1. DEFINIÇÃO
Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1.
Denomina-se matriz do tipo m x n (lê-se n por n) o conjunto de números reais (dispostos em um quadro de m
linhas e n colunas).
2. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
A matriz é representada por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas.
Algebricamente uma matriz A pode ser representada por:
 a a a .... an 




a

*
a
a
....
a


n  com m e n  N
A   
.
.
.
.
 .
. 
.
.
 .
. 
.
.
a

 m a m a m .... a mn 
ou
A = (aij) m x n
Sendo aij os elementos da matriz A.
onde
i  indica a que linha o elemento pertence.
j  indica a que coluna o elemento pertence.
m  indica a quantidade de linhas.
n  indica a quantidade de colunas.
3. CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES
3.1. Matriz Linha é a matriz que possui uma única linha
Ex.: A = ( 3 2 4 )1 x 3
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3.2. Matriz Coluna é a matriz que possui uma única coluna.

 
Ex.: A    

  x 
3.3. Matriz Nula é a matriz que tem somente elementos iguais a zero. E é sempre representado por 0.
  

  
  
4. MATRIZ QUADRADA
É toda matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja: m = n.
Obs.: Uma matriz n x n é denominada matriz quadrada de ordem n.
D. S.
a
Na matriz quadrada A   
 a 
a 

a  
D. P.
denominamos de diagonal principal a diagonal formada por todos elementos em que i é igual a j (i = j), a outra
diagonal é chamada de secundária.
5. MATRIZ UNIDADE OU MATRIZ IDENTIDADE
Denominamos de matriz identidade toda matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal
principal são iguais a 1 (um) e o restante dos elementos são todos nulos, iguais a zero.
 
  identidade de ordem 2.
Ex.: I   
 
I
  


       identidade de ordem 3.
  


6. MATRIZ TRIANGULAR
Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos que a matriz é triangular.
  
   




Ex.: A       , B      
   
  




7. MATRIZ DIAGONAL
É toda matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são todos
nulos.
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8. MATRIZ ESCALAR
Uma matriz quadrada A = (aij) é denominada escalar se os elementos da diagonal principal são iguais entre si e
os demais elementos são nulos.
x  


Ex.: A    x  
  x


9. IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A = (aij)
correspondentes iguais.
e B = (bij) de mesma ordem são iguais quando tiverem todos os elementos
 
  
 e B  
Ex.: Se A  
 
  

 x  
então A = B
 x  
10. ADIÇÃO DE MATRIZ
Dadas duas matrizes A e B de ordem m x n, denomina-se matriz soma de A com B a matriz C de ordem m x n
cujos elementos são iguais à soma dos elementos correspondentes de A e B.
 
 
 
 e B  
 ; temos A  B  

Ex.: Sendo A  
 
  
 
10.1. Propriedade
1ª) A + B = B + A (comutativa)
2ª) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
3ª) A + 0 = A (elemento neutro)
4ª) A + ( - A) = 0 (elemento oposto)
11. MATRIZ OPOSTA
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A à matriz
correspondentes de A.
– A cujos elementos são simétricos dos elementos
   
_   
   A  

Ex.: A  
  
    
12. SUBTRAÇÃO DE MATRIZ
A diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n é igual à matriz que se obtém somando a matriz
A com a oposta de B.
A – B = A + (- B)
   
 
 e B  

Ex.: Se A  




  
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então A – B = A + (- B)
   
    
  

 
  
    
  

 
 
13. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ
Para multiplicarmos um número real  por uma matriz, multiplicamos este número  por cada elemento da
matriz.
  
 então
Ex.: Se A  
  
.  
 . 
  
  

3 A = 
  . ( )  .  
    
13.1. Propriedade
1ª) (  +  ) A =  A +  A
2ª)  (A + B) =  A +  B
3ª)  ( . A) = ( . ) . A
4ª) 1 . A = A
14. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dada uma matriz A = (aij)m x n e uma matriz B = (bjk)n x p , denomina-se produto de A por B a matriz
C
= (Cik)m x p tal que o elemento Cik é a soma dos produtos da i–ésima linha de A pelos elementos
correspondentes da j-ésima coluna de B.
Observação:
Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B, e
o produto AB tem o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.
Am x n . Bn x p = (A . B)m x p
Ex.: Dadas as matrizes
  


   

A  
e B   
     x 
  

x 
calcule A . B
  
A . B = 
    
    

     
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
A . B = 

 

 
14.1. Propriedades
1ª) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes A e B tais que AB  BA
- Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes A e B comutam.
2ª) Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade do cancelamento, isto é, podemos ter AB = AC,
mesmo com A  0 e B  C
- Se A, B e C são matrizes tais que AB = AC não podemos garantir que B e C sejam iguais.
3ª) Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade do anulamento . Se A e B são matrizes tais que
AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula.
4ª) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A . In = In . A = A
5ª) Se A é uma matriz de ordem m x n, com m  n então A . In = I . A = A
6ª) Propriedades Associativas e distributivas valem para a multiplicação de matrizes.
* A (AC) = (AB) C
* (A + B) C = AC + BC
* A (B + C) = AB + AC
15. MATRIZ TRANSPOSTA
Dada uma matriz A de ordem m x n, denominamos de transposta de A a matriz At que se obtém trocando
ordenadamente as linhas pelas colunas.
   

Ex.: Se A = 
     x 
 


então A =    
  

 x
t
15.1. Propriedades
1ª) (At)t = A
2ª) ( A)t =  At
3ª) (A + B)t = At + Bt
4ª) (A B)t = Bt . At
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
16. MATRIZ SIMÉTRICA
Dizemos que uma matriz A é simétrica. Se A = At
17. MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
Dizemos que a matriz A é anti-simétrica. Se A =  At.
Obs.: 1) É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas.
2) Sendo A uma matriz anti-simétrica, temos que A + At = 0 (matriz nula).
18. MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz A de ordem n denominamos de inversa de A a matriz A-1, cujo produto da matriz A pela sua
inversa é igual a matriz identidade.
portanto:
A . A-1 = A-1 . A = I
Observação:
1. Sendo A e In de ordem n, a inversa A-1 será também de ordem n.
2. Se não existir a inversa, dizemos que a matriz A não é inversível ou uma matriz singular.
  

Ex.: Calcule a inversa da matriz A = 
  
A . A-1 = I
    a b 
 

 . 
  



c
d

 

 
 a  c

 a  c
b  d 
 
  

b  d 
 
a  c  

 a  c  

b  d  

 b  d  

a  
c  
b  
d  
   

A   
   
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1. Se A x B é de ordem 2 x 4 e B x C é de ordem 3 x 5, qual é a ordem de cada uma das matrizes A . B e C?
2. Calcule a soma de todos os elementos da matriz A = (aij)3 x 2, onde
 i  j se i  j
aij = 
i  j se i  j
3. Calcule a, b, c e d, de modo que:
 a c 
b 
   

  
  






a
d
b




  

   
 


4. Dados A        e B     , calcule X, de modo que A . X = B.
 
  
 


 
   
 
 e B  

5. Resolva a equação matricial A X = B, dadas as matrizes A = 
   
    
  
  
 e B  
 calcule AB + A-1
6. Dadas as matrizes A = 
 
   



7. Dada a matriz: A = 




 
 x 
 para a qual A . T = T
 , determine uma matriz real da forma T = 
  x





 
 seja igual à sua inversa.
8. Determine a real de modo que a matriz A = 
 a
   
 .
9. Seja A-1 a inversa de A = 
   
Determine:
a) A + A-1
b) (A-1)2 + A2
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 
 seja igual a sua inversa.
10. Determine x afim de que a matriz A = 
 x 
    


11. Sendo A =       , determine o elemento da 3ª linha e 1ª coluna de A-1.
    


x 
 y  
 x
 é a matriz 
12. A inversa de 

  x 
x  

 . Determine x e y.

  x
   
 e B = 
 é uma matriz simétrica. Qual é o valor de x ?
13. O produto das matrizes A = 
  
  
  


    
   
 , B =      e C = 
 .
14. Resolva a equação A . B = X . C, se A = 
   
  
  


  
   
 e B  

15. Usando a inversão de matrizes, resolva a equação A . X = B, se A = 
  
  
   
 , obtenha a matriz A2 – 5A.
16. Se A = 





  
  
 e B  
 ;
17. Sabendo que A = 
  
   
  

a) verifique se A-1 = 
  
b) determine X tal que A X = B.
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    x 
 
 . 
   

y   y 
x  y
 x
1. Resolvendo a equação  
x
respectivamente:
a) 3 ; 2
b) 

; 

c)
 
;


d) 6 ; 
e) 
x   
 , encontraremos para valores de x e y,
 
 ; 

  m
n

 , B    e C    , e sabendo-se que AB = C, podemos concluir que:
2. Dadas as matrizes A = 
  
 

a) m + n = 10
c) m . n = - 48
b) m – n = 8
d)
e) mn = 144
m
 
n




 . A soma dos elementos da diagonal principal da
3. Considere P a matriz inversa da matriz M, onde M =  
  




matriz P é:
a)


c) 4
b)


d)
e) 




  x
   
 e B  
 seja uma matriz simétrica é:
4. O valor de x para que o produto das matrizes A = 
  
  
a) – 1
c) 1
b) 0
d) 2
e) 3
5. Sejam A, B e C matrizes quaisquer de ordem n com elementos reais e as afirmações:
I–A.B=B.A
II – A + B = B + A
III – A . (B + C) = A . B + A . C
IV – (A . B) . C = A . (B . C)
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Então
a) somente II é verdadeira
b) somente II e III são verdadeiras
c) somente II e IV são verdadeiras
d) somente II, III e IV são verdadeiras
e) todas são verdadeiras
6. Se A, B e C são matrizes do tipo 2 x 3, 3 x 1 e 1 x 4, respectivamente, então o produto A . B . C:
a) é matriz do tipo 4 x 2
b) é matriz do tipo 2 x 4
c) é matriz do tipo 3 x 4
d) é matriz do tipo 4 x 3
e) não é definido.
x para i  j
, tais que A = A-1 é:
7. O número de matrizes A = (aij)2 x 2 onde aij = 

y
para
i
j

a) 0
c) 2
b) 1
d) 3
e) 4
i  j se i  j
 se i  j
8. Sejam as matrizes A = (aij)2 x 3, em que aij = 
, e B = (bij)2 x 2, em que bij = 
, se At
i  j se i  j
 se i  j
é a matriz transposta de A, então a matriz-produto At B;
a) não está definida
c) é igual a At
b) é igual a A
d) é igual a B
e) é igual a Bt
i  j se i  j
9. Seja a matriz A = (aij)2 X 2 , onde aij = 
, se At é a matriz transposta de A, então a matriz
i  j se i  j
= A2 - At é igual a:
    

a) 
   
   

c) 
   
   

b) 
    
  

d) 
    
  

e) 
   
10. Sejam as matrizes A3 x 2 , B3 x 3 e C2 x 3. A alternativa em que a expressão é possível de ser determinada é:
a) B2 (A + C)
c) (C B) + A
b) (B A) + C
d) (A C) + B
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e) A (B + C)
B
  

11. Dadas as matrizes A = 
  
inversa de A é:
 

a)  
 




b)  


 

 

 

  
 , a matriz X de ordem 2, tal que A + BX = A-1 , onde A-1 é a
e B = 
  
 


e) 
 


 



 
c)  
   


 

 
 







 
 



 
d) 
 
 



 a  
  
 e Y = 
 onde a  R. Se X2 = Y, então:
12. Sejam X = 




a






a) a = 2
c) a =
b) a = - 2
d) a = - 
e) n.d.a.



a b
 , onde a   (  log ) ; b   log ; c  log  e d  log  uma matriz identidade de
13. Seja a matriz A = 


 c d
ordem 2, é:
 log 


a) 
 

 

b)  
 

 

c)  
 



log  
 


 

 

 log 
e) 

 
 log  

log 




 
 

d) 
   log  



 

 

  
14. Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica se ela for igual à sua transposta. Nessas condições, a matriz
 



x  
 
 y

x 
y



 é simétrica se, e somente se:


a) x = y = 2
c) x = - 2 e y = 2
b) x = y = - 2
d) x = - 1 e u = 2
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e) x = 2 e y = - 1
15. Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C são, respectivamente, 3 x r; 3 x s e 2 x t. Se a matriz
(A – B) . C é de ordem 3 x 4, então r + s + t é igual a:
a) 6
c) 10
b) 8
d) 12
 

16. O valor de a tal que  
 

 
a) – 1
c) 2
b) 3
d) 5
e) 14
 

  seja a matriz inversa de     é:
 a 




 
i  j se i  j

17. (Unirio-RJ) Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde Xij =   j se i  j
 se i  j

A soma dos seus elementos é igual a:
a) – 1
b) 1
c) 6
d) 7
e) 9
 

a
 


18. (UFGO) Sejam as matrizes: A = 
  log    

  
a) a = - 3 e
b) a = 3 e
c) a = 3 e
d) a = - 3 e
e) a = - 3 e
 b
eB=  
 a

 . Para que elas sejam iguais, deve-se ter:
c 
b=-c=4
b=c=-4
b=-c=4
b=c=-4
b = c2 = 4
   x   x  
 
19. (UFRN) A solução da equação matricial 
  
 é um número:

  x  
 
x
x

a) maior que – 1
b) menor que – 1
c) maior que 1
d) entre – 1 e 1
e) entre 0 e 3
20. (Santa Casa-SP) Se uma matriz quadrada A é tal que At = - A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se
que M é anti-simétrica e:
  a a

c
M=  a
 b
c
a 

a  
c  
Os termos a12, a13 e a23 de M valem respectivamente:
a) – 4 , - 2 e 4
b) 4 , 2 e – 4
Prof. Ms. Wagner S. lopes
c) 4 , - 2 e – 4
d) 2, - 4 e 2
e) n.d.a.
x y 

21. (FGV-SP) Dadas as matrizes A = 
 z w
então:
 
 x

B = 
   w 
 
e C = 
z  w
x  y
 e sendo 3A = B + C,
 
a) x + y + z + w = 11
b) x + y + z + w = 10
c) x + y – z – w = 0
d) x + y – z – w = - 1
e) x + y + z + w > 11
x 
22. (Osec-SP) Em  
 x
  
 x  y 
y 
 
 , x e y valem respectivamente:
  

y 
  
 x y 
a) – 4 e – 1
b) – 4 e 1
c) – 4 e 0
d) 1 e – 1
e) 1 e 0
  
 ,
23. (PUC-SP) Se A = 
   
X  A
B  X

 C , é igual a:


a)
 28 1 


 24 3 
b)
 28 1 


 23 3 
c)
 28 1 


 25 3 
d)
 28 1 


 22 3 
24. (FGV-SP) Considere as matrizes
 
A= 
  
 



 e B =   

 
Prof. Ms. Wagner S. Lopes
   
   
 e C = 
 , então a matriz X, de ordem 2, tal que
B = 
  
  
A soma dos elementos da primeira linha de A . B é:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
  
  
 e B = 
 , então a matriz X, de ordem 2, tal que A . X = B, é:
25. (PUC-SP) Se A = 
  
  

a) 






  

b) 





c) 






1 0 
1
d) 
0

5


e) 






Prof. Ms. Wagner S. Lopes
17. a) SIM
1. A2 x 3
B3 x 4
e
C4 x 5
,
c=2
2. 27
3. a = - 3 ,
b=5
 
  
4. X = 

  
 
2. c
9.
a) 
e
8.
c
9.
e
10. d
11. a
   


   
13. c
15. b


16. e
12. X = 7
y=1
x=1
14.
 

X =  

 




17. d
18. d
13.
15. X =
12. b
14. c
10. X = - 1
16.
7.
    

    
b)
11.
4. c
6. b
 
 
T= 

 
 
a=-1
3. c
5. d
  

6. 
    
8.
d=-3
1. e
   

5. X = 
  
7.
e
 
 

 


 

  


   
Prof. Ms. Wagner S. Lopes
19. b
20. b
21. b
22. d
23. b
24. e
25. a
 

 
b) 