ANALISTA DA RECEITA FEDERAL
RACIOCÍNIO LÓGICO
MATRIZES
Utilizamos as matrizes para organizar elementos em
filas, sendo as horizontais chamadas de linhas, e as verticais
chamadas de colunas. As matrizes são representadas por
letras maiúsculas do alfabeto grego, e seus elementos serão
“cercados” por parênteses ou colchetes. Podemos
representá-las, de forma simplificada, por:
A
aij
mxn
Onde:
ij = índice do elemento, e indica a posição do elemento
dentro da matriz, sendo i = linha e j = coluna.
mxn = ordem da matriz, e indica o total de linhas e
colunas da matriz, sendo m = total de linhas e n = total de
colunas.
PROF PEDRÃO
Identidade
É a matriz quadrada onde os elementos da diagonal
principal são todos iguais a um e os demais são todos iguais
a zero.
Ex: I
2
1 0
1 0
I3
0 1
0
0 1 0
0
0 1
Oposta
É a matriz onde todos os elementos, em suas
respectivas posições, são os opostos dos elementos da
matriz original. É representada pelo sinal negativo que
antecede a matriz.
1
Ex: A
5
2
4
0
3
A
1
5
2
4
0
3
CONSTRUÇÃO DE MATRIZES
Para a construção de matrizes, são fornecidas leis de
formação, baseadas nos conceitos de ordem e de índice.
PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES
Linha
É a matriz formada por uma única linha.
Ex: L = ( 2 –3 1)
Coluna
É a matriz formada por uma única coluna.
C
4
2
Retangular
É a matriz na qual o número de linhas é diferente do
número de colunas.
Ex: R
1 3
2 0
4 5
Quadrada
É a matriz na qual o número de linhas é igual ao
número de colunas.
1
Ex: Q
2
4
1
Ex: A
5
2
4
0
3
At
1
5
2
0
4
3
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes só podem ser iguais se ambas
possuírem a mesma ordem, e os elementos de uma forem
iguais aos da outra, respeitadas as posições (mesma
posição em ambas).
1
Ex:
Transposta
É a matriz onde trocamos, ordenadamente, os
elementos das linhas pelos elementos das colunas. É
representada pela letra “t” no “expoente”.
3
1
0
6
5
3
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Produto por um número real
O produto de um número real por uma matriz é igual ao
produto do número por todos os elementos da matriz.
Adição e subtração
A adição e a subtração só podem ser efetuadas em
matrizes de mesma ordem, sendo que as operações serão
feitas entre os elementos que ocuparem as mesmas
posições nas respectivas matrizes.
PRODUTO DE MATRIZES
As matrizes quadradas possuem duas diagonais,
chamadas de diagonal principal e diagonal secundária:
A condição para que seja possível efetuar o produto de
matrizes, pode ser expressa da seguinte forma:
O “meio” tem que ser igual e os “de fora” dão a ordem
da matriz resultante.
Ex:
A2x3 x B2x3 = não é possível
A2x3 x C3x3 = D2x3
2009
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1
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RACIOCÍNIO LÓGICO
MATRIZ INVERSA
12) Dadas as matrizes A = (aij)2x2 e B = (bij)2x2 ; tal que:
Dizemos que uma matriz A possui uma matriz inversa
A , quando obedece à seguinte condição:
A . A–1 = A–1 . A = In, onde In é a matriz identidade de
ordem n.
Após o estudo dos determinantes, veremos uma regra
prática para a obtenção da inversa de uma matriz de ordem
2x2.
–1
EXERCÍCIOS
i j, se i j , então a matriz A é:
2i j, se i j
aij
Construir
a
2i j , se i
i2
matriz
A
de
e bij
0 , se i j
2i 3 j
Determine 2A – B:
13) Dadas At = [10 6 5], Bt = [8 2 2] e
0 4], tal que:
2A B + 2M + C = 0, a matriz Mt é:
Ct = [ 6
14) Da equação matricial
x 1
1
ordem
+
2
2 y
0
=
1
3
2
z
t
Calcule x, y, z e t
02) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i – 3j e
B = (bjy)2x3, tal que bjy = y – j, determine as matrizes A e B.
03)
i j, se i j
aij
01) Sendo A uma matriz de ordem 2x3, cujos elementos são
dados por a
ij
PROF PEDRÃO
2x2
tal
1
0
15) Se A é a matriz
2 , então A2 é:
1
que
1, se i
3 1
4 x
05) Sejam
eB=
X
y
x
4
1
2
2a
Y
4
8
2
e
1 x ,
x 1
A
1 0
0 1
I
19) Dadas as matrizes A =
, determine 3A
0 , se i j
2i 3 j .
A
1
2
3
4
e B =
4
3
2
1
25
12
09) Sejam A =
, B =
5
8
13
1
4
eB=
2 1
1 0
,
Calcule
X,
e
C =
3
sendo
A=
2
3
eB=
que
X
1
10 ,
1
=
5
2
1
,
4
3
B
e C
2 1 3.
1
t
Sendo D = A + B .C, a soma dos elementos d12 e d22 da
matriz D é igual a:
então a matriz X , tal que: A + B – C – X = 0 é:
10)
3
0
, o elemento c21 da
matriz C = A – B é:
t
A
+
21) O valor de x + y, para que o produto das matrizes
A
1 x
y 1
e B
2 -2
-2
seja a matriz nula, é
2
22) Uma matriz “A” é simétrica quando
t
B.
Onde
1 1
t
2 X ,
B
3 1
a matriz transposta de “A”. Se A
t
A = A , onde A é
1 -1 e
0 1
AB é simétrica, o valor de X será:
1 2
2 4
11) Dado A =
. Calcule X, sendo que X = 3.A + I2
3 1
2009
0
20) Sejam as matrizes
Determine 2B
08) Sendo A =
3
então ( A.B – B.A ) é igual a:
b ij
e
, a soma dos valores numéricos de x , para os quais
18) Considere as matrizes A = ( aij )3x3, em que aij = (– 2) e
B = ( bij )3x3, em que bij = (–1)i. O elemento c23, da matriz
C = ( cij )3x3, em que C = A.B, é:
R. Se X = Y, então a vale:
07) Dada a matriz B = (bij)2x2 tal que:
2
matrizes
j
, onde a
i j, se i j
4
1
0 0
0 0
as
2
06) Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que:
aij
Considerando
a igualdade A – 2A – 3I = 0 é verificada, é:
2 a2
4a
2
17)
O
2
a
A raiz
quadrada da soma de todos os elementos da matriz A2 é
igual a:
j
04) Calcule X e Y para a igualdade A = B dado:
A=
ij.
a ij
16) Considere a matriz A = (aij)2x2, onde
j
23) Sendo A =
1 2
0 1
eB=
5
, obtenha a matriz X tal
3
que A.X = B
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RACIOCÍNIO LÓGICO
24) Dadas as matrizes A = 2
3
4
0
e B = 10
0
3 .
6
PROF PEDRÃO
# Quando o determinante possuir filas paralelas iguais
ou proporcionais, seu resultado é zero;
Calcule X, sendo que A . X = Bt
# O determinante da transposta de uma matriz é igual
ao determinante da matriz original: det(At) = det(A);
25) Se A e B são matrizes do tipo 2x3, qual das seguintes
operações não pode ser efetuada?
# Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma
ordem, então det(A.B) = det(A).det(B);
b) A
a) A B
e) A B
t
Bt
d) Bt A
c) ( A B) Bt
# O determinante da inversa de uma matriz é igual ao
inverso
do
determinante
da
matriz
original:
det( A
1
)
DETERMINANTES
Os determinantes representam as matrizes quadradas
por um único valor, “é o resultado de uma matriz quadrada”.
Sendo uma matriz A, representamos o determinante de A
por det(A).
Determinante de ordem 1
O resultado de um determinante de ordem 1 é igual ao
próprio valor que se encontra no determinante.
Ex:
3
# Quando trocamos duas filas paralelas de posição, o
resultado do determinante ficará com o sinal trocado;
# Quando multiplicamos uma fila por um número, o
resultado do determinante ficará multiplicado por este
número;
Obtenção da inversa de ordem 2
Para obtermos a inversa de uma matriz de ordem 2,
podemos aplicar uma regra prática:
3
Determinante de ordem 2
O resultado de um determinante de ordem 2 é obtido
pela regra de Sarrus: multiplicam-se os elementos da
diagonal principal (repetindo o sinal) e multiplicam-se os
elementos da diagonal secundária (trocando o sinal) e
“juntam-se” os resultados.
Ex: A
1
det( A )
1
2
3
4
det( A )
1
2
3
4
Ex: obter a inversa da matriz A
1 2
1 3
det(A) = 1.4 – 2.3 = – 2
Determinante de ordem 3
O resultado de um determinante de ordem 3 pode ser
obtido aplicando-se uma extensão da regra anterior. Para
facilitar a compreensão, podemos “repetir as duas primeiras
colunas após o determinante”, e depois disso efetuar o
cálculo:
Ex:
3
A
5
1
2
2
0
4
1
3
3
det( A )
5
1
2
2
0
4
1
3
EXERCÍCIOS
26) Dada uma matriz A
1 2 , determine:
3 8
a) det(A)
t
b) det(A )
–1
c) det(A )
d) det(A²)
det(A) = – 18 + 2 – 8 – 30 = – 54
27) Calcule o determinante da matriz A =
Propriedades dos determinantes
# Quando todos os elementos de uma fila são nulos, o
resultado do determinante é zero;
2009
28) Determine o valor de x da matriz
4
3
6
1
3x x 1
de modo
1 x
que o determinante seja igual a 3:
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3
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RACIOCÍNIO LÓGICO
29) Determine o valor de x da matriz
x
2x 1 de modo
3
1
que o determinante se anule:
13) Mt = (–3 –5 –2)
A
2
1
3
0
9
20) 10
1
18) 14
22) 01
29) x = 1
1
2
2
t
27) det(A) = 14
30) a) det(A) = 21
–1
25) e)
1
b) det(A ) = 2
d) det(A²) = 4
A
21) 02
24) X
3
26) a) det(A) = 2
31) Calcule o valor do determinante
17) 00
1
23) X
a) det(A)
b) det(At)
c) det(A– 1)
d) det(A²)
16) 06
1
1 7
19)
1
5 , calcule:
2
14) x = 1, y = 1, z = 1, t = 1
1 0
15) A 2
30) Dada a matriz
1
2
4
PROF PEDRÃO
–1
c) det(A ) = 1/2
28) x1 = 1 e x2 = – 2/3
b) det(At) = 21
1
2
3
c) det(A ) = 1/21
d) det(A²) = 441
5
0
9
8
4
7
32) det(A) = – 59
33) x1 = 2 e x2 = – 1/2
4
3
1
2
5
2
0
3
2
32) Calcule o valor do determinante A =
31) det(A) = 81
34) n1 = 6 e n2 = – 2
SISTEMAS LINEARES
Duas equações e duas variáveis:
Método da substituição
x
33) Resolver a equação 3
1
34) A equação
2
1
4
n
1
0
1
x
3
x
4 = -3
3
x y 3
2x y 0
= 12 tem como solução
para n:
3x 3
x 1
y 3 1
y
GABARITO – MATRIZES E DETERMINANTES
01) A2X 3
02) A
3X 2
03) A
2
5
06) 3A
0
4
5
5
0
7
3
0
8
5
04) x = 1 e y = 3
0
0
12
e
0 1 2
1 0 1
B
05) a = – 2
2
07) 2B
8
2
4
29
08) c21 = 1
09) X
10) X
6
15
11) X
4
7
12
9
4
2009
Método da adição
3x
4
2
6
2
x y 3
2x y 0
1
1
3
4
5
3
somando as equações
3
x 1
1 y 3
y
2
Três equações e três variáveis
Método da substituição
Isolamos uma das variáveis em uma das equações e a
substituímos nas outras duas equações, reduzindo o
sistema de três equações e três variáveis a um sistema de
duas equações e duas variáveis, o qual resolvemos, e
depois então substituímos as soluções em uma das
equações originais para obter o valor da variável que faltava.
3x y 2z
7
2x 3 y z
12) 2A
B
5
3 x
2 x (3 x ) 0
2x 3 x 0
3
n 1
n
y
4
x 2y z
1
2
1 10
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RACIOCÍNIO LÓGICO
isolando x na terceira equação:
x 2 2y z
substituin do nas outras duas equações :
3( 2
2y
z)
2( 2
2y
z) 3y
y
6 6 y 3z y 2z
2z
z
7
2z
z
7y
7y
7y
y
x
x
08) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num
muro retangular de 5 metros de comprimento por 2,2 metros
de altura, conforme a figura a seguir.
7
somando as equações
Os lados dos quadrados serão paralelos às laterais do muro
e as distâncias entre os quadrados e entre cada quadrado e
a borda do muro serão todas iguais. Nessas condições, a
medida do lado de cada quadrado, em metros, será:
09) Uma fábrica de doces vende caixas com 50 unidades de
bombons recheados com dois sabores, morango e
caramelo. O custo de produção dos bombons de morango é
de 10 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de
caramelo é de 20 centavos por unidade. Os demais custos
de produção são desprezíveis. Sabe-se que cada caixa é
vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um
lucro de 20% sobre o custo de produção de cada bombom.
O número de bombons de cada sabor contidos em uma
caixa é igual a:
6
3
3.3 5
9 5
14
2
2 2.2 3
1
EXERCÍCIOS
01) Um atirador deveria receber 4 reais por tiro acertado no
alvo e pagar a metade cada vez que errasse. Depois de 32
tiros, recebeu 86 reais. Quantos tiros acertou?
02) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas de 2
reais e 5 reais num total de 19 notas. Quantas notas de
cada valor o taxista recebeu?
03) Em um estacionamento para veículos apreendidos há 30
veículos entre motos e carros. Sendo o total de rodas igual a
82, quantos são os veículos de cada tipo?
04) O Sr. Pedrão é dono de uma pequena fazenda, a qual é
administrada pelo filho dele, Pedro. Pedro gosta de fazer
algumas brincadeiras com o pai. No fim do mês, Pedro
sempre deve dar um relatório do andamento da fazenda. O
relatório deste mês foi o seguinte: “Entre porcos e galinhas
consegui contar 1000 patas e 300 cabeças”. Quantos
porcos e quantas galinhas há exatamente na fazenda do Sr.
Pedrão?
05) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, uma
pessoa percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias,
ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta.
Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21
centavos para o automóvel e de 7 centavos para a
motocicleta, calcule quantos quilômetros a pessoa deve
andar em cada um dos veículos, para que o custo total
mensal seja de R$70,00.
06) Um policial rodoviário aplicou durante uma “blitz” apenas
dois tipos de multa, num total de 80, sendo que o valor
arrecadado será de R$ 4300,00. Cada multa do tipo A custa
R$ 50,00 e cada multa do tipo B custa R$ 60,00. Quantas
multas de cada tipo ele aplicou?
07) Um pacote tem 62 balas, algumas de uva e as demais
de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de
uva excede a metade do número de balas de laranja em 4
2009
unidades, então, nesse pacote há quantas balas de cada
tipo?
1
4 4y 2z 3y z
1
7 y 5z 1
7 y 3z
5
( 1)
7 y 5z 1
7 y 3z 5
PROF PEDRÃO
10) Pafúncio, Estrupício e Emingarda foram a uma
lanchonete. Pafúncio comeu 3 pastéis e tomou dois sucos,
pagando R$9,00 pelo lanche; Estrupício comeu 2 pastéis e
tomou um refrigerante, pagando R$6,00 pelo lanche;
Emingarda comeu um pastel e tomou dois sucos, pagando
R$5,00 pelo lanche. Sabendo que todos pagaram os valores
certos de cada item, então podemos afirmar que um pastel e
um suco custam o mesmo que dois refrigerantes.
11) Emingarda será madrinha de casamento de sua irmã e
pretende presenteá-la com artigos de cozinha. Na primeira
loja por ela visitada, o preço de um conjunto que tem 3
panelas, 2 frigideiras e 1 leiteira é de R$ 169,00; na segunda
loja visitada, o preço de um conjunto composto por 4
panelas, 1 frigideira e 1 leiteira é de R$ 179,00; na terceira
loja visitada o preço de um conjunto com 3 panelas, 1
frigideira e 1 leiteira é de R$ 144,00. Se o preço de cada
panela, da frigideira e da leiteira é o mesmo em todas as
lojas por ela visitada, então pode-se afirmar que o preço de
um conjunto composto por 4 panelas, 2 frigideiras e 1 leiteira
é igual a:
12) Pedrão entrou numa lanchonete e pediu 3
hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$
21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8
hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$
57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o
de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$
10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
13) Uma herança de R$ 270.000,00 foi distribuída entre 3
irmãs, de modo que a filha do meio recebeu metade do que
recebeu a filha mais nova e a mais velha recebeu o
equivalente à metade do que receberam juntas a mais nova
e a do meio. Em reais, a filha mais velha recebeu:
14) Uma conta no valor de R$ 195,00 foi paga com cédulas
de dois, cinco, dez e de vinte reais, totalizando 30 cédulas.
Juntando-se as cédulas de cinco com as de dez reais
usadas no pagamento, obteve-se um total de dez cédulas, e
a quantidade das cédulas de vinte reais usadas foi de um
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RACIOCÍNIO LÓGICO
terço do número de cédulas de dois reais. A quantidade de
cédulas de cinco reais usadas para o pagamento da conta
foi de:
15) Um comerciante de uma cidade do interior do Brasil
utiliza balança de braços. Para pesar um objeto, ele coloca
em um dos braços o objeto e, no outro, pesos de medidas
padrão, até que os dois braços da balança fiquem alinhados.
Para realizar suas pesagens, o comerciante dispõe de
diversos pesos de três medidas padrão, conforme a forma
geométrica do peso, a saber: piramidal, cúbica e cilíndrica.
Para pesar um produto de 6,5 kg, ele usa três pesos, um de
cada forma. Para pesar 11 kg, ele usa dois pesos em forma
piramidal e um de forma cúbica. Para pesar 1,5kg, ele usa
um peso com forma cúbica e outro cilíndrico. A menor
quantidade de pesos que o comerciante usa para pesar um
objeto de 16,5kg é:
18) 952
PROF PEDRÃO
19) 13
20) 20, 25 e 35
16) Um número é formado por três algarismos cuja a soma é
19. O algarismo das dezenas é a metade do algarismo das
unidades, e o algarismo das centenas é o antecessor do
algarismo das unidades. Esse número é:
17) Um pai quer dividir uma quantia de R$5.000.000,00
entre seus três filhos de modo que Gilberto, Flávio e Kátia
recebam seu dinheiro de maneira proporcional a suas
idades. Assim, feita a divisão, a grana de Gilberto excede a
de Flávio em R$500.000,00, e a grana deste excede a
metade da grana da Kátia em R$700.000,00. Qual a quantia
respectivamente de Flávio, Gilberto e Kátia?
18) A soma de 3 algarismos de um número é 16. O da
centena excede de 4 o da dezena e este excede de 3 o da
unidade. Qual é este número?
19) Pedro recebeu a quantia de R$ 2.700,00, em cédulas de
R$ 10,00, de R$ 20,00 e de R$ 50,00. Sabendo que a
quantidade de cédulas de R$ 20,00 é 20 vezes a de cédulas
de R$ 10,00, então o número de cédulas de R$ 50,00 que
Pedro recebeu foi:
20) Uma grande loja de decoração vende caixas contendo
bolas de cristal de diversas cores e de três tamanhos
diferentes.
No quadro são apresentados o conteúdo e o preço de cada
caixa.
O preço, em reais, de cada bola pequena, média e grande é,
respectivamente,
GABARITO – SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
01) 25 02) 4 de R$5,00 e 15 de R$2,00
03)19motos,11carros 04)200porcos,100galinhas
05) 225km de carro e 325km de moto
06) 50 do tipo A e 30 do tipo B
07) 32 de laranja e 30 de uva
08) 0,6m 09) 10 de caramelo e 40 de morango
10) Falso
11) R$204,00
12)hambúrguer R$4,00;cocada R$3,50;suco R$2,50
13) R$ 90.000,00
14) 7
15) 5
16) 748
17) R$1475000,00, R$1975000,00 e R$1550000,00
6
2009
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