MATEMÁTICA III
AULA 1
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO I
TURMA INTEGRAL
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
VOLUME 1
01. Seja n o número de degraus da escada.
20
tg 30º =
⇒ ℓ = 20 3 cm
ℓ
n=
280 3
20 3
= 14
Resposta: C
02.
x
60º
50 m
A figura acima representa o canteiro retangular conforme cita o problema.
Queremos determinar a medida da dimensão x deste canteiro. Ora, observando o triângulo retângulo sombreado, temos que
“x” e “50 m” são, respectivamente, os catetos oposto e adjacente ao ângulo de 60º. Neste caso, aplicando a tangente deste
em tal triângulo, obtemos:
tg60º =
x
x
⇒ 3=
∴ x = 50 3 ∴ x = 86,6 m
50
50
Resposta: E
03.
B
2
2 2
2
6 = 8 + x − 2 ·8·x·
2
2
36 = 64 + x − 8 2x
x
8
x '=
8 2 +4
2
x '= 4 2 + 2
2
x − 8 2x + 28 = 0
A
6
C
∆ =16
Resposta: B
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RESOLUÇÃO – MATEMÁTICA III
04.
I.
30
x
30
0, 05 =
x
30
x=
0, 05
sen3º =
x
30 m
3º
x = 600 m
II.
∆t = 600 m x
10
4m
∆t = 150 s
∆t = 2,5 minutos
Resposta: A
05.
sen 60º =
h
3
h
3
h ≅ 2,58
0,86 =
h
3
Resposta: A
60º
06. Note que a área comum aos triângulos retângulos ADB e BCA é o triângulo isósceles ABP. Neste caso, como
12 ⋅ h
AB = 12 cm, temos que a área desse é dada por A =
(*) . Observe que para encontrarmos o valor numérico dessa área,
2
é necessário o conhecimento da altura h do triângulo ABP. Ora, uma vez que ABP é isósceles, é claro que a altura PH é,
também, uma mediana. Assim, temos que AH = HB = 6 cm. Daí, observando o triângulo retângulo APH, obtemos:
tg30º =
h
3 h
⇒
=
6
3
6
6 3
∴h = 2 3
3
Logo, substituindo este resultado na equação (*), concluímos que:
∴ 3h = 6 3 ∴ h =
A=
12 ⋅ 2 3
⇒ A = 12 3.
2
D
C
P
h
30º
A
30º
H
B
Resposta: E
2
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RESOLUÇÃO – MATEMÁTICA III
07.
Temos a figura:
Assim:
sen 60º =
60
3 60
∴
=
BC
2
BC
∴ BC = 40 3
tg 60º =
60
60
∴ 3=
AC
AC
∴ AC = 20 3
AC + BC = 20 3 + 40 3 = 60 3
Resposta: C
08.
bastão
H
45º
h
m
h
S
Apótema do quadrado
Na figura acima, ilustramos o pensamento geométrico idealizado por Tales de Mileto para calcular a altura da
pirâmide no instante em que a medida da sombra do bastão é igual à medida do bastão. Nela, “h” é a medida da
sombra do bastão e da altura do bastão, “S” é a medida da sombra da pirâmide, “m” é a medida do apótema do
quadrado (polígono da base) e “H” é a medida da altura da pirâmide. Ora, como a inclinação dos raios solares é
a mesma tanto para a pirâmide quanto para o bastão, temos que os triângulos retângulos destacados na figura
são semelhantes. Neste caso, obtemos:
H
h
=
m +S
h
⇔ H = m + S.
Portanto, levando em conta que a medida “m” do apótema do quadrado é igual à metade de seu lado,
concluímos o resultado:
“A medida da altura da pirâmide é igual à medida da sombra do bastão somada com a metade da medida de
seu lado.”
Note que para tal conclusão, foi necessário apenas o conhecimento sobre semelhança de triângulos.
Resposta: C
3
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RESOLUÇÃO – MATEMÁTICA III
09.
Dado: x + y = 40
C
45 45
y
B
x
A
a
a
x
sen 45 = =
b
2
2·x
⇒a =
2
2
b
2
2·y
sen 45 = =
⇒b=
y 2
2
Pede-se: a + b, logo:
2x
2·y
2
+
⇒
( x + y ) ⇒ 22 · 40 ≅ 28 m
2
2
2
Resposta: B
10.
tg 6º =
2
d
d=
2
tg 6º
2
d
6º
Resposta: D
André – 19/01/11 – REV.: JA
4960911_pro_Aula01 - Trigonometria no triangulo retângulo I
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OSG.: 49609/11