VETORES
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CAPÍTULO 2
VETORES
2.1
Vetores e Escalares
Uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta pode se deslocar em apenas dois
sentidos. Podemos arbitrar o seu movimento como positivo em um destes sentidos e negativo no
outro. Para uma partícula que se movimenta em três dimensões, no entanto, um sinal de mais ou um
sinal de menos não é mais suficiente para definir a direção e o sentido do movimento. No lugar dos
sinais devemos usar um vetor.
Um vetor possui módulo, direção e sentido, e os vetores seguem certas regras (vetoriais) de
combinação, que examinaremos neste capítulo. Uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui
módulo, direção e sentido e, portanto, pode ser representada por um vetor. Como exemplos de
algumas grandezas físicas que são grandezas vetoriais podemos citar o deslocamento, a velocidade
e a aceleração.
Nem todas as grandezas físicas envolvem direção e sentido. Temperatura, pressão, energia,
massa e tempo, por exemplo, não “apontam” para nenhum lugar. Chamamos tais grandezas de
escalares, e lidamos com elas usando as regras da álgebra elementar. Um único valor, com um sinal
(como em uma temperatura de –40°F), especifica um escalar.
A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento, ou mudança de posição. Um vetor que
representa um deslocamento é chamado de vetor deslocamento.
Na figura 2.1a, as setas de A para B, de A´ para B´ e de A´´ para B´´ possuem o mesmo
módulo, direção e sentido. Portanto, elas especificam vetores deslocamento idênticos e representam
a mesma mudança de posição para a partícula.
Figura 2.1 (a) Todas as três setas possuem o mesmo módulo, direção e sentido e, conseqüentemente, representam o
mesmo deslocamento. (b) Todas as três trajetórias que ligam os dois pontos correspondem ao mesmo vetor
deslocamento.
Um vetor deslocamento não nos diz nada a respeito da trajetória que a partícula realmente
segue. Na figura 2.1b, por exemplo, todas as três trajetórias que ligam os pontos A e B
correspondem ao mesmo vetor deslocamento, o da fig. 2.1a. Vetores deslocamento representam
apenas o efeito resultante do movimento, não o movimento propriamente dito.
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VETORES
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2.2
Somando Vetores Geometricamente
Suponha que, como no diagrama vetorial da figura 2.2a, uma partícula se mova de A para B
e depois de B para C. Podemos representar seu deslocamento resultante (independente de qual seja
seu deslocamento real) por dois vetores deslocamento sucessivos, AB e BC. O deslocamento
resultante destes dois deslocamentos é um único deslocamento de A para C. Chamamos de AC a
soma (ou resultante) vetorial dos vetores AB e BC. Esta soma não é a soma algébrica usual.
Na figura 3.2b, redesenhamos os vetores da figura 2.2a e mudamos a maneira de representalos para a forma que usaremos daqui por diante, que consiste em usar uma seta sobre um símbolo,
G
como em a .
Figura 2.2 (a) AC é a soma vetorial dos vetores AB e BC. (b) Os mesmos vetores com novos símbolos.
Se quisermos indicar apenas o módulo do vetor (uma grandeza que não possui sinal nem
direção), usaremos o símbolo, como em a, b e s.
Podemos representar a relação entre os três vetores da figura 2.2b com a equação vetorial
G G G
s =a+b
2.1
G
G G
que diz que o vetor s é o vetor soma dos vetores a e b . O símbolo + na equação 2.1 e as palavras
“soma” e “somar” possuem significados para vetores diferentes dos que eles têm na álgebra usual
porque eles envolvem módulo, direção e sentido.
G
G
A figura 2.2 sugere um procedimento para se somar vetores bidimensionais a e b
G
geometricamente. (a) Faça um esboço no papel do vetor a em alguma escala conveniente e com o
G
ângulo verdadeiro. (2) Faça um esboço do vetor b na mesma escala, com a sua origem na
G
G
extremidade do vetor a , novamente com o ângulo verdadeiro. (3) O vetor soma s é o vetor que se
G
G
estende da origem de a até a ponta de b .
A soma de vetores, definida desta maneira, possui duas propriedades importantes. Primeiro,
G
G
G
G
a ordem da soma é irrelevante. Somar a com b fornece o mesmo resultado que somar b com a
(figura 2.3); ou seja,
G G G G
a+b=b+a
(lei comutativa)
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2.2
VETORES
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G G
Figura 2.3: Os dois vetores a e b podem ser somados tanto numa ordem como na outra.
Segundo, quando há mais do que dois vetores, podemos agrupa-los em qualquer ordem ao
G
G
fazermos a soma deles. Portanto, se quisermos somar os vetores a, b e c, podemos somar a com b
G
G
G
primeiro e depois somar a sua soma vetorial com c . Podemos também somar b com c primeiro e
G
depois somar essa soma com a . Obtemos o mesmo resultado de uma maneira ou de outra, como
mostrado na figura 2.4. Ou seja,
G
G
(aG + b) + cG = aG + (b + cG )
(lei associativa)
2.3
G
G G
Figura 2.4: Os três vetores a , b e c podem ser agrupados de qualquer maneira ao serem somados.
G
G
O vetor − b é um vetor com o mesmo módulo de b , mesma direção, mas sentido contrário
(veja a figura 2.5), é também chamado de vetor oposto. Somando os dois vetores da figura 2.5,
obteríamos
G
G
b+ −b = 0.
( )
G G
Figura 2.5: Os vetores a e b possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos contrários.
G
G
Portanto, somar − b tem o mesmo efeito que subtrair b . Usamos esta propriedade para
G G G
definirmos a diferença entre dois vetores: seja d = a − b . Então,
G G G G
G
d =a−b =a+ −b
( )
(subtração de vetores)
2.4
G
G
G
ou seja, acharmos o vetor diferença d somando o vetor − b ao vetor a . A figura 2.6 mostra como
isso é feito geometricamente.
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G
G
G
G G
G
G
Figura 2.6: (a) Vetores a , b e − b . (b) Para subtrair o vetor b do vetor a , some o vetor − b ao vetor a .
2.3 Componentes de Vetores
A soma algébrica de vetores pode ser tediosa. Uma técnica mais organizada e mais fácil
envolve álgebra, mas exige que os vetores sejam colocados em um sistema de coordenadas
retangulares. Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano da página, como na figura 2.7a.
O eixo z aponta para fora da página (sai na direção perpendicular à página) e passa pela origem; por
enquanto ignoramos este eixo e tratamos apenas de vetores bidimensionais.
Uma componente de um vetor é a projeção do vetor sobre um eixo. Na figura 2.7a, por
G
exemplo, ax é a componente do vetor a sobre o (ou ao longo do ) eixo x e ay é a componente ao
longo do eixo y. Para acharmos a projeção de um vetor ao longo de um eixo, desenhamos linhas
perpendiculares partindo das duas extremidades do vetor (origem e ponta) até o eixo, como
mostrado. A projeção de um vetor sobre um eixo x é a componente x; analogamente, a projeção
sobre o eixo y é a componente y. O processo de achar as componentes de um vetor é chamado de
decomposição do vetor (em componentes).
Uma componente de um vetor possui o mesmo sentido (ao longo de um eixo) que o vetor.
G
Na figura 2.7, ax e ay são ambos positivos porque a se estende no sentido positivo dos dois eixos.
(Observe as pequenas pontas de seta nas componentes, para indicar o seu sentido). Se tivéssemos
G
que inverter o vetor a , então as duas componentes seriam negativas e as duas pontas de setas
apontariam no sentido negativo de x e de y.
G
Figura 2.7 (a) As componentes ax e ay do vetor a . (b) As componentes não se alteram se o vetor for transladado,
contanto que o módulo e a orientação sejam mantidos. (c) As componentes formam os catetos de um triângulo retângulo
cuja hipotenusa é o módulo do vetor.
G
A decomposição do vetor b na figura 2.8 produz uma componente positiva bx e uma
componente negativa by.
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21
G
Figura 2.8: A componente de b sobre o eixo x é positiva e a componente sobre o eixo y é negativa.
Em geral, um vetor possui três componentes, embora no caso da figura 2.7a a componente
ao longo do eixo z seja nula. Como as figuras 2.7a e b mostram, se você transladar um vetor sem
mudar sua direção e seu sentido suas componentes não se alterarão.
G
Podemos achar as componentes de a na figura 2.7a geometricamente a partir do triângulo
retângulo da figura:
a x = a cos θ e a y = a sen θ ,
2.5
G
G
onde θ é o ângulo que o vetor a faz com o sentido positivo do eixo x, e a é o módulo de a . A
G
figura 2.7c mostra que a e suas componentes x e y formam um triângulo retângulo. Ela também
mostra como podemos reconstruir um vetor a partir das suas componentes: dispomos essas
componentes da origem para a extremidade. Então completamos um triângulo retângulo com o
vetor que forma a hipotenusa, da extremidade de uma componente para a extremidade da outra
componente. Essa é a conhecida regra do paralelogramo.
Uma vez decomposto um vetor nas suas componentes ao longo de um conjunto de eixos, as
G
próprias componentes podem ser usadas no lugar do vetor. Por exemplo, a na figura 2.7a é dado
(completamente determinado) por a e θ. Ele também pode ser dado pelas suas componentes ax e ay.
Os dois pares de valores contêm a mesma informação. Se conhecermos um vetor em notação de
componentes (ax e ay) e quisermos que ele seja expresso em módulo e direção (a e θ), podemos usar
as equações
a = a 2x + a 2y
tgθ =
ay
ax
e
 ay
⇒ θ = tg −1 
 ax



2.6
para transforma-lo.
No caso mais geral de três dimensões, precisamos de um módulo e de dois ângulos (digamos
a, θ e φ) ou três componentes (ax, ay e az) para especificar um vetor.
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22
Exemplo 2-1. Um pequeno avião parte de um aeroporto em um dia de céu encoberto sendo depois
avistado a uma distância de 215 km, na direção nordeste a 22° a partir da direção norte. A que
distância a leste e a norte do aeroporto está o avião quando ele é avistado?
Figura 2.9: Exemplo 2-1. Um avião decola de um aeroporto na origem e depois é avistado
em P.
Solução: Nos dão o módulo (215 km) e o ângulo (22° para leste a partir da direção norte) de um
vetor e precisamos achar as componentes deste vetor. Desenhamos um sistema de coordenadas xy
com o sentido positivo de x voltado para leste e o de y voltado para o norte (figura 2.9). Por
G
conveniência, colocamos a origem no aeroporto. O vetor deslocamento do avião d aponta da
origem para onde o avião foi avistado.
G
Para acharmos as componentes de d , usamos a equação 2.5 com θ = 68° (=90°-22°):
dx = d cos θ = (215 km) (cos 68°) = 81 km
dy = d sen θ = (215 km) (sen 68°) = 199 km
Assim, o avião está a 81 km ao leste e a 199 km ao norte do aeroporto.
Exemplo 2-2. A equipe de 1972 que fez a ligação do sistema de cavernas de Mammoth-Flint Cave
foi da Entrada Austin, no sistema de Flint Ridge, até Echo River, na Mammoth Cave (figura 2.10a),
viajando efetivamente 2,6 km na direção oeste, 3,9 km na direção sul e 25 m para cima. Qual foi o
vetor deslocamento da equipe desde a partida até a chegada?
Solução: Temos as componentes de um vetor tridimensional e precisamos determinar o módulo do
vetor e dois ângulos para especificarmos a direção e o sentido do vetor. Primeiro desenhamos as
componentes como na figura 2.10b. As componentes horizontais (2,6 km para oeste e 3,9 km para o
sul) formam os catetos de um triângulo retângulo horizontal. O deslocamento horizontal da equipe
forma a hipotenusa do triângulo, e seu módulo dh é dado pelo teorema de Pitágoras:
dh =
(2,6 km )2 + (3,9 km )2
= 4,69 km
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Figura 2.10: Exemplo 2-2. (a) Parte do sistema de cavernas de Mammoth_Flint, com o percurso da equipe de
espeleologistas desde a Entrada Austin até Echo River indicado em linha mais escura. (b) As componentes do
deslocamento total da equipe e seu deslocamento horizontal dh. (c) Uma vista lateral mostrando dh e o vetor
G
deslocamento total da equipe d .
Também do triângulo horizontal da figura 2.10b, vemos que este deslocamento horizontal está
dirigido para o sudoeste, fazendo com a direção oeste um ângulo θh dado por
tgθ h =
3,9 km
,
2,6 km
então
 3,9 km 
 = 56° ,
θ h = arctg
 2,6 km 
que é um dos dois ângulos que precisamos para especificarmos a direção do deslocamento total.
Para incluirmos a componente vertical (25 m = 0,025 km), consideramos agora uma vista
lateral da figura 2.10b, olhando para o noroeste. Obtemos a figura 2.10c, na qual a componente
vertical e o deslocamento horizontal, dh, formam os catetos de outro triângulo retângulo. Agora o
deslocamento total da equipe forma a hipotenusa daquele triângulo, com um módulo d dado por
d=
(4,69 km )2 + (0,025 km )2
= 4,69 km ≈ 4,7 km .
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Este deslocamento está dirigido para cima a partir do deslocamento horizontal fazendo um
ângulo
 0,025 km 
 = 0,3°.
θ v = arctg
 4,69 km 
Assim, o vetor deslocamento da equipe tinha um módulo igual a 3,7 km e fazia um ângulo de 56°
para o sudoeste a partir do oeste e um ângulo de 0,3° para cima. O movimento vertical resultante
era, obviamente, insignificante comparado com o movimento horizontal. Entretanto, esse fato não
seria nenhum consolo para a equipe, que teve que subir e descer escalando inúmeras vezes para
atravessar a caverna. O percurso que eles percorreram foi na verdade bem diferente do vetor
deslocamento que simplesmente aponta em linha reta da partida para a chegada.
Revisão para a solução de Problemas
1.
Ângulos – Graus e Radianos
Ângulos medidos a partir do sentido positivo do eixo dos x são positivos se eles forem
medidos no sentido anti-horário e negativos se medidos no sentido horário. Por exemplo, 210° e
–150° são o mesmo ângulo.
Ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos (rad). Você pode relacionar as duas
medidas lembrando-se de que um círculo completo é equivalente a 360° e a 2π rad. Se fosse
preciso converter, digamos, 40° em radianos, você escreveria
40°
2.
2π rad
= 0,70 rad
360°
Funções Trigonométricas
Você precisa conhecer as definições das funções trigonométricas usuais – seno, cosseno e
tangente – porque elas fazem parte da linguagem da ciência e da engenharia. Elas são dadas na
figura 2.11 em uma forma que independe de como se nomeiam os vértices do triângulo.
Você também deveria ser capaz de esboçar como as funções trigonométricas variam com o
ângulo, como na figura 2.12, a fim de ser capaz de decidir se um resultado obtido usando uma
calculadora é razoável. Mesmo saber os sinais das funções nos vários quadrantes pode ser útil.
3.
Funções Trigonométricas Inversas
Quando as funções trigonométricas inversas arc sen, arc cos e arc tg são obtidas em uma
calculadora, você deve considerar se a resposta que você obtém é razoável, porque existe
normalmente outra resposta possível que a calculadora não fornece. A faixa de operação para
uma calculadora ao obter cada função trigonométrica inversa é indicada na figura 2.12. Como
um exemplo, arc sen 0,5 possui os ângulos associados de 30° (que é exibido pela calculadora) e
150°. Para ver os dois valores, desenhe uma reta horizontal passando por 0,5 m na figura 2.12a e
observe onde ela intercepta a curva do seno.
Como você distingue uma resposta correta? É através da análise dos sinais das componentes
x e y, e através da localização do vetor resultante no quadrante correto.
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Figura 2.11: Um triângulo usado para definir as funções trigonométricas.
Figura 2.12: Três curvas úteis que não se deve esquecer. A faixa de operação de uma calculadora para obter funções
trigonométricas inversas é indicada pelos trechos mais escuros das curvas.
4.
Medindo o Ângulo de Vetores
As equações para cos θ e sen θ na equação 2.5 e a equação para tg θ na equação 2.6 são
válidas somente se o ângulo for medido em relação ao sentido positivo do eixo x. Se ele for
medido em relação a alguma outra direção, então as funções trigonométricas da equação 2.5
podem ter que ser trocadas uma com a outra, e a razão na equação 2.6 pode ter que ser
invertida. Um método mais seguro consiste em converter o ângulo dado em um que seja
medido a partir do sentido positivo do eixo x.
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VETORES
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2.4
Vetores Unitários
Um vetor unitário é um vetor que possui um módulo exatamente igual a 1 e que aponta em
uma direção particular. Ele não possui nem dimensão nem unidade. Seu único propósito é apontar –
ou seja, especificar uma
G direção
G G e sentido. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, y
e z são chamados de i , j e k , (figura 2.13). A disposição dos eixos da figura 2.13 é chamada de
sistema de coordenadas dextrogiro. O sistema permanece dextrogiro se ele for girado rigidamente
até uma nova orientação.
G G
G
Figura 2.13: Os vetores unitários i , j e k , definem as direções e sentidos de um
sistema de coordenadas dextrogiro.
Vetores unitários são muito úteis para expressar outros vetores; por exemplo, podemos
G G
expressar a e b das figuras 2.7 e 2.8 como
G
G
G
a = ax i + ay j
2.7
G
G
G
b = bx i + by j
2.8
G
G
Estas duas equações estão ilustradas na figura 2.14. As grandezas a x i e a y j são vetores e
G
são chamados de componentes vetoriais de a . As grandezas ax e ay são escalares e são chamadas
G
de componentes escalares de a (ou, como antes, simplesmente de componentes).
G
G
Figura 2.14: (a) As componentes vetoriais do vetor a . (b) As componentes vetoriais de vetor b .
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VETORES
27
G
Como um exemplo, vamos escrever o deslocamento d da equipe de exploradores de
cavernas do Exemplo 2-2 em termos de vetores unitários. Primeiro, superponha o sistema de
G
coordenadas
da
figura
2.13
àquele
mostrado
na
figura
2.10b.
Então,
as
direções
e
os
sentidos
de
i,
G G
j e k , estão voltados para o leste, para cima e para o sul, respectivamente. Assim, o deslocamento
G
d da partida até a chegada é expresso de forma organizada na notação de vetor unitário como
G
G
G
G
d = −(2,6 km ) i + (0,025 km ) j + (3,9 km ) k
2.9
2.5
Somando Vetores Componente a Componente
Usando um esboço, podemos somar vetores geometricamente. Outra forma de somar vetores
é combinando as suas componentes, eixo a eixo.
Para começar, considere a expressão
G G G
r =a+b
2.10
G
G G
que diz que o vetor r é o mesmo que o vetor ( a + b ). Se isso é verdade, então cada componente de
G
G G
r deve ser igual à componente correspondente de ( a + b ):
rx = a x + b x
2.11
ry = a y + b y
2.12
rz = a z + b z
2.13
Em outras palavras, dois vetores devem ser iguais se as suas componentes correspondentes
G G
forem iguais. As equações 2.10 a 2.13 nos dizem que, para somar os vetores a e b , devemos (1)
decompor os vetores nas suas componentes escalares; (2) combinar estas componentes escalares,
G
G
eixo a eixo, para obtermos as componentes da soma r ; e (3) combinar as componentes de r para
G
G
obtermos o próprio r . Temos uma escolha no passo 3. Podemos expressar r em notação de vetor
unitário (como na equação 2.9) ou na notação de módulo ângulo (como na resposta do exemplo 22).
Este procedimento para somar vetores pelas componentes também se aplica à subtração de
G G G
vetores. Lembre-se de que uma subtração como d = a − b pode ser reescrita como uma soma
G G
G
G
G
d = a + − b .Para subtrair simplesmente somamos a com − b componente a componente, para
obtermos
( )
dx = a x − bx ,
onde
d y = a y − by , e dz = a z − bz ,
G
G
G
G
d = dx i + dy j + dz k .
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VETORES
28
Exemplo 2-3. A figura 2.15 mostra três vetores:
G
G
G
a = (4,2 m ) i − (1,5 m ) j,
G
G
G
b = (− 1,6 m ) i + (2,9 m ) j,
G
G
c = (− 3,7 m ) j.
G
a) Qual é o seu vetor soma r , também mostrado na figura?
G
b) Ache o módulo e a direção do vetor r .
G
Figura 2.15 Exemplo 2-3. O vetor r é a soma vetorial dos outros três vetores.
Solução: a) Podemos somar três vetores componente a componente, eixo a eixo. Para o eixo x,
G G G
G
somamos as componentes x de a , b e c para termos a componente x de r :
rx = a x + b x + c x
rx = 4,2 m − 1,6 m + 0 = 2,6 m.
Analogamente para o eixo y,
ry = a y + b y + c y
ry = −1,5 m + 2,9 m − 2,3 m = −2,3 m.
G
Escrevendo r em notação de vetor unitário:
G
G
G
r = (2,6 m ) i − (2,3 m ) j .
b) Da equação 2.6, o módulo é dado por
r=
e o ângulo é
(2,6 m )2 + (− 2,3 m )2
≈ 3,5 m
 − 2,3 
θ = arctg
 = −41°
 2,6 
onde o sinal negativo significa que o ângulo é medido no sentido horário.
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VETORES
29
G
Do resultado do item a) vemos claramente que o vetor r se encontra no 4° quadrante
(componente x positiva e componente y negativa). Logo, o ângulo medido a partir do sentido
positivo do eixo x é dado por
φ = 360° - 41° = 319°
2.6
O Produto Escalar
G G
O produto escalar dos vetores a e b da figura 2.16, define um produto entre dois vetores
cujo resultado é um escalar.
G G
a−b
G
a
θ
G
b
Figura 2.16: O produto escalar entre dois vetores.
G G
O produto escalar dos vetores a e b é
se a ou b = 0 ou se a ⊥ b
G G 0,
a⋅b = 
a b cos θ, caso contrário
2.14
G
G G
G
onde a é o módulo de a , b é o módulo de b e θ é o ângulo entre a e b ou, mais corretamente, entre
G G
as direções de a e b ).
Quando dois vetores estão em notação de vetor unitário, podemos escrever seu produto
escalar como
G
G
G
G
G
G
G G
a ⋅ b = a x i + a y j + a z k ⋅ bx i + by j + bz k
(
)(
)
2.15
Como os vetores unitários são perpendiculares entre si, aplicando a definição de produto
escalar teremos que
G G
i ⋅ i =1
G G
i⋅j=0
G G
i ⋅k = 0
G G
j⋅ i = 0
G G
j⋅ j =1
G G
j⋅k = 0
G G
k⋅i = 0
G G
k⋅ j = 0
G G
k⋅k =1
2.16
Dessa forma teremos
G G
a ⋅ b = a xbx + a yby + a zbz
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2.17
30
G
G
G
G
G
G
Exemplo 2-4: Qual é o ângulo θ entre a = 3,0 i − 4,0 j e b = −2,0 i + 3,0 k ?
VETORES
Solução: O ângulo entre as direções de dois vetores está incluído na definição do seu produto
escalar
G G
a⋅b
G G

a ⋅ b = a b cos θ ⇒ θ = arccos

a
b


Primeiro vamos calcular o módulo dos vetores separadamente.
a=
b=
(3,0)2 + (− 4,0)2
(− 2,0)2 + (3,0)2
= 5,00
= 3,61
Depois, calculamos o produto escalar
G
G
G
G
G G
a ⋅ b = 3,0 i − 4,0 j ⋅ − 2,0 i + 3,0 k
G
G
G
G
G
G
G
G
G G
a ⋅ b = 3,0 i ⋅ − 2,0 i + 3,0 i ⋅ 3,0k + − 4,0 j ⋅ − 2,0 i + − 4,0 j ⋅ 3,0k
G G
a ⋅ b = −6,0
(
( )(
)(
)
) ( )( ) (
)(
) (
)( )
Dessa forma,
 − 6,0 
θ = arccos
 = 110°
 (5,00)(3,61) 
2.7
O Produto Vetorial
G G
G
G G
O produto vetorial de a e b , escrito como a × b, produz um terceiro vetor c cujo módulo é
dado por
G G
c = a × b = ab sen θ
2.18
G G
onde θ é o menor dos ângulos entre a e b .
G G
Se a e b forem paralelos ou antiparalelos (mesma direção mas em sentidos contrários),
G G
a ×b = 0.
G
G G
A direção de c é perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b . A figura 2.17a mostra
G G G
como se determina a direção e o sentido de c = a × b, com o que é conhecido como a regra da
mão direita.
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VETORES
31
G
Figura 2.17. Ilustração da regra da mão direita para produtos vetoriais. (a) Gire o vetor a em direção ao vetor
G G G
os dedos da sua mão direita. Seu polegar esticado mostra a direção e o sentido do vetor c = a × b . (b) Vê-se que
G G
o contrário de b × a .
G
b com
G G
a×b é
A ordem da multiplicação
vetorial é importante. Na figura 2.17b, estamos determinando a
G
G G G
G
direção e sentido de c = a × b, então os dedos estão dispostos para deslocarem b em direção a a
descrevendo o menor ângulo. O polegar acaba na mesma direção mas no sentido contrário ao
G
G
produto anterior, e assim devemos ter c ′ = − c , ou seja
G G
G G
b×a = − a×b
(
)
2.19
Em outras palavras, a lei comutativa não se aplica a um produto vetorial.
Na notação de vetor unitário, escrevemos
G
G
G
G
G
G
G G
a × b = a x i + a y j + a zk × bx i + by j + bzk
(
) (
)
2.20
que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva; ou seja, cada componente do primeiro
vetor deve ser multiplicada vetorialmente por cada componente do segundo vetor.
Ou, matricialmente
ay
G G
a × b = det
by
az G
a
i − det x
bz
bx
ax
az G
j + det
bx
bz
ay G
k
by
2.21
Na figura 2.18 apresentamos um dispositivo prático para lembrar os seis produtos vetoriais
possíveis com estes três vetores unitários que determinam o sistema cartesiano. Associando estes
vetores a três pontos distintos de uma circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto
vetorial de dois vetores sucessivos quaisquer é o vetor seguinte.
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
VETORES
32
Figura 2.18: Esquema para determinar os seis possíveis produtos vetoriais de vetores
unitários.
Assim, teremos as seguintes possibilidades
G G
i×i =0
G G G
i× j=k
G G
G
i ×k = −j
G G
G
j × i = −k
G G
j× j = 0
G G G
j×k = i
G G G
k× i = j
G G
G
k × j = −i
G G
k×k = 0
2.22
Expandindo a equação 2.20 ou desenvolvendo os determinantes na equação 2.21, obteremos
o mesmo resultado
G
G
G
G G
a × b = (a y b z − b y a z ) i − (a x b z − a z b x ) j + (a x b y − b x a y ) k
2.23
G
Exemplo 2-5: Na figura 2.19, o vetor a está contido no plano xy, possui um módulo igual a 18
G
unidades e aponta em uma direção a 250° do sentido positivo de x. Além disso, o vetor b possui
um módulo igual a 12 unidades e aponta no sentido positivo da direção z. Qual é o produto vetorial
G G G
G
c = a × b e qual é a direção do vetor c ?
G
Figura 2.19: Exemplo 2-5. O vetor c (no plano xy) é o produto vetorial
G G
dos vetores a × b .
Solução: Quando temos dois vetores na notação módulo ângulo, achamos o módulo do seu produto
vetorial (ou seja, o vetor que resulta de tomarmos o seu produto vetorial) com a equação 2.18. Aqui
G
isso significa que o módulo de c é
c = a b sen θ = (18)(12)(sen 90°) = 216.
Com dois vetores na notação módulo ângulo achamos a direção e o sentido do seu produto vetorial
com a regra da mão direita da figura 2.17. Imagine que você Gdisponha os dedos da sua mão direita
G
G
ao redor de uma reta perpendicular ao plano formado por a e b (a reta na qual c é mostrado) de tal
G
G
forma que os seus dedos desloquem a até b . Seu polegar esticado então dá a direção e o sentido de
G
G
c . Assim, como mostrado na figura 2.19, c pertence ao plano xy. Como a sua direção é
G
perpendicular à direção de a , ele faz um ângulo a partir do sentido positivo da direção x de
250° − 90° =160°
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
G
G G
G
G
G
G G G
Exemplo 2-6: Se a = 3 i − 4 j e b = −2 i + 3k , qual é o vetor c = a × b ?
VETORES
33
Solução: Quando dois vetores estão na notação de vetor unitário, podemos achar seu produto
vetorial usando a lei distributiva. Aqui isto significa que podemos escrever
G
G
G
G
G
c = 3 i − 4 j × − 2 i + 3k
G
G
G G
G
G
G
G
G
c = 3 i × − 2 i + 3 i × 3k + − 4 j × − 2 i + − 4 j × 3k
(
) (
( )
)
( ) ( ) ( )
De acordo com as definições de produto vetorial de vetores unitários da equação 2.22, teremos
G
G
G
G
c = 6(0) + 9 − j + 8 − k − 12 i
( ) ( )
Portanto
G G G
G
c = −12 i − 9 j − 8k
G
G
Esse vetor é perpendicular tanto a a quanto a b , um fato que você pode verificar mostrando que
G G
G G
G
G
c ⋅ a = 0 e c ⋅ b = 0 ; ou seja, não há nenhuma componente de c nem ao longo da direção de a nem
G
de b .
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VETORES
34
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Dois pontos no plano xy têm as coordenadas cartesianas (2,0 , -4,0) e (-3,0 , 3,0), com as
distâncias em metro. Determinar:
a) a distância entre os dois pontos e
b) as coordenadas polares dos dois pontos
R: a) 8,60 m
b)4,47 m a 29,7° e 4,24 m a 135°
2. As coordenadas polares de um ponto são r = 5,50 m e θ = 240°. Quais as coordenadas
cartesianas deste ponto? R: (-2,75 m, -4,76 m)
3. Um ponto se localiza num plano pelas coordenadas polares r = 2,5 m e θ = 35°. Achar as
coordenadas x e y deste ponto, admitindo que os dois sistemas de coordenadas tenham a mesma
origem. R: (2,05 m, 1,43 m)
4. Uma mulher caminha 250 m na direção 30° a leste do norte e depois 175 m para o leste.
a) Usando métodos gráficos, determine o seu deslocamento resultante a partir do ponto inicial.
b) Compare o módulo do deslocamento com a distância total que a mulher percorreu.
R: Módulo: 370 m
Distância total: 425 m
5. Um topógrafo, para estimar a largura de um rio, procede da seguinte forma: visa uma árvore, na
outra margem, que está numa direção perpendicular ao rio; depois, anda 100 m ao longo da
margem, e visa, de novo, a mesma árvore. O ângulo de visada é de 35° em relação a sua linhabase. Qual a largura do rio? R: 70,0 m
6. Uma pessoa, ao longo de uma passagem circular, com 5 m de raio, percorre meia
circunferência.
a) Achar o módulo do vetor deslocamento.
b) Qual a distância percorrida pela pessoa?
c) Qual o módulo do deslocamento se a pessoa percorrer a circunferência inteira?
R: a) 10,0 m
b) 15,7 m
c) 0
7. O carro de uma montanha-russa anda 200 ft na horizontal e depois sobe por uma rampa de 135
ft, que faz ângulo de 30° com a horizontal. Depois desce uma ladeira de 135 ft, num ângulo de
40° para baixo. Qual o seu deslocamento, em relação ao ponto de partida, ao atingir o final do
movimento? Usar uma técnica gráfica. R: 421 ft a 357°
8.
Um vetor tem uma componente x de –25 unidades e uma componente y de 40 unidades. Achar
o módulo e a direção deste vetor. R: 47,2 unidades a 122°
G G G
G G
G
9. Dois vetores são dados por A = 3i − 2 j e B = − i − 4 j . Calcular:
G G
a) A + B ;
G G
b) A − B ;
G G
c) A + B
G G
d) A − B
G G
G G
e) a direção de A + B e A − B .
G G
G G
R: a) 2i − 6 j
b) 4i + 2 j
c) 6,32
d) 4,47
e) 288° e 26,6°
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
VETORES
G G G
G G
G G G G
10. Três vetores são dados por A = i + 3 j , B = 2i − j e C = 3i + 5 j . Achar:
35
a) a soma dos três vetores;
b) o módulo e a direção do vetor resultante.
G G
R: a) 6i + 7 j
b) 9,2
11. Três vetores têm as orientações que aparecem na figura ao lado,
com A = 20 , B = 40 e C = 30 unidades. Achar:
a) as componentes x e y do vetor resultante e
b) o módulo e a direção do vetor resultante.
R: a) 49,5 e 27,1 b) 56,4 a 28,7°
12. Uma pessoa caminha seguindo a trajetória que aparece na figura abaixo. A caminhada tem
quatro etapas retilíneas; ao findá-la, qual será o vetor deslocamento dessa pessoa medido em
relação ao ponto inicial? R: 240m a 237°
13. Duas pessoas puxam um burrico empacado, como mostra a figura abaixo, vista de um
helicóptero. Sabendo que F1 = 120 N e faz um ângulo de 60° com o eixo dos x positivos e que
F2 = 80 N e que faz um ângulo de 75° com o eixo dos x negativos, achar:
a) a expressão vetorial e o módulo da força única equivalente às duas forças indicadas e
b) a expressão vetorial e o módulo da força que uma terceira pessoa teria que aplicar ao burrico
para tornar a força resultante igual a zero.
G
G
G
G
R: a) 39,3 i + 181,2 j e 185,4 N b) − 39,3 i − 181,2 j e 185,4 N
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto – CAV/UDESC
VETORES
36
14. Um paralelepípedo retângulo tem as dimensões a, b e c, conforme figura abaixo.
G
a) Achar a expressão vetorial para o vetor da diagonal da face R1 . Qual o módulo desse vetor?
G
b) Achar a expressão vetorial do vetor diagonal do paralelepípedo R 2 . Qual é o módulo desse
vetor?
G G
G G G
G
G
G
G
R: a) R 1 = ai + bj e R1 = a 2 + b 2
b) R 2 = ai + bj + ck e R1 = a 2 + b 2 + c 2
15. Um ponto P se descreve pelas coordenadas (x,y) num sistema
cartesiano de coordenadas, conforme aparece na figura ao
lado. Mostrar que (x´, y´), as coordenadas desse ponto no
sistema de coordenadas x´, y´, que faz um ângulo α com o
sistema inicial, estão relacionadas com (x,y) pelas expressões
x´= x cos α + y senα
e
y´= − x senα + y cos α
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VETORES
37
16. Uma estação de radar detecta um avião que vem do leste. No momento em que é observado
pela primeira vez, o avião está a 400 m de distância, 40° acima do horizonte. O avião é
acompanhado por mais 123° no plano vertical leste-oeste e está a 860 m de distância quando é
observado pela última vez. Calcule o deslocamento da aeronave durante o período de
observação. R: 1129 m na horizontal
G
G
17. Um vetor a de módulo 10 unidades e outro vetor b de módulo 6 unidades fazem entre si um
ângulo de 60°. Calcule:
a) o produto escalar dos dois vetores e
G G
b) o módulo do produto vetorial a × b .
R: a) 30
b) 52
18. Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como
G
G
G
G
a = a x i + a y j + azk
e
G
G
G
G
b = b x i + b y j + bz k
Mostre que
G G
a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz
G
G
G
G
G G G G
19. Determine as componentes e o módulo de r = a − b + c se a = 5, 0 i + 4, 0 j − 6, 0 k ,
G
G
G
G
G
G
G
G
G
b = −2, 0 i + 2, 0 j + 3, 0 k e c = 4, 0 i + 3, 0 j + 2, 0 k . Calcule também o ângulo entre r e o
G G G
sentido positivo dos z. R: a) 11i + 5 j − 7k
b) 120°
G
20. Mostre
que
para
os
vetores
a
e
G
G
G
G
G
a × b = i ( a y bz − a z b y ) + j ( a z bx − a x bz ) + k ( a x b y − a y bx ) .
G
b
do
problema
19,
G
21. O vetor a está no plano yz, faz um ângulo de 63° com o eixo + y, tem uma componente z
G
positiva e seu módulo vale 3,20 unidades. O vetor b está no plano xz, faz um ângulo de 48°
com o eixo + x, tem uma componente z positiva e seu módulo vale 1,40 unidades. Calcule:
G G
a) a ⋅ b
G G
b) a × b e
G G
c) o ângulo entre a e b .
G
G
G
R: a) 2,97 b)1,51i + 2, 67 j − 1,36k
c) 48°
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