O PROBLEMA DO RETÂNGULO
INSCRITO
Roberto Ribeiro Paterlini
UFSCar, SP
O problema do retângulo inscrito aparece no ensino médio sob várias
versões:
Problema do retângulo inscrito: Dado um
triângulo retângulo, dentre os retângulos
inscritos conforme a figura, encontre o que
tem área máxima.
Eis o mesmo problema com um enunciado mais amigável:
Problema da casa: (Vestibular da FUVEST)
Num terreno, na forma de um triângulo retângulo
com catetos de medidas 20 e 30 metros, deseja-se
construir uma casa retangular de dimensões x e
y, como na figura.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada
pela casa será máxima?
30
y
x
20
A idéia usual para a resolução deste problema é observar a semelhança
entre os triângulos da figura e obter, por exemplo, a relação
y 30 − x
=
,
20
30
donde
y = 20(30 − x ) 30 = ( 2 3)(30 − x ) . Usando essa relação para
substituir y em A( x ) = xy , temos A( x ) = ( 2 3) x (30 − x ) , função que
nos dá a área do retângulo. A função quadrática A tem ponto de máximo,
e nosso problema estará resolvido quando encontrarmos a abcissa desse
ponto, o vértice da parábola que é o gráfico da função. As raízes de A
são 0 e 30, cuja média aritmética é 15. Portanto, x = 15 é a abcissa
do vértice, e o valor correspondente para y é 10. Vemos que a altura e a
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base do retângulo inscrito de área máxima são a metade, respectivamente,
da altura e da base do triângulo.
Em um triângulo retângulo qualquer com base b
e altura h o resultado é o mesmo: o retângulo
inscrito de maior área (entre os retângulos
posicionados como na figura) é o que tem base
y h−x
=
,
b 2 e altura h 2 . Na figura,
b
h
h
b
A( x ) = x ( h − x ) , ponto de máximo de A: x = ,
2
h
b
valor de y: .
2
h
y
x
b
Usando dobradura
No ano de 2000 estava lecionando uma disciplina de problemas para
alunos do Curso Noturno de Licenciatura em Matemática da UFSCar, e
certo dia sugeri aos estudantes resolverem esse problema. Minha
expectativa era que utilizassem o método descrito acima, e de fato muitos
assim o fizeram. Mas tive a agradável surpresa de ver que a estudante
Tatiana Gaion Malosso, juntamente com os colegas de seu grupo de
trabalho, resolveu facilmente o problema usando dobraduras. Quando
incentivamos a criatividade, podemos ver as soluções mais interessantes e
aprendemos a pensar com liberdade.
Vamos descrever a solução por dobradura apresentada pela estudante.
Tomamos uma folha de papel e a cortamos no formato de um triângulo
retângulo ABC.
Dobramos o papel de modo a fazer coincidir o ponto A com o ponto
B, e em seguida dobramos de modo a fazer coincidir o ponto C com o
ponto B, como nas figuras abaixo.
A
A=B
B
C
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 47, 2001
C
A=B=C
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Desdobrando e voltando ao triângulo original, vemos que marcamos
duas linhas que se encontram no ponto médio de AC .
A
E=E’
D
B
F
C
De fato, por construção, D é o ponto médio
de AB e DE é paralelo a BC , logo, E é
o ponto médio de AC . Da mesma forma, F
é o ponto médio de BC e FE ' é paralelo a
AB , logo, E ' é o ponto médio de AC , e
E = E' .
As duas linhas que marcamos no triângulo determinam um retângulo
cuja altura é a metade da altura do triângulo e cuja base é a metade da
base do triângulo. Observamos que o triângulo original ficou subdividido
em três figuras, dois triângulos menores e o retângulo, e a dobradura
deixa claro que a soma das áreas dos dois triângulos menores é igual à do
retângulo. Portanto, a área do retângulo é a metade da área do triângulo
original.
Vamos verificar, usando dobradura, que esse retângulo é o de maior
área que se pode obter. Tomamos um outro retângulo inscrito, BD ' E ' F '.
A
D’
D’
D’
E’
E’
E’
D’ 1
A
A
A
2
B
F’
C
B
F’
C
C
B
F’
B
E’
3
F’
4
C
Dobramos o papel na linha D' E ' (veja as figuras) e tracejamos o
segmento AB indicado na terceira figura. Em seguida dobramos na
linha E ' F ', passando pelo ponto A marcado.
O triângulo original fica subdividido em quatro regiões, 1, 2, 3 e 4, de
modo que somando as áreas de 1 e 3 obtemos a área de 2 (confira na
figura). Mas, como temos a área de 4, vemos que a área de 2 é menor do
que a metade da área do triângulo. Portanto, o retângulo BD' E ' F ' não
tem área máxima
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Outros desenvolvimentos
Em qualquer triângulo existe um retângulo inscrito. De fato, um
triângulo tem pelo menos dois ângulos agudos. Na figura a seguir
supomos ∠A e ∠B ângulos agudos e construímos o segmento DE
paralelo a AB . Em virtude de serem ∠A e ∠B agudos, os segmentos
perpendiculares a AB por D e E intersectam AB , e obtemos um
retângulo inscrito no triângulo.
O leitor pode observar que em um
triângulo podem existir retângulos
inscritos em até três posições diferentes,
com um lado do retângulo sobre um lado
diferente do triângulo.
C
D
A
F
E
G
B
Qualquer que seja a posição, a maior área do retângulo inscrito que se
pode obter é a metade da área do triângulo.
h
y
x
b
y h−x
b
=
, A( x ) = x ( h − x ) ; ponto de
b
h
h
máximo de
A: x = h 2 ; valor
correspondente de y: b 2 .
Podemos novamente usar dobradura para encontrar o retângulo
inscrito de área máxima. Seja
ABC
um triângulo qualquer, e
suponhamos que ∠A e ∠B são agudos. Cortamos um papel na forma
do triângulo dado. Usando dobradura, marcamos a altura do triângulo
relativa ao lado AB . Dobramos o triângulo de modo a fazer coincidir o
ponto C com o pé desta altura no lado AB . Continuamos procedendo
de modo análogo ao caso do triângulo retângulo.
Referências bibliográficas
[1] MALOSSO, T. G., Nucci E. e Yshimine, M. K. 6a Lista de exercícios da
disciplina ensino de Matemática através de problemas. Curso Noturno de Licenciatura
em Matemática. UFSCar, 2000.
[2] IEZZI, G., Dolce, O., Degenszajn, D. M. e Périgo, R. Matemática. Volume Único. São
Paulo: Editora Atual., 1998.
[3] LIMA, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. e Morgado, A. C. A Matemática do
ensino médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática., 1996.
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