CURSO DE GEOMETRIA – LISTA 01 – Professor Joselias
GEOMETRIA
Ângulos
Obs.: Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma
abertura.
Exemplos:
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Ângulos complementares
Soma (medida) Æ 90º
Ângulos suplementares
Soma (medida) Æ 180º
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Bissetriz
A bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo
em dois ângulos congruentes.
Retas coplanares
Duas retas contidas no mesmo plano são chamadas de
coplanares. As retas coplanares podem ser:
a) Concorrentes Æ Quando possuem um único ponto em
comum.
b) Paralelas Æ Quando não possuem pontos em comum.
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Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
x + y = 180º
y + z = 180º
x=y
Reta transversal
A reta t é uma transversal de r e s
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são correspondentes
são correspondentes
são correspondentes
são correspondentes
Obs.: Em duas retas paralelas os ângulos correspondentes são
congruentes.
x
r
r//s ÅÆ x = y
y
s
Obs.: Os ângulos z e y são chamados de alternos internos.
r
z
y
s
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Obs. :Os ângulos alternos internos em duas retas paralelas
são congruentes.
x
r
x=y
x=z
z
y
s
Exercícios:
1) Se r//s, qual é a medida do ângulo x?
60º
r
x
s
20º
Resposta: 80º
2) Se r//s, calcule a medida do ângulo x.
x
r
70º
130º
s
Resposta: x = 150º
3) Calcule a medida do ângulo x, sabendo que r//s
r
30º
115º
x
s
Resposta: x = 85º
z
y
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4) Se r//s. Determine a medida de x + y.
r
x
70º
y
s
Resposta: 250º
Triângulos
A soma dos ângulos de um triângulo é 180º.
------------------------------------------y x z
y
z
x + y + z = 180º
Classificação dos triângulos
Triângulo acutângulo Æ 3 ângulos agudos.
A
C
B
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Triângulo retângulo Æ
B
A
C
Triângulo obtusângulo Æ 1 ângulo obtuso
C
A
B
Triângulo eqüilátero Æ
60º
60º
60º
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Triângulo isósceles Æ 2 lados iguais
A
B
C
Triângulo escaleno Æ 3 lados diferentes
A
B
C
Propriedades
Em todo triângulo qualquer ângulo externo tem medida
igual a soma das medidas dos dois ângulos internos não
adjacentes.
A
E
y
B
z
C
x + y + z = 180º
E + z = 180º => E = x + y
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5) Calcule a medida do ângulo x
30º
20º
x
Resposta: x = 50º
6) Calcule a medida do ângulo x.
50º
x
Resposta: x = 140º
7) Calcule as medidas de x e y.
80º
y
Resposta: x = 30º e y = 110º
x
150º
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8) Calcule as medidas de x e y.
55º
30º
y
Resposta: x = 70º e y = 125º
x
40º
9) No triângulo ABC da figura, calcule o valor de x.
4x
2x
3x
Resposta: x = 20º
10) O triângulo ABC da figura abaixo é isósceles de base BC.
Calcule a medida do ângulo interno A.
A
30º
B
Resposta:120º
C
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11) A figura abaixo mostra um triângulo ABC, isósceles de base
BC. Se
é bissetriz do ângulo
é bissetriz do ângulo
, calcule a medida do ângulo x.
A
80º
I
x
B
C
Resposta: 130º
12) Considere o triângulo retângulo ABC, na figura abaixo
.
sabendo que CD = DB. Calcule a medida do ângulo
C
40º
A
D
B
= 80º
Resposta:
13) Considere o triângulo ABC, tal que AD é bissetriz do ângulo
A. Calcule o valor de x – y.
A
B
40º
y
x 30º
D
Resposta: 10º
C
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14) Na figura
calcule o ângulo x.
x A
B
Resposta: 60º
C
D
Polígonos
São regiões do plano cujos contornos são segmentados de
retas. Os polígonos podem ser:
Convexo
Côncavo
Os polígonos recebem os nomes conforme o número de
lados.
3 lados Æ triângulo
4 lados Æ quadrilátero
5 lados Æ pentágono
6 lados Æ hexágono
7 lados Æ heptágono
8 lados Æ octógono
9 lados Æ eneágono
10 lados Æ decágono
11 lados Æ undecágono
12 lados Æ dodecágono
15 lados Æ hexadecágono
20 lados Æ icoságono
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Soma dos ângulos internos de um polígono
Triângulo
A
x
x + y + z = 180º
y
z
B
C
Quadrilátero
A
x
D
y
z
w
B
C
Observe que podemos obter dois triângulos no quadrilátero.
A
D
B
C
Logo a soma é
Pentágono
A
B
E
D
C
Podemos obter 3 triângulos no pentágono. Logo a soma dos
ângulos é
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Sendo assim, podemos dizer que a soma dos ângulos
internos de um polígono de n lados (si) pode ser calculada pela
fórmula:
Polígonos regulares
Dizemos que um polígono é regular quando todos os seus
lados têm o mesmo tamanho, e seus ângulos têm a mesma
medida.
Exemplos:
a) Triângulo equilátero
A
3 lados iguais
3 ângulos iguais (60º)
B
C
b) Quadrado
4 lados iguais
4 ângulos iguais (90º)
c) Hexágono regular
A
F
6 lados iguais
B
E
C
D
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Soma dos ângulos internos:
Podemos calcular o ângulo interno de um polígono
regular pela fórmula:
No caso do hexágono regular os ângulos internos medem:
Número de diagonais de um polígono (d)
O número de diagonais de um polígono pode ser calculado
pela fórmula:
Quadriláteros notáveis
a) Trapézio
Dois lados paralelos
A
D
B
C
Obs.: Trapézio retangular (1 lado transversal perpendicular aos
lados paralelos.
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Obs.: Trapézio isósceles (lados transversais congruentes)
A
D
B
C
b) Paralelogramo
Quadrilátero com lados paralelos congruentes.
A
B
D
C
ÆLados opostos côngruos
ÆÂngulos opostos côngruos
ÆDiagonais se cortam ao meio
c) Retângulo
É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos
A
D
B
C
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d) Losango
É o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.
ÆLados iguais
ÆDiagonais perpendiculares
ÆDiagonais são bissetrizes
e) Quadrado
É paralelogramo com quatro lados iguais e os quatro
ângulos retos.
Exercícios:
15) Calcule a medida do ângulo x.
x
100º
120º
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16) Calcule a soma dos ângulos externos de um triângulo.
17) Calcule o número de diagonais de um hexágono.
18) Calcular a soma dos ângulos internos de um dodecágono.
19) A soma dos ângulos de um polígono é 2340º. Qual o número
de diagonais desse polígono?
20) A soma dos ângulos internos de um polígono é 720º, então o
número de lados é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles de base
Calcule a medida do ângulo B , sabendo que o ângulo A
mede 20º.
A
B
.
C
22) N figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e ABD é
. Calcule o ângulo
, sabendo que ele é o
isósceles de base
quádruplo do ângulo
.
D
C
A
Resposta: 40º
B
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23) Na figura abaixo
A
e
calcule .
30º
B
M
D
C
Resposta: 30º
24) Os ângulos de um triângulo medem 3x, 4x e 5x. O menor
desses ângulos mede:
a) 15º
b) 18º
c) 30º
d) 45º
e) 60º
. Sabe-se que
25) O triângulo ABC é isósceles de base
. Calcule a medida do ângulo
.
A
D
E
C
B
26) N figura abaixo tem-se o triângulo equilátero XYZ, inscrito
é:
triângulo isósceles ABC. O valor de
a) 15º
A
b) 20º
c) 25º
30º y
d) 30º
e) 45º
B
Resposta: D
Z
C
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27) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E é:
a) 60º
A
b) 120º
c) 180º
d) 360º
E
e) varia de “estrela” para “estrela”
D
B
C
28) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a
dois bastões verticais, como mostra a figura.
A medida do ângulo x é:
a) 39º
b) 41º
c) 43º
d) 44º
e) 46º
29) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é
1080º. Calcule o número de diagonais desse polígono.
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PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
(BICO)
BARICENTRO
INCENTRO
CIRCUNCENTRO
ORTOCENTRO
MEDIANA DE UM TRIÂNGULO
Chamamos de mediana de um triângulo ao segmento de reta que
une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
ALTURA DE UM TRIÂNGULO
A altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice
ao lado oposto(ou prolongamento do lado oposto) formando um
ângulo reto.
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BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO
É o segmento de reta que divide o ângulo, de um vértice do
triângulo, em duas partes iguais.
,
,
são bissetrizes internas do triângulo ABC.
MEDIATRIZ DE UM TRIÂNGULO
É o segmento de reta perpendicular ao lado de um triângulo,
passando pelo ponto médio do mesmo.
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BARICENTRO(G)
Chamamos de baricentro ao ponto de encontro de todas as
medianas do triângulo.
,
,
é o baricentro.
são as bissetrizes do triângulo ABC, e o ponto G
INCENTRO
Chamamos de incentro ao ponto de encontro de todas as
bissetrizes internas do triângulo.
Obs: O incentro é o centro da circunferência inscrita no
triângulo.
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CIRCUNCENTRO
Chamamos de circuncentro ao ponto de encontro de todas as mediatrizes.
Obs: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita
no triângulo.
ORTOCENTRO(O)
Chamamos de ortocentro ao ponto de encontro de todas as alturas
do triângulo.