Minicurso – Aula 2:
Técnicas de Demonstração
Matemática
Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant
Curso de Verão 2009
DEX - UFLA
Se A, então B.
Todas as proposições matemáticas, mesmo que
não esteja explícito, são sentenças condicionais
do tipo: Se A, então B.
A
→
B
A implica B
A
⇒
B
Tabela-Verdade
Se estiver chovendo, então eu levo o guarda-chuva.
A
B
Se A, então B.
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Exemplo1:
n é um inteiro par
⇒ n² é um inteiro par
Se n é um inteiro par, então n² é um inteiro
par.
Hipótese: n é um inteiro par
Conclusão: n² é um inteiro par
Exemplo 2:
r é irracional se r é real e satisfaz r²=2.
Se r é real e satisfaz r²=2, então r é irracional.
Hipótese: r é real e satisfaz r²=2
Conclusão: r é irracional
Exemplo 3:
A soma dos n primeiros inteiros positivos é
n(n+1)/2 .
Se n é um inteiro positivo, então a soma dos
n primeiros inteiros positivos é n(n+1)/2.
Hipótese: n é um inteiro positivo
Conclusão: a soma dos n primeiros inteiros
positivos é n(n+1)/2
Proposição 1: Se o triângulo retângulo XYZ,
com lados x e y e hipotenusa z tem área de
z²/4, então o triângulo XYZ é isósceles.
X
y
Z
z
x
Y
Hipótese e Conclusão
A (hipótese): O triângulo retângulo XYZ, com
lados x e y e hipotenusa z tem área de z²/4.
B (conclusão): O triângulo XYZ é isósceles.
Método Progressivo-Regressivo
• Este método é usado em todas as outras
técnicas de demonstração.
• No processo progressivo utilizamos as
informações da hipótese.
• No processo regressivo tratamos de
determinar como chegar a conclusão de que B
é verdadeira.
Método Regressivo
• Proposição 1
• B (conclusão): O triângulo XYZ é isósceles.
• Etapa 1: Fazer a seguinte pergunta:
“Como posso concluir que a proposição B é
verdadeira?”
• De forma mais concreta para o nosso exemplo
(Proposição1):
“Como posso demonstrar que um triângulo é
isósceles?”
Método Regressivo
• A pergunta da etapa 1 chamamos de
pergunta-chave. (em espanhol - pergunta de
abstração)
• A pergunta-chave não deve conter símbolos
ou outras notações.
• O “segredo” de muitas provas é formular uma
correta pergunta-chave.
Método Regressivo
• Etapa 2: Responder a pergunta-chave.
• Como responder a pergunta-chave?
• Primeiro, dar uma resposta abstrata que não
contenha símbolos.
• No nosso exemplo (Proposição1), para
demonstrar que um triângulo é isósceles,
devemos provar que dois dos seus lados tem a
mesma medida.
Método Regressivo
• Segundo, aplicar esta resposta abstrata para o
problema usando notações apropriadas.
• No nosso exemplo devemos demonstrar que
x=y.
• A segunda etapa do processo regressivo
forneceu uma nova proposição B1, com a
propriedade de que se demonstrarmos que B1
é verdadeira, então B será verdadeira.
B1: x=y.
Método Regressivo
• Se demonstramos que x=y, então o triângulo
XYZ é isósceles.
• Uma vez que obtivemos a proposição B1, todo
nosso esforço deve concentrar em demonstrar
que B1 é verdadeira.
• Agora vamos formular a pergunta-chave para
B1.
Método Regressivo
• Uma pergunta razoável para B1 seria:
“Como posso demonstrar que o comprimento
de dois lados de um triângulo são iguais?”
• Uma outra pergunta razoável seria:
“Como posso demonstrar que dois números
reais são iguais?”
Método Regressivo
• Uma das dificuldades do método regressivo é
a possibilidade de existir mais de uma
pergunta-chave.
• Em alguns casos existe somente uma
pergunta-chave óbvia, mas nos outros casos
você deve proceder por tentativas. Aqui entra
a intuição, insight, criatividade, experiência,
diagrama e gráficos.
Método Regressivo
• Voltando a nosso exemplo (Proposição1).
• Respondendo a pergunta
“Como posso demonstrar que o comprimento
de dois lados de um triângulo são iguais?”
• Pela figura da Proposição1 uma resposta seria
demonstrando que os ângulos X e Y são iguais.
• Examinando os informações de A (hipótese)
vimos que não há informações sobre os
ângulos do triângulo XYZ.
Método Regressivo
• Por isso vamos passar para a outra perguntachave.
“Como posso demonstrar que dois números
reais são iguais?”
• Uma resposta seria: demonstrando que x-y=0.
Método Regressivo
• Um outra dificuldade do método regressivo é
a possibilidade de existir mais de uma
resposta para a pergunta-chave.
• No nosso caso, uma outra resposta para a
pergunta-chave seria: demonstrando que x≤y
e y≤x.
• Por falta de argumento escolhemos a resposta
de demonstrar que a diferença x-y é zero.
Método Regressivo
• Novamente temos uma nova proposição B2:
B2: x-y=0.
• Uma pergunta-chave associada a B2 seria
“Como posso demonstrar que a diferença de
dois números reais é igual a zero?”
• Depois de algumas reflexões, vimos não há
uma resposta razoável para a pergunta acima.
• Não se desespere, ainda temos as
informações da hipótese.
Método Progressivo
• O método progressivo envolve derivar
proposições da hipótese (A), que sabemos ser
verdadeiras como um resultado de A.
• Enfatizamos que as proposições derivadas de
A não são aleatórias, elas devem estar ligadas
diretamente a última proposição obtida no
processo regressivo:
B2: x-y=0.
Método Progressivo
A (hipótese): O triângulo retângulo XYZ, com
lados x e y e hipotenusa z tem área de z²/4.
• Um fato que você sabe (deveria saber) como
um resultado de A é que xy/2= z²/4. Então,
obtemos uma nova proposição:
A1: xy/2= z²/4.
Método Progressivo
• Uma outra proposição útil que segue de A
pelo teorema de Pitágoras é:
A2: x²+ y² = z².
• No método progressivo você pode combinar
as proposições e gerar novas. Podemos
combinar A1 e A2 por substituir z² em A1 por
x²+ y² de A2, obtendo:
A3: xy/2= (x²+ y² )/4
Método Progressivo
• Lembramos que B2: x-y=0 e esta proposição
não contém z e por esta razão que z² foi
eliminado de A1 e A2 para gerar A3.
A3: xy/2= (x²+ y² )/4.
• Multiplicando ambos os lados de A3 por 4
subtraindo 2xy de ambos os lados obtemos,
A4: x²- 2xy +y² = 0.
• Fatorando A4 obtemos,
A5: (x-y)²=0.
Método Progressivo
• Como consequência de A5 obtemos
exatamente a proposição B2: x-y=0.
• A prova está completa.
Prova da Proposição1
Proposição
Razão
A: Área de XYZ é z²/4
A1:xy/2= z²/4
A2: x²+ y² = z².
A3: xy/2= (x²+ y² )/4
A4: x²- 2xy +y² = 0
A5: (x-y)²=0
B2: x-y=0
B1: x=y
B: XYZ é isósceles
Hipótese
Área=(base)(altura)/2
Teorema de Pitágoras
Substituindo A2 em A1
De A3 por álgebra
Fatorando A4
De A5 por álgebra
Adicionando y a ambos os lados de B2
Porque B1 é verdadeira
Método Progressivo
• Prova da Proposição1: Pela hipótese e da
fórmula da área de um triângulo retângulo, a
área de XYZ é xy/2= z²/4. Pelo teorema de
Pitágoras, x²+ y² = z² e, substituindo x²+ y² por
z² e fazendo algumas manipulações algébricas
obtemos (x-y)²=0. Portanto, x=y e assim o
triângulo XYZ é isósceles.
Método Progressivo-Regressivo
• Prova da Proposição1: A proposição estará
provada se demonstramos que x=y mediante
a verificação de que (x-y)²=0. Mas a área do
triângulo é xy/2= z²/4, então 2xy= z². Pelo
teorema de Pitágoras, x²+ y² = z² e portanto
x²+ y² = 2xy ou (x-y)²=0.