&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV1
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV
Å
$OJXPDV TXHVW}HV
x
Já sabemos somar, subtrair e multiplicar matrizes.
Porque não aprendemos a dividir matrizes?
x
Sabemos que a UHVROXomRGHXPVLVWHPD consiste na determinação da
VROXomR ; da HTXDomRPDWULFLDO $ ; %.
Então porque não calcular directamente
; $% ?
Por exemplo, para
bastaria começar por calcular,
e depois apenas multiplicar,
x
Acontece que:
¨ $ nem sempre existe
¨ Mesmo que $ exista, é tão difícil calculá-la como resolver o sistema.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Å
Neste capítulo trataremos apenas de PDWUL]HVTXDGUDGDV.
0DWUL]HV LQYHUWtYHLV
x
Uma matriz
$ ∈ 0QlQ(£)
se existir uma matriz
diz-se LQYHUWtYHO, ou QmRVLQJXODU,
% ∈ 0QlQ(£)
$ % %$ ,Q
tal que,
A matriz % chama-se LQYHUVD da matriz $.
x
Por exemplo a matriz
é LQYHUWtYHO, porque existe a matriz
tal que
x
$ % %$ ,, ou seja,
a matriz % é LQYHUVD de $.
3URSRVLomR: A LQYHUVD de uma matriz quadrada p ~QLFD.
'HPRQVWUDomR: Suponhamos que
$
tinha duas inversas:
Nesse caso, pela definição,
e também
%
e &.
$ % %$ ,Q
$ & &$ ,Q
Então, pela definição de matriz identidade, e substituindo,
% %,Q
%$&
%$& ,Q & &
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV3
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
>
Uma vez que a LQYHUVD da matriz $ é ~QLFD, podemos representá-la por $ .
Como veremos mais tarde, se alguma matriz % satisfizer $
também satisfaz%$
,Q
e portanto
% ,Q, então
% é a inversa de $.
$OJXPDV SURSULHGDGHV GD ,QYHUVD
x
3URSULHGDGH:
,Q
x
3URSULHGDGH:
Se
x
3URSULHGDGH:
Se
e
'HPRQVWUDomR:
Se
é invertível e
$
$
,Q ,Q
é invertível então
e
%
$ é invertível e $ $
são invertíveis então $
$% %$
$%∈ 0QlQ(£)
então existem
%
é invertível
são invertíveis,
$ %∈ 0QlQ(£)
$ $ ,Q
e
tais que,
% % ,Q
Calculando o produto,
$%%$
$%% $ (DVVRFLDWLYLGDGH)
$,Q $
$$
,Q
(LQYHUVD)
(LGHQWLGDGH)
(LQYHUVD)
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV4
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
e, como provaremos, nesse caso também,
%$ $% ,Q
e portanto
$%
é invertível e
%$a sua matriz inversa.
Note que é igualmente simples verificar que,
%$ $% %$$%
%,Q %
%%
,Q
x
(DVVRFLDWLYLGDGH)
(LQYHUVD)
(LGHQWLGDGH)
(LQYHUVD)
Portanto, D LQYHUVDGRSURGXWRpRSURGXWRGDVLQYHUVDVSRURUGHPLQYHUVD
e este resultado pode ser generalizado ao SURGXWRGHYiULDVPDWUL]HV,
$ $ $N $N$$
Como caso particular deste, temos a potência de uma matriz.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV5
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSULHGDGH:
'HPRQVWUDomR:
Se
$N
$
é invertível então, para todo o N
é invertível e
$N $
∈ ´,
N
Pelo 3ULQFtSLRGD,QGXomR0DWHPiWLFD, basta mostrar que:
D a propriedade é verdadeira para N
E VH a propriedade for verdadeira para N
HQWmR também é verdadeira para N
e a propriedade fica então provada para todo o N
∈ ´.
'HPRQVWUDomRSRU,QGXomR
D Para
N a propriedade é evidente pois $
E (SDVVDJHPLQGXWLYD)
$VVXPLQGR que SURYHPRV que $N $
$
N
$N $
Calculando,
$N $N $ $ $N $ $
$
N
N
N
(SRWrQFLDGHXPDPDWUL])
(LQYHUVDGRSURGXWR)
(KLSyWHVHGHLQGXomR)
(SRWrQFLDGHXPDPDWUL])
e assim fica provada a propriedade para todo o N
∈ ´.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV6
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSULHGDGH:
Se
e
'HPRQVWUDomR:
Se
$
T
é invertível então $ é invertível
$T $
T
$ é invertível, então existe $
tal que
$ $ $$ ,Q
Provemos que $
T
T
é a matriz inversa de $
Calculando o produto,
$T $
$$ T
T
,Q (WUDQVSRVWDGRSURGXWR)
T
(GHILQLomRGHLQYHUVD)
,Q
(GHILQLomRGHWUDQVSRVWD)
e, como provaremos, nesse caso também,
$ $T
T
e portanto
x
3URSULHGDGH:
Se
e
'HPRQVWUDomR:
x
$
$T
,Q
é invertível e é invertível e D
$
T
a sua matriz inversa.
œentão D$
é invertível
D$ D$ D $
Como exercício.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV7
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
([HUFtFLR:
Sendo
$
D
$2
E
Se
%
matrizes do tipo QlQ, prove que:
,Q ¾ $ $
$2
então
Å
e
%2
$%2
,Q
$% %$
&iOFXOR GD 0DWUL] ,QYHUVD
x
Consideremos por exemplo a matriz,
Pretendemos averiguar se $ é uma matriz LQYHUWtYHO e, em caso afirmativo,
FDOFXODUDVXDLQYHUVD.
Ou seja, queremos determinar uma matriz,
tal que
x
$ % , .
Como sabemos, basta determinar uma matriz
pois fica também provado que
x
$
%
tal que
é LQYHUWtYHO e que
Nesse caso, ficamos também a saber que a matriz %
$ % , ,
% $ ,.
$
é ~QLFD.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV8
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Partindo então de
$ % ,,
ou seja,
onde, igualando colunas,
x
Temos assim GRLVVLVWHPDV para resolver,
x
Contudo, como ambos os sistemas têm D PHVPDPDWUL]GHFRHILFLHQWHV, as
operações elementares são as mesmas,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV9
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Temos então para VROXo}HVGRVGRLVVLVWHPDV,
x
Está portanto encontrada a matriz %,
x
Contudo, se as operações elementares efectuadas sobre as duas matrizes são
as mesmas, podemos MXQWDURVGRLVSURFHVVRV.
Partindo de uma matriz ampliada da forma
chegamos a uma matriz ampliada da forma
[ $ _, ] ,
[ , _ %]
onde
% $ .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV10
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¨ $OJRULWPRSDUDFDOFXODUDPDWUL]LQYHUVD Dada uma matriz
$ ∈ 0QlQ(£) :
Construir uma matriz ampliada da forma
[ $ _,Q ].
Executar sobre esta matriz uma sequência de operações elementares,
de modo a transformar
$ na matriz identidade ,Q.
No final do processo obtemos uma matriz ampliada da forma
x
x
Caso não seja possível transformar
então a matriz $ QmRpLQYHUWtYHO.
$
[ ,Q _ $ ].
na matriz identidade ,Q,
Por exemplo para a matriz,
Partindo de
[ $ _, ],
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV11
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
E portanto,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV12
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
([HUFtFLR: Mostre que a matriz
é QmRVLQJXODU e calcule a sua LQYHUVD.
6ROXomR:
([HUFtFLR: Uma das seguintes matrizes é VLQJXODU.
Calcule a matriz LQYHUVD da outra.
x
([HUFtFLR: Determine o valor de N para o qual é VLQJXODU a matriz,
6ROXomR:
$ é singular para N ±
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV13
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
3HUPXWDo}HV
x
Chamamos SHUPXWDomR dos elementos do conjunto {
a uma lista desses Q elementos, apresentados qualquer ordem.
Representamos uma permutação por L L
onde cada LN ∈ {
e LN
x
x
x
Q}
LQ Q} para todo o N ∈ { Q}
œ LM para todo o M œ N.
Por exemplo, para o conjunto {
permutações possíveis são: },
, , ...
O conjunto de WRGDV as permutações de {
Para um conjunto de Q elementos existem
Por exemplo para o conjunto {
Q} denota-se por 6Q.
Q
permutações, ou seja, _6Q_
Q
}, _6_ Para inferir que _6_
de {
_6_ }, existem SHUPXWDo}HVGLVWLQWDV de { } .
basta notar que, para cada permutação
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV14
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
É esse o caminho para a GHPRQVWUDomRSRULQGXomR de que _6Q_
x
Dada uma permutação L L
chama-se uma LQYHUVmR se LN
Q.
LQ ∈ 6Q , o par LN LM com N M
> LM.
Ou seja, o SDUGHHOHPHQWRV aparece WURFDGR em relação ordem inicial.
x
Por exemplo na permutação∈
existem LQYHUV}HV:
6
, , , e x
Para determinar WRGDVDVLQYHUV}HVGHXPDSHUPXWDomR L L LQ basta considerar o SULPHLUR elemento da permutaçãoL e encontrar todos os
elementos que são PHQRUHV que L e estão GHSRLV de L.
Depois repetir o processo para os UHVWDQWHV elementos L
x
Uma SHUPXWDomR L L
LQ ∈ 6Q
LQ .
é SDU
se o Q~PHURWRWDOGHLQYHUV}HV que nela ocorrem é SDU.
Uma SHUPXWDomRptPSDUse o número total de inversões é ímpar.
x
Por exemplo, para Q
, as permutações sobre o conjunto { },
SHUPXWDomR
WRWDOGHLQYHUV}HV
SDULGDGH
SDU
tPSDU
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV15
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
E para Q
, as permutações sobre o conjunto { },
SHUPXWDomR
WRWDOGHLQYHUV}HV
SDULGDGH
SDU
SDU
tPSDU
tPSDU
SDU
tPSDU
Para uma dada permutação L L
x
Assim, podemos definir o VLQDOGHXPDSHUPXWDomR como,
±
±
V
V
±
LQ definimos
V,
x
se a permutação é SDU
se a permutação é tPSDU
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV16
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
'HWHUPLQDQWHV
x
Para uma dada matriz
$ = [ DLM] ∈ 0QlQ(£),
definimos GHWHUPLQDQWH de $, representado por GHW$ ou _$_ ,
como o escalar de dado por,
onde
V
±
é o VLQDOGDSHUPXWDomR,
±
±
x
Para Q
,
x
Para Q
,
V
V
±
se L
se L
LQ é SDU
LQ é tPSDU
SDU
tPSDU
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV17
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Para Q
,
x
Para este cálculo existem YiULDVPQHPyQLFDV.
Por exemplo,
x
±
Outra mnemónica, mais conhecida por 5HJUDGH6DUUXV, tem duas possíveis
versões.
A  YHUVmR consiste em UHSHWLUDVGXDVSULPHLUDVFROXQDV,
6RPDU os produtos das GLDJRQDLVSULQFLSDLV,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV18
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
±
e VXEWUDLUos produtos das GLDJRQDLVVHFXQGiULDV.
x
A  YHUVmR da 5HJUDGH6DUUXV consiste em UHSHWLUDVGXDVSULPHLUDVOLQKDV,
±
De modo análogo, VRPDU os produtos das GLDJRQDLVSULQFLSDLV,
e VXEWUDLUos produtos das GLDJRQDLVVHFXQGiULDV.
x
Escolha uma mnemónica e calcule o determinante de,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV19
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
_$_ x
l l l l l l ±l l ±l l ±l l Pela própria definição de determinante, o Q~PHURGHWHUPRVDFDOFXODU é igual
ao Q~PHURWRWDOGHSHUPXWDo}HV, ou seja, Q.
Tal como no exemplo anterior, para Q , foram calculados termos, sendo
cada termo o produto de elementos.
Para valores superiores de Q este cálculo torna-se incomportável.
Mesmo para Q
x
, seriam necessários termos.
$ = [ DLM] ∈ 0QlQ(£), seja $L_M a submatriz
quadrada, de ordem Q, que se obtém de $ eliminando a linha L e a coluna M.
Para uma dada matriz
Chama-se FRPSOHPHQWRDOJpEULFR, ou FRIDFWRU do elemento DLM ao escalar,
$LM LMGHW $L_M
x
Por exemplo,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV20
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
2 7HRUHPD GH /DSODFH
x
Para uma dada matriz
para quaisquer L,
x
x
$ = [ DLM] ∈ 0QlQ(£),
V ∈ { Q}.
Assim, para calcular o determinante de uma dada matriz, basta HVFROKHUXPD
ILOD (linha ou coluna), PXOWLSOLFDUcada um dos seus elementos pelo respectivo
FRIDFWRU e VRPDU.
Para o exemplo anterior,
Escolhendo a SULPHLUDFROXQD,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV21
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Como exercício, escolha qualquer RXWUDOLQKDRXFROXQD e confirme o resultado.
x
Deste modo, a aplicação do 7HRUHPDGH/DSODFH permite-nos transformar o
cálculo de um determinante de ordem Q, no cálculo de Q determinantes de
ordem Q.
x
Por exemplo para a matriz,
desenvolvendo ao longo da SULPHLUDOLQKD.
_ $_
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV22
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Naturalmente, escolhemos a fila que nos facilite os cálculos.
Por exemplo para a matriz,
desenvolvendo ao longo da VHJXQGDFROXQD,
Neste caso, podemos mesmo evitar o cálculo do determinante de ordem ,
desenvolvendo ao longo da TXDUWDOLQKD,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV23
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
>
$OJXPDV SURSULHGDGHV GR 'HWHUPLQDQWH
Sejam
x
$ = [ DLM]
3URSULHGDGH:
e
% = [ ELM]
matrizes quadradas de ordem Q.
Se $ tem uma ILOD (linha ou coluna) GH]HURV,
então
_$_ .
3RUTXr"
x
3URSULHGDGH:
Se
$
então
é uma PDWUL]WULDQJXODU (superior ou inferior)
_$_ DD DQQ.
3RUTXHDSULPHLUDFROXQDRXOLQKDGHFDGDXPDGDV
VXFHVVLYDVVXEPDWUL]HVWHPVHPSUHVyXPHOHPHQWR
R GDGLDJRQDOSULQFLSDO
Por exemplo,
&RPRFDVRSDUWLFXODUYHULILTXHTXHRPHVPRDFRQWHFHFRPXPDPDWUL]GLDJRQDO
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV24
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSULHGDGH:
Se a uma linha (ou coluna) de uma matriz
DGLFLRQDUPRVXPP~OWLSOR de outra linha (ou coluna),
o valor do determinante não se altera.
Por exemplo, sabendo que,
se adicionarmos à segunda linha o dobro da primeira,
verificamos que,
Assim, por exemplo sabendo que,
podemos também calcular,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV25
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSULHGDGH:
Se a matriz
então
$
tem GXDVOLQKDV (ou colunas) LJXDLV,
_$_ .
3HODSURSULHGDGHDQWHULRUSRGHPRVVXEWUDLUDVGXDVOLQKDV
RXFROXQDVLJXDLVHREWHUXPDOLQKDRXFROXQDGH]HURV
( JHQHUDOL]DQGR
Se a matriz
então
$
tem GXDVOLQKDV (ou colunas) SURSRUFLRQDLV,
_$_ .
Assim, por exemplo o determinante,
pode ser calculado de duas formas:
ou detectando duas colunas proporcionais,
ou transformando numa matriz triangular com um zero na diagonal.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV26
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSULHGDGH:
Se WURFDUPRVGXDVOLQKDV (ou colunas) de uma matriz
então o determinante WURFDGHVLQDO.
Por exemplo, sabendo que,
se trocarmos as duas linhas verificamos que,
Assim, podemos por exemplo calcular,
x
3URSULHGDGH:
Se PXOWLSOLFDUPRVXPD OLQKD(ou coluna) de uma matriz
por um escalar D
então o GHWHUPLQDQWHPXOWLSOLFD por D.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV27
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Partindo de,
e multiplicando a segunda linha por D obtemos,
Assim, por exemplo para,
como_$_
então _%_ _$_ .
Naturalmente, multiplicar toda a matriz por D consiste em multiplicar todas as
suas linhas (ou colunas) por D. Por isso ...
x
3URSULHGDGH:
_ D $ _ D | $ _
n
Por exemplo para,
como_$_
então _%_ _ $_ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV28
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSULHGDGH:
_ $T _ | $ _
É simples verificar que, para Q
,
Para dimensões superiores basta verificar que, pelo 7HRUHPDGH/DSODFH,
o desenvolvimento poder ser feito tanto ao longo de uma OLQKD como de
uma FROXQD.
x
3URSULHGDGH:
Sejam $ e % duas matrizes que só diferem na linha L.
e seja & uma matriz cuja linha L é a soma das linhas L
de $ e de %, e igual em todas as outras.
Então, _
Por exemplo para Q
&_ _$__%_
,
onde as matrizes $ e % só diferem na segunda linha,
e a segunda linha da matriz & é a soma,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV29
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Assim podemos aplicar
por exemplo,
x
3URSULHGDGH:
_ $%_ _$__%_
Como exercício, verifique que, para Q
,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±0DWUL]HVLQYHUWtYHLV'HWHUPLQDQWHV30
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Por exemplo para,
_ $%_ _$__%_
± ±
Note, no caso de
$ %,
esta propriedade permite-nos concluir que _
E generalizando para qualquer Q
x
$ _ _$_.
∈ ´, _ $Q _ _$_Q.
3URSULHGDGH: Se $ é uma matriz LQYHUWtYHO,
então
_$_œ e
_ $_ _$_ _$_.
Por exemplo para,
cuja matriz inversa é,
temos,
_$_ ±œ _ $_ ± _$_
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV