FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Álgebra Linear I – 6ª Lista de Exercícios
(Referências: GERSTING, J. L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, 5ª ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2004; LAY, D. C., Álgera Linear e Suas Aplicações, 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.)
1. Considere a matriz
 1 −1 2 
A=
.
 −3 −2 1 
(a) Quais as dimensões desta matriz?
(b) Identifique os elementos a21 e a12.
2. Encontre x e y se
1
x   1 2

=
.
3 x + y  3 6
3. Encontre x, y e z se
 x + y 2x − 3y   4 −7 

=
.
 z − w z + 2w   −6 6 
4. Uma matriz é dita simétrica quando A = AT. Se
u, v e w.
2 w

A = 7 0
 1 −3

A for uma matriz simétrica, encontre
u

v .
4 
5. Sejam r = 3, s = −2 e considere as matrizes
 1 −1 
 0 1 −1 
 1 −1 
2 4 






A =  0 2 , B =  2 1 3 , C = 
 e D = 1 1 .
 6 −1 
 −1 3 
 −2 −1 0 
0 2 






Calcule as operações a seguir (se possível):
(a) A + D.
(e) A + rD.
(i) BD.
(m) C2.
(b) A – D.
(f) B – rC.
(j) DC.
(n) BA + D.
(c) rB.
(g) r(A + D).
(k) AC.
(o) B2.
(d) SC.
(h) r(sC).
(l) CA.
(p) AB.
6. Considere as matrizes
 3 −1 
4 1 
 6 −5 
A=
, B = 
 e C=
.
2 5 
 2 −1 
 2 −2 
Calcule as seguintes matrizes:
(a) AB e BA.
(c) A(B + C) e AB + AC.
(b) A(BC) e (AB)C.
(d) (A + B)C e AC + BC.
7. Sejam
 2 3
 x 3
A=
 e B=
.
4 1
y 2
Encontre x e y se AB = BA.
UNIFESO
Engenharia
8. Se uma matriz A for 3 × 5 e se o produto AB for 3 × 7, quais serão as dimensões da
matriz B?
9. Considere as matrizes
 1 2 3
5 0 0




A = 2 4 5 e D =  0 3 0  .
3 5 6
0 0 2




Calcule AD e DA. Explique coo as linhas de A mudam quando A é multiplicada por D à
direita e à esquerda. Encontre uma matriz B diferente da matriz nula e da matriz
identidade tal que AB = BA.
10. Seja In a matriz identidade n × n. Prove que I2 = I. Deduza que Im = I para todo
inteiro positivo m.
11. Sejam A e B matrizes n × n.
(a) Mostre que, se A tiver uma linha com todos os elementos nulos, então AB também
terá.
(b) Mostre que, se B tiver uma coluna com todos os elementos nulos, então AB
também terá.
(c) Mostre que, se A e B forem diagonais, então A + B também será.
(d) Mostre que, se A e B forem diagonais, então AB também será.
12. Sejam r1, …, rp vetores em ℝn e Q uma matriz m × n. Escreva a matriz [Qr1 … Qrp]
como um produto de duas matrizes (nenhuma delas igual à matriz identidade).
13. Sejam
− 1
 1 3
2
A=
 e B =  1
2 2
 2

.
− 41 
3
4
Mostre que AB = BA = I, logo B = A-1.
1 2
14. Mostre que a matriz A = 
 não é invertível.
2 4 
15. Mostre que uma matriz 2× 2 A = (aij) é invertível se e somente se a11a22 – a12a21 ≠ 0 e
que, neste caso, sua inversa é
 a22 −a12 
1
B=

.
a11a22 − a12a21  −a21 a11 
16. Para cada uma das matrizes a seguir, verifique se ela é
afirmativo, calcule sua inversa.
 1 3 1
2



(a) A =  −1 2 1  .
(c) A =  0
 2 2 1
2



 −1 0 1 


(b) A =  0 1 1  .
 1 −2 1 


Lista06.docx
invertível e, em caso
0 1

2 1.
2 0 
 1 3 1


(d) A =  −2 1 −1  .
 −1 4 0 


Álgebra Linear I
2
UNIFESO
Engenharia
17. Prove que, se A for invertível e AB = AC, então B = C.
18. Encontre três matrizes 2 × 2 A, B e C tais que AB = AC e B ≠ C.
19. Denote por AT a transposta da matriz A.
 1 3 4
(a) Calcule AT se A = 
.
 −2 1 −1 
(b) Mostre que (AT)T = A.
(c) Mostre que (A + B)T = AT + BT.
(d) Mostre que (AB)T = BTAT.
(e) Mostre que, se A for simétrica, então A2 também será simétrica.
20. Encontre duas matrizes 2 × 2 A e B tais que AB = 0, mas A ≠ 0 e B ≠ 0, onde 0 denota
a matriz nula 2 × 2.
Lista06.docx
Álgebra Linear I
3