NOME:
PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores
ANO: 3º
DATA:
Nº:
REVISÃO – Lista 13 – Matrizes, determinantes e complexos
Algumas definições
Representação: Amxn é uma matriz de m linhas por n colunas.
Transposta de uma matriz: trocam-se as linhas pelas colunas.
Adição de matrizes: soma-se termo a termo.
Multiplicação de matrizes: só é possível se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas
da segunda.
Inversa de uma matriz: A  A1  I onde A é uma matriz quadrada e I é a matriz identidade.
Determinante de uma matriz A pela regra de Sarrus:
Classificação dos sistemas lineares:

Possível e determinando (SPD): possui uma única solução.

Possível e indeterminado (SPI): possui infinitas soluções.

Impossível (SI): não possui solução.
Regra de Cramer: seja A a matriz dos coeficientes de um sistema linear, então x1 
xn 
Axn
A
A
, x2 
Ax2
A
, ...,
, onde Axi é a matriz obtida a partir de A substituindo-se a i-ésima coluna pelos termos
independentes.
Números complexos:

Ax1
São da forma z  a  bi e seu conjugado é da forma z  a  bi , onde i 2  1 .
2

Módulo ou valor absoluto: z  a 2  b 2 e z  z  z .

Forma polar ou trigonométrica: z   (cos  i sen ) , onde   z , cos 

Operações na forma polar:

z1 z2  1 2 (cos(1   2 )  i sen (1   2 )) .

z1 1

(cos(1   2 )  i sen (1   2 )) .
z2  2

z n   n (cosn  i sen n ) .
    2k 
   2k
 Se  n  z , então  k  n   cos
  i sen 
n
n


 
a

2 0
1
3 4 
0

1. Calcule o produto de matrizes 
   1  2 0 .

2

1
1

  3  3 4


1
1
2
2
1 .
1
1
 x  2 y  3z  1

3. Resolva o sistema 3x  y  4 z  8 .
5 y  6 z  3

87
1  i 
4. Simplifique 
 .
1 i 
5. Determine as raízes cúbicas de z  i .
Exercícios de Vestibular
6. (FUVEST) Considere as matrizes:
1)
A  (aij ), 4  7 , definida por aij  i  j
2) B  (bij ), 7  9 , definida por bij  i
3) C  (cij ), C  AB
O elemento c63
a) é  112
b) é  18
c) é  9
d) é 112
b


  , onde 0  k  n  1 .

Exercícios básicos
2
2. Calcule o determinante 3
e sen 
e) não existe
.
 sen
 sen
7. (FUVEST) A matriz 
 sen

 0
cos
cos

4
1
0
b)   2n , n  Z
a)   n , n  Z
d)  
0 1
0 0
é inversível se, e somente se,
0 0

1 0
 n , n  Z
x
8. (FUVEST) O número de raízes da equação 0 3
4 3x
b) 1

2
 n , n  Z
e)   R
0 3x
a) 0
c)  
c) 2
1
2  0 é:
3
d) 3
e) 4
9. (FUVEST) A é uma matriz quadrada de ordem 2, inversível, e det(A) é o seu determinante. Se
det(2 A)  det( A2 ) , então det(A) será igual a:
a) 0
b) 1
c)
1
2
d) 4
e) 16
 x  y  2 z  0

10. (FUVEST) O sistema linear  x  y  z  1 não admite solução, se  for igual a:
x  y  z  3

a) 0
b) 1
c)  1
d) 2
e)  2
 x log 2  y log 3  a
11. (FUVEST) O sistema linear 
 x log 4  y log 9  a
a) tem solução única, se a  0
b) tem infinitas soluções, se a  2
c) não tem solução, se a  3
d) tem infinitas soluções, se a  4
e) tem solução única, se a  9
12. (FUVEST) Dado o número complexo z  3  i , qual é o menor valor do inteiro n  1 para o
qual z n é um número real?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
13. (FUVEST) Sabendo que  é um número real e que a parte imaginária do número complexo
2i
é zero, então  é:
  2i
a)  4
b)  2
c) 1
d) 2
e) 4
14. (FUVEST) Sejam a, b e c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área
do triângulo ABC, cujos vértices são A  (a,0) , B  (0, b) e C  (c,0) , é igual a b, então o valor
de b é:
a) 5
b) 4
c)3
d) 2
e) 1
15. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária ( i 2  1 ) pergunta-se: quantos números reais a existem
para os quais (a  i) 4 é um número real?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos


0 1
1
16. (FUVEST) O determinante da inversa da matriz A   1  2 0 é:
1

4 3

5

a) 
52
5
b) 
48
5
c) 
5
48
d)
5
52
e)
5
48
a b 
1 2
17. (FUVEST) Se as matrizes A  
e B

 são tais que AB  BA , pode-se afirmar que:
c d 
0 1 
a) A é inversível
b) det( A)  0
d) c  0
e) a  d  1
c) b  0
 x  4 z  7

18. (FUVEST)  x  3 y  8 então x  y  z é igual a:
y  z 1

a)  2
b)  1
c) 0
d) 1
e) 2
 x  (c  1) y  0
19. (FUVEST) O sistema 
, onde c  0 , admite uma solução ( x, y) com x  1 . Então
cx  y  1
o valor de c é:
a)  3
b)  2
c)  1
d) 1
e) 2
20. (FUVEST) Uma matriz real A é ortogonal se AAt  I , onde I indica a matriz identidade e At
1
indica a transposta de A. Se A   2
y

a)
1
4
b)
3
4
c)

x
é ortogonal, então x 2  y 2 é igual a:
z 
1
2
d)
3
2
e)
3
2
21. (VUNESP) Para que valores reais de p e q o seguinte sistema não admite solução?
3x  py  4 z  0

 x  y  3z  5
2 x  3 y  z  q

a) p  2 e q  5
b) p  2 e q  4
d) p  2 e q  5
e) p  2 e q  5
c) p  q  1
22. (FUVEST) O polinômio x 4  x 2  2 x  6 admite 1  i como raiz, onde i 2  1 . O número de
raízes reais deste polinômio é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
23. (FUVEST) Se A é uma matriz 2  2 inversível que satisfaz A2  2 A , então o determinante de A
será:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
24. (FUVEST) Dentre os números complexos z  a  bi , não nulos, que têm argumento igual a
aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y  x 2 é:
a) 1  i
b) 1  i
c) 1  i
d)
2  2i
e)  2  2i
25. (ITA) O valor da expressão | 1  z |2  | 1  z |2 , sendo z um número complexo, é:
a) 5, se | z | 1
b) 4, se | z | 1
d) 2, para todo z
e) 3, se Re( z )  0
c) 0, se Im(z )  0
Respostas
1.
9  18 16
2  5 4 


2. 2
3.
S  1,3,2
4.
i
5.  1  i ,  2  
3 i
3 i
 e 3 

2
2
2
2
6. E
13. E
20. E
7. A
14. E
21. D
8. A
15. C
22. A
9. D
16. C
23. E
10. E
17. D
24. A
11. C
18. E
25. B
12. C
19. B

,
4