PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Matemática- Prof. Francisco Silveira
Funções: aplicações
FUNÇÃO CUSTO TOTAL, FUNÇÃO RECEITA TOTAL E FUNÇÃOLUCRO TOTAL
Custo total
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles
chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não
dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da
quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf).À parcela de custos que depende de x
chamamos custo variável (e indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever:
Ct(x) = Cf + Cv(x)
Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo total dividido pela
quantidade, isto é:
C m (x) =
C t (x)
x
Receita total
Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a
função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes,
o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(x). Assim, a receita total pode ser expressa
através da função demanda como:
R(x) = p.x = f(x)x.
Lucro total
Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo
total, isto é:
L(x) = R(x) − Ct(x)
Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de
nivelamento. Então, o ponto de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo é denominado ponto de
nivelamento.
Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico
é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as
raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 20 grau, será suficiente
determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o
ponto de máximo (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice será o lucro máximo.
y
Receita Total
y
Lucro Máximo
Custo Total
a - pontos de nivelamento - b
x
a
b
x
Exemplos e Exercícios:
1)
Tendo em vista o gráfico acima, responda as questões abaixo:
a) Qual a equação da função Vendas ?
b) Qual o intervalo onde observamos o ponto de equilíbrio ?
c) O que significa o fato da função Custo total não iniciar do ponto (0,0)?
d) Supondo que o Custo Fixo seja R$ 75.000,00 e que um ponto do gráfico da função
(30.000, 225.000), qual será a equação da função Custo Total ?
Custo Total seja
2) Considerar as funções custo total C(x) = 2x + 39 e a função receita R(x) = - x2 + 18 x relativas à produção e
venda de x unidades de um mesmo produto, 0 ≤ x ≤ 18 , representadas no gráfico abaixo.
Determina a função Lucro e observando o gráfico responda:
C(x) / R(x)
65
C
R (x)
a) Quais os pontos de nivelamento.
b) Qual o intervalo onde o temos Lucro (L(x)>0).
c) Qual o intervalo onde temos Prejuízo (L(x)<0).
45
39
0
18 x
3
13
3) O custo fixo de uma empresa é 500u.m. sendo o custo variável
dada pela expressão p = −
C v ( x) =
1 2
x − 20 x. A função demanda é
2
1
x + 40 . Determina:
2
a) as funções: receita, custo total e lucro total
b) o intervalo onde o lucro total é positivo
c) o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro.
4) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de 600u.m. e, em
material, gasta 25u.m. por unidade produzida. Cada unidade será vendida por 175u.m.. Determina:
a) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter o nivelamento
b) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de 450u.m.
2
5) Supondo que o custo total para fabricar “x” unidades de um certo produto seja dado por: Ct (x) = x2 + 8,
determina:
a) o custo fixo;
b) o custo variável;
c) o custo de fabricação de quatro unidades; d) o custo de fabricação da quarta unidade;
e) a função do custo médio;
f)o custo médio de produção das quatro primeiras unidades.
6) O custo total para um fabricante consiste de uma quantia fixa 200 µ m somado ao custo de produção que é de
50 µ m por unidade. Expressa o custo total como função do número de unidades produzidas e constrói o gráfico.
7) Se o preço de venda de certo produto é 70 µ m e “x” representa a quantidade vendida, determina:
a) a função receita total;
b) o gráfico da função receita total.
8) Considera a função custo total do exercício (6) e a função receita total do exercício (7). Determina:
a)
b)
c)
d)
e)
a função lucro total;
o ponto crítico (de nivelamento);
os valores de “x” para os quais o lucro é negativo;
os valores de “x” para os quais o lucro é positivo;
os gráficos das funções custo, receita e lucro no mesmo sistema de eixos.
9) Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro total em cada caso:
a)
Rt (x) = 4x e Ct (x) = 50 + 2x
b)
Rt (x) = 0,5x e Ct (x) = 20 + 0,25x
10) Uma editora vende certo livro por 60 µ m a unidade. Seu custo fixo é 10.000 µ m e o custo variável por
unidade é 40 µ m.
a)
Qual o ponto de nivelamento?
b)
Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a 8.000µm?
c)
Esboça os gráficos da receita, custo e lucro no mesmo sistema de eixos.
11) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e demanda diária são:
p = 20 + 5x e p = 110 – 4x, respectivamente. Determina:
a)
o preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50;
b)
a quantidade vendida quando o preço é 10 µ m;
c)
o ponto de equilíbrio do mercado;
d)
os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos;
e)
interpreta o resultado obtido em (c).
12) O aluguel de um carro numa agência é de 14000 µ m mais 150 µm por quilômetro rodado. Uma segunda
agência cobra 20.000 µm mais 50 µ m por quilômetro rodado. Qual a agência que oferece o melhor preço de
aluguel? Faça o gráfico como auxílio.
Respostas:
1) a) R(x) = 10 x b) 10000 < x < 20000 d) C(x) = 5x + 75000 2) a) 3 e 13 b) 3 < x < 13 c) 0 ≤ x < 3 ou 13 < x ≤ 18
3) a) R ( x ) = −
4) a) 4
1 2
1
x + 40 x, C t ( x) = x 2 − 20 x + 500, L( x) = − x 2 + 60 x − 500 b) (10;50) c) 30u.m.
2
2
b) 7
5) a) Cf = 8;
b) Cv(x) = x2;
Ct
c) 24;
Ct
d) 7; e) Cm(x) =
x+
8
; f) 6 6) Ct (x) = 50x + 200 7) a) Rt (x) = 70x b)
x
Rt
Rt
280
400
200
4
4
3
8) a) Lt (x) = 20x – 200;
x
b) (10,700); c) x < 10 ; d) x > 10 e)
x
Rt
Ct
700
200
Lt
x
10
-200
9) a)(25,100) “Lt (x) = 2x – 50”
b) (80,40) Lt (x) = 0,25x – 20”
Rt
Rt
Ct
100
50
20
Lt
25
Ct
40
Lt
x
80
x
-20
-50
Rt
10) a) (500, 30 000)
b) 900 unidades
c)
Ct
30000
10000
Lt
500
x
-10000
11) a) 270 µ m
b) 25
e) x < 10 lucro negativo
x > 10 lucro positivo
c) (10,70) d))
oferta
110
12) Para distâncias menores que 60 Km, a primeira e para
maiores a segunda.
Ag
1
Ag2
2300
2000
1400
70
demanda
20
10
60
x
x
4