Matemática
Determinantes
Eduardo
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1ª ordem
2ª ordem (Cauchy)
Exemplos:
|7| = 7
|- 3| = -3
5
3
1
= 10 - 3 = 7
2
-1 -2
4
2
=- 2 + 8 = 6
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3ª ordem (Sarrus)
Calcule o det abaixo
usando a Regra de
Sarrus.
3
-1 -2 3 -1
1 0 4 1 0
2 1 1 2 1
Resolução:
0 - 8 - 2 - 0 - 12 + 1 = - 21
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I) Det = 0 (nulo)
Fila nula:
Filas iguais:
2
0
-3
0
1
-2
1
-2
Filas proprocionais:
Combinação
linear:
2
6
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3
9
1
-2
3
4
5
-3
5
3
0
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II) Det não se altera (teorema de Jacobi)
Criar matrizes equiparáveis.
Exemplo:
2 0 7
1 -1 5
3 6 2
2 0 7
1 -1 5
3 6 2
=-1
C3 → C3 + C2
__
⎯ ⎯⎯
→
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2 0 7
1 -1 4
3 6 8
=-1
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III) |At| = |A|
IV) Multiplicar uma fila por uma constante, o
determinante também será multiplicado pela mesma
constante.
V) |kA| = kn.|A|, onde n é a ordem da matriz.
VI) |A2| = |A|2
VII) Trocar filas paralelas, troca o sinal do
det.
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VIII) Teorema de Binet
O det. do produto é igual ao produto dos
det |A . B| = |A| . |B|.
1
IX) Matriz inversa : A =
A
-1
X) Matriz Triangular : Produto da diagonal
principal.
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Exemplos:
1: A e B são matrizes de ordem 2. Encontre o(s) valor(es)
de k, sabendo que det A = 16, det B = 4 e que A = k. B.
Resolução:
A=k.B
|A| = |k . B|
|A| = k² . |B|
16 = k² . 4
k² = 4
k=±2
S = {- 2, 2}
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Encontre o det B, sabendo que A . B = C.
⎛2
A =⎜
⎝1
Resolução:
4⎞
⎟
3⎠
⎛ -3
C=⎜
⎝7
A.B=C
|A . B| = |C|
|A| . |B| = |C|
2 . |B| = 4
|B| = 2
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-1⎞
⎟
1⎠
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Matriz inversa
A.A-1 =I
A-1 = A
A
Se A for singular se det A = 0 e por consequência
A não possui inversa.
A terá inversa se for regular (det A ≠ 0).
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Matriz inversa
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Matriz inversa
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(UFSC) ( V ) Seja S o conjunto solução da equação
x
1
1
1 x −2 = 0
1 x
x
em R , então S está contido no
intervalo [ −2,1] .
⎡ −1 2 ⎤
1
5
0
⎡
⎤
⎢
⎥
( V ) Dadas as matrizes A = 2 0 B = ⎢
⎥
⎢
⎥
−
3
0
1
⎣
⎦
⎢⎣ −2 −1⎥⎦
Então a matriz D = A.B não admite inversa.
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(UFSC) ( V )A solução da equação
1 x
1
1 2 2 = 0 é x = 1.
1 4 4
( F ) O determinante da transposta da matriz
⎛2 1 3⎞
⎜
⎟
A= 5 2 1 é
⎜
⎟
⎜0 3 4⎟
⎝
⎠
1
35
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(UFSC) Considere as matrizes:
⎡1 1 1⎤
A = ⎢1 2 2 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣1 4 4 ⎥⎦
⎡0 0 0 ⎤
B=⎢1 2 3⎥
⎢
⎥ C = ( −1).A
⎢⎣ −1 −2 −3 ⎥⎦
01. A matriz A é inversível.
02. ( A.B )t = B t .,At onde At significa a matriz
transposta de A.
04. A + C é a matriz nula de ordem 3.
08. A.C = C.A .
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(UFSC) Sejam A, B e C matrizes. Determine a
soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A.B só é possível quando A e B forem matrizes
de mesma ordem.
−1
(
A
).
A
=I
02.
04. det (A + B) = det A + det B.
08. Se A é uma matriz de ordem n x m e B é de
ordem m x k, então A + B é uma matriz de ordem
n x k.
16. Se A é uma matriz de ordem n, então
det(kA) = k n A, k ∈ °
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