
Valores tı́picos de tensão (de linha)
low voltage
< 600 V
MV
medium voltage
13,8
23
34,5
HV
high voltage
115
138
230 kV
EHV
extra high voltage
345
440
500
UHV
ultra high voltage
1100 kV
LV
–1–
69 kV
600DC
765 kV
5.3
Tipos de condutores
◮ Material
No passado: cobre
Atualmente: cobre, alumı́nio(∗)
(∗)
mais barato, mais leve, requer área da seção reta maior que o cobre para as
mesmas perdas
◮ Aéreos, subterrâneos
◮ Unidades mais comumente usadas:
comprimento: metro [m], pé (foot) [ft], milha (mile) [mi]
1 ft = 0,3048 m
1 mi = 1609 m
área da seção reta: milimetro quadrado [mm2 ], circular mil [CM](∗)
(∗)
1 CM = área de um condutor de um milésimo de polegada (mil) de diâmetro
–2–
◮ Condutores de alumı́nio (linhas aéreas):
Sigla (Inglês/Português) Significado (Inglês/Português)
AAC / CA
AAAC / AAAC
all aluminum alloy conductor (liga de alumı́nio pura)
ACSR / CAA
aluminum conductor steel reinforced (alumı́nio com
alma de aço)
ACAR / ACAR
aluminum conductor alloy reinforced (alumı́nio com
alma de liga de alumı́nio)
outros
all aluminum conductor (alumı́nio puro)
para aplicações especiais
ACSR (alumı́nio com alma de aço): aço mais barato que alumı́nio, a alma de aço
o faz ser mais resistente à tração (admite lances maiores) → é o mais utilizado
–3–
liga de alumı́nio: alumı́nio + magnésio/silı́cio, por exemplo
os condutores são nus (não há camada isolante)
condutores são torcidos para uniformizar a seção reta. Cada camada é torcida
em sentido oposto à anterior (evita que desenrole, empacotamento é melhor)
ACSR (CAA)
AAC (CA)
Cabos de cobre (linhas subterrâneas): sólidos ou encordoados. Condutores
isolados com papel impregnado em óleo. Existem outros tipos de isolação
–4–
Cabos ACCC (Aluminum Composite Conductor Core) – núcleo de carbono
envolvido por fibra de vidro. As fibras de carbono esticam menos que o aço. A
fibra de vidro não resulta na corrosão tı́pica que ocorre no contato aço/alumı́nio
alumı́nio
alumı́nio
condutor ACCC
alma de aço
ACSR tradicional
• Mais caro
• Maior capacidade de corrente
• Menor sag
Sag
–5–
composto
condutor ACCC
Exemplo
Determine a área de alumı́nio e a área externa total do condutor ACSR 26/7 Linnet em
cm2 .
De acordo com a tabela A.3, o condutor Linnet apresenta as seguintes caracterı́sticas:
Área de alumı́nio
: 336.400 CM
Diâmetro externo : 0,721 in2
Calculando a área de alumı́nio em cm2:
1 CM
= π
336.400 CM =
0,001 2
2
in2
⇒
SAl
SAl = 0,264 in2 = 1,7 cm2
que corresponderia a um condutor de alumı́mio de 1,47 cm de diâmetro. A área externa
total é:
Sext = π
0,721
2
2
= 0,408 pol2 = 2,634 cm2
Visualizando:
diâmetro equivalente
de alumı́nio
1,47 cm
diâmetro externo
1,83 cm
–6–
5.4
Projeto de linhas de transmissão
◮ Fatores elétricos:
Determinam o tipo de condutor, a área e o número de condutores por fase
Capacidade térmica: condutor não deve exceder limite de temperatura, mesmo sob
condições de emergência quando pode estar temporariamente sobrecarregado
Número de isoladores: manter distâncias fase-estrutura, fase-fase etc. Deve operar
sob condições anormais (raios, chaveamentos etc.) e em ambientes poluı́dos
(umidade, sal etc.)
Esses fatores determinam os parâmetros da linha relacionados com o modelo da
linha
◮ Fatores mecânicos:
Condutores e estruturas sujeitos a forças mecânicas (vento, neve etc.)
◮ Fatores ambientais:
Uso da terra (valor, população existente etc.)
Impacto visual (estético)
◮ Fatores econômicos:
Linha deve atender todos os requisitos a um mı́nimo custo
–7–
5.5
Parâmetros das linhas de transmissão
campo elétrico
torre
isoladores
ifuga
condutor
campo magnético
i
◮ Resistência (R)
Dissipação de potência ativa devido à passagem de corrente
◮ Condutância (G)
Representação de correntes de fuga através dos isoladores (principal fonte de
condutância) e do efeito corona
Depende das condições de operação da linha (umidade relativa do ar, nı́vel de
poluição, etc.)
O efeito corona ocorre quando campos elétricos muito intensos na superfı́cie do
condutor causam a ionização do ar, que se torna um condutor
É muito variável, em função dos fatores acima
Seu efeito é em geral desprezado (sua contribuição no comportamento geral de
operação da linha é muito pequena)
–8–
◮ Indutância (L)
Deve-se aos campos magnéticos criados pela passagem das correntes
◮ Capacitância (C)
Deve-se aos campos elétricos: carga nos condutores por unidade de diferença de
potencial entre eles
◮ Com base nessas grandezas que representam fenômenos fı́sicos que ocorrem na
operação das linhas, pode-se obter um circuito equivalente (modelo) para a mesma,
como por exemplo:
R
Fonte
G
X
G
C
C
Linha de transmissão
5.6
Resistência (R)
◮ Causa a dissipação de potência ativa:
R=
potência dissipada no condutor
2
Ief
–9–
Carga
◮ Resistência CC:
ℓ
R0 = ρ Ω
A
ρ − resistividade do material (Ω · m)
ℓ − comprimento (m)
A − área da seção reta (m2 )
◮ Cobre recozido a 20◦: ρ = 1,77 × 10−8 Ω · m
Alumı́nio a 20◦: ρ = 2,83 × 10−8 Ω · m
◮ ρ depende da temperatura → R0 varia com a temperatura (ρ aumenta → R0
aumenta):
T + t2
R2
=
R1
T + t1
em que a constante T depende do material:

 234,5 cobre recozido com 100% de condutividade
241,0 cobre têmpera dura com 97,3% de condutividade
T =

228,0 alumı́nio têmpera dura com 61% de condutividade
t
t1
t2
R1
T
– 10 –
R2
R
◮ R0 aumenta de 1 a 2% para cabos torcidos (fios de alumı́nio torcidos, p.ex. cabos
ACSR)
Para se ter x metros de cabo, necessita-se de 1,01x a 1,02x metros de fios para
depois agrupá-los e torcê-los
◮ Em corrente alternada a distribuição de corrente não é uniforme pela seção reta do
condutor → a corrente concentra-se na periferia do condutor
“Área útil” para passagem da corrente diminui → RAC > R0 → efeito pelicular
(“skin effect”)
Exemplo
Um cabo AAAC Greeley (6201-T81) apresenta as seguintes caracterı́sticas (dados de
tabela):
resistência CC a 20◦
0,07133 Ω/km
◦
resistência CA a 50
0,08202 Ω/km
coeficiente de variação com a temperatura (α) 0,00347 ◦ C−1
Calcule o aumento percentual da resistência devido ao efeito pelicular, considerando a
seguinte equação para a variação da resistência em função da temperatura:
R2 = R1 [1 + α (t2 − t1 )]
A resistência CC a 50◦ é:
R050 = R020 [1 + α (50◦ − 20◦ )]
= 0,07133 · [1 + 0,00347 · (50◦ − 20◦)] = 0,07876 Ω/km
– 11 –
A relação entre as resistências CA (dada) e CC (calculada) a 50◦ é:
50
0,08202
RCA
=
= 1,0414
R050
0,07876
ou seja, o efeito pelicular faz com que a resistência CA aumente em 4,14%
5.7
Indutância (L)
◮ Relacionada com os campos magnéticos produzidos pela passagem de corrente pelo
condutor → corrente produz campo magnético
H
H
⊗i
H
i
H
– 12 –
◮ Fluxo concatenado com uma corrente (λ): é aquele que enlaça a corrente lı́quida
Fluxo concatenado externo ao condutor: a corrente produz um campo
magnético (φ). O fluxo externo concatenado com a corrente enlaça toda a
corrente, portanto:
fluxo magnético (φ)
⊗i
λ=φ
Fluxo concatenado interno ao condutor: o fluxo interno concatenado com a
corrente a uma distância x do centro do condutor de raio R é:
x
φ
λ
R
i
λ=φ
x 2
R
Assumindo densidade de corrente (distribuição de carga por área) uniforme, a
corrente enlaçada a uma distância x é proporcional à corrente
total. Aparece
2
2
portanto na expressão de λ a relação entre áreas πx /πR
– 13 –
Fluxo concatenado com uma bobina:
⊗i
⊗i
⊗i
λ
φ
i
λ = 3φ
i
A bobina tem 3 espiras. Logo, o fluxo concatenado “enxerga” três vezes a
corrente i
◮ Lei de Faraday:
e=
d
λ
dt
Relação entre tensão e corrente para o indutor:
e=L
d
i
dt
Dividindo uma equação pela outra, obtém-se uma expressão para a indutância:
L=
– 14 –
d
λ
di
Se o circuito magnético possui permeabilidade magnética constante:
L=
λ
H
i
(∗)
(∗)
L=
d
d
d
d
d Ni
N 2A d
λ = Nφ = N BA = NA µH = NA µ
=
µi
di
di
di
di
di ℓ
ℓ di
Se o circuito magnético possui permeabilidade magnética constante:
N 2 Aµ
N 2 Aµ d
i=
× (i /i )
L=
ℓ di
ℓ
Ni NAµ
NAµ
N 2 Aµi
=
·
=H
=
ℓi
ℓ
i
i
NA BNA φN
λ
= µH
=
=
=
i
i
i
i
5.7.1
Indutância de um condutor
◮ Deve-se calcular a indutância devido ao fluxo interno no condutor, indutância devido
ao fluxo externo ao condutor e a indutância total
◮ Consideração: o condutor está isolado, isto é, outros condutores estão muito
afastados e os seus campos magnéticos não o afetam
– 15 –
Indutância devido ao fluxo interno
◮ Considerar um condutor sólido pelo qual circula uma corrente i
◮ Lei de Ampère:
I
H d ℓ = ic
c
“a intensidade de campo magnético (A/m) ao longo de qualquer contorno é igual à
corrente que atravessa a área delimitada por este contorno”
Esta expressão é válida para CC ou CA (utilizar fasores neste caso)
◮ Considerar a seguinte situação (condutor visto de frente):
dℓ
dx
x
R
◮ Resolvendo a equação de Ampère:
πx 2
H (2π x ) =
i
πR2
→
– 16 –
H=
x
i A/m
2πR2
◮ Densidade de fluxo:
B = µr µ0 H Wb/m2
em que µ0 = 4π · 10−7 H/m é a permeabilidade do vácuo e µr é a permeabilidade
relativa do material
◮ Considerar o elemento tubular de espessura d x e comprimento ℓ:
ℓ
dS
dx
dS = ℓ dx
H
O fluxo magnético é igual à densidade de fluxo B vezes a área da seção transversal
que o campo atravessa (H ⊥ d S):
d φ = B d S Wb
Da figura tem-se d S = ℓ d x e:
d φ = µr µo Hℓd x Wb
– 17 –
O fluxo por unidade de comprimento do condutor é (dividindo por ℓ):
d φ = µr µo Hd x Wb/m
◮ O fluxo concatenado com a corrente é proporcional à área de raio x :
x2
dλ = 2dφ
R
x2
= 2 µr µ0 Hd x
R
=
x
x2
idx
µ
µ
r
0
2
R2
2πR
| {z }
H
x3
= µr µ0
i d x Wb/m
2πR4
Integrando:
λint =
Z
0
R
µr µ0
µr µ0
x3
i
d
x
=
i Wb/m
2πR4
8π
e independe do raio do condutor, dependendo somente do material e da intensidade
da corrente
– 18 –
◮ A indutância devido ao fluxo interno é dada por:
Lint =
d
(∗) λint
λint =
di
i
→
Lint =
µr µ0
H/m
8π
(∗) considerando permeabilidade constante
e é constante. Para materiais como o alumı́nio, cobre, ar, água, tem-se µr = 1 e:
Lint =
1
· 10−7 H/m
2
Outra maneira de obter a indutância devido ao fluxo interno é através da energia
armazenada no campo magnético, que é dada por:
1
E = Linti 2 J
2
Considerando um cilindro de base circular com raio x e comprimento ℓ, a energia
armazenada também pode ser obtida por:
d
1
E = µr µ0 H 2
dV
2
em que V é o volume do cilindro:
V = πx 2 ℓ
– 19 –
Portanto:
d
V = 2πx ℓ
dx
Por unidade de comprimento:
d V = 2πx d x
Logo:
1
1
d E = µr µ0 H 2 2πx d x = µr µ0
2
2
ix
2πR2
2
2πx d x
Para a obtenção da energia, deve-se integrar de 0 a R, o que resulta em:
1
1
E = µr µ0 i 2
2
8π
que, comparando com a primeira expressão da energia fornece:
Lint =
µr µ0
H/m
8π
– 20 –
Indutância devido ao fluxo externo
◮ Considere a seguinte situação em que se deseja obter o fluxo concatenado externo
ao condutor:
dx
x
i
φ
◮ A corrente total i é enlaçada. Aplicando a Lei de Ampère:
I
H dℓ = i
c
2πx H = i
H=
i
2πx
◮ Densidade de campo magnético:
(∗)
B = µ0 H =
µ0 i
2πx
(∗) µr = 1 (ar)
– 21 –
◮ Fluxo magnético (lembrando do elemento tubular de comprimento ℓ e espessura d x ):
d φ = Bd S = Bℓd x
◮ Fluxo por unidade de comprimento:
d φ = Bd x =
µ0 i
dx
2πx
◮ O fluxo concatenado é igual ao fluxo pois o mesmo enlaça toda a corrente uma vez:
d λ = d φ = Bd x =
µ0 i
dx
2πx
◮ O fluxo concatenado externo deve ser calculado entre dois pontos externos ao
condutor:
P1
D1
x
i
dx
D2
φ
P2
– 22 –
◮ O fluxo entre dois pontos P1 e P2 quaisquer externos ao condutor é obtido pela
integração de d λ:
λext = λ12 =
Z
D2
dλ
D1
em que D1 e D2 são as distâncias dos pontos ao condutor (considera-se que r ≪ x ).
Logo:
λ12 =
Z
D2
D1
µ0 i d x
µ0i
D2
Wb/m
=
ln
2π x
2π
D1
◮ Indutância devido ao fluxo externo entre os dois pontos:
L12
λ12
µ0
D2
D2
−7
= 2 · 10 ln
H/m
=
=
ln
i
2π
D1
D1
(∗)
(∗) considerando permeabilidade constante
5.7.2
Indutância de uma linha monofásica
◮ Considerar a linha monofásica:
i⊙
r1
r2
⊗ −i
Hipótese simplificadora:
r1 , r2 ≪ D
D
– 23 –
◮ O fato da corrente no condutor 1 ser i e a corrente no condutor 2 ser −i faz com
que o cálculo de H para uma distância maior que a distância entre os condutores
seja nula, pois neste caso a corrente total enlaçada será nula (itotal = i + (−i ) = 0):
0
⊗
⊙
0
◮ Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 1:
Uma linha de fluxo com raio maior ou igual a (D + r2 ) e com centro no condutor
1 não estará concatenada com o circuito, não induzindo portanto nenhuma
tensão. Em outras palavras, a corrente enlaçada por esta linha de fluxo é nula,
uma vez que a corrente no condutor 2 é igual e de sentido oposto à do condutor
1
Uma linha de fluxo externa ao condutor 1 e com raio menor ou igual a (D − r2 )
envolve uma vez a corrente total
As linhas de fluxo com raios entre (D − r2 ) e (D + r2 ) cortam o condutor 2 →
envolvem uma fração da corrente do condutor 2 que varia entre 0 e 1
– 24 –
◮ Simplificações:
Admitir D ≫ r1 , r2 → (D − r1 ) ≈ (D − r2 ) ≈ D
Considerar condutor 2 como um ponto, localizado a uma distância D do centro
do condutor 1
Então:
L1,ext =
µ0 D
ln
2π r1
◮ Indutância externa entre os condutores produzida pelo condutor 2 (lembrar a
hipótese simplificadora r2 ≪ D e o condutor 1 é representado por um ponto
localizado no centro do condutor):
L2,ext =
µ0 D
ln
2π r2
◮ Indutâncias internas: como considera-se que cada condutor “enxerga” o outro como
um ponto, o fluxo externo de um condutor não afeta o fluxo interno do outro.
Então:
1
µr µ0
= · 10−7 H/m
8π
2
1
µr µ0
= · 10−7 H/m
=
8π
2
L1,int =
L2,int
– 25 –
◮ Indutância total devido ao condutor 1:
L1 = L1,int + L1,ext
D
µr µ0 µ0
=
+
ln
8π
2π
r1
Considerando que a permeabilidade relativa dos materiais mais comuns das linhas
(cobre, alumı́nio) é unitária e que µo = 4π · 10−7 H/m:
1
D
+ ln
4
r1
D
= 2 · 10−7 · ln e 1/4 + ln
r1
1/4 e D
= 2 · 10−7 · ln
r1
D
= 2 · 10−7 · ln
r1 e −1/4
D
= 2 · 10−7 ln ′ H/m
r1
µ0
L1 =
2π
A expressão acima é parecida com a do fluxo externo, só que engloba também o
fluxo interno. Equivale, portanto, ao fluxo externo de um condutor com raio:
r1′ = r1 e −1/4 = 0, 7788 r1
que é chamado de raio efetivo ou GMR – Geometric Mean Radius ou RMG – Raio
Médio Geométrico
– 26 –
◮ Indutância total devido ao condutor 2: o procedimento é o mesmo usado para o
condutor 1, resultando em:
L2 = L2,int + L2,ext
µr µ0
µ0
D
=
+
ln
8π
2π
r2
D
= 2 · 10−7 · ln
r2 e −1/4
D
−7
= 2 · 10 ln ′ H/m
r2
onde:
r2′ = r2 e −1/4 = 0, 7788 r2
é o raio efetivo ou GMR – Geometric Mean Radius do condutor 2.
◮ Indutância total: é a soma das indutâncias dos condutores 1 e 2:
L = L1 + L2
D
D
+ 2 · 10−7 · ln ′
= 2 · 10−7 · ln ′
r1
r2
2 D
−7
= 2 · 10 · ln ′ ′
r1 r2
"
!#
D
= 4 · 10−7 · ln p ′ ′
H/m
r1 r2
– 27 –
a indutância depende da distância entre os fios, dos raios dos condutores e do
meio (µr e µ0 estão embutidos no termo 4 · 10−7)
a indutância independe da corrente
◮ Se os condutores tiverem o mesmo raio:
r1′ = r2′ = r ′
e a indutância será:
D
L = 4 · 10−7 · ln
H/m
r′
Exemplo
Determine a indutância de uma linha monofásica cuja distância entre condutores é de
1,5 m e o raio dos condutores é igual a 0,5 cm
Os dois condutores têm mesmo raio. O raio efetivo (GMR) é:
r ′ = 0,7788 · 0,5 · 10−2 = 0,0039 m
A indutância da linha vale:
1,5
L = 4 · 10−7 · ln
0,0039
= 2,38 µH/m
– 28 –
Exemplo
A corrente pela linha de transmissão monofásica do exemplo anterior é igual a
120 A (rms), 60 Hz. Uma linha telefônica, cuja distância entre condutores é de 10 cm,
está situada no mesmo plano dessa linha, afastada de 1 m, conforme mostra a figura a
seguir. Calcule a tensão induzida na linha telefônica em Volts por metro de condutor.
Considere que o raio dos condutores da linha telefônica é muito menor que as distâncias
entre condutores do problema
1,0 m
10 cm
1,5 m
Linha de transmissão
Linha telefônica
A tensão induzida na linha telefônica é o resultado de um fluxo concatenado entre os
dois condutores da linha, produzido pelas correntes nos condutores da linha de
transmissão
Neste caso, o fluxo concatenado com a linha telefônica tem duas componentes, uma
devido à corrente do condutor 1 (i ) e a outra devido à corrente no condutor 2 (−i ).
Lembrando que:
dλ =
µ0 i
dx
2πx
e chamando as componentes de fluxo concatenado de λ1 e λ2 , tem-se:
1
2,6
−7
λ1 = 2 · 10 · i ·
d x = 2 · 10 · i · ln
2,5
2,5 x
Z 1,1
1,1
1
d x = −2 · 10−7 · i · ln
λ2 = 2 · 10−7 · (−i ) ·
1,0
1,0 x
−7
Z
2,6
– 29 –
Notar que a corrente no condutor 2 tem sentido contrário à do condutor 2. O fluxo
concatenado total é:
λ = λ1 + λ2 = 2 · 10
−7
2,6
1,1
· i · ln
− ln
= −1,1218 · 10−8 · i Wb/m
2,5
1,0
A corrente pelos condutores vale:
i (t) = 120 ·
√
2 · sen (2πf t) A
em que f é a frequência e considerou-se o ângulo de fase da corrente nulo (referência
angular) Logo a expressão do fluxo fica:
λ = −1,3462 · 10−6 ·
√
2 · sen (2πf t) Wb/m
A tensão induzida na linha por unidade de comprimento vale:
v (t) =
√
√
d
λ = 2πf ·(−1,3462)·10−6· 2·cos (2πf t) = −5,0750·10−4· 2·cos (2πf t) V/m
dt
cujo valor eficaz é:
Vef = 5,0750 · 10−4 V/m = 0,5075 V/km
Este é o valor da tensão induzida na linha telefônica por unidade de comprimento da
linha de transmissão
– 30 –
5.7.3
Fluxo concatenado com um condutor de um grupo de condutores
◮ Considere o grupo de n condutores:
D1P
I1
I2
P
D2P
1
D3P
2
DnP
I3
In
n
3
◮ A soma algébrica das correntes nos condutores é nula:
n
X
Ii = 0
i =1
◮ Idéia: calcular o fluxo concatenado com um condutor do grupo de condutores, por
exemplo, o condutor 1
O fluxo concatenado dependerá das contribuições das correntes I1 (do próprio condutor), I2 , I3 . . . In
– 31 –
◮ Fluxo concatenado com o condutor 1 devido à corrente I1 : é composto por duas
parcelas → fluxo interno e fluxo externo
O fluxo externo será calculado até o ponto P somente (é um ponto de localização
arbitrária e não influencia no resultado final)
De acordo com os resultados obtidos anteriormente:
λ1P 1
D1P
= 2 · 10−7 · I1 · ln
r1′
Wb/m
em que r1′ é o raio efetivo. λ1P 1 já inclui os fluxos interno e externo até o ponto P
◮ Fluxo concatenado com o condutor 1 devido à corrente I2 :
λ1P 2 = 2 · 10
−7
D2P
· I2 · ln
D12
Wb/m
A expressão geral para o fluxo concatenado com o condutor i devido à corrente Ij
é:
λi P j = 2 · 10
−7
DjP
· Ij · ln
Di j
– 32 –
Wb/m
◮ Fluxo concatenado com o condutor 1 devido às correntes de todos os condutores:
λ1P
D
D
D
nP
2P
1P
+ . . . + In · ln
+ I2 · ln
= 2 · 10−7 · I1 · ln
r1′
D12
D1n
= 2 · 10−7 · [I1 · ln (D1P ) + I2 · ln (D2P ) + . . . + In · ln (DnP )] +
1
1
1
−7
2 · 10 · I1 · ln ′ + I2 · ln
+ . . . + In · ln
r1
D12
D1n
Como I1 + I2 + . . . + In = 0 → In = − (I1 + I2 + . . . + In−1). Então:
λ1P
D(n−1)1P
D1P
D2P
+ I2 · ln
+ . . . + In−1 · ln
+
= 2 · 10 · I1 · ln
DnP
DnP
DnP
1
1
1
I1 · ln ′ + I2 · ln
+ . . . + In · ln
r1
D12
D1n
−7
Se considerarmos o ponto P tendendo ao infinito (P → ∞), os termos DkP /DnP
tenderão a 1 e, portanto, seus logaritmos tenderão a zero. Logo, o fluxo concatenado com o condutor 1 vale (fazendo P → ∞):
λ1P
1
1
1
+ . . . + In · ln
Wb/m
= 2 · 10−7 · I1 · ln ′ + I2 · ln
r1
D12
D1n
◮ O afastamento do ponto P para o infinito é equivalente à inclusão de todo o fluxo
concatenado com o condutor 1
– 33 –
◮ Lembre que a expressão do fluxo concatenado acima é a de um condutor pertencente
a um grupo de condutores cuja soma das correntes seja nula
◮ A expressão é válida tanto para valores instantâneos (usar correntes instantâneas)
como para fasores (usar fasores das correntes)
5.7.4
Indutância de linhas com condutores compostos (mais de um condutor por
fase)
◮ Considere a seguinte linha monofásica:
a′
a
b
b′
c
n
′
c′
n
condutor Y
condutor X
◮ Caracterı́sticas da linha:
Condutor composto: condutores encordoados, cabos.
A fase X (condutor X) é composto por n fios idênticos em paralelo e conduz uma
corrente I uniformemente distribuı́da pelos fios. A corrente em cada fio é I/n.
A fase Y (condutor Y) é composto por m fios idênticos em paralelo e conduz
uma corrente −I uniformemente distribuı́da pelos fios. A corrente em cada foi é
−I/m.
– 34 –
◮ Obtenção do fluxo concatenado com o fio a da fase X: deve-se levar em consideração o efeito de todas as correntes por todos os fios, inclusive o próprio fio
a.
◮ De acordo com os resultados anteriores:
1
1
1
I
+ . . . + ln
λa = 2 · 10−7 · · ln ′ + ln
n
ra
Dab
Dan
|
{z
}
fase X
I
1
1
1
−2 · 10−7 · · ln
+ ln
+ . . . + ln
m
Daa′
Dab′
Dam
{z
}
|
fase Y
que resulta em:
√
m
Daa′ Dab′ . . . Dam
−7
Wb/m
λa = 2 · 10 · I · ln p
n
ra′ Dab . . . Dan
◮ Em geral considera-se: ra′ = Daa = 0,7788ra
◮ A indutância do fio a é:
√
m
λa
Daa′ Dab′ . . . Dam
−7
= 2 · n · 10 · ln p
La =
H/m
n
I/n
ra′ Dab . . . Dan
– 35 –
◮ Para o fio b:
Lb = 2 · n · 10
−7
√
m
Dba′ Dbb′ . . . Dbm
· ln √
H/m
n
Dba Dbb . . . Dbn
◮ Para os outros fios da fase X o processo é semelhante.
◮ A indutância da fase X é calculada verificando-se que os fios a, b, . . . , n estão em
paralelo:
n
X 1
1
=
LX
Li
i =1
◮ Utiliza-se também uma forma aproximada, que fornece bons resultados e simplifica
bastante as deduções. Primeiro, calcula-se a indutância média da fase X:
Lav =
La + Lb + . . . + Ln
n
Assume-se agora que a fase X é composta por n fios de indutância Lav em paralelo.
Portanto, a indutância da fase X vale:
LX =
La + Lb + . . . + Ln
Lav
=
H/m
n
n2
– 36 –
◮ Esta expressão é mais conveniente pois, substituindo os valores de La , Lb , etc.
obtém-se:
p
mn
LX = 2 · 10−7 · ln
(Daa′ Dab′ . . . Dam ) (Dba′ Dbb′ . . . Dbm ) . . . (Dna′ Dnb′ . . . Dnm )
p
H/m
(Daa Dab . . . Dan ) (Dba Dbb . . . Dbn ) . . . (Dna Dnb . . . Dnn )
n2
◮ Então:
LX = 2 · 10−7 · ln
Dm
H/m
DsX
◮ Numerador: produto das distâncias dos fios da fase X e da fase Y:
Dm =
p
(Daa′ Dab′ . . . Dam ) (Dba′ Dbb′ . . . Dbm ) . . . (Dna′ Dnb′ . . . Dnm )
mn
Dm é a Distância Média Geométrica – DMG, ou Geometric Mean Distance – GMD,
ou DMG mútua
◮ Denominador: produto das distâncias dos fios da fase X:
DsX =
p
n2
(Daa Dab . . . Dan ) (Dba Dbb . . . Dbn ) . . . (Dna Dnb . . . Dnn )
DsX é o Raio Médio Geométrico – RMG, ou Geometric Mean Radius – GMR, ou
DMG própria da fase X
– 37 –
◮ A indutância da fase Y é obtida de maneira idêntica à da fase X e resulta em LY :
LY = 2 · 10−7 · ln
Dm
H/m
DsY
◮ A indutância da linha é dada por:
L = LX + LY
◮ Caso as fases X e Y sejam idênticas, tem-se:
L = 4 · 10−7 · ln
Dm
H/m
Ds
em que Ds = DsX = DsY
◮ Relembrando a expressão da indutância de uma fase de uma linha monofásica com
um condutor por fase:
D
L1 = 2 · 10−7 · ln ′ H/m
r1
e comparando com a indutância da fase X da linha com condutores compostos LX ,
percebe-se que a expressão de L1 é um caso particular da expressão de L1 :
Condutor único por fase
Condutores múltiplos por fase
Distância entre fases (D)
Distância média geométrica – DMG (Dm )
Raio efetivo do condutor (r1′ )
Raio médio geométrico – RMG (Ds )
– 38 –
Exemplo
Calcule a indutância da linha monofásica mostrada a seguir.
r = 0,50 cm
r = 0,25 cm
a
d
9m
6m
e
b
6m
c
lado Y
lado X
Cálculo da DMG entre os lados X e Y (Dm ):
Dm =
em que:
p
6
Dad Dae Dbd Dbe Dcd Dce = 10,743 m
Dad = Dbe = 9 m
p
62
+
Dae = Dbd = Dce =
p
Dcd = 92 + 122 = 15 m
– 39 –
92
√
= 117 m
RMG do lado X (DsX ):
DsX =
em que:
p
9
Daa Dab Dac Dba Dbb Dbc Dca Dcb Dcc = 0,481 m
Daa = Dbb = Dcc = e −1/4r = 0,7788 · 0,25 · 10−2 = 1,9470 · 10−3 m
Dab = Dba = Dbc = Dcb = 6 m
Dac = Dca = 12 m
RMG do lado Y (DsY ):
DsY =
em que:
p
4
Ddd Dde Ded Dee = 0,153 m
Ddd = Dee = e −1/4r = 0,7788 · 0,50 · 10−2 = 3,8940 · 10−3 m
Dde = Ded = 6 m
Indutâncias dos lados X e Y:
LX = 2 · 10−7 · ln
Dm
= 6,212 · 10−7 H/m
DsX
LY = 2 · 10−7 · ln
Dm
= 8,503 · 10−7 H/m
DsY
– 40 –
Indutância completa da linha por unidade de comprimento:
L = LX + LY = 14,715 · 10−7 H/m
Exercı́cio
Calcule a indutância e a reatância por unidade de comprimento a 60 Hz da linha
monofásica mostrada na figura a seguir. Verifique que a DMG é praticamente igual à
distância entre os centros das fases quando esta é muito maior que as distâncias entre
os condutores de uma mesma fase.
5 cm
45 cm
a
c
b
d
12 m
lado Y
lado X
(Resposta: 1,9413 µH/m, 0,732 mΩ/m)
5.7.5
Uso de tabelas
◮ Existem tabelas com várias informações sobre os condutores: resistência, reatâncias,
RMG, etc.
◮ As tabelas fornecem a reatância para certas frequências (por exemplo 60 Hz), ao
invés da indutância.
– 41 –
◮ A reatância de um condutor (simples ou composto) vale:
XL = 2πf L = 2πf · 2 · 10
−7
Dm
· ln
Ds
Ω 1609 m
×
m
1 mi
Dm
Ω/mi
Ds
1
= 2,022 · 10−3 · f · ln
+ |2,022 · 10−3
{z · f · ln Dm} Ω/mi
D
s
{z
}
|
Xd
= 2,022 · 10−3 · f · ln
Xa
em que:
Xa − reatância indutiva para espaçamento unitário (por exemplo, 1 pé se esta for
a unidade utilizada) – depende da frequência e do raio do condutor
Xd − fator de espaçamento da reatância indutiva – depende da frequência e do
espaçamento entre condutores
Exemplo
Determine a reatância indutiva por milha de uma linha monofásica com as seguintes
caracterı́sticas:
frequência
60 Hz
tipo dos cabos
Partridge
distância entre os centros dos cabos
20 ft
– 42 –
Tem-se portanto:
aço
alumı́nio
26Al / 7St
20
′
Área = 266.800 CM
Conforme definido anteriormente:
1 CM = π
0,001
2
2
in2 = 0,7854 · 10−6 in2
Logo, para o cabo Partridge:
Área = 266.800 CM = 0,2095 in2
que resulta em um diâmetro de 0,5165 in. Da tabela de condutores obtém-se:
Diâmetro externo = 0,642 in > 0,5165 in !
A razão da diferença é que a área em CM fornecida na tabela refere-se à área de
alumı́nio, enquanto que o diâmetro é externo, o que inclui o espaçamento entre os
condutores.
Além disso, o raio é igual a 0,5165/2 = 0,2583 in, ou 0,0215 ft. Pela tabela de dados
dos condutores tem-se:
RMG = 0,0217 ft 6= (0,7788 · 0,0215) !
– 43 –
Razão da diferença entre os RMG: o RMG (0,7788 · 0,0215) é calculado considerando
um condutor sólido. No entanto, o condutor Partridge é encordoado, e o RMG deve ser
calculado por:
RMG =
p
Daa Dab Dac . . .
26·26
Da tabela A.3 de dados dos condutores, o RMG para o condutor é Ds = 0,0217 ft.
Pode-se utilizar diretamente a equação da indutância e obter a reatância por condutor:
X = 2,022 · 10−3 · 60 · ln
20
= 0,828 Ω/mi
0,0217
e a reatância total será XL = 2 X = 1,656 Ω/mi
Ou então:
• da tabela A.3 a reatância indutiva para um pé de afastamento é Xa = 0,465 Ω/mi
• da tabela A.4, para um espaçamento de 20 ft o fator de espaçamento é
Xd = 0,3635 Ω/mi
• a reatância indutiva de um cabo será X = Xa + Xd = 0,8285 Ω/mi
• a reatância indutiva da linha (2 cabos): XL = 2X = 1,657 Ω/mi
– 44 –
Exercı́cio
Uma linha monofásica de 2 km deve ser construı́da utilizando-se condutores ACSR
Linnet. Por motivos técnicos, a indutância total não deve exceder 4 mH. Obtenha o
espaçamento máximo entre condutores. Resolva o problema utilizando equações e
tabelas, e compare os resultados.
(Resposta: 1,1 m)
◮ Na tabela A.4, a expressão para Xd é:
Xd = 0, 2794 log d
em que d é o que chamamos de Dm (DMG) aproximado como sendo a distância
entre os centros dos cabos e aparece a função log ao invés de ln. Demonstração
da equivalência entre as expressões:
Se ln d = y , então d = e y
Aplicando o logaritmo:
log d = log e y = y log e
– 45 –
x
Logo:
y=
1
· log d
log e
= 2,3026 log d = ln d
Assim, para 60 Hz:
Xd = 2,022 · 10−3 · f · ln d
= 2,022 · 10−3 · 60 · (2,3026 log d )
= 0,2794 log d
– 46 –
5.7.6
Linhas trifásicas
◮ Considere linha de transmissão trifásica composta por três fases e um condutor
neutro:
Ia
A
Ib
zaa
a
zab
zbb
B
Ic
C
In
N
b
zac
zan
zcc
c
znn
n
em que:
zi i impedância própria do condutor da fase i
zi j impedância mútua entre os condutores das fases i e j
– 47 –
◮ Define-se a matriz impedância primitiva como:
Zprim

zaa
 zba
=
 zca
zna
zab
zbb
zcb
znb
zac
zbc
zcc
znc

zan
zbn 

zcn 
znn
A aplicação da lei das tensões de Kirchhoff para o ramo resulta em:
 
Van
VAN
 VBN   Vbn
 

 VCN  =  Vcn
Vnn
VNN



zab
zbb
zcb
znb
zac
zbc
zcc
znc
zaa
  zba
+
  zca
zna
zab
zbb
zcb
znb
zac
zbc
zcc
znc
 
Ia
zan

zbn 
 ·  Ib
zcn   Ic
In
znn




VF = Vf + Zprim If
ou ainda:

 
∆VA
zaa
 ∆VB   zba

 
 ∆VC  =  zca
∆VN
zna
 
zan
Ia


zbn   Ib
·
zcn   Ic
znn
In




∆VF
∆VN
Como VNN = Vnn = 0 e ∆VN = 0, tem-se:
∆VN = ZA · If + ZB · In
0
= ZC · If + ZD · In
– 48 –
=
ZA ZB
ZC ZD
If
·
In
Da segunda equação tem-se que In = −ZD−1 ZC If , que, substituı́da na primeira
resulta em:
∆VF = ZA − ZB ZD−1ZC If = Z · If
ou:
  
 
 
Ia
Zaa Zab Zac
Van
VAN
 VBN  =  Vbn  +  Zba Zbb Zbc  ·  Ib 
Ic
Zca Zcb Zcc
Vcn
VCN

VF = Vf + Z If
em que a matriz reduzida Z é chamada de matriz de impedância de fase, sendo seus
elementos calculados por:
Zi j = zi j −
zi n zni
znn
O processo de redução da dimensão da matriz primitiva de rede é conhecido como
redução de Kron.
Será visto adiante que, no caso particular de uma linha balanceada e completamente
transposta conectada a uma carga equilibrada (condutores formam um triângulo
equilátero), a matriz impedância de fase será diagonal (permitindo o desacoplamento
entre as fases), com os elementos da diagonal principal iguais entre si.
– 49 –
5.7.7
Indutância de uma linha trifásica com espaçamento simétrico
◮ Considere a linha trifásica:
b
D
a
D
D
c
em que:
os três condutores têm raios iguais, portanto o mesmo RMG, igual a Ds
a distância entre condutores é D
não há fio neutro ou o circuito é equilibrado → Ia + Ib + Ic = 0
– 50 –
◮ Fluxo concatenado com o condutor da fase a (há contribuições das três correntes):
1
1
1
+ Ib ln + Ic ln
λa = 2 · 10−7 · Ia ln
Ds
D
D
1
1
+ (Ib + Ic ) ln
= 2 · 10−7 · Ia ln
Ds
D
1
1
− Ia ln
(pois Ia = − (Ib + Ic ))
= 2 · 10−7 · Ia ln
Ds
D
1
−7
+ Ia ln D
= 2 · 10 · Ia ln
Ds
= 2 · 10−7 · Ia ln
D
Wb/m
Ds
◮ Indutância da fase a:
La =
D
λa
= 2 · 10−7 · ln
H/m
Ia
Ds
◮ Por simetria, para as outras fases tem-se Lb = Lc = La
◮ Portanto:
La = Lb = Lc = 2 · 10−7 · ln
– 51 –
D
H/m
Ds
5.7.8
Indutância de linhas trifásicas com espaçamento assimétrico
◮ O fluxo concatenado e a indutância de cada fase são diferentes → circuito
desequilibrado
◮ Equilı́brio é obtido através da transposição:
1
Pos. 1
2
3
Pos. 2
Pos. 3
a
c
b
b
a
c
c
b
a
◮ Cálculos considerando a transposição são mais simples
Linhas não transpostas → considera-se a linha como transposta e a sua indutância
como a média das indutâncias das fases
– 52 –
◮ Fluxo concatenado com fase a, primeiro trecho:
a
D12
D31
b
λa1
D23
c
1
1
1
+ Ib ln
+ Ic ln
= 2·10−7· Ia ln
Ds
D12
D31
◮ Fluxo concatenado com fase a, segundo trecho:
c
D12
D31
a
λa2
D23
b
1
1
1
+ Ib ln
+ Ic ln
= 2·10−7· Ia ln
Ds
D23
D12
◮ Fluxo concatenado com fase a, terceiro trecho:
b
D12
D31
a
c
D23
λa3
1
1
1
+ Ib ln
+ Ic ln
= 2·10−7· Ia ln
Ds
D31
D23
◮ Fluxo médio concatenado com a fase a:
1
1
2 · 10−7
1
λa1 + λa2 + λa3
+ Ib ln
+ Ic ln
=
· 3Ia ln
λa =
3
3
Ds
D12D23D31
D12D23D31
2 · 10−7
1
1
=
− Ia ln
· 3Ia ln
(pois Ia = − (Ib + Ic ))
3
Ds
D12D23D31
√
3
D12D23D31
−7
Wb/m
= 2 · 10 · Ia · ln
Ds
– 53 –
◮ Indutância média por fase da linha trifásica com transposição:
La = 2 · 10−7 · ln
Deq
H/m
Ds
em que:
Deq =
p
3
D12D23D31
é o espaçamento equilátero equivalente da linha
Exemplo
Determine a reatância indutiva por fase a 60 Hz da linha trifásica mostrada a seguir,
composta por condutores ACSR Drake.
20′
20′
38′
• Pela tabela A.3, o RMG do condutor tipo Drake é Ds = 0,0373′
• O espaçamento equilátero da linha é:
Deq =
√
3
20 · 20 · 38 = 24,7712′
– 54 –
• A indutância e a reatância por fase valem:
L = 2 · 10−7 · ln
24,7712
= 1,3 µH/m
0,0373
XL = 2πf L = 2π · 60 · 1,3 · 10−6 = 0,49 mH/m = 0,7884 H/mi
• O problema pode ser resolvido pela utilização das tabelas A.3 e A.4:
tabela A.1
→
Xa = 0,399 Ω/mi
tabela A.2 (para Deq = 24′ )
→
Xd = 0,3856 Ω/mi
tabela A.2 (para Deq = 25′ )
→
Xd = 0,3906 Ω/mi
O valor de Deq é obtido por interpolação:
Deq
25
25 − 24
24,7712 − 24
=
0,3906 − 0,3856
Xd − 0,3856
24,7712
Xd = 0,3895 Ω/mi
24
0,3856
Xd 0,3906
Xd
e a reatância por fase vale:
XL = Xa + Xd = 0,399 + 0,3895 = 0,7885 Ω/mi
– 55 –
5.7.9
Condutores múltiplos por fase
◮ Extra-alta tensão (EAT ou EHV) → por exemplo 440 kV → efeito corona excessivo
Corona: descargas que se formam na superfı́cie do condutor quando a intensidade
do campo elétrico ultrapassa o limite de isolação do ar. Consequências: luz, ruı́do
audı́vel, ruı́do de rádio (interferência em circuitos de comunicação), vibração do
condutor, liberação de ozônio, aumento das perdas de potência (deve ser suprida
pela fonte)
◮ Solução: colocação de dois ou mais condutores por fase → cabos múltiplos (bundled
conductors)
d
d
d
D
◮ Outras configurações:
d
d
d
d
d
– 56 –
d ≪D
◮ Outra vantagem dos cabos múltiplos: redução da reatância (aumento do RMG). O
RMG é calculado por:

p
√
4
b
2 · d2 =
2
condutores
D
=

D
Ds · d
s
s


p
p
3 condutores Dsb = 9 Ds3 · d 6 = 3 Ds · d 2

p
p


4 condutores Dsb = 16 Ds4 · d 12 · 22 = 1,09 · 4 Ds · d 3
◮ Equações da indutância e reatância são as mesmas, substituindo-se o RMG Ds do
condutor simples por Dsb para cabos múltiplos
◮ A corrente não é distribuı́da uniformemente entre os condutores da fase, pois
reatâncias por fase não são iguais. Essa diferença é pequena e geralmente é
desprezada
Exemplo
Determine a reatância da linha trifásica mostrada a seguir.
Condutor ACSR Pheasant
d
a
d = 45 cm
a
′
b
b
′
c
c
′
D
D=8m
Comprimento da linha ℓ = 160 km
• Da tabela A.3, obtém-se o RMG do condutor Pheasant:
Ds = 0,0466′
→
0,0466 · 0,3048 = 0,0142 m
– 57 –
• No entanto, cada fase é composta por dois condutores → deve-se calcular o RMG
do cabo:
Dsb =
p
4
0,01422 · 0,452 = 0,0799 m
• Espaçamento equilátero equivalente para a configuração dada (DMG mútua) –
aproximação considerando-se apenas as distâncias entre os centros das fases:
Deq =
√
3
8 · 8 · 16 = 10,0794 m
O cálculo correto do espaçamento equilátero equivalente neste caso seria:
√
DMGab = DMGbc = 4 8 · 8,45 · 7,55 · 8 = 7,9937 m
√
DMGca = 4 16 · 16,45 · 15,55 · 16 = 15,9968 m
√
Deq = 3 7,9937 · 7,9937 · 15,9968 = 10,0734 m
que praticamente corresponde ao mesmo resultado anterior.
• Reatância por metro por fase:
XL = 2π · 60 · 2 · 10−7 · ln
10,0794
= 0,3647 mΩ/m
0,0799
• Como a linha tem 160 km, a reatância total por fase da linha será:
X = XL · 160000 = 58,36 Ω
– 58 –
5.7.10
Linhas trifásicas de circuitos em paralelo
◮ Duas linhas trifásicas idênticas em paralelo possuem a mesma reatância indutiva.
A reatância equivalente será igual à metade de cada reatância individual, desde que
a distância entre as linhas seja tão grande que a indutância mútua entre elas possa
ser desprezada
◮ Duas linhas trifásicas em paralelo na mesma torre → indutâncias mútuas entre os
circuitos deve ser considerada
◮ O método de cálculo é semelhante ao que foi mostrado anteriormente
◮ Considera-se sempre que haja a transposição, resultando em cálculos mais simples
e resultados suficientemente precisos
– 59 –
Exemplo
Uma linha trifásica de circuito duplo é constituı́da de condutores ACSR 26/7 tipo Ostrich
de 300.000 CM dispostos de acordo com a figura a seguir. Determine a reatância
indutiva por fase a 60 Hz em Ω/mi.
18′
a
c′
10′
21′
b
b′
10′
18′
c
a′
• Pela tabela A.3, o RMG do condutor tipo Ostrich é Ds = 0,0229′
• DMG entre as fases a e b:
Dab =
102 + 1,52 = 10,1119′ = Da′ b′
p
102 + 19,52 = 21,9146′ = Da′ b
h
i1/4
2
= 14,8862′
= (10,1119 · 21,9146)
Dab′ =
DMGab
p
DMGbc = DMGab = 14,8862′
– 60 –
• DMG entre as fases c e a:
DMGca
h
i1/4
2
= (20 · 18)
= 18,9737′
• Espaçamento equilátero equivalente:
Deq = (DMGab DMGbc DMGca )1/3 = 16,1401′
• RMG: lembrando que assume-se a transposição
Trecho 1 – fase a ocupando posição original:
p
202 + 182 = 26,9072′
h
i1/4
2
= 0,7850′
RMG1 = (0,0229 · 26,9072)
Daa′ =
Trecho 2 – fase a ocupando posição originalmente ocupada por b:
Daa′ = 21′
h
i1/4
2
= 0,6935′
RMG2 = (0,0229 · 21)
Trecho 3 – fase a ocupando posição originalmente ocupada por c:
RMG3 = RMG1 = 0,7850′
– 61 –
x
RMG da fase a:
RMG = 0,78502 · 0,6935
= 0,7532′
Indutância:
16,1401
L = 2 · 10−7 · ln
0,7532
1/3
= 6,1295 · 10−7 H/m
Reatância por fase:
XL = 2πf L = 2,3108 · 10−4 Ω/m = 0,3718 Ω/mi
– 62 –
Exercı́cio
Repita o exemplo anterior para a configuração de linha mostrada a seguir e compare os
resultados obtidos.
a
18′
a′
10′
21′
b
b′
10′
c
18′
c′
(Resposta: X = 0,3962 Ω/mi, 6,5% maior)
– 63 –