BC 0303: Fenômenos Térmicos – 2a Lista de Exercícios
** Onde for necessário adote a constante universal dos gases R = 8,31 J/mol K e o número de
Avogadro NA = 6,02.1023 **
•
Caminho Livre Médio
1. Em um dado experimento, certo gás é mantido em uma câmara na pressão de 2.10−6 mmHg e na
temperatura de 290 K.
a) Calcule o número de moléculas por centímetro cúbico dentro da câmara supondo que o gás é
ideal.
b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás sob essas condições se o diâmetro molecular
é de, aproximadamente, 10−8 cm?
2. Moléculas de hidrogênio (diâmetro 1.10-8 cm) escapam de um forno a uma temperatura de 4000K
e entram em uma câmara que contém átomos de argônio (diâmetro 3.10-8 cm), com densidade de
4.1019 átomos/cm3.
a) Qual a velocidade típica das moléculas de hidrogênio ao deixarem o forno?
b) Considerando a molécula de hidrogênio e os átomos de argônio como esferas, qual será a
distância mínima de aproximação de seus centros em uma colisão?
c) Qual o número inicial de colisões por unidade de tempo que sofre a molécula de hidrogênio?
•
Distribuição de Velocidades Moleculares
3. Seja Ni o número de partículas com velocidade vi , dadas na tabela abaixo.
Ni
vi (m/s)
1
1,5
2
1,8
3
2,0
15
3,0
8
3,5
6
2,5
5
2,8
Determine a velocidade média das partículas, a velocidade quadrática média e a velocidade mais
provável.
4. Um certo gás com N partículas tem a seguinte distribuição de velocidades:
c
v
v0
p (v ) = c
c
p (v) = (3v0 ! v)
v0
p (v ) = 0
p (v ) =
para 0 ! v ! v0
para v0 ! v ! 2v0
para 2v0 ! v ! 3v0
para v ! 3v0
onde c e v0 são constantes.
a) Expresse c em termos de N e v0.
b) Quantas moléculas tem velocidades entre 1.5v0 e 2v0 ?
c) Expresse a velocidade média das moléculas em termos de v0.
d) Encontre a velocidade quadrática média, vrms.
5. Mostre que a velocidade mais provável de uma molécula de um gás obedecendo a distribuição de
velocidades de Maxwell-Boltzman é dada por
v mp =
2kT
m
Observe que a velocidade mais provável corresponde ao ponto em que a inclinação da curva da
distribuição de velocidades é nula.
6. A velocidade de escape na superfície de um planeta de raio R é: ve = 2 g P R onde gp, é a
aceleração da gravidade na superfície do planeta. Se a velocidade média quadrática de um gás
estiver acima de 15% da velocidade de escape, virtualmente todas as moléculas de gás escaparão da
atmosfera do planeta.
a) Em qual temperatura o O2 deve estar para que sua velocidade média quadrática seja tal que vrms =
0.15ve na Terra (RTerra = 6378 km, gTerra = 9,8m/s2 )? E para o H2 qual é essa temperatura?
b) Calcule as temperaturas para as quais as velocidades médias quadráticas do O2 e do H2 são iguais
a 15% da velocidade de escape na superfície da lua, onde glua é cerca de um sexto do valor da
gravidade na superfície do planeta Terra ( Rlua = 1738 km). Isso explica a ausência desses gases na
lua?
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Calores Específicos
7. Considere n moles de um gás ideal constituído por moléculas com f graus de liberdade ativos a
uma dada temperatura T. Mostre que:
a) a energia interna total do sistema é Eint = fnRT/2
b) o calor específico molar a volume constante é CV = fR/2
c) o calor específico molar a pressão constante é CP = (f+2)R/2
d) qual a razão γ = CP / CV ?
8. Suponha que 6 moles de um gás ideal de atômico, com rotação molecular porém sem oscilação,
experimenta um aumento na temperatura de 120 K na condição de pressão constante.
a) Quanto calor foi adicionado ao gás?
b) Qual foi o aumento da energia interna do gás?
c) Quanto trabalho foi feito pelo gás?
d) Calcule o aumento na energia cinética translacional do gás.
9. Um mol de oxigênio (O2) é aquecido à pressão constante a partir da temperatura 0oC. Qual a
quantidade de calor necessária para que esse gás duplique seu volume inicial? Suponha que as
moléculas do gás tenham rotações, mas que a temperatura não seja suficientemente alta para que
elas também possam ter vibrações.
10. Quando 20,9J foram adicionados sob a forma de calor a um gás ideal particular, o volume do
gás variou de 50cm3 para 100cm3, enquanto que a pressão permaneceu constante em 1atm.
a) De quanto variou a energia interna do gás?
b) Se a quantidade de gás presente for de 2.10 –3 mol, determine o calor específico do gás à pressão
constante e à volume constante.
11. Um container armazena uma mistura de três gases não interagentes: n1 moles do primeiro gás
com calor específico molar a volume constante CV1, e assim por diante. Encontre o calor específico
molar a volume constante da mistura, em termos dos calores específicos molares e das quantidades
dos três gases separados.
12. Para um gás diatômico ideal, CV = 5R/2. Um mol deste gás exerce uma pressão p e ocupa um
volume V. Quando o gás é aquecido, sua pressão triplica e o seu volume duplica. Se esse processo
de aquecimento inclui dois passos, o primeiro à pressão constante e o segundo à volume constante,
determine a quantidade de energia transferida para o gás sob a forma de calor.
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Transformações Adiabáticas
13. Um gás ideal inicialmente na pressão p0 realiza uma expansão livre (adiabática, sem trabalho
externo) até um volume final que é três vezes o valor do volume inicial.
a) Qual é a pressão do gás depois da expansão livre?
b) O gás é então comprimindo de forma lenta e adiabática de volta ao seu volume inicial. A pressão
depois da compressão é p = 3 3 p0. Esse gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico?
c) Qual é a energia cinética média por molécula no estado final comparado com aquela do estado
inicial?
14. Um gás ideal diatômico se expande adiabaticamente para um volume 1,35 vezes maior que seu
volume inicial. A temperatura inicial é de 18oC. Encontre a temperatura final.
15. Mostre que as seguintes relações valem para uma expansão reversível adiabática de um gás
ideal:
TV " !1 = c1
Tp
1
!1
"
= c2
A bola de fogo da bomba de fissão de urânio consiste de uma esfera de gás de raio de 12 m e
temperatura de 310000 K imediatamente após a detonação. Supondo que a expansão é adiabática e
que a bola de fogo permanece esférica, estime o raio da bola de fogo quando a temperatura é de
3000 K e quando é de 300 K.(Considere γ= 1,4)
16. Uma câmara termicamente isolada contém n1 moles de gás hélio em alta pressão p1 e
temperatura T1. O gás é então permitido escapar lentamente para a atmosfera, cuja pressão é p0,
através de uma pequena válvula. Mostre que a temperatura final dos n2 moles restantes na câmara é
(p %
T2 = T1 && 0 ##
' p1 $
1"
1
!
com
'p $
n 2 = n1 %% 0 ""
& p1 #
1
!
17. Durante uma expansão adiabática reversível de um gás ideal, a pressão e o volume obedecem a
relação pV = const. Mostre que o trabalho realizado por um gás expandindo-se adiabaticamente do
estado (p1,V1) até o estado (p2,V2) é dado por:
γ
W =
•
p1V1 ! p 2V2
" !1
Entropia
18. Determine a variação na entropia que ocorre quando um cubo de gelo de 27g a -12oC é
transformado, à pressão constante, em vapor a temperatura de 115oC.
19. Um cubo de gelo de 10g a -10oC é colocado em um lago cuja temperatura é 15oC. Calcule a
variação na entropia do sistema cubo de gelo/lago quando o cubo de gelo atingir o equilíbrio
térmico com o lago. O calor específico do gelo é 2220 J/kg K.
20. Em um experimento, 200g de alumínio (com calor específico de 900 J/kg K) a 100oC são
misturados com 50g de água (calor específico 4200 J/kg K) a 20oC, com a mistura termicamente
isolada.
a) Qual a temperatura de equilíbrio?
b) Quais as variações de entropia do alumínio, da água e do sistema água-alumínio?
21. Um mol de um gás monoatômico ideal, inicialmente à pressão de 1 atm e com um volume de
0,025 m3, é aquecido até um estado final com pressão de 2 atm e um volume de 0,04 m3. Determine
a variação da entropia do gás neste processo.
22. Duas quantidades iguais de água, de massa m e temperaturas T1 e T2, são adiabaticamente
misturadas, com a pressão mantida constante. Mostre que a mudança de entropia no universo é
& T + T2
'S univ = 2mc P ln$ 1
$2 TT
1 2
%
#
!
!
"
onde cP é o calor específico da água a pressão constante. Mostre que ΔSuniv > 0.
23. Um mol de hidrogênio gasoso é mantido no lado esquerdo de um recipiente isolado, constituído
por dois compartimentos iguais, ligados por uma válvula que se encontra fechada. Inicialmente o
compartimento do lado direito está completamente vazio. Abre-se a válvula permitindo que o gás
possa fluir para o lado direito. Qual a variação total da entropia quando o sistema atingir o estado de
equilíbrio? Há alguma variação de temperatura?
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Ciclos e Máquinas Térmicas
24. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido ao seguinte ciclo: transformação isocórica
(volume constante) de volume Va=10−3 m3 de um estado A até o estado B onde a pressão é pb=10
atm; expansão adiabática do estado B até o estado C onde o volume é 8Vb; transformação isobárica
do estado C de volta ao estado A. Calcule :
a) o calor adicionado ao gás,
b) o calor perdido pelo gás
c) o trabalho líquido realizado pelo gás e a eficiência do ciclo.
25. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido a seguinte ciclo: expansão isobárica à
pressão p0 de um ponto A onde o volume é V0 até o ponto B onde volume é 4V0; transformação
isocórica do ponto B até o ponto C, onde a pressão é 2p0; e uma compressão do ponto C de volta ao
ponto A.
a) Quanto trabalho é realizado pelo gás partindo de A até C na trajetória abc?
b) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia indo de B até C?
c) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia ao se realizar o ciclo completo?
Expresse todas as respostas em termos da pressão p0, do volume V0 e da temperatura inicial T0 no
ponto A.
26. No ponto A de um ciclo de Carnot, 2,34 moles de um gás ideal monoatômico tem uma pressão
de 1400 kPa, volume de 10 litros e uma temperatura de 720K. Ele se expande isotermicamente até o
ponto B e, então, expande-se adiabaticamente até o ponto C, onde o seu volume é de 24 litros. Uma
compressão isotérmica o leva ao ponto D, onde seu volume passa a ser de 15 litros. Um processo
adiabático faz o gás retornar ao ponto A.
a) Determine a todas as pressões, volumes e temperaturas desconhecidos na tabela abaixo.
b) Encontre a energia adicionada na forma de calor, o trabalho realizado pela máquina e a mudança
na energia interna para cada uma das etapas de A para B, de B para C, de C para D, de D para A.
c) Calcule o rendimento Wmaq/ |Qabs|. Demonstre que ele é igual ao rendimento da máquina de
Carnot.
estado
A
B
C
D
P (kPa)
1400
V (litros)
10
T (K)
720
24
15
27. Demonstre que para um refrigerador ideal de Carnot o trabalho realizado pelo motor, W,
relaciona-se com o calor absorvido do reservatório frio, Qf , e as temperaturas dos reservatórios frio
e quente, Tf e Tq, respectivamente, da seguinte forma:
W = Qf
Tq ! T f
Tf
a) Para um refrigerador cujas bobinas de refrigeração estão na temperatura de -13oC, e cujo gás
comprimido no condensador encontra-se na temperatura de 26oC, qual é o coeficiente teórico de
rendimento?
b) Se o motor do refrigerador estiver com potência de 200W, qual é a quantia máxima de calor que
pode ser extraída do congelador em dez minutos quando a temperatura do congelador é de 270K e a
temperatura do exterior de 300K?
28. Uma máquina de Carnot que funciona entre as temperaturas T1 e T2 (T1 > T2), fornece trabalho
a um refrigerador de Carnot, que trabalha entre as temperaturas T3 e T4 (T3 > T4), conforme ilustra a
figura. Encontre a razão do calor liberado pelo refrigerador para o reservatório na temperatura T3
em relação ao calor absorvido do reservatório à temperatura T1 pela máquina, isto é, |Q3| / |Q1| em
termos das quatro temperaturas.
29. Em 1827, Robert Stirling, um clérigo escocês, inventou a máquina de Stirling, para a qual se
tem encontrado uma variedade de aplicações desde então. O combustível é queimado externamente
para aquecer um dos dois cilindros da máquina. Uma quantidade fixa de gás inerte move-se
ciclicamente entre os cilindros, expandindo-se no quente e se contraindo no frio. A figura abaixo
representa um modelo para seu ciclo termodinâmico. Considere n moles de um gás monoatômico
ideal que está atravessando uma vez o ciclo, consistindo em dois processos isotérmicos às
temperaturas 3Ti e Ti e em dois processos a volume constante. Determine, em termos de n, R e Ti, o
calor líquido transferido ao gás e o rendimento da máquina.
30. O ciclo de Otto na figura abaixo modela a operação do motor de combustão interna de um
automóvel. Uma mistura de vapor de gasolina e ar é injetada em um cilindro enquanto o pistão
abaixa durante o curso A da entrada. O pistão sobe para a extremidade fechada do cilindro para
comprimir adiabaticamente a mistura no processo de A para B. A razão r = V1/V2 é a razão de
compressão do motor. Em B a gasolina é inflamada pela vela e a pressão eleva-se rapidamente
enquanto ela se queima no processo de B para C. No curso de potência de C para D, os produtos da
combustão se expandem adiabaticamente enquanto forçam o pistão para baixo. Os produtos da
combustão esfriam mais ainda em um processo isocórico de D para A e no curso de A para O da
exaustão, quando os gases de exaustão são eliminados do cilindro. Suponha que um único valor da
razão de capacidades caloríficas caracteriza tanto a mistura ar-combustível quanto os gases de
exaustão após a combustão. Prove que o rendimento do motor é 1 " r
•
1"!
Interpretação Estatística da Entropia
31. Considere o lançamento de dois dados. Construa uma tabela com o número de microestados
correspondentes a cada macroestado possível. Quais são os macroestados mais e menos prováveis?
Em termos de entropia qual o macroestado mais desordenado? E o mais ordenado?
32. Uma caixa fechada contém N moléculas idênticas. Considere três configurações: a configuração
A com uma divisão igual de moléculas entre as duas metades da caixa, a configuração B com 60%
das moléculas na metade esquerda da caixa e 40% na metade direita e a configuração C com todas
as moléculas na metade esquerda da caixa. Determine a multiplicidade (o número de microestados
independentes) para cada configuração e as razões entre o tempo que o sistema passa na
configuração A e o tempo que passa em cada uma das outras configurações B e C (tA/tB e tA/tC),
quando:
a) N = 50
b) N = 200
•
Potenciais Termodinâmicos
33. Um mol de calcita, CaCO3, transforma-se em aragonita com um aumento ΔU = 0,22 kJ na
energia interna. Calcule as variações na entalpia e na entropia quando esse processo se realiza a
uma pressão constante p = 1,0 bar. As densidades da calcita e da aragonita são ρc = 2,71 g/cm3 e ρa
= 2,93 g/cm3, respectivamente.
34. Calcule a diferença entre ΔU e ΔH quando um mol de estanho escuro (densidade de 5,75 g/cm3)
transforma-se em estanho branco (densidade de 7,31 g/cm3) a uma pressão de 10,0 bar.
35. A variação de entalpia acompanhando a formação de um mol de NH3 na forma gasosa a partir
de seus elementos é dada por ΔH = - 46,1 kJ. Qual a variação da energia interna quando esse
processo ocorre a 300K?
36. Utilize o princípio de Clausius, dS ! dQ/T, e a definição da energia livre de Gibbs para mostrar
que dG ! SdT − pdV .
37. Calcule a variação da energia livre de Gibbs para formar N2O4 gasoso a partir de NO2 gasoso
em condições normais de temperatura e pressão. Sabe-se que a variação de entropia nessa reação é
de + 175,8 J/ K.mol.
38. Medidas calorimétricas mostram que a variação da entropia na oxidação do ferro em Fe2O3
sólido é de ΔS = - 272 J/Kmol. Esse processo ocorre espontaneamente à 20oC? A entalpia de
formação de um mol de óxido de ferro no processo é de ΔH = - 824,2 kJ/mol.