Programa de Matemática, 1.º, 2.º e 3.º Ciclos
Formação de Coordenadores de Agrupamentos/Escolas
31 de Outubro de 2009
S1-2
Capacidades transversais
As capacidades transversais nos
novos programas de Matemática
Escola Superior de Educação de Viseu
Luís Menezes e Cátia Rodrigues
Formação coordenada por
João Pedro da Ponte
Lurdes Serrazina
Sumário
1.
2.
3.
4.
Finalidades e objectivos gerais do novo
Programa
Resolução de problemas
Raciocínio
Comunicação
2
Finalidades e Objectivos gerais
 Promover a aquisição de informação, conhecimento e experiência
em Matemática e o desenvolvimento da capacidade da sua
integração e mobilização em contextos diversificados.
 Desenvolver atitudes positivas face à Matemática e a capacidade
de apreciar esta ciência.
 Conhecer factos e procedimentos
básicos
 Compreender a Matemática
 Lidar com diversas representações
 Comunicar matematicamente





Raciocinar matematicamente
Resolver problemas
Estabelecer conexões
Fazer Matemática de modo autónomo
Apreciar a Matemática
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Temas matemáticos e
Capacidades transversais




Números e operações
Geometria e Medida
Álgebra
Organização e tratamento de dados
 Resolução de problemas
 Raciocínio matemático
 Comunicação matemática
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Resolução de problemas
Como ponto de partida
para o desenvolvimento de
novos conceitos e
processos
Mobilizando conhecimentos
e representações já
conhecidas, tirando partido
da tecnologia
1. Compreender
o problema e
formular um
3. Reflectir
plano
e analisar o
trabalho
feito
2. Realizar o
plano
Em contextos não matemáticos
(sobretudo do quotidiano) e
matemáticos
Levando os alunos a formular
problemas e a realizar
investigações…
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Estratégias de resolução de problemas
 Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico
 Criar um modelo representado por uma ou mais operações matemáticas, equações
ou outras relações matemáticas
 Trabalhar do fim para o princípio
 Simular / Simplificar o problema
 Por tentativa e erro
 Descobrir uma regularidade / regra
 Organizar uma sequência de passos
 Desdobrar um problema complexo em questões mais simples
 Explorar conexões matemáticas para obter múltiplas perspectivas de um problema
 Criar um problema equivalente
 Procurar um problema análogo mas mais simples
 Explorar casos particulares
 Resolver o problema admitindo que se conhece uma solução
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Resolução de problemas
1.º ciclo
 Os alunos desenvolvem a capacidade de resolução de problemas,
resolvendo problemas de diversos tipos, preferencialmente do
quotidiano, identificando a informação relevante sobre o problema e
o seu objectivo.
2.º ciclo
 Alargam o reportório de estratégias de resolução de problemas,
aprofundam a análise da plausibilidade dos resultados obtidos e a
adequação dos processos utilizados.
3.º ciclo
 As aprendizagens realizadas nos diferentes temas permitem-lhes ir
mais longe. Em particular, desenvolvem agora a sua capacidade de
analisar as consequências para a solução de um problema
resultantes da alteração dos dados e das condições iniciais.
 Formulam também novos problemas em contextos matemáticos e
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não matemáticos.
Raciocínio matemático
Raciocinar: 1. fazer uso da razão para depreender, julgar ou compreender; 2.
encadear pensamentos de forma lógica; 3. apresentar razões; 4. ponderar;
reflectir; pensar (Do lat. ratiocinári) (Dic. Porto Ed.)
Principais tipos de raciocínio: dedutivo e indutivo.
Na resolução de problemas/exercícios
(i) formulação de uma estratégia de resolução de um problema,
(ii) realização de um passo, transformação ou cálculo e sua justificação.
(ii) estabelecimento de relações entre
objectos matemáticos ou não matemáticos.
Na realização de explorações/
investigações
(i) formulação de uma conjectura (sobre um
objecto específico ou genérico) ou de uma
estratégia de teste de uma conjectura.
(ii) teste ou justificação de uma conjectura.
Na demonstração
(i) formulação de uma estratégia geral
de demonstração.
(ii) construção de uma cadeia
argumentativa (formulação de passos
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justificados que levam à conclusão).
Raciocínio - 1.º ciclo
Raciocínio
matemático  Explicar ideias e
 Pedir a explicação de
 Justificação
processos e justificar
raciocínios matemáticos
oralmente e por escrito.
 Formulação e resultados
matemáticos.
teste de
 Solicitar exemplos, contraconjecturas
 Formular e testar
exemplos e analogias.
conjecturas relativas a  Propor a investigação de
situações
regularidades e relações
matemáticas simples.
numéricas nas tabuadas.
 Usar as tabuadas para a
formulação e teste de
conjecturas.
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Raciocínio - 2.º ciclo
Raciocínio
matemático
 Justificação
 Argumentação
 Formulação e
teste de
conjecturas
 Explicar ideias e
processos e
justificar resultados
matemáticos,
recorrendo a
exemplos e contraexemplos e à
análise exaustiva
de casos.
 Formular e testar
conjecturas e
generalizações e
justificá-las fazendo
deduções
informais.
 Fazer perguntas do tipo, Como
fizeste?, Porque consideras que o
que fizeste está certo?
 Fazer perguntas do tipo, O que
acontecerá se...? Isto verificar-se-á
sempre?
 Solicitar a apresentação de
argumentos assim como exemplos e
contra-exemplos.
 Através da apresentação de
exemplos e de outros casos
particulares e de perguntas como, O
que acontecerá a seguir?, Será que
isto é válido para outros os casos?,
procurar que os alunos façam
generalizações.
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Raciocínio - 3.º ciclo
Raciocínio
matemático
 Formulação, teste e
demonstração de
conjecturas
 Indução e dedução
 Argumentação
 Formular, testar e demonstrar
conjecturas.
 Distinguir entre uma demonstração e
um teste de uma conjectura e fazer
demonstrações simples.
 Identificar e usar raciocínio indutivo e
dedutivo.
 Compreender o papel das definições
em matemática.
 Distinguir uma argumentação informal
de uma demonstração.
 Seleccionar e usar vários tipos de
raciocínio e métodos de demonstração.
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Raciocínio 3.º ciclo
 Pedir aos alunos para identificar casos particulares, formular
generalizações e testar a validade dessas generalizações.
 Proporcionar situações em que os alunos raciocinem indutivamente
(formulando conjecturas a partir de dados obtidos na exploração de
regularidades) e dedutivamente (demonstrando essas conjecturas).
 Salientar o papel das definições na dedução de propriedades, por
exemplo no estudo dos quadriláteros.
 Realizar uma pesquisa histórica sobre os Elementos de Euclides e a
organização axiomática desta obra. Salientar os significados de axioma,
teorema e demonstração. Analisar a demonstração da primeira proposição
dos Elementos.
 Fazer referência à análise exaustiva de casos e à redução ao
absurdo como métodos de demonstração.
 Pedir a fundamentação de afirmações através de conceitos,
propriedades ou procedimentos matemáticos, ou contra-exemplos.
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Comunicação matemática
Tipos de linguagem na aula
 Oral
 Escrita, em linguagem natural, em combinação com
a linguagem matemática usando diversas formas de
Representações
representação
 Figura geométrica
 Corporal (gestual, expressões)
Modos de participação dos alunos
 Interpretação (discurso produzido por outros)
 Representação (pictórica, simbólica e activa)
 Expressão (produção de comunicação)
 Discussão (participação num discurso colectivo,
grupos ou turma)
 Imagem pictórica
 Linguagem simbólica
(aritmética, algébrica)
 Gráficos e diagramas
 Tabelas
 Esquemas (informais)
A comunicação, para além de capacidade transversal, é um instrumento de
aprendizagem do aluno e de ensino do professor.
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Comunicação
1.º ciclo
Desenvolve-se através da vivência de situações variadas envolvendo a
interpretação de enunciados, a representação e expressão de ideias
matemáticas, oralmente e por escrito, e a sua discussão na turma.
2.º ciclo
… Os alunos evoluem na forma de exprimirem as suas ideias e de
descreverem os processos matemáticos utilizados, progredindo na
tradução de relações da linguagem natural para a linguagem matemática
e vice-versa, na variedade de formas de representação matemática que
usam e no rigor com que o fazem.
3.º ciclo
… Progridem na fluência e no rigor com que se exprimem, oralmente e
por escrito, tanto na linguagem natural como na linguagem matemática,
usando a notação e a simbologia específica dos diversos tópicos
matemáticos e desenvolvem a sua capacidade de interagir num grupo e
na turma.
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Argumentação
(liga raciocínio e comunicação)
Conceitos
 Argumentar: Defender uma ideia (uma “proposição”), apresentando razões
 Demonstrar: Forma particular de argumentar, usada em Matemática
Recursos essenciais para argumentação matemática
 Definições
 Proposições já anteriormente aceites.
Estrutura de um argumento simples (Toulmin)
D
Então C
Porque G
Legenda
D - Dados
C - Conclusão
G - Garantia
D - Se tivermos um quadrilátero
C - Então a soma dos ângulos internos é 360º
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G - Porque a soma das ângulos internos de um triângulo é 180º
Relações entre as diversas capacidades
transversais
Problemas
Tarefas de exploração
Resolução de
problemas
Comunicação
Raciocínio
(conexões)
Exercícios
Tarefas de investigação