Maria Joana Soares
Departamento de Matemática
Universidade do Minho
Instituto de Telecomunicações
Aveiro, Novembro 98
Nov 98
I.T., Aveiro
1
Notações

f (t )  L2 ( R)
f,g 
 f (t ) g (t ) dt

• Transformada de Fourier
{Ff }( )  fˆ ( ) 


f (t ) e i t dt

 f ,e
Nov 98
i t
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2
Localização tempo-frequência
• Transformada de Fourier com janela g
{Fg f }( , ) :

 f (t ) g (t   ) e
i t
dt

g  g , : g(t  ) ei t
{Fg f }( , )   f , g , 
Nov 98
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3
Transformada de Fourier com janela
Janela
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
Janela  ondas
-2
Transladada
1
1
0.5
0.5
-1
1
-0.5
2
-2
-1
0.5
1
-0.5
-1
Nov 98
1
I.T., Aveiro
2
2
3
4
5
-0.5
-1
4
Transformada contínua com ôndula
•A janela já oscila (onda)
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5
Transformada contínua com ôndula
A onda é
Nov 98
expandida
ou contraída e transladada
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6
Transformada contínua com ôndula

  a ,
1  t  
:


a  a 
{W f }(a,)   f , a, 
1
{W f }(a, ) :
a
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
 t  
 f (t )  a  dt
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7
Transformada contínua com ôndula
• Quando a aumenta, a função alarga
0.4
• Quando a diminui, a função estreita
 (t 2)
0.2
-10
-5
5
10
-0.2
 (t )
1
-0.4
0.5
-10
-5
5
10
2
-0.5
 (2t )
1
-1
-10
-5
5
10
-1
-2
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8
Plano tempo-frequência
Transformada de Fourier
com janela
Transformada contínua
com ôndula
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9
Transformada contínua com ôndula
A função deve :
•Ser bem localizada (pequena)
•Satisfazer condição de admissibilidade

C  
0
| ˆ ( ) |2

d  
ˆ (0)  0   (t ) dt  0
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(onda)
10
Transformada contínua com ôndula
Fórmula de inversão
1
f (t ) 
C
 
  {W f }(a, ) 
a ,
 0
da
d
2
a
Reconstrução
1
f (t ) 
C


 
f , a ,  a ,
 0
da
d
2
a
Decomposição
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Transformada discreta. Ôndulas ortogonais
• Transformada contínua é altamente redundante.
• Restringir valores dos parâmetros:
a  2 j
  2 j k ; j , k  Z
 j ,k : 2 j / 2 2 j t  k  ; j, k Z
 ôndula ortogonal  { j ,k } base o.n. de L2 ( R)
f    f , jk  jk
j ,k
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12
Transformada discreta. Ôndulas ortogonais
• Existem tais bases?
– Base de Haar (1910)
 H (t )  [0,1/ 2)  [1/ 2,1)
– Strömberg
– Meyer
– Battle; Lemarié
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Análise de Resolução Múltipla (ARM)
1.
  V1  V0  V1  V2  
2.
 V j  L2 ( R )
3.
 V j  {0}
4.
v (t )  V j  v ( 2t )  V j 1
5. { (t  k ) : k  Z } base o.n.de V0
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14
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
Exemplo: (ARM de Haar)
 V0  funçõesconstantesem cada intervalo[k , k  1)
 V j  funçõesconstantesem cada intervalo[2 j k,2 j (k 1))
   [0,1)
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15
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
 jk  2 j / 2 2 j t  k  base de Vj
 V0
V0  V1
Equação de dilatação
ou
de dupla escala
 (t )  2  hk  (2 t  k )
k
{hk } Filtro
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Análise de Resolução Múltipla (ARM)
j ),  }
{(
V
• Dada
como surge a base o. n. de ôndulas?
Espaços de detalhe W
V j 1  V j  W j
,
j
W j V j
V j 1  V j  W j  V j 1 W j 1W j  
L2 ( R)   W j
jZ
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Análise de Resolução Múltipla (ARM)
 : (t  k ) base o. n. de W0

{ jk : k  Z } base de W j

{ jk : j, k  Z} base de L ( R)
 
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2
ôndula ortogonal
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18
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
{(V j ),  } ARM   existe!
Equação de ôndula
 (t )  2  g k  (2t  k )
k
gk  (1) k h1k
 (t )  2  hk  (2 t  k )
k
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Análise de Resolução Múltipla (ARM)
 (t )  2  hk  (2 t  k )
 (t )  2 gk  (2 t  k )
k
gk  (1) k h1k
ARM de Haar
h0  h1 
Nov 98
2
2
g0 
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2
,
2
g1  
2
2
20
Transformadas Rápidas com Ôndulas
{ck0 }k


f (t )   ck0 (t  k ) V0
k
V0  V1 W1    V J W J W1
 jk base de V j

jk
base de W j
J
f   ck J   Jk   d kj 
j  1 k
k
Nov 98
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jk
21
Transformadas Rápidas com Ôndulas
• Da equação de dilatação obtém-se facilmente
c j k1  hn2 k cnj
n
• Da equação de ôndula vem
d   g n 2 k c
j 1
k
j
n
n
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Transformadas Rápidas com Ôndulas
• Cálculo recursivo das sequências
Input
c 0  c 1  c 2    c  J 1  c  J
d 1
d
2
d
 J 1
d
J
Output
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Transformadas Rápidas com Ôndulas
• Pode ser invertida facilmente
Output
c 0  c 1  c 2    c  J 1  c  J
d 1
d
2

Input
d
 J 1
ckj   hk 2ncnj 1  g k 2n d nj 1
d
J

n
Nov 98
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Transformdas Rápidas com Ôndulas
• Utilizam apenas o filtro {hk }
• Fáceis de implementar (cálculo recursivo)
• Sequências e filtros finitos (truncados)
– Várias formas de lidar com as fronteiras (periodização,
reflexão,...; ôndulas no intervalo)
• Algoritmos rápidos: número de operações O(N)
• Generalizam-se facilmente para várias variáveis
Nov 98
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25
Ôndulas e Bancos de Filtros
j 1
k
c
  hn2k c
~
hk  hk
j
n
n
j 1
k
c
~
  h2k n cnj
n


c
j 1
~ j
 [h  c ]  2
~ c j ]  2
d j 1  [ g
ckj   hk 2ncnj 1  g k 2n d nj 1

n

Nov 98
c j  (h [c j 1 ]  2)  ( g [d j 1 ]  2)
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Ôndulas e Bancos de Filtros
~
h
c
2
2
h
j

~
g
2
2
Decomposição
g
Reconstrução
Esquema de filtragem de duas bandas com capacidade de
reconstrução perfeita
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27
cj
Ôndulas e Bancos de Filtros
No espaço físico
No espaço de Fourier
  (t )  2  hk (2t  k )
ˆ( )  H ( / 2) ˆ( / 2)
k
1
H ( ) 
2
i k 
h
e
 k
k
Função de transferência
  (t  k ), (t  j)   kj
Nov 98
H ( )  H (   )  1
2
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2
28
Ôndulas e Bancos de Filtros
No espaço físico
No espaço de Fourier
ˆ(0)  1
  V j  L2 ( R)
Filtro passa-baixo
  (t  k ), (t  j)   kj
 V0 W0
G ( )  G (   )  1
2
2
G( ) H ( )  G(   ) H (   )  0
Filtro passa-alto
Nov 98
H ( )  0
H (0)  1
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G(0)  0
G ( )  1
29
Ôndulas e Bancos de Filtros
H ( )  H (   )  1
2
2
G ( ) 
 H ( )


 H (  ) G (  ) 
G ( )  G (   )  1
2
2
G( ) H ( )  G(   ) H (   )  0
matriz unitária
H e G par de filtros de quadratura conjugada
(CQF)
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Ôndulas e Bancos de Filtros
• ARM
 ,
H filtro CQF
?
• Impor propriedades a  , escolhendo
adequadamente o filtro?
• Importância, na prática, das propriedades
de  , ?
Nov 98
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31
Ôndulas e Bancos de Filtros
ˆ ( )  H  2 ˆ 2  H  2 H  4 ˆ 4





    H 2  ˆ(0)   H 2  k 
k
k 1
H ( )
2periódica, regular
k 1
 

ˆ ( )   H (2 k )
H ( )  H (   )  1
2
2
k 1
H (0)  1
função escala de ARM

inf
 [ 
 

H ( )  0
, ]
2 2
Nov 98
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Ôndulas e Bancos de Filtros
• Impor propriedades a , escolhendo o filtro {hk} de
forma adequada?
Exemplo: Famíla das Ôndulas de Daubechies
– Suporte compacto
número finito de hk´s
FIR.
– Certo número de momentos nulos (máximo permitido pelo
tamanho do suporte)

mk :
k
t
  (t )dt  0;

(k )
H
( )  0 ;
k  0, , N  1
k  0,, N 1.
– Regularidade aumentando linearmente com tamanho do suporte.
Nov 98
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33
Ôndulas de Daubechies
Nov 98
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Ôndulas e Bancos de Filtros
• Importância, na prática, das propriedades de ,?
– Regularidade: importante na síntese (imagens, p. ex.).
Erro “suave” é menos perceptível. Regularidade óptima?
– Número de momentos nulos:
Coeficientes associados a  jk (com j grande) são quase
nulos onde a função é suave. Há apenas necessidade de
“reter” tais coeficientes onde a função é irregular.
Importante em algoritmos de análise numérica (baseados em
compressão de operadores) e em supressão de ruído.
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Ôndulas e Bancos de Filtros
– Localização na frequência:
mais importante em sinal audio do que em processamento de
imagem; “aliasing” é mais relevante no primeiro caso.
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36
Generalizações
• Ôndulas de várias variáveis - várias abordagens.
• Ôndulas bi-ortogonais - filtro de síntese dual do filtro
de análise. (Mais flexibilidade)
• Referenciais de ôndulas- redundância. (Importante, por
exemplo, na redução do erro de reconstrução)
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Generalizações
• “Wavelet-packets” - bancos de filtros com estrutura em
árvore arbitrária; pavimentações mais gerais do plano
tempo-frequência.
Mais escolha !
Algoritmo da melhor base
$$
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Generalizações
• Transformadas trigonométricas locais - senos e
co-senos definidos em intervalos finitos e “ligados” de
forma suave.
• Multiwavelets -várias funções escala e ôndulas-mãe.
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39
Referências
• I. Daubechies,
Ten Lectures on Wavelets
SIAM, Philadelphia, 1992
• B. B. Hubbard,
The World According to Wavelets
Prentice-Hall, 1995
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40
Referências
• A. Akansu, R. Haddad,
Multiresolution Signal Decomposition
Academic Press, 1993
• S. Mallat,
A Wavelet Tour of Signal Processing
Academic Press, 1998
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41
Referências
• G. Strang, T. Nguyen,
Wavelets and Filter Banks
Wellesley-Cambridge Press, 1996
• M. Vetterli, J. Kovacevic,
Wavelets and Subband Coding
Prentice-Hall, 1995
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42
Software
• Mathematica Wavelet Explorer, Wolfram Research
• Wavelet Toolbox for use with MATLAB, Toolbox do
MATLAB
• WaveLab : (para usar com MATLAB)
– ftp://playfair.stanford.edu/pub/wavelab
• Ver também: http://www.wavelet.org
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