Introdução à Estatística
Júlio Cesar de C. Balieiro
1
Estatística
9 É a ciência que se preocupa com:
(i) Organização;
Estatística Descritiva
(ii) Descrição;
(iii) Análises;
(iv) Interpretações.
Estatística Indutiva ou
Estatística Inferencial
2
Introdução à Estatística
1
Alguns Conceitos
9 População
• É o conjunto de elementos com pelo menos uma
característica em comum.
• Esta característica comum deve delimitar claramente
quais os elementos que pertencem à população e
quais os elementos que não pertencem.
9 Amostra
• É um subconjunto de uma população, onde todos os
seus elementos serão examinados para efeito da
realização do estudo estatístico desejado.
3
Alguns Conceitos
9 OBJETIVO DA ESTATÍSTICA: “tirar conclusões
sobre populações com base nos resultados
observados em amostras extraídas dessas
populações”.
9 Variável
• É a característica dos elementos da amostra que nos
interessa averiguar estatisticamente.
• Ex.: variável Idade - se houver “n” elementos
fisicamente considerados no estudo, esses elementos
fornecerão “n” valores da variável idade, os quais serão
tratados convenientemente pela Estatística Descritiva
4
e/ou pela Estatística Inferencial.
Introdução à Estatística
2
Tipos de Variáveis
As variáveis de interesse podem ser classificadas em:
(i) Qualitativas => quando resultar de uma classificação
por tipos ou atributos.
(ii) Quantitativas => quando seus valores forem
expressos em números. Podem ser
subdivididas:
(a) Discretas;
(b) Contínuas.
5
Tipos de Variáveis
(a) Variáveis Quantitativas Discretas
Assumem apenas valores pertencentes a um conjunto
enumerável. São obtidos mediante alguma forma de
contagem.
Exemplos de Discretas:
y População: Ovinos da raça Santa Inês da ASCCO;
Variável: número de cordeiros ao parto (1, 2 ou 3).
y População: Bovinos Nelore da Agro-pecuária CFM Ltda.
Variável: Escores de Musculosidade (1, 2, 3, 4 ou 5).
y População: Bovinos Nelore da Agro-pecuária CFM Ltda.
Variável: Prenhez aos 14 meses de idade (0 ou 1).
6
Introdução à Estatística
3
Tipos de Variáveis
(b) Variáveis Quantitativas Contínuas
São aquelas, teoricamente, que podem assumir qualquer
valor em um certo intervalo de variação. Resultam, em
geral, de uma medição, sendo freqüentemente expressos
em alguma unidade.
Exemplos de Contínuas:
y População: Bovinos Nelore da Agro-pecuária CFM Ltda.
Variável: PN (28,0; 28,5; 30,2; 32,58)
y População: Bovinos Nelore da Agro-pecuária CFM Ltda.
Variável: Peso aos 18 meses, em kg (250,0 até 415,0 kg)
7
Características Numéricas de
uma Distribuição de Dados
Júlio Cesar de C. Balieiro
Introdução à Estatística
8
4
Introdução
9 As vezes é necessário resumir certas características das
distribuições de dados (ou mesmo de freqüências dados)
por meio de certas quantidades.
9 Tais quantidades são usualmente denominadas de
MEDIDAS, por quantificarem alguns aspectos de nosso
interesse.
9 Nosso objetivo é apresentar algumas das chamadas
MEDIDAS DE POSIÇÃO, bem como, algumas MEDIDAS
DE DISPERSÃO, consideradas mais importantes no campo
da aplicabilidade prática do nosso dia a dia.
9 Tais medidas servem para:
(a) Localizar uma distribuição;
(b) Caracterizar sua variabilidade.
9
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Servem para localizar a distribuição dos dados
brutos (ou das freqüências) sobre o eixo de
variação da variável em questão.
9 Veremos os três tipos principais de medidas de
posição:
(a) Média Aritmética;
(b) Mediana;
(c) Moda.
10
Introdução à Estatística
5
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Média (Aritmética)
=> A notação internacional recomenda símbolos
específicos para a Média:
(a) AMOSTRA:
n
Conjunto de Dados => x = µˆ = m̂ =
Σ Xi
i =1
n
k
Tabelas de Freqüência => x = µˆ = m̂ =
Σ X i fi
i =1
k
= Σ X i p 'i
i =1
n
11
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Média (Aritmética)
(b) POPULAÇÃO:
n
Conjunto de Dados => µ = m =
Σ Xi
i =1
n
k
Tabela de Freqüência => µ = m =
Σ X i fi
i =1
n
k
= Σ X i p 'i
i =1
12
Introdução à Estatística
6
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
Exemplo 2: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
684
k
x = µˆ = m̂ =
Σ X i fi
i =1
n
=
2.725
= 54,5
50
13
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Propriedades da Média
(a) Multiplicando todos os valores de uma variável
por uma constante, a média do conjunto fica
multiplicada por essa constante.
(b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a
todos os valores da variável, a média do conjunto
fica acrescida ou subtraída dessa constante.
14
Introdução à Estatística
7
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Mediana
=> A mediana é uma quantidade que, como a média,
também caracteriza o centro de uma distribuição
pertencente a um conjunto de dados.
(a) AMOSTRA:
m̂d
(b) POPULAÇÃO:
md
15
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
Conjunto de Dados:
Para obtenção da estimativa de
mediana de um conjunto de dados
são necessários os seguintes passos:
1º Passo: Ordenar de forma crescente os “n” valores da
variável em questão;
2º Passo: (i) Sendo “n” ímpar, a mediana será igual ao valor
de ordem (n + 1) ;
2
(ii) Sendo “n” par, a mediana será o valor médio
entre os valores de ordem n e n + 1 .
2
Introdução à Estatística
2
16
8
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Mediana
Tabelas de Freqüência =>
ˆ d = Li +
m
(n/ 2) − Fa
hmd
fmd
Li = limite inferior da classe que contém a mediana;
n = números de elementos do conjunto da dados;
Fa = soma das freqüências das classes anteriores que
contém a mediana;
fmd = freqüência da classe que contém a mediana;
hmd= amplitude da classe que contém a mediana.
17
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Mediana
Exemplo 2: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
mˆ d = Li +
684
(n / 2) − Fa
hmd
f md
Li = 49,5; n = 50; Fa = 11; fmd = 16; hmd = 5.
Introdução à Estatística
18
9
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Mediana
Exemplo 2: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
Li = 49,5; n = 50; Fa = 11; fmd = 16; hmd = 5.
mˆ d = Li +
mˆ d = 49,5 +
( n / 2 ) − Fa
hmd
f md
(50 / 2) − 11
.5 = 53,875
16
19
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Moda
=> A moda (ou modas) de um conjunto de valores é
definida como o valor (ou valores) de máxima
freqüência.
=> É uma quantidade que, como a média, também
caracteriza o centro de uma distribuição, indicando a
região das máximas freqüências.
(a) AMOSTRA:
m̂ O
(b) POPULAÇÃO:
mO
20
Introdução à Estatística
10
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Moda
Tabelas de Freqüência =>
mˆ o = Li +
d1
h
d1 + d 2
Li = limite inferior da classe modal;
d1 = diferença entre a classe modal e a da classe
imediatamente anterior;
d2 = diferença entre a classe modal e a da classe
imediatamente seguinte;
h = amplitude das classes.
21
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Moda
Exemplo 2: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
mˆ o = Li +
684
d1
h
d1 + d 2
Li = 49,5; d1 = 16 – 8 = 8; d2 = 16 – 12 = 4; h = 5.
Introdução à Estatística
22
11
Medidas de Posição (ou de
Tendência Central)
9 Moda
Exemplo 2: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
Li = 49,5; d1 = 16 – 8 = 8; d2 = 16 – 12 = 4; h = 5.
mˆ o = Li +
mˆ o = 49,5 +
d1
h
d1 + d 2
8
.5 = 52,833
8+ 4
23
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 A informação fornecida pelas Medidas de Posição em geral
necessitam de ser complementas pelas Medidas de
Dispersão.
9 As Medidas de Dispersão servem para indicar o “quanto
os dados se apresentam dispersos em torno da região
central”.
9 Portanto caracterizam o grau de variação existente em um
conjunto de valores.
9 As Medidas de Dispersão que mais nos interessam são:
(a) Amplitude;
(b) Variância;
(c) Desvio Padrão;
(d) Coeficiente de Variação.
Introdução à Estatística
24
12
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Amplitude
=> A amplitude, já mencionada, é definida como a diferença
entre o maior e o menor valores do conjunto de dados.
(a) AMOSTRA: Rˆ = X MAX − X MIN
(b) POPULAÇÃO: R = X MAX − X MIN
=> Vantagem e Desvantagem.
=> Salvo aplicações de Controle de Qualidade, a
amplitude não é muito utilizada como Medida de
Dispersão.
25
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Variância
=> A variância é definida como a “média dos quadrados
das diferenças entre os valores em relação a sua
própria média”.
2
2
2
2
2
2
(a) AMOSTRA: S = S X = S ( X ) = σˆ = σˆ ( X ) = σˆ X
(b) POPULAÇÃO:
σ 2 = σ 2 ( X ) = σ X2
=> Em se tratando de Amostra:
n
Conjunto de Dados => S 2 ( X ) = S X2 =
Σ ( X i − X )2
i =1
N −1
k
Tabela de Freqüência => S ( X ) = S =
2
Introdução à Estatística
2
X
Σ ( X i − X )2 fi
i =1
N −1
26
13
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Variância
=> Em se tratando de População:
n
Conjunto de Dados => σ 2 = σ 2 ( X ) = σ X2 =
Σ ( X i − X )2
i =1
N
Σ ( X i − X )2 fi
k
Tabela de Freqüência => σ 2 = σ 2 ( X ) = σ X2 =
i =1
N
OBS:
(i) A variância calculada para dados agrupados deverá ser
superestimada em relação à variância exata dos “N”
dados originais.
27
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Variância
Exemplo: Executar o cálculo da variância de um
conjunto pequeno de dados, formado pelos valores
seguinte: {15, 12, 10, 17, 16}
n
É fácil ver que: x = µˆ = m̂ =
Σ Xi
i =1
N
= 14
n
Logo: S 2 ( X ) = S X2 =
Σ ( X i − X )2
i =1
N −1
Poderemos montar a seguinte Tabela Auxiliar nos
cálculos:
Introdução à Estatística
28
14
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Variância
Exemplo: Cálculo da variância de um conjunto pequeno de
dados: {15, 12, 10, 17, 16}
n
S (X ) = S =
2
2
X
Σ ( X i − X )2
i =1
S 2 ( X ) = S X2 =
N −1
34
= 8,5
4
Nota-se que as expressões apresentadas não são as mais
apropriadas para o cálculo da variância, pois a média é
quase sempre um valor fracionário, o que viria a dificultar o
2
29
cálculo dos desvios ( X i − X ) .
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Variância
n
Σ ( X i − X )2
Note que o numerador pode ser trabalhado: S 2 ( X ) = S X2 = i =1
n −1
Σ( X i − X ) 2 = Σ( X i2 − 2 X i X + X 2 )
= ΣX i2 − 2 XΣX i + NX 2
ΣX i
⎛ ΣX ⎞
= ΣX − 2
ΣX i + N ⎜ i ⎟
N
⎝ 2N ⎠
2
X
X
(
Σ
)
(
Σ
i
i)
= ΣX i2 − 2
+
N
N
2
( ΣX i )
Σ( X i − X ) 2 = ΣX i2 −
N
2
2
i
Introdução à Estatística
30
15
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Variância
Assim, para um conjunto com “N” dados:
⎛n
⎞
⎜ iΣ=1 X i ⎟
n
n
2
⎝
⎠
Σ ( X i − X ) 2 iΣ=1 X i −
2
2
N
=
S ( X ) = S X = i =1
N −1
N −1
2
Da mesma forma, para dados agrupados em Tabela de
freqüência, teremos:
⎛k
⎞
⎜ iΣ=1 X i f i ⎟
k
k
2
⎝
⎠
Σ ( X i − X ) 2 f i iΣ=1 X i f i −
2
2
N
i =1
=
S (X ) = SX =
N −1
N −1
2
31
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Variância
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
684
2
⎛k
⎞
⎜ iΣ=1 X i f i ⎟
k
(2.725)2
⎠
Σ X i2 f i − ⎝
150.775 −
i =1
50
N
=
= 46,17
S 2 ( X ) = S X2
49
N −1
Introdução à Estatística
32
16
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Propriedades da Variância
(a) Multiplicando-se todos os valores de uma variável por
uma constante, a variância do conjunto fica multiplicada
pelo quadrado dessa constante.
(b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os
valores de uma variável, a variância não se altera.
OBS: (i) A variância é uma medida de dispersão importante na
teoria estatística;
(ii) Do ponto de vista prático, ela tem o inconveniente de se
expressar em unidade quadrática em relação a variável em
questão.
33
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Desvio Padrão
=> Definimos desvio padrão como “a raiz quadrada positiva
da variância”.
=> O cálculo do desvio padrão é feito por meio da variância.
(a) AMOSTRA: S = S X = S ( X ) = σˆ = σˆ ( X ) = σˆ X
(b) POPULAÇÃO:
σ = σ (X ) = σ X
=> Em se tratando de Amostra: S ( X ) = S X = + S X2
34
Introdução à Estatística
17
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Desvio Padrão
OBS: (i) O desvio padrão se expressa na mesma unidade da
variável, sendo por isso, de maior interesse que a variância
nas aplicações práticas;
(ii) É mais realístico para efeito de comparação de dispersões.
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto
por um funcionário
2
⎛k
⎞
Σ
X
f
⎜
⎟
i
i
k
i =1
(2.725)2
⎠
Σ X i2 f i − ⎝
150.775 −
i =1
50
N
=
= 46,17
S 2 ( X ) = S X2
49
N −1
S ( X ) = S X = 46,17 = 6,79
35
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Coeficiente de Variação
=> O coeficiente de variação é definido como “o quociente
entre o desvio padrão e a média”, sendo
frequentemente expresso em porcentagem.
^ ( X ) = CV
^
(a) AMOSTRA: CV
X
(b) POPULAÇÃO: CV ( X ) = CV X
=> Em se tratando de Amostra:
^ ( X ) = CV
^ = SX
CV
X
X
Introdução à Estatística
36
18
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Coeficiente de Variação
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos)
gasto por um funcionário
^ ( X ) = CV
^ = SX
CV
X
X
S
6,79
^
^
CV ( X ) = CV X = X =
= 0,125 = 12,46%
X 54,5
37
Medidas de Dispersão (ou de
Variabilidade)
9 Coeficiente de Variação
OBS: (i) A vantagem é caracterizar a dispersão dos dados em
termos relativos ao seu valor médio;
(ii) Pequena dispersão absoluta pode ser, na verdade
considerável, quando comparada com a ordem de
grandeza dos valores da variável. Quando consideramos o
CV, enganos de interpretações desse tipo não ocorrem;
(iii) Além disso, por ser adimensional, o CV fornece uma
maneira de se compararem as dispersões de variáveis
cujas medidas são irredutíveis.
38
Introdução à Estatística
19
Momentos de uma
Distribuição de Dados
Júlio Cesar de C. Balieiro
39
Momentos de uma Distribuição
9 Alguns conceitos
Definimos o momento de ordem “t” de um conjunto de
dados como:
n
Mt =
Σ X it
i =1
n
Definimos o momento de ordem “t” centrado em relação a
uma constante “a” como:
n
M ta =
Introdução à Estatística
Σ ( X i − a)t
i =1
n
40
20
Momentos de uma Distribuição de
Freqüências
9 Alguns conceitos
Já vimos que temos interesse no caso de “momento centrado
em relação a média”, o qual designaremos simplesmente por
“momento centrado”, dado por:
n
mt =
Σ ( X i − X )t
i =1
n
Também sabemos que, nos casos da média e da variância,
as expressões podem ser reescritas levando-se em
consideração Tabelas de freqüências dos diferentes valores
existentes.
41
Momentos de uma Distribuição de
Freqüências
9 Alguns conceitos
Assim, para dados agrupados em Tabela de Freqüência,
teremos:
k
M
t
Σ X it f i
=
i =1
=> Para momento de ordem “t”
n
k
Σ ( X i − a)t fi
Mta = i=1
n
n
mt =
Introdução à Estatística
Σ ( X i − X )t f i
i =1
n
=> Para momento de ordem
“t” centrado em relação a
uma constante “a”
=> Para momento de ordem “t”
centrado em relação a uma
constante “média”
42
21
Momentos de uma Distribuição de
Freqüências
9 Alguns conceitos
Nos interessa particularmente saber calcular os momentos
centrados de terceira e quarta ordem.
n
mt =
n
m3 =
Σ ( X i − X )3
i =1
n
m4 =
i =1
n
i =1
n
n
n
Σ X i3
=
Σ X i2
− 3X
i =1
n
n
Σ ( X i − X )4
Σ ( X i − X )t
i =1
n
n
Σ X i4
=
i =1
n
+ 2X 3
n
− 4X
Σ X i3
i =1
n
n
+ 6X 2
Σ X i2
i =1
n
− 3X 4
43
Momentos de uma Distribuição de
Freqüências
9 Alguns conceitos
Havendo Tabelas de Freqüências com “k” classes a
considerar, as expressões equivalentes são:
k
mt =
k
m3 =
Σ X i3 f i
i =1
n
m4 =
Introdução à Estatística
i =1
n
i =1
n
k
Σ X i2 f i
− 3X
n
Σ X i4 f i
Σ ( X i − X )t f i
i =1
n
+ 2X 3
n
− 4X
Σ X i3 f i
i =1
n
n
+ 6X 2
Σ X i2 f i
i =1
n
− 3X 4
44
22
Medidas de Assimetria
Essas medidas procuram caracterizar como e quanto a
distribuição dos Dados(ou freqüências) se afasta da condição
de simetria.
Distribuições alongadas a direita são ditas Positivamente
Assimétricas.
Distribuições
alongadas
a
Negativamente Assimétricas.
esquerda
são
ditas
45
Medidas de Assimetria
O momento centrado de terceira ordem pode ser usado
como medida de assimetria.
Entretanto é mais conveniente a utilização de uma medida
adimensional, definida como Coeficiente de Assimetria, dado
por:
m
a3 =
3
(S X )3
Assim basta criamos uma
3
nova coluna com X i f i .
684
E utilizarmos momento
centrado de 3ª ordem:
k
Σ X i3 f i
m3 = i =1
Introdução à Estatística
n
k
− 3X
Σ X i2 f i
i =1
n
+ 2 X 346
23
Medidas de Assimetria
Desta forma, poderemos classificar o Coeficiente de
Assimetria (a3) da seguinte forma:
(i) Se a3 = 0 Î a distribuição é Simétrica;
(ii) Se a3 > 0 Î a distribuição é Assimétrica à direita
(Assimetria Positiva);
(iii) Se a3 < 0 Î a distribuição é Assimétrica à Esquerda
(Assimetria Negativa).
Fonte: Ferreira, D. F. Estatística Básica. Ed. UFLA, 2005.
664 p.
47
Medidas de Assimetria
Outra medida de assimetria mais simples pode ser obtido pelo
Índice de Assimetria de Pearson:
A=
X − mˆ 0
SX
O Índice de Assimetria de Pearson também pode ser
facilmente classificado:
| A |< 0 ,15 => Distribuição praticamente Simétrica;
0 ,15 < | A |< 1, 0 => Distribuição moderadamente Assimétrica;
| A | > 1, 0
Introdução à Estatística
=> Distribuição fortemente Assimétrica.
48
24
Medidas de Assimetria
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto por
um funcionário
k
Σ X i fi 2.725
x = µˆ = m̂ = i =1
=
= 54,5
50
n
mˆ o = Li +
d1
h
d1 + d 2
mˆ o = 49,5 +
8
5 = 52,833
8+ 4
684
2
⎛k
⎞
⎜ iΣ=1 X i f i ⎟
k
2
⎠
Σ X i fi − ⎝
i =1
2
N
SX =
= 46,17
N −1
S X = 46,17 = 6,79
A=
X − mˆ 0 54,5 − 52,833
=
= 0,246
6,79
SX
49
Medidas de Assimetria
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto por
um funcionário
A=
X − mˆ 0 54,5 − 52,833
=
= 0,246
SX
6,79
Pelo Índice de Assimetria de Pearson essa distribuição seria
classificada como “Moderadamente Assimétrica”, pois
0 ,15 < | A |< 1, 0 .
De fato isso ocorre, pois
quando
utilizados
uma
Técnica
de
Descrição
Gráfica
para
Variáveis
Quantitativas
Contínuas,
detectamos a Assimetria
Moderada.
Introdução à Estatística
50
25
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Essas medidas procuram caracterizar a forma da distribuição
quanto ao seu achatamento.
O termo médio de comparação é dado pela Distribuição
Normal, que é um modelo teórico de distribuição a ser
estudado no capítulo relacionado à Probabilidades.
Quanto ao achatamento, podemos ter as seguintes situações:
Platicúrticas, Mesocúrticas e Leptocúrticas.
51
Medidas de Achatamento ou
Curtose
A caracterização do achatamento de uma distribuição só tem
sentido, em termos práticos, se a distribuição for
aproximadamente Simétrica.
Entre as possíveis medidas de achatamento, destacamos o
Coeficiente de Curtose.
O Coeficiente de Curtose é obtido pelo quociente do momento
centrado de 4ª ordem pelo quadrado da variância, ou seja:
a4 =
m4
m4
=
( S X2 ) 2 S X4
52
Introdução à Estatística
26
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Trata-se de coeficiente adimensional, permitindo a sua
classificação:
a 4 < 3,0
=> Distribuição Platicúrtica;
a 4 = 3,0
=> Distribuição Mesocúrtica;
a 4 > 3,0
=> Distribuição Leptocúrtica.
53
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto por
um funcionário
Assim, basta criamos
duas novas colunas
com: X i3 f i e X i4 f i .
684
E utilizarmos momento centrado de 4ª ordem:
n
m4 =
Introdução à Estatística
Σ X i4 f i
i =1
n
n
− 4X
Σ X i3 f i
i =1
n
n
+ 6X 2
Σ X i2 f i
i =1
n
− 3X 4
54
27
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: 50 determinações do tempo (em segundos) gasto por
um funcionário
a4 =
m4
m
= 44 ≅ 2 , 21 => Distribuição ligeiramente
2 2
Platicúrtica.
(S X )
SX
55
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Outra medida de achatamento mais simples pode ser obtido
pelo Grau de Curtose, dado pelo coeficiente:
K=
Q3 − Q1
2( P90 − P10 )
em que,
Q3
Q1
P90
= é o 1º Quartil;
P90
= é o 10º Percentil.
= é o 3º Quartil;
= é o 90º Percentil;
56
Introdução à Estatística
28
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Quartis => dividem um conjunto de dados em quatro partes
iguais.
0%
25%
50%
75%
Q1
Q2
Q3
100%
em que,
Q1
Q2
= o 1º Quartil deixa 25% dos elementos;
Q3
= o 3º Quartil deixa 75% dos elementos.
= o 2º Quartil deixa 50% dos elementos e coincide com a
Mediana;
57
Medidas de Achatamento ou
Curtose
9 Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis
quantitativas contínuas
(a) Determinação de Q1:
N;
4
(ii) Identifica-se a classe de Q1 pela Fi (freq. acumulada);
(i) Calcula-se:
(iii) Aplica-se a fórmula:
Q1 = LQ1 +
(n / 4) − Fa
h
f Q1
58
Introdução à Estatística
29
Medidas de Achatamento ou
Curtose
9 Fórmulas para cálculo de Q1 e Q3 para o caso de variáveis
quantitativas contínuas (continuação)
(b) Determinação de Q3:
(i) Calcula-se: 3N
4
(ii) Identifica-se a classe de Q3 pela Fi (freq. acumulada);
(iii) Aplica-se a fórmula:
Q3 = LQ3 +
(3n / 4) − Fa
h
f Q3
59
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.
Classes
fi
Fi
7 – 17
6
6
17 – 27
15
21
Classe
Q1
27 – 37
20
41
Classe
m̂d
37 – 47
10
51
Classe
Q3
47 – 57
5
56
Q1 = LQ1 +
(n / 4) − Fa
h
f Q1
mˆ d = Li +
(n / 2) − Fa
hmd
f md
Q3 = LQ3 +
(3n / 4) − Fa
h
fQ3
60
Introdução à Estatística
30
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.
Classes
n = 56;
fi
Fi
7 – 17
17 – 27
6
15
6
21
Q1 =
n 56
=
= 14 o elemento
4 4
27 - 37
37 - 47
47 - 57
20
10
5
41
51
56
Q3 =
3n 3.56
=
= 42o elemento
4
4
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ 56 ⎞ ⎛ 56 ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ + 1⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ + 1⎟
2
2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2 ⎠
= 28 o e 29 o elementos
mˆ d = ⎝ ⎠ ⎝
=
2
2
61
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.
Classes
fi
Fi
7 – 17
17 – 27
6
15
6
21
27 - 37
37 - 47
47 - 57
20
10
5
41
51
56
Q1 = LQ1 +
( n / 4) − Fa
h
f Q1
mˆ d = Li +
(n / 2) − Fa
hmd
f md
Q3 = LQ3 +
(3n / 4) − Fa
h
f Q3
Para Q3 temos:
Para m̂ d temos:
Para Q1 temos:
n
=
56
F
=
21
; a
; LQ = 37 ; n = 56 ; Fa
LQ = 17 ; n = 56 ; Fa = 6 ; Li = 27 ;
h = 10
h = 10 ; f mˆ d = 20
h = 10 ; f Q = 15
; f Q 3 = 10
3
1
1
Introdução à Estatística
= 41;
62
31
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.
⎛ 56
⎞
⎜ − 6⎟
(n / 4) − Fa
2
⎝
⎠ .10 = 22,33
Q1 = LQ1 +
h = 17 +
f Q1
15
mˆ d = Li +
(n / 2) − Fa
hmd
f md
⎛ 56
⎞
⎜ − 21⎟
2
⎝
⎠ .10 = 30,50
= 27 +
15
⎛ 3.56
⎞
− 41⎟
⎜
(3n / 4) − Fa
4
⎠ .10 = 38,00
Q3 = LQ3 +
h = 37 + ⎝
fQ3
10
63
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os Quartis (Q1 e Q3)
e a mediana.
Q1
25%
7 ,00
22 ,33
Q3
Q2
25%
30 ,50
25%
38 ,00
25%
57 ,00
64
Introdução à Estatística
32
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Decis => são os valores que dividem um conjunto de dados em
10 partes iguais.
0%
10% 20% 30% 40%
50% 60% 70% 80% 90% 100%
D1
D5
D2
D3
D4
D6
D7
D8
D9
em que,
D1
D2
= o 1º Decil deixa 10% dos elementos;
...
= o 2º Decil deixa 20% dos elementos;
...
D9
= o 9º Decil deixa 90% dos elementos.
65
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Determinação de um Decil Di:
(i) Calcula-se:
i.N
em que i = 1, 2, ..., 9;
10
(ii) Identifica-se a classe de Di pela Fi (freq. acumulada);
(iii) Aplica-se a fórmula:
Di = Li +
em que,
(i.N / 10) − Fa
h
f Di
Li = limite inferior da classe Di ;
n = tamanho da amostra;
Fa = soma das freqüências das classes anteriores a que Di
;fDi= freqüência da classe Di;
h = amplitude da classe Di.
Introdução à Estatística
66
33
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Percentis => são os valores que dividem um conjunto de dados
em 100 partes iguais.
0%
1%
2%
3%
...
50% ...
P1
P2
P3
...
P50
...
97% 98% 99% 100%
P97
P98
P99
em que,
P1
P2
= o 1º Percentil deixa 1% dos elementos;
...
= o 2º Percentil deixa 2% dos elementos;
...
P99
= o 99º Percentil deixa 99% dos elementos.
67
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Determinação de um Percentil Pi:
i.N
em que i = 1, 2, ..., 98, 99;
100
(ii) Identifica-se a classe de Pi pela Fi (freq. acumulada);
(i) Calcula-se:
(iii) Aplica-se a fórmula:
Pi = Li +
em que,
(i.N / 100) − Fa
h
f Pi
Li = limite inferior da classe Pi;
n = tamanho da amostra;
Fa = soma das freqüências das classes anteriores a que Pi;
fPi= freqüência da classe Pi;
h = amplitude da classe Di.
Introdução à Estatística
68
34
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose
(K).
Classes
7 – 17
17 – 27
27 - 37
37 - 47
47 - 57
fi
6
15
20
10
5
Fi
6
21
41
51
56
K=
Q3 − Q1
2( P90 − P10 )
Já tínhamos obtidos:
Q1 = 22,33 e Q3 = 38,00
Pi = Li +
(i.N / 100) − Fa
h
f Pi
Para P90 temos:
Para P10 temos:
LP10 = 7 ; n = 56 ; Fa = 0;
LP90 = 37 ; n = 56 ; Fa = 41 ;
h = 10 ; f P10 = 6
h = 10 ; f P90 = 10
P90 = 46,40
P10 = 16,33
69
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Exemplo: Dada a distribuição, determinar o Grau de Curtose
(K).
Classes
7 – 17
17 – 27
27 - 37
37 - 47
47 - 57
K=
Q3 − Q1
2( P90 − P10 )
fi
Fi
K=
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
Agora temos tudo:
Q1 = 22,33 e Q3 = 38,00
P10 = 16,33 e P90 = 46,40
Q3 − Q1
38,00 − 22,33
=
= 0,2606
2( P90 − P10 ) 2(46,40 − 16,33)
70
Introdução à Estatística
35
Medidas de Achatamento ou
Curtose
Assim o Grau de Curtose, de ser classificado da seguinte
forma:
K=
Q3 − Q1
2( P90 − P10 )
K = 0 , 263 => Distribuição de freqüência Mesocúrtica;
K > 0 , 263 => Distribuição de freqüência Platicúrtica;
K < 0 , 263
=> Distribuição de freqüência Leptocúrtica.
71
Introdução à Estatística
36