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MATEMÁTICA A
01. (Ufsm) Em 2011, o Ministério da Saúde firmou um acordo com a Associação das Indústrias
de Alimentação (Abio) visando a uma redução de sódio nos alimentos industrializados. A meta é
acumular uma redução de 28.000 toneladas de sódio nos próximos anos.
Suponha que a redução anual de sódio nos alimentos industrializados, a partir de 2012, seja dada
pela sequência:
(1.400, 2.000, 2.600,..., 5.600)
Assim, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.
( ) A sequência é uma progressão geométrica de razão 600.
( ) A meta será atingida em 2019.
( ) A redução de sódio nos alimentos industrializados acumulada até 2015 será de 3.200 toneladas.
A sequência correta é
a) F − V − V.
b) V − F − V.
c) V − V − F.
d) F − V − F.
e) F − F − V.
02. (Pucpr) Um consumidor, ao adquirir um automóvel, assumiu um empréstimo no valor total
de R$ 42.000,00 (já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 20 parcelas, formando
uma progressão aritmética decrescente. Dado que na segunda prestação foi pago o valor de
R$ 3.800,00, a razão desta progressão aritmética é:
a)
b)
c)
d)
e)
300.
200.
150.
100.
350.
03. (Ucs) Uma cultura de bactérias tinha, no final do primeiro dia, k indivíduos; no final do
segundo dia, o dobro de k ; no final do terceiro dia, o triplo de k ; e, assim, sucessivamente.
Se, no final do vigésimo dia, havia 10,5  106 indivíduos, qual era o número de indivíduos no final
do primeiro dia?
a) 5  104
b) 5,25  104
c) 5,25  105
d) 5  105
e) 5,25  103
04. (Uem) Em relação à sequência infinita de números inteiros, cujo n-ésimo termo é obtido pela
fórmula an  3n  6, para todo inteiro positivo n, assinale o que for correto.
01) Essa sequência é uma progressão aritmética de razão 3.
02) Todos os termos dessa sequência são múltiplos de 3.
04) a4  18.
08) Para todo inteiro positivo n, o termo an divide o termo an3 .
16) Para todo inteiro n > 2, vale a seguinte igualdade a1  a2  ...  an1  an 
3n2  15n
.
2
05. (Ufsm) As doenças cardiovasculares são a principal causa de morte em todo mundo. De
acordo com os dados da Organização Mundial da Saúde, 17,3 milhões de pessoas morreram em
2012, vítimas dessas doenças. A estimativa é que, em 2030, esse número seja de 23,6 milhões.
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Suponha que a estimativa para 2030 seja atingida e considere (an ), n  , a sequência que
representa o número de mortes (em milhões de pessoas) por doenças cardiovasculares no
mundo, com n  1 correspondendo a 2012, com n  2 correspondendo a 2013 e assim por diante.
Se (an ) é uma progressão aritmética, então o 8º termo dessa sequência, em milhões de pessoas,
é igual a
a) 19,59.
b) 19,61.
c) 19,75.
d) 20,10.
e) 20,45.
06. (Uepg) A média aritmética das notas de 20 alunos é 58. Se essas notas formam uma
progressão aritmética de razão 4, assinale o que for correto.
01) A maior nota é 96.
02) A menor nota é 20.
04) A média aritmética das cinco maiores notas é 88.
08) A mediana das notas é 52.
07. (Ufrgs) Denominando P a soma dos números pares de 1 a 100 e I a soma dos números
ímpares de 1 a 100, P  I é
a) 49.
b) 50.
c) 51.
d) 52.
e) 53.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
2012: 1400
2013: 2000
2014: 2600
2015: 3200

2019: 5600
[F] A sequência é uma P.A. de razão 600.
[V] Calculando a soma dos termos da P.A. , temos:
1400  5600  8  28000
2
[F] A redução do ano de 2015 foi de 3200.
Resposta da questão 2:
[B]
Sejam (a1,a2 ,a3 ,,a20 ) as vinte primeiras prestações do empréstimo.
Na P.A. acima temos: a1  a20  a 2  a19 , portanto a soma dos 20 primeiros parcelas pode ser escrita do
seguinte modo:
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 a2  a19 
 20  42000
2
3800  a19  4200
a19  400
Determinando agora a razão r da P.A., temos:
a19  a 2  17  r
400  3800  17r
17r  3400
r  200
Portanto, a razão da P.A é 200.
Resposta da questão 3:
[C]
Tem-se que 20  k  10,5  106  k  5,25  105.
Resposta da questão 4:
01 + 02 + 04 + 16 = 23.
[01] Verdadeira, pois (9, 12, 15,...) é uma P.A de razão 3.
[02] Verdadeira, pois 3n  6  3  (n  2).
[04] Verdadeira, pois a4  9  3  3  18.
[08] Falsa, pois a2  12 não divide a5  21.
[16] Verdadeira, pois
 9  9  (n  1)  3   n
2

Resposta da questão 5:
[C]
Em 2012: a1 = 17,3
Em 2030: a19 = 23,6
Considerando a P.A, temos:
a19  a1  18  r
23,6  17,3  18  r
18  r  6,3
r  0,35
Portanto, o oitavo termo dessa sequência é:
a8  a1  7  r
a8  17,3  7  0,35
a8  19,75
3n2  15n
.
2
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Resposta da questão 6:
01 + 02 + 04 = 07.
As notas dos 20 alunos constituem a progressão aritmética (x1, x1  4, , x1  76). Logo, como x  58, temse
x
x1  x1  4    x1  76
 x  x  76 
 1 1
  20  58  20
20

2

 x1  38  58
 x1  20.
[01] Correto. A maior nota é x1  76  20  76  96.
[02] Correto. A menor nota é x1  20.
[04] Correto. A média aritmética das cinco maiores notas é
80  84  88  82  96
 88.
5
[08] Incorreto. A mediana das notas é igual a
x10  x11 x1  36  x1  40

2
2
 x1  38
 20  38
 58.
Resposta da questão 7:
[B]
Temos
P
2  100
 50  51 50
2
e
I
1  99
 50  50  50.
2
Portanto,
P  I  51 50  50  50  50.
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MATEMÁTICA B e E
01. (ifsc) Em uma aula prática, um professor do curso técnico de edificações do campus
Florianópolis do IFSC, pede para que seus alunos determinem a altura de um poste que fica nas
instalações da instituição, porém há uma impossibilidade para se chegar tanto ao topo do poste,
bem como sua base. Para realizar tal medida, são disponibilizados para os alunos uma trena (fita
métrica) e um teodolito. É realizado o seguinte procedimento: primeiro crava-se uma estaca no
ponto A a x metros da base do poste e mede-se o ângulo formado entre o topo do poste e o
solo, que é de 60 (sessenta graus); em seguida, afastando-se 10 m (dez metros) em linha reta
do ponto A e cravando uma nova estaca no ponto B, mede-se novamente o ângulo entre o topo
do poste e o solo, que é de 30 (trinta graus).
A partir do procedimento descrito e da figura abaixo, é CORRETO afirmar que a altura do poste é
de aproximadamente:
Dados: sen30  0,5; cos 30  0,86; tg30  0, 58
sen60  0,86; cos 60  0,5; tg60  1,73
a) 8, 65 m
b) 5 m
c) 6, 65 m
d) 7, 65 m
e) 4 m
2. (cps)
A inclinação das vias públicas é um problema para o transporte.
Na cidade de Dunedin, na Nova Zelândia, está localizada a rua Baldwin que, em seu trecho inferior,
tem uma rampa de inclinação moderada e, em seu trecho superior, tem uma rampa extremamente
íngreme.
O trecho com maior inclinação apresenta uma taxa de 1: 2,86, o que significa que, para cada 2,86
metros percorridos horizontalmente, é necessário vencer 1 metro na vertical.
<http://tinyurl.com/nxluef7> Acesso em: 22.02.2015. Adaptado.
Considere que:
- o ângulo de inclinação de uma rampa é medido entre a horizontal e a rampa;
- a inclinação de uma rampa é expressa pela tangente do seu ângulo de inclinação; e
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- o triângulo retângulo, da figura, representa parte do trecho com maior inclinação da rua Baldwin.
Adote:
Ângulo
12
15
19
21
24
Tangente
0,213
0,268
0,344
0,384
0,445
Nessas condições, o ângulo de inclinação desse trecho da rua Baldwin é mais próximo de
a) 12
b) 15
c) 19
d) 21
e) 24
03. (Upe) Num triângulo retângulo, temos que tg x  3. Se x é um dos ângulos agudos desse
triângulo, qual o valor de cos x ?
1
a)
2
5
b)
10
2
2
1
d)
4
10
e)
10
c)
04. (Insper)
Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência
trigonométrica, os arcos AP e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, com
0  α  β  π.
Sabendo que cos α  0,8, pode-se concluir que o valor de cos β é
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a) −0, 8.
b) 0, 8.
c) −0, 6.
d) 0, 6.
e) −0, 2.
05. (Acafe) Sobre funções trigonométricas, analise as proposições abaixo.
l. A expressão sen x  2m  3 é verdadeira, com x pertence ao 3º Q se, e somente se, m pertencer ao
 3
intervalo  1,  .
 2
1
7
II. A soma dos valores máximo e mínimo da função f(x)  1  cos2 x é .
3
3
III. Sendo cossec x  1,333, com x pertence ao 2º Q, então, cotg x vale
7
.
3
π
π

lV. Sendo f(x)  1  tg  2x   , então, o período e o domínio da função f, valem, respectivamente,
e
6
2

π kπ


x  | x   , k  .
6 2


Todas as afirmações corretas estão em:
a) I - II - III
b) II - III - IV
c) I - III - IV
d) I - II - IV
06. ( cftmg ) O esboço do gráfico da função f(x)  a  b cos(x) é mostrado na figura seguinte.
Nessa situação, o valor de a  b é
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
07. (Unicamp) Seja x real tal que cos x  tg x. O valor de sen x é
3 1
.
2
1 3
b)
.
2
5 1
c)
.
2
1 5
.
d)
2
a)
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08. (Uece) Sejam x, y e z as medidas dos lados do triângulo XYZ e R a medida do raio da
circunferência circunscrita ao triângulo. Se o produto dos senos dos ângulos internos do
k xyz
triângulo é
, então o valor de k é
R3
a) 0,500.
b) 0,250.
c) 0,125.
d) 1,000.
09. (Uepb) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internos em dois
outros. Um β e o outro 2β. A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é
a) 2senβ
1
2cosβ
c) 2cosβ
b)
1
2senβ
e) tgβ
d)
ˆ ao meio.
10. (Uftm ) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ABC
Sendo CD  2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede
a)
b)
3 1
.
2
3  1.
c)
6( 3  1)
.
5
d)
4( 3  1)
.
3
e)
3( 3  1)
.
2
11. ( ifsp ) A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulo oposto à base mede 120°.
A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é
a) 3.
b) 2.
c) 3.
d) 1  3.
e) 2  3.
12. (Fgv ) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da
circunferência inscrita a ele.
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O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a
a) 4  2
b) 4  3
c) 6
d) 4  5
e) 2(2  2)
13. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo,
que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as
cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e
Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as
distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e
Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha
reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas
formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos
que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
a) 80  2  5  3
b) 80  5  2  3
c) 80  6
d) 80  5  3  2
e) 80  7  3
14. (Pucrj ) Sabendo que π  x 
3π
1
e sen (x)   , é correto afirmar que sen (2x) é:
2
3
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2
3
1
b) 
6
a) 
3
8
1
d)
27
4 2
e)
9
c)
GABARITO
01)
02)
03)
04)
05)
06)
07)
08)
09)
10)
11)
12)
13)
14)
A
C
E
C
D
D
C
C
C
E
A
B
B
E
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MATEMÁTICA C
01.(Unesp) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2),
B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC+CB seja mínimo, o valor de m deve ser:
a) 7/3.
b) 8/3.
c) 10/3.
d) 3,5.
e) 11/3.
02. (Cesgranrio) A área do triângulo, cujo vértices são (1,2), (3,4) e (4,-1), é igual a:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
03. (Ufmg) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de
2
equação y  x  x  2 . O valor de a é:
a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2
04. (Ufmg) Os pontos P e Q pertencem à reta de equação y=mx, têm abscissas a e a+1,
respectivamente. A distância entre P e Q é 10 . A ordenada do ponto dessa reta que tem
abscissa 5 é negativa. Nessas condições, o valor de m é
a) - 3
b) - 10
c) 3
10
10
e) 10
d)
05. A distância do vértice da parábola y = (x-2) (x-6) à reta y = (4/3)x + 5 é:
a) 72/25
b) 29/25
c) 43
d) 43/25
e) 43/5
06. A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:
a) 14.
b) 13.
c) 12.
d) 9.
e) 8.
07. O valor de x para que os pontos (1,3), (- 2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:
a) 8.
b) 9.
c) 11.
d) 10.
e) 5.
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GABARITO
01 – C
02 – A
03 – D
04 – A
05 – E
06 – B
07 – D
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MATEMÁTICA D
01. (Uepg) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 1, 2 e
3 e sua área total é igual a 198cm2 . Sobre esse paralelepípedo, assinale o que for correto.
01)
02)
04)
08)
Seu volume vale 162cm3 .
As suas dimensões formam uma progressão aritmética.
A soma das medidas de todas as suas arestas é 72cm.
Sua diagonal é maior que 11cm.
02. (Ucs) O volume de um prisma reto, cuja base é um retângulo com lados de medidas 4 m e
6 m, é igual a 120 m3 .
Qual será o volume, em m3 , do prisma reto que tem como base o polígono com vértices nos
pontos médios da base do prisma anterior e que tem o triplo da altura do prisma anterior?
a) 30
b) 60
c) 120
d) 180
e) 300
03. (Ufrgs) Os vértices do hexágono sombreado, na figura abaixo, são pontos médios das arestas
de um cubo.
Se o volume do cubo é 216, o perímetro do hexágono é
a) 3 2 .
b) 6 2 .
c) 9 2 .
d) 12 2 .
e) 18 2 .
04. (Ufrgs) Na figura abaixo, encontra-se representada a planificação de um sólido de base
quadrada cujas medidas estão indicadas.
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O volume desse sólido é
a) 144.
b) 180.
c) 216.
d) 288.
e) 360.
05. (Acafe) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de
comprimento, 2 metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de concreto. O nível da
3
água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até
da altura.
4
O volume de água deslocado (em litros) foi de:
a) 4500.
b) 1500.
c) 5500.
d) 6000.
06. (Pucrs) Uma piscina na forma retangular tem 12 metros de comprimento, 6 metros de largura
e 2 metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de sua altura. A
quantidade de água para encher esta piscina até a altura indicada é de ________ litros.
a) 54
b) 108
c) 54000
d) 108000
e) 192000
07. (Ufsm) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos
ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição
causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de
embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças.
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10
cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?
a) 150 3.
b) 1.500.
c) 900 3.
d) 1.800.
e) 1.800 3.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
01 + 02 + 04 + 08 = 15.
Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo. Tem-se que
a k
a b c
   k  b  2k ,
1 2 3
c  3k
com k sendo um número real positivo.
Desde que a área total é igual a 198 cm2 , vem
2(ab  ac  bc)  198  k  2k  k  3k  2k  3k  99
 k2  9
 k  3.
Por conseguinte, encontramos a  3cm, b  6 cm e c  9cm.
[01] Correto. O volume do paralelepípedo vale a  b  c  3  6  9  162cm3 .
[02] Correto. As dimensões formam uma progressão aritmética com primeiro termo igual a 3 e razão
igual a 3.
[04] Correto. A soma das medidas de todas as arestas é igual a
4(a  b  c)  4(3  6  9)
 72cm.
[08] Correto. A diagonal do paralelepípedo mede
a2  b2  c 2  32  62  9 2
 126 cm.
Portanto, temos
126 cm  121cm  11cm.
Resposta da questão 2:
[D]
Seja h a altura do prisma retangular. Desde que 4  6  h  120, e sabendo que o polígono com vértices
nos pontos médios dos lados do retângulo é um losango, concluímos que o resultado é igual
46
3
 3h   120  180 m3 .
2
2
Resposta da questão 3:
[E]
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Sendo x a medida da aresta do cubo, temos:
x 3  216  x  6.
Sendo a o lado do hexágono e P seu perímetro, temos:
a2  32  32  a  3 2 e P  6a  18 2 .
Resposta da questão 4:
[A]
O sólido formado será um prisma de base triangular.
Determinando o valor de x, temos:
x 2  62  102  x  8.
Portanto, o volume V do sólido será dado por:
86
V  Ab  h 
 6  144
2
Resposta da questão 5:
[B]
Como
3
 0,75, segue-se que o resultado pedido é
4
1 2  5  (0,75  0,6)  1,5 m3  1500 L.
Resposta da questão 6:
[D]
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O volume da piscina é igual a 12  6  2  144 m3 . Logo, a quantidade de água a ser bombeada, em litros,
para que o nível da piscina atinja 75% de sua altura, é
75
 144  1000  108.000.
100
Resposta da questão 7:
[C]
O volume da embalagem é dado por
3  102  3
 6  900 3 cm3 .
2