METAS CURRICULARES PARA O ENSINO SECUNDÁRIO – MATEMÁTICA A
Caderno de Apoio
10.º ANO
António Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Luísa Loura, Maria Clementina Timóteo
INTRODUÇÃO
Este Caderno de Apoio constitui um complemento ao documento Metas Curriculares de
Matemática do Ensino Secundário – Matemática A. Na elaboração das Metas Curriculares
utilizou-se um formato preciso e sucinto, não tendo sido incluídos exemplos ilustrativos dos
descritores. Neste documento apresentam-se várias sugestões de exercícios e de problemas,
comentários relativos a algumas opções tomadas no documento principal e informações
complementares para os professores.
Procurou-se realçar os descritores que se relacionam com conteúdos e capacidades
atualmente menos trabalhados no Ensino Secundário embora se tenham incluído também
outros de modo a dar uma coerência global às abordagens propostas. Estas escolhas não
significam, porém, que se considerem menos relevantes os descritores não contemplados.
Longe de se tratar de uma lista de tarefas a cumprir, as atividades propostas têm um caráter
indicativo, podendo os professores optar por alternativas que conduzam igualmente ao
cumprimento dos objetivos específicos estabelecidos nas metas. Aos exemplos apresentados
estão associados três níveis de desempenho. Os que não se encontram assinalados com
asteriscos correspondem a um nível de desempenho regular, identificando-se com um ou dois
asteriscos os exemplos que correspondem a níveis de desempenho progressivamente mais
avançados.
Para além das sugestões de exercícios e problemas a propor aos alunos entendeu-se
incluir também textos de apoio para os professores. Destinam-se a esclarecer questões de
índole científica que fundamentam os conteúdos do Programa e que poderão ajudar à seleção
das metodologias mais adequadas à lecionação.
Caderno de Apoio 10.º ano – Introdução
Página 1
10.º ANO
Níveis de Desempenho
Lógica e Teoria dos Conjuntos LTC10
Descritor
Texto de Apoio
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Comentário
Nos descritores 1.3 e 1.8 introduzem-se a equivalência e a implicação como “operações
binárias”, cada uma delas transformando um par de proposições numa nova proposição, a
exemplo do que noutros descritores (1.6 e 1.7) sucede com a conjunção e a disjunção e, de
modo análogo, com a negação (cf. 1.4), neste caso aplicada apenas a uma proposição
(“operação unária”). Todas essas operações são definidas de tal modo que é sempre possível
determinar o valor lógico do resultado conhecendo o valor lógico dos operandos; em
particular, não considerando agora o caso mais trivial da negação, a caracterização de cada
uma delas permite sempre construir uma tabela de dupla entrada (caso particular de «tabela
de verdade»), com duas linhas e duas colunas, na qual se pode ler o valor lógico do resultado
de aplicar a operação a um par de proposições em que o primeiro elemento tem o valor lógico
indicado na linha e o segundo o valor lógico indicado na coluna.
Conjunção
Disjunção
Equivalência
Implicação
Utilizando propriedades simples das diversas operações (cf., por exemplo, os descritores 1.5,
1.10, 1.11 e 1.13) conclui-se que qualquer delas pode ser substituída, sem que se altere o valor
lógico do resultado, por aplicação sucessiva de operações de negação e de disjunção, ou, em
alternativa, de negação e de conjunção, ou ainda de negação e de implicação; ou seja, no que
respeita aos valores lógicos dos resultados, poderíamos restringir as operações apenas à
negação e a uma das três operações de conjunção, disjunção ou implicação. Por exemplo, em
função da negação e da conjunção, dadas proposições e ,



é equivalente a
é equivalente a
é equivalente a
;
.
Fica assim patente que, do ponto de vista estritamente lógico, não haveria razão para distinguir
as operações de equivalência e implicação das restantes, no que diz respeito ao uso dos
respetivos símbolos na linguagem matemática corrente. No entanto, começando pela
equivalência, é de notar que a caracterização desta operação é particularmente simples,
resumindo-se a estabelecer que o resultado é uma proposição verdadeira ou falsa consoante as
proposições operandas tenham ou não o mesmo valor lógico; assim, afirmar a veracidade de
uma equivalência é outro modo de exprimir a identidade dos valores lógicos das proposições
operandas. Como uma afirmação deste tipo ocorre frequentemente em Matemática, torna-se
particularmente útil abreviar a respetiva escrita; por esse motivo convenciona-se que a
afirmação de que determinada equivalência é verdadeira pode ser expressa escrevendo muito
simplesmente essa equivalência, quando fique claro, do modo como a frase está redigida, que
Caderno de Apoio – LTC10
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não há outra interpretação possível. Desta forma, é comum, dadas proposições e , escreverse simplesmente «
para significar que «a proposição
é verdadeira», ou seja, que
« e têm o mesmo valor lógico», e exprime-se esse facto dizendo-se que « é equivalente a
» ou « e são equivalentes». O “abuso de linguagem” consiste em substituir uma afirmação
acerca de proposições formais, entendidas como objetos matemáticos que pretendem modelar
aspetos do nosso discurso (no quadro de uma teoria matemática que pode ser designada por
“Cálculo Proposicional”) ou seja, uma afirmação em linguagem corrente acerca de
determinados objetos matemáticos (neste caso, por exemplo, «as proposições e têm o
mesmo valor lógico»), por um desses objetos (neste caso,
), porque esse objeto-proposição é interpretado intuitivamente como uma “afirmação” do nosso discurso, que por
isso mesmo se considera verdadeira ao ser simplesmente enunciada; por outras palavras:
mistura-se linguagem matemática, neste caso interna ao Cálculo Proposicional, com “meta-linguagem”. Na redação dos descritores 1.5, 1.12, 1.13, e 1.14, por exemplo, utilizou-se esta
convenção.
No caso da implicação, a caracterização é uma vez mais muito simples, pois uma implicação só
é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente falso. Assim, a veracidade de uma
implicação significa que a situação anterior não tem lugar, ou seja, que não se tem
simultaneamente o antecedente verdadeiro e o consequente falso. Na prática, a implicação é
muitas vezes utilizada em situações em que se desconhecem à partida os valores lógicos do
antecedente e do consequente; nesses casos, a informação de que a implicação é verdadeira
permite prever que, se estabelecermos a veracidade do antecedente, ficaremos
automaticamente com a certeza da veracidade do consequente, mas a veracidade da
implicação em conjunto com a afirmação da falsidade do antecedente, só por si, nada permite
dizer acerca do valor lógico do consequente, já que uma implicação de antecedente falso tanto
é verdadeira se o consequente for verdadeiro como se for falso. Esta descrição do papel da
implicação revela que esta operação lógica traduz o que em linguagem corrente também se
pode exprimir na forma «se…., então…», nos referidos casos em que não se pressupõe o
conhecimento dos valores lógicos do antecedente e do consequente. Afirmações deste tipo
também têm um papel crucial em Matemática, o que evidencia a utilidade de se usar a própria
implicação, sem mais, para, integrada em determinado discurso, indicar a respetiva veracidade.
Trata-se, de novo, de um abuso de linguagem no sentido já referido, utilizado por exemplo no
descritor 1.8.
O estudo destas operações é uma oportunidade para rever a abordagem iniciada no Ensino
Básico da noção de condição necessária e condição suficiente e do uso do símbolo de
implicação (cf. Programa e Metas Curriculares - Ensino Básico – Matemática, GM9-1.5).
eu
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
Comentário
Os resultados expressos neste conjunto de descritores podem ser demonstrados recorrendo a
técnicas muito semelhantes, elaborando, por exemplo, tabelas de verdade, embora também se
possam utilizar argumentos que envolvam apenas diretamente as caracterizações apresentadas
das operações, ou ainda, em certos casos, recorrendo a propriedades já verificadas
previamente. Não será pois necessário trabalhar exaustivamente as provas associadas a cada
um destes descritores, devendo-se no entanto garantir que os alunos conhecem estes
resultados bem como as técnicas base que levam à respetiva justificação. As tabelas de verdade
a utilizar em situações envolvendo mais do que duas proposições poderão consistir em quadros
com uma coluna para cada proposição e, em seguida, uma coluna para cada uma das
operações sucessivamente a efectuar com as proposições, até se chegar à expressão final que
pretendemos testar ou até ser possível, por inspeção, concluir a equivalência, em todos os
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casos, de determinadas proposições; tais tabelas deverão ter tantas linhas quantas as
necessárias para contemplar todas as possibilidades de sequências de valores lógicos para as
proposições operandas (portanto
linhas, sendo o número de proposições operandas). Por
exemplo, para estabelecer a propriedade distributiva da conjunção relativamente à disjunção
podemos utilizar a seguinte tabela:
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
Para preencher cada coluna relativa a uma operação limitámo-nos a utilizar o conhecimento da
tabela de verdade dessa operação e os valores lógicos das proposições operandas constantes,
nessa mesma linha, das colunas anteriores que lhes correspondem. A identidade dos valores
lógicos representados em cada linha nas quinta e oitava colunas revela que as proposições
e
têm sempre o mesmo valor lógico, ou seja, são sempre
equivalentes. Não é assim necessário completar a tabela com uma coluna relativa à proposição
(
)
(
); tal coluna seria, evidentemente, inteiramente preenchida
com o símbolo «V», ou seja, a expressão a que se refere é o que se chama uma «tautologia», por
ser verdadeira independentemente dos valores lógicos das proposições
e .
Em lugar de utilizarmos a tabela de verdade, para demonstrarmos esta propriedade poderíamos
argumentar de modo mais discursivo, fazendo notar, por exemplo, que a proposição
, tratando-se de uma conjunção, é verdadeira se e somente se e
forem ambas
verdadeiras. Basta-nos então verificar que o mesmo se passa com a proposição
; ora, por um lado, esta proposição é obviamente verdadeira se e
o
forem ambas, pois, nesse caso, ou é verdadeira e portanto
também o é, ou, caso
contrário, é verdadeira (já que
o é) e então
é verdadeira. Assim pelo menos uma das
proposições
ou
tem de ser verdadeira, ou seja,
é verdadeira.
Reciprocamente, se
for verdadeira, uma pelo menos das conjunções
ou
é verdadeira; assim, em qualquer caso, é verdadeira (é operanda de ambas as
conjunções) e uma das proposições ou também tem de o ser (cada uma delas é operanda
numa das conjunções). Mas nesse caso é verdadeira também a disjunção
. Assim, como
pretendíamos, a proposição
é verdadeira se e somente se e
o forem
ambas, tal como a proposição
; trata-se assim de proposições equivalentes.
1.16
1. Considere proposições e tais que é falsa e
de cada uma das seguintes proposições:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
Caderno de Apoio – LTC10
é verdadeira. Indique o valor lógico
Página 4
2. Considere proposições e . Simplifique as seguintes expressões que definem proposições
e indique, sempre que possível, o respetivo valor lógico.
2.1.
2.2.
2.3.
]
2.4. * [
]
2.5. * [
3. *Determine o valor lógico das proposições
3.1
é falsa.
3.2
é verdadeira.
4. *Sabe-se que
de , de e de ?
2.1
e sabendo que a proposição:
é uma proposição verdadeira. Qual o valor lógico
Informação Complementar para o professor
As condições mais primitivas que permitem a construção dos conjuntos básicos que intervêm
nas teorias matemáticas envolvem variáveis representadas por letras e que, intuitivamente,
representam objetos genéricos da Matemática os quais não constituem, à partida, um
conjunto. Desta forma, nesses casos, as variáveis podem ser substituídas por quaisquer
“termos” (expressões representando objetos matemáticos), sem que se limite à partida essa
substituição a elementos de um conjunto pré-fixado, e tal substituição conduz sempre a uma
expressão admissível, trate-se ou não de uma proposição verdadeira. Por exemplo, a condição
, negação da condição
, permite definir o chamado conjunto vazio (no sentido
expresso no descritor 2.10) e, sendo já dados dois conjuntos e , a condição
permite definir o conjunto união de e . A possibilidade de construir um conjunto através de
uma dada condição com uma variável fica regulada pelos axiomas utilizados para a Teoria dos
Conjuntos, sendo certo que nem todas as condições admissíveis permitem definir um conjunto
no sentido acima referido (cf. o Comentário aos descritores 2.10 e 2.11). À medida que se vão
definindo conjuntos através de condições progressivamente mais elaboradas e introduzindo as
habituais abreviaturas da linguagem matemática é depois usual utilizar condições em cuja
formulação fica explícito ou implícito que todos os objetos que a transformam numa
proposição verdadeira, por substituição da variável por um termo representando um desses
objetos, pertencem a determinado conjunto já definido; uma tal condição pode assim
considerar-se associada a determinado conjunto que pode ser designado por “universo” dessa
condição e que se sabe a priori conter todos os objetos que satisfazem a referida condição. Do
mesmo modo, nas condições utilizadas na linguagem comum, habitualmente considera-se
implícita ou explicitamente que a variável representa um objecto genérico de determinado
domínio de variação que se supõe fixado.
2.2
2.4
Comentário
Como notações alternativas para os quantificadores, utilizam-se também, por exemplo, as
seguintes:
e
e
e
Caderno de Apoio – LTC10
Página 5
Uma variante também por vezes utilizada desta última notação consiste em colocar o
diretamente abaixo do símbolo de quantificador, em vez de o colocar em índice. Quando se
utilizam as duas primeiras notações é também usual colocar entre parêntesis a expressão que
se pretende quantificar, como por exemplo em
, ou seja, não se considera
a prioridade das operações lógicas relativamente aos quantificadores que está implícita na
notação utilizada nos descritores deste objetivo geral.
O facto de se introduzirem símbolos para os quantificadores não significa, evidentemente, que
em textos de Matemática se abuse da utilização desses símbolos ou dos símbolos das
operações lógicas. Em muitos casos deverá utilizar-se a linguagem comum para exprimir da
maneira mais clara possível os conteúdos matemáticos que se pretende transmitir.
2.3
2.5
1. Considere as condições «
», «
», «
», «
», «
»e«
».
1.1. Indique as que são universais, as que são possíveis e as que são impossíveis.
1.2. *Tendo em conta a alínea anterior, para cada uma das seguintes condições, indique se é
possível, impossível ou universal:
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
2. *Mostre que a disjunção de qualquer condição com uma condição universal é uma
condição universal, que a disjunção de qualquer condição com uma condição possível é
uma condição possível e que a conjunção de qualquer condição com uma condição
impossível é uma condição impossível.
2. 6
Comentário
Neste descritor indica-se, sem à partida se exigir qualquer justificação, como se relacionam os
quantificadores universal e existencial através da negação. No entanto estas relações traduzem
propriedades intuitivas que podem ser motivadas pela análise de exemplos concretos de
utilização dos quantificadores na linguagem corrente (cf. exemplos no texto de apoio ao
descritor 2.9). Qualquer destas equivalências pode também informalmente justificar-se
interpretando a proposição que resulta de aplicar o quantificador universal (respetivamente
existencial) a uma condição
como o resultado de se unir por conjunções (respetivamente
disjunções) todas as proposições
( um objeto arbitrário), notando que pela
comutatividade e associatividade da conjunção (respetivamente da disjunção), podemos
intuitivamente atribuir significado a estas “operações generalizadas” sobre proposições. Deste
modo as referidas equivalências podem ser interpretadas como extensões das primeiras Leis de
De Morgan a estas “conjunções e disjunções generalizadas”.
Embora tal não seja requerido, é fácil concluir que uma das propriedades pode ser deduzida da
outra, ou seja, admitindo, por exemplo, que, dada uma condição
, (
)
, (
(
) podemos provar que, dada uma condição
)
(
), e,
reciprocamente, admitindo esta propriedade podemos provar a primeira. Para provar que é
verdadeira a segunda equivalência, dada uma condição
, basta aplicar a primeira
equivalência à condição
e em seguida o facto de uma equivalência entre duas
proposições ser verdadeira quando e apenas quando as proposições têm o mesmo valor lógico,
para além de se utilizar o princípio da dupla negação. Obtemos assim sucessivamente:
Caderno de Apoio – LTC10
Página 6
, que é equivalente a (
(
)
)
portanto a (
)
(
), também equivalente, obviamente, a (
(
), como pretendíamos. A recíproca pode ser provada de modo idêntico.
e
)
Uma formalização plena do tratamento dos quantificadores fica fora do âmbito deste estudo
introdutório da Lógica, mas a aceitação sem demonstração de uma das equivalências expressas
neste descritor corresponde a tomá-la como axioma.
2.7
2.8
Comentário
O quantificador universal é frequentemente utilizado em Matemática em conjunto com as
operações de implicação e de equivalência, por exemplo a propósito da resolução de equações
e inequações. Muitas vezes pretende-se estabelecer uma cadeia de implicações ou de
equivalências entre condições provando-se que cada uma dessas implicações ou equivalências
é uma condição universal em determinado conjunto, partindo-se da condição que exprime a
equação ou inequação a resolver até se chegar a uma que se considera como suficientemente
simples para a partir dela se poderem tirar conclusões acerca das soluções da inicial. Por
exemplo, no conjunto
, cada uma das seguintes equivalências é uma condição universal:
pretendendo-se, com esta apresentação, indicar a conjunção de todas as equivalências
representadas. Pode utilizar-se a mesma convenção com conjunções de implicações ou mesmo
de equivalências e implicações.
Em primeiro lugar há que notar que se se tratar de uma cadeia de implicações apenas
poderemos concluir que as soluções da equação ou inequação inicial são soluções também da
última, ou seja o conjunto-solução da primeira está contido no conjunto-solução da última (cf.
o descritor 2.15). Este processo apenas circunscreve o conjunto no qual deveremos ainda
procurar as soluções pretendidas, testando-se, para o efeito, por algum processo (uma a uma,
por exemplo, se se tratar de um conjunto finito), quais são efetivamente soluções da equação
ou inequação inicial (é o caso de algumas equações com radicais). Se se tratar de uma cadeia de
equivalências, já poderemos garantir que os conjuntos-solução da primeira e última condições
são iguais (cf. o descritor 2.11) e a última condição é então o que muitas vezes se designa por
“solução” da equação ou inequação inicial, de acordo com o que é requerido para cada tipo de
problema.
Por vezes comete-se o abuso de linguagem que consiste em omitir o quantificador universal
quando se pretende exprimir que uma implicação ou equivalência entre duas condições é
universal em determinado conjunto, o que é admissível se não houver perigo de ambiguidade
com este procedimento. Ou seja, estando entendido, por exemplo, que estamos a considerar
como número real, escreve-se por vezes apenas:
com o significado de:
Caderno de Apoio – LTC10
Página 7
É de salientar a importância do uso correto da implicação e da equivalência, em conjunto com o
quantificador universal, no contexto da resolução de equações e inequações. Apresenta-se em
seguida um exemplo que pode ser utilizado como ilustração.
1. Complete com
e
as seguintes condições (substituindo as reticências por um destes
símbolos), de modo que sejam universais em :
1.1
…
1.2
1.3
1.4
|
1.5 |
Comentário
As propriedades das operações de conjunção e disjunção relativas a condições universais,
possíveis e impossíveis referidas nos descritores 2.3, 2.5 e 2.6 estendem-se, mutatis mutandis,
ao caso de condições universais, possíveis e impossíveis num dado conjunto (cf. texto de
apoio ao descritor 2.9, exemplos 4 e 5). Apresenta-se, em seguida, um exemplo de aplicação
dessas propriedades.
2. Para cada uma das condições «
», «
»e«
» indique se é universal,
possível ou impossível em e o que daí pode concluir, a esse mesmo respeito, acerca das
condições:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.9
1. Escreva afirmações equivalentes à negação das seguintes proposições, utilizando as
segundas leis de De Morgan:
1.1 «Existe um colega na minha turma que não tem irmãos»;
1.2 «Todas as pessoas que estão nesta sala estão a usar um chapéu».
{
} e seja
2. Considere o conjunto
a condição é número primo» e
a
condição « é múltiplo de ».
2.1 Indique o valor lógico de cada uma das proposições: «
», «
».
2.2 Para cada uma das proposições consideradas na alínea anterior, escreva uma
proposição, começando com um quantificador, equivalente à respetiva negação,
traduzindo-a também em linguagem corrente.
2.3 Quanto a cada uma das condições
e
indique se é
possível, impossível ou universal em .
3. Mostre que as seguintes afirmações são falsas, apresentando um contra-exemplo:
3.1 Todos os quadriláteros do plano têm diagonais iguais.
3.2 Todos os números ímpares são primos.
3.3 Todos os números primos formados por dois algarismos têm os algarismos
distintos.
Caderno de Apoio – LTC10
Página 8
4. *Dado um conjunto e uma proposição
, escreva, na forma de uma implicação
quantificada, a proposição
e utilize as segundas Leis de De Morgan para
determinar uma proposição equivalente à respetiva negação, escrevendo-a também na
forma abreviada.
5. *Dado um conjunto e uma proposição
, mostre que se
for uma proposição
universal em , então
é uma condição impossível em e se
for uma
proposição impossível em , então
é uma condição universal em .
6. **Dado um conjunto mostre que a disjunção de qualquer condição com uma condição
universal em é uma condição universal em , que a disjunção de qualquer condição com
uma condição possível em é uma condição possível em e que a conjunção de qualquer
condição com uma condição impossível em é uma condição impossível em .
2.10
2.11
Informação Complementar para o professor
O descritor 2.11 exprime a ideia intuitiva de que “dois conjuntos são iguais quando e apenas
quando têm os mesmos elementos”, estabelecendo assim o princípio essencial para o uso dos
símbolos de igualdade (« ») e de pertença (
, que representam as duas relações básicas
da Matemática; deste modo, a notação {
} introduzida em 2.10 fica associada a um
conjunto bem determinado, no sentido em que se existir um conjunto tal que
então qualquer conjunto tal que
será igual a . A relação
traduz a ideia intuitiva de que os símbolos
e
representam o mesmo objeto, e é nesse
sentido que podemos dizer que fica “bem determinado” pela condição (em )
. Resulta deste princípio que a igualdade de dois conjuntos e definidos em
compreensão respetivamente pelas condições
e
significa que é universal a condição
.
No enunciado do descritor 2.10 não se pressupõe que, fixada uma condição
, exista
sempre um conjunto com a propriedade nele referida. Com efeito, embora não se pretenda
aqui desenvolver aspetos mais delicados dos fundamentos da Teoria do Conjuntos, há que ter
em conta que, em formalizações habituais desta teoria surgem condições
para as quais
não existe nenhum conjunto tal que
, ou seja, nesses casos não existe o
conjunto {
}: diz-se nesta situação que a condição
«não é coletivizante». Um
exemplo famoso é a condição
, que dá origem ao chamado «Paradoxo de Russel»,
enunciado por Bertrand Russel no início do século XX e que pôs em causa os fundamentos
apresentados por Gottlob Frege para a Teoria dos Conjuntos; com efeito, se existisse um
conjunto
{
} teríamos
, pelo que teria de ser
verdadeira, em particular, a proposição que resulta de substituir por em
, ou seja, teria de ser verdadeira a proposição
, o que não é possível, pois
uma proposição e a respetiva negação não podem ter o mesmo valor lógico. No entanto, em
tudo o que se segue, sempre que for definido um conjunto através de uma condição,
pressupor-se-á, evidentemente, que tal conjunto existe, no sentido em que, numa formalização
adequada da Teoria dos Conjuntos, essa existência poderia ser provada (ou, em particular, seria
um axioma).
2.12
Comentário
Neste descritor fixa-se a nomenclatura habitual (« é um elemento do conjunto ») para
referir um objeto quando se pretende indicar que se verifica a relação
e introduz-se a
} ) para representar «em extensão» um conjunto cujos
notação corrente ( {
Caderno de Apoio – LTC10
Página 9
elementos sejam exatamente determinados objetos
, ou seja, quando pode ser
definido pela condição
. É importante notar que desta definição
}, ao contrário da sequência
resulta imediatamente que o conjunto {
, não
depende da ordem pela qual os respetivos elementos são indicados nem do número de vezes
que um dado elemento do conjunto aparece nesta notação; assim por exemplo temos:
{
}
{
Embora, evidentemente, as sequências
distintas.
2.19
2.20
}
{
},
e
sejam, duas a duas,
Informação Complementar para o professor
No 9.º ano abordaram-se algumas noções acerca da axiomatização das teorias matemáticas,
que podem ser revistas a propósito destes tópicos do programa do 10.º ano (cf. Metas
Curriculares do Ensino Básico de Matemática, GM9, objetivo geral 1). Introduziram-se nessa
altura alguns termos usuais nesse contexto, como «teorema», «hipótese», «tese»,
«demonstração», bem como o símbolo de implicação e as noções de «condição necessária» e
de «condição suficiente». Em muitos casos a demonstração de um teorema pode ser entendida
como a verificação de que determinada implicação é “verdadeira” ou, mais propriamente, que
é uma condição universal, o que pode ser traduzido indicando que determinada condição é
suficiente para uma outra ou que esta é condição necessária para a primeira; noutros casos
trata-se de verificar que uma implicação é “falsa” ou, mais propriamente, que não é uma
condição universal. Nestes descritores apresentam-se determinadas equivalências envolvendo
implicações quantificadas e exploram-se os processos de demonstração de certos teoremas
que delas resultam, introduzindo-se designações adequadas para esses processos. Muitas
vezes designa-se por «demonstração por absurdo» uma dada demonstração por contrarecíproco, pois podemos verificar que
provando que, para um genérico,
é falsa a proposição
(equivalente à negação da implicação inicial) e por vezes
esta conclusão resulta de se poder deduzir a negação de algum teorema já conhecido supondo
que é verdadeira uma das proposições
, o que se traduz dizendo-se que “se
chegou a um absurdo”. Ou seja, pressupondo que certo satisfaz a condição
(hipótese do
teorema) e a negação da condição
(tese do teorema), o que é equivalente à negação da
proposição que se pretende demonstrar, “chega-se a um absurdo”, porque desse pressuposto
se deduz uma proposição que sabemos ser falsa. No entanto, em certo sentido, este processo
de «demonstração por absurdo» é formalmente distinto do método dito de «contrarecíproco», pois, de facto, consiste em considerar a Teoria que se obtém acrescentando a
negação da proposição a demonstrar aos axiomas da Teoria em que se insere e mostrando que
essa nova teoria é contraditória, deduzindo da nova axiomática um determinado teorema e a
respetiva negação.
1. Justifique que as seguintes proposições são falsas:
1.1. Qualquer número natural que seja múltiplo de 5 é múltiplo de 10;
1.2. Qualquer quadrilátero que tenha os quatro lados iguais é um quadrado;
1.3. Qualquer quadrilátero que tenha os ângulos iguais também tem os lados iguais.
2. Escreva os contra-recíprocos das proposições indicadas no exercício anterior.
3. Demonstre por contra-recíproco que se o quadrado de um dado número natural
é ímpar.
Caderno de Apoio – LTC10
Página 10
é ímpar,
4. Demonstre por contra-recíproco que se, em dado plano, uma reta é paralela a outras duas
retas e , então e são paralelas entre si.
5. *Considere condições
e
são equivalentes as proposições
(
) e
6. Considere condições
e
.
. Mostre que são equivalentes as proposições
.
e
3.1
. Utilizando as segundas Leis de De Morgan, mostre que
1. Indique o valor lógico das seguintes proposições:
1.1
é um número primo e não é um número primo;
1.2 Tanto √ como são números irracionais;
1.3
é múltiplo de e de ;
1.4
é múltiplo de ou de ;
1.5
é um número primo ou
é múltiplo de .
2. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
2.1. é igual a
ou a
;
2.2.
é um número múltiplo de ou de ;
2.3.
2.4.
é um número primo e par;
2.5. √ é um número irracional maior que ;
2.6. √
√
√
√
√ ;
3. Considere as proposições
: √ é um número irracional;
:√
;
:
.
√
3.1. Indique o valor lógico de cada uma delas.
3.2. Traduza em linguagem corrente, sem utilizar a palavra «não», as seguintes
proposições e indique o respetivo valor lógico:
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
4. Identifique as operações lógicas e as proposições elementares envolvidas em cada uma das
seguintes proposições e escreva-as em linguagem simbólica.
(por exemplo, «Se √
simbolicamente por
então ou (√
sendo
√
)
(√
,
(√
)
)
» pode traduzir-se
e
(√
)
4.1. 5163 é múltiplo de 3 se e só se a soma do valor dos algarismos desse número for um
múltiplo de 3.
4.2. *Nem 102 é um número ímpar nem √ é um número racional.
4.3. * Como 3400 termina por dois zeros então é múltiplo de , de e de .
Caderno de Apoio – LTC10
Página 11
5. ** Considere as proposições
: «Está a chover»;
: «O Carlos sai de casa»;
: «O Carlos tem aulas».
Utilizando operações lógicas entre , e , escreva a seguinte proposição em linguagem
simbólica:
«O Carlos não sai de casa quando está a chover, a menos que tenha aulas».
6. ** Considere uma operação ̇ , dita «ou exclusivo» ou «disjunção exclusiva», tal que, dadas
proposições e , ̇ é verdadeira quando e apenas quando e têm valores lógicos
distintos e resolva as seguintes questões:
6.1 Dadas proposições e , construa uma proposição equivalente a ̇ partindo
de e e utilizando apenas as operações
e .
6.2 Indique, justificando, se, dadas proposições e , algumas das seguintes
proposições é sempre verdadeira:
̇
a.
̇
b.
̇
c.
̇
d.
3.2
1. Considere as seguintes condições definidas em :
: é um número primo
: é múltiplo de
: é divisor de
: é inferior a
Defina em extensão cada um dos seguintes conjuntos:
{
}
{
}
{
}
{
}
2. Considere os seguintes conjuntos de números reais:
{
},
{
{
}.
√ }e
Defina, sob a forma de intervalo, ou de união de intervalos disjuntos, os seguintes
conjuntos, considerados como subconjuntos de :
2.1
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6. ̅
2.7. ̅
2.8.
2.9.
4.
5.
6.
3. Considere os seguintes conjuntos:
{
{
}
{
};
Defina em extensão os conjuntos
Caderno de Apoio – LTC10
},
e
.
Página 12
4. Indique se, para qualquer concretização das variáveis no conjunto , se obtêm, das
seguintes condições, implicações verdadeiras, e escreva as respetivas contra-recíprocas.
4.1
(
).
4.2
(
).
4.3
.
4.4 Se um triângulo é retângulo então não é equilátero ( é o conjunto dos triângulos
de um dado plano).
4.5 Se um triângulo é isósceles então não tem ângulos internos retos ( é o conjunto
dos triângulos de um dado plano).
4.6 Se um losango tem as diagonais iguais então é um quadrado ( é o conjunto dos
losangos de um dado plano).
4.7 Um triângulo tem um ângulo externo agudo quando é obtusângulo ( é o
conjunto dos triângulos de um dado plano).
4.8
.
4.9
.
5. Demonstre, por contra-recíproco que se um número natural
não é divisível por .
Caderno de Apoio – LTC10
não é divisível por , então
Página 13
Álgebra ALG10
Descritor
1.1
1.2
Texto de Apoio
1. Sendo e dois números reais tais que
1.1 Prove que
e que
1.2 *Prove que se para um dado
,
.
se tem
, então
.
Observação: O método de indução será tratado no 11.º ano. Contudo, este tipo de atividade
em que se demonstra que a propriedade é “hereditária”, pode constituir uma introdução a esse
método de raciocínio.
2.*Sabe-se que dados números e reais tais que
e um número natural , se tem
. Mostre que se
,
se for ímpar e
se for par.
[Sugestão: considere os números positivos – e – .]
1.4
1. Seja
um número natural par e e números reais positivos tais que
.
1.1 Prove que
1.2 *Mostre que, para além de
e de , não existem outras soluções da equação
.
[Sugestão: Comece por observar que qualquer solução terá o mesmo sinal que
uma das duas soluções já conhecidas, seja ela , e, nesse caso, justifique que não
pode ser menor nem maior do que .]
1.6
1.7
Comentário
Os reconhecimentos pedidos na parte final dos descritores, uma vez que ainda não se dispõe
do método de indução, podem consistir na observação de que a propriedade
, quando
, dá origem a ( √ )
√ e que, multiplicando ambos os
√
√
√
membros desta equação repetidas vezes por √ , vamos obtendo sucessivamente
√ , (√ )
(√ )
√ , etc.. Estas observações, não consistindo propriamente numa
demonstração formal, preparam a utilização do método de indução matemática que será
introduzido no 11.º ano. A exemplo do que foi sugerido no texto de apoio aos descritores 1.1 e
1.2 pode elaborar-se um exercício em que se peça aos alunos que demonstrem que a
propriedade que se pretende provar é hereditária.
1.11
Comentário
Embora o processo a que se refere este decritor se designe habitualmente por “racionalização
de denominadores” o que se pretende, mais propriamente, dada uma fração (no sentido geral
de representação do quociente de dois números reais), é transformá-la numa equivalente com
denominador natural e numerador dado pelo produto do numerador original por uma soma em
que cada parcela ou é inteira ou é dada pelo produto de um número inteiro por um produto de
raízes de números inteiros. Ou seja, pretende exprimir-se a divisão original (pelo número
representado no denominador) de uma forma que, para além da divisão por um número
natural, se reduza a multiplicar o numerador original por uma expressão envolvendo apenas
somas cujas parcelas são raízes de números inteiros multiplicadas por números inteiros. Esta
“racionalização de denominadores” facilita em muitos casos obter mentalmente valores
aproximados adequados de determinados números reais, conduzindo portanto a uma forma
mais útil de os representar, e pode ter interesse teórico em situações em que se pretende
efectuar determinado tipo de estimativas.
Caderno de Apoio – ALG10
Página 14
Para além dos casos mais usuais de racionalização de denominadores (considerados neste
descritor), é possível considerar, mais geralmente, frações com denominadores da forma
e
). Podem reduzir-se facilmente, utilizando as
√
√ (
propriedades algébricas das potências e raízes, ao caso √
√ . Esses casos podem ser
tratados, utilizando uma identidade algébrica que é só por si interessante (cf. Texto de apoio ao
descritor FRVR11-7.11, onde se apresenta outra aplicação deste resultado):
Esta fórmula generaliza um dos chamados “casos notáveis da multiplicação” (caso
) e
pode começar por ser verificada para
e
, o que permite facilmente conjeturar o
resultado geral, que poderia ser demonstrado por indução e pode ser justificado analisando as
parcelas que resultam da aplicação da propriedade distributiva no segundo membro da
igualdade.
A título de ilustração, apresenta-se o seguinte exemplo de aplicação:
(√ )
√
√ √
(√ )
√
(√ )
(√ )
onde se utilizou a identidade acima referida com
√ ,
√
√
√ e
√
.
Note-se que esta igualdade permite, por exemplo, obter facilmente o enquadramento
√
√
que é, à partida, pouco evidente. Este cálculo, como é sugerido no exercício seguinte,
corresponde naturalmente a um nível de desempenho muito elevado, não estando
contemplado no descritor 1.11, embora possa ser proposto a alunos particularmente
motivados.
Quando o índice da raiz é uma potência de (como na alínea 1.7 abaixo), o processo pode
simplificar-se, bastando utilizar sucessivas vezes o acima referido caso notável da multiplicação
(dito “diferença de quadrados”).
1. Racionalize os denominadores das seguintes frações:
1.1.
;
√
1.2.
;
√
1.3.
1.4.
;
√
√
√
√
1.5. *
√
1.6. *
1.8 **
;
√
√
1.7. **
;
√
Caderno de Apoio – ALG10
;
.
√
√
,
√
Página 15
2.1
Comentário
Reconhecer esta propriedade é crucial, para que, no descritor seguinte, se possa definir
adequadamente a potência de expoente racional
. De facto, a definição, para
,
√
tem √
só faz sentido se se souber a
√
, se
.
1. Mostre que √
√
2. *Prove que, sendo
, se tem √
2.2
que para uma outra representação
, para qualquer número real positivo .
um número real positivo e ,
√ .
,
e
números naturais tais que
1. Considere um número não negativo . Pretende-se dar uma definição de potência de base
e expoente racional positivo por forma a estender o conceito de potência de base e
expoente natural e que permaneça válida a propriedade ( )
para e racionais
positivos. Admitindo que tal definição pode ser dada de modo coerente, ou seja, de modo
que o valor obtido seja independente da fração que representa o número racional no
expoente, resolva as seguintes questões:
1.1 Qual deve ser necessariamente o valor de
?
(Sugestão: Calcule utilizando a propriedade acima referida.)
1.2 Qual deve ser, mais geralmente, o valor de:
1.2.1
?
1.2.2
, para
também que
e
? [Sugestão: No caso em que
tem de ser um valor não negativo, observando que a
propriedade ( )
garante que
quadrado de um número.]
pode sempre ser escrito como o
1.3 Qual deve ser necessariamente o valor de
?
[Sugestão: utilize 1.2 e a propriedade acima referida com
1.4 Qual deve ser, mais geralmente, o valor de:
1.4.1
1.4.2
é par verifique
,
e
.]
?
, para
e
?
2. **Justifique que, dado um número real
e um número racional não negativo (
se
),
pode ser definido de modo coerente como √
onde e são quaisquer
números inteiros tais que
,
e
, sendo a definição também coerente com
a já conhecida no caso em que é ou um número natural, e que esta é a única extensão
possível a expoentes racionais positivos da definição de potência de expoente natural e
base não negativa, que permite obter, para quaisquer
nas condições acima
de tal
modo que continue a valer, para expoentes racionais positivos, a propriedade
.
2.3
1. Seja
( ,
números naturais) e
um número real positivo. Já vimos que
encontra definido de modo coerente como sendo igual a √ .
Qual deve ser a definição de
se se pretender que a propriedade
lugar para todos os racionais e ?
(Sugestão: Considere
na igualdade anterior.)
Caderno de Apoio – ALG10
Página 16
se
tenha
2.4
1. Sejam e números reais positivos. Mostre, utilizando as propriedades estudadas das
operações com radicais e a definição de potência de expoente racional, que
1.1
1.2
1.3 *
, ,
,
e
números naturais
1.4 ( )
1.5
1.6
1.7
2.5
1. Simplifique as seguintes expressões:
√
1.1
√
1.2 √
1.3 (
√ )
√
1.4
1.6 √
√
( √
√
1.5 √√
1.7
√
√
)
√
√
√
√
√
√
√
(
√ )(
(
√ )
)
1.8
, onde
1.9 * √ √
√
√
(√
)
2. *Justifique cada uma das seguintes igualdades:
2.1 √
√
2.2 √
√
√
√
3. **Escreva cada uma das seguintes expressões na forma:
3.1 √
3.2 √
e
.
√
√
4. **Simplifique a expressão √
número inteiro .
Caderno de Apoio – ALG10
√ , com
√
√
√ , verificando que se trata de um
Página 17
5.
3.1
Escreva na forma de potência de base
a seguinte expressão √√√ √ .
Apresentam-se alguns problemas relacionando radicais com conteúdos geométricos estudados
no ensino básico. O professor poderá utilizar alguns destes exemplos como ilustração das
propriedades dos radicais estudadas neste domínio de conteúdos.
1. Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio unidades. Determine a medida do
lado do quadrado e apresente o resultado final na forma √ ,
.
2. *Um tetraedro regular está inscrito num cubo tal como
sugere a figura. Sabendo que a aresta do cubo mede
unidades, prove que a área de cada face do tetraedro é
igual a
√
unidades quadradas.
3. Fixada uma unidade de comprimento, considere um cubo de
aresta e de volume .
3.1. Exprima em função de
3.2. Exprima a medida da área da superfície do cubo na forma
número natural e um número racional.
, onde
é um
4. Considere um prisma quadrangular regular reto em que a área da base mede
ea
altura é igual ao quádruplo da medida do comprimento da aresta da base.
4.1. Exprima a medida do volume do prisma na forma
, onde é um número
natural e um número racional.
4.2. Determine o valor de sabendo que o volume do prisma é igual a 32
.
5. Uma esfera está inscrita num cubo de volume . Exprima, em função de :
5.1. o raio da esfera.
5.2. o volume da esfera.
6. **Um cubo está inscrito numa superfície esférica de volume . Exprima, em função de , a
medida da aresta do cubo.
7. *Num trapézio isósceles [
] a base menor é igual aos lados não paralelos e mede
. Um dos lados não paralelos forma com a base maior um ângulo de
de
√
amplitude. Prove que o perímetro do trapézio é igual a √
8. Verifique que os números:
8.1.
√ e
8.2.
√ e
√ são raízes da equação
√ são soluções da equação
9. *Considere, dado um número natural
Determine para que valor de
e de .
Caderno de Apoio – ALG10
se tem que
e para
√
e a área igual a
.
√
,
.
.
, a expressão
√ √
√
√ , independentemente dos valores de
Página 18
.
4.2
1. Considere os polinómios
e
.
1.1. Determine, na forma reduzida, o polinómio
, indicando o respetivo
grau.
1.2. Qual o grau do polinómio
, se se tiver agora
e
, onde
e
? Qual a relação entre o grau de
,
o grau de
e o grau de
?
2. *Dados
números
inteiros
não
negativos
e
e
,
considere
os
polinómios
,
com
(
e
(
,
e
.
Ao efetuar o produto de polinómios
, quantas parcelas da forma
irão aparecer formalmente após uma primeira aplicação da propriedade distributiva? Qual
destes monómios tem maior grau? Justifique que o grau de
é igual à soma dos
graus de
e de
.
4.5
1. Considere os polinómios
e
, onde
,
.
Verifique que os polinómios obtidos aplicando a regra de Ruffini a estes polinómios são de
facto o quociente e o resto da divisão inteira de
por
2. *Considere os polinómios
e
,
onde
,
e
.
Verifique que os polinómios obtidos aplicando a regra de Ruffini a estes polinómios são de
facto o quociente e o resto da divisão inteira de
por
4.11
1. Considere o polinómio
Sabendo que o polinómio
ordens de multiplicidade,
.
admite as raízes
eventualmente com diferentes
determine o polinómio
sem zeros tal que
, identificando os valores de
e .
2. *Considere que os números reais , e , distintos entre si, são as únicas raízes de um
polinómio de sétimo grau
. Sabe-se ainda que
tem multiplicidade e
tem
multiplicidade .
2.1. Justifique que não pode ter multiplicidade superior a .
2.2. Indique, justificando, qual a multiplicidade de .
3. Seja
um polinómio de grau
3.1 **Prove
que
.
admite
uma
,
(
)e
não tem raízes.
3.2 Justifique que
únicas raízes de .
5.1
fatorização
onde
e que os números
da
,
,
forma
,
, são as
1. Utilizando o algoritmo da divisão inteira de polinómios, determine o quociente e o resto da
divisão de
por
.
Caderno de Apoio – ALG10
Página 19
2. Utilizando a regra de Ruffini determine o quociente e o resto da divisão de
por cada um dos seguintes polinómos:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5. **
.
3. Determine, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de
por
.
4. Determine o polinómio
cujo resto da divisão por
de quarto grau que admite os zeros simples
é igual a .
5. Sabe-se que
e escreva-o na forma
é divisível por
.
6. *Determine para que valores reais de e
divisível por
e o resto da divisão por
7. *Prove que o polinómio
é divisível por
. Determine as raízes de
o polinómio
é igual a
.
se
é
for ímpar.
8. Considere o polinómio
, onde
.
8.1. *Prove que para todo
se tem
.
8.2. **Prove que
, justifique que
e calcule o grau de multiplicidade de .
5.2
5.3
e e
e
são zeros de
por
e resolva a
1. Considere os polinómios
e
1.1. Verifique que é uma das raízes de
.
1.2. Determine as outras raízes de
e fatorize este polinómio.
1.3. Resolva a inequação
.
1.4. Fatorize o polinómio
e resolva a inequação
.
2. Considere a equação
.
2.1. Tendo em conta que
substitua na equação
equação do segundo grau assim obtida.
2.2. Determine os valores de que satisfazem a equação dada.
3. *Resolva a equação «biquadrada»
.
4. *Sabe-se que
é um polinómio de terceiro grau tal que
]
[. Resolva cada uma das seguintes condições:
4.1.
;
4.2.
;
4.3.
.
Caderno de Apoio – ALG10
Página 20
Geometria Analítica GA10
Descritor
Texto de Apoio
1.2
1. Considere, num referencial ortonormado do plano, os pontos
e
.
1.1. Represente os pontos e e trace as retas paralelas aos eixos coordenados que
contêm ou , por forma a construir um retângulo do qual [ ] é uma diagonal.
1.2. Determine a distância entre os pontos e utilizando o teorema de Pitágoras.
2. *Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos
e
2.1. Designe por
e as projeções ortogonais no eixo das abcissas respetivamente
dos pontos e . Exprima, em função de e de
a medida da distância entre
e .
2.2. Designe por
e
as projeções ortogonais no eixo das ordenadas,
respetivamente, dos pontos e . Exprima, em função de e de
a medida
da distância entre
e .
2.3. Exprima a medida da distância entre e em função de e de e justifique
que é igual a √
.
3. **Demonstre, dado um plano munido de um referencial ortonormado e pontos
e
pertencentes a esse plano, que a medida da distância entre e ,
, é igual
a√
, tomando por unidade de comprimento a unidade comum dos
eixos coordenados.
1.3
1. Considere, na reta numérica, os pontos ,
Prove que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
e
de abcissas, respetivamente, ,
e
.
2. *Considere, na reta numérica, os pontos e de abcissas, respetivamente, e .
2.1. Indique, utilizando e , uma expressão da medida da distância entre e .
2.2. Seja o ponto médio de [ ]. Apresente, utilizando e , uma expressão da
medida da distância entre e .
2.3. Apresente, utilizando e , uma expressão para a abcissa de sem recorrer ao
símbolo de valor absoluto.
Nota: Este segundo exercício foi identificado como tendo um nível de desempenho superior
uma vez que não pressupõe, contrariamente ao que é indicado no descritor, o conhecimento
prévio da expressão da abcissa do ponto médio de [ ].
1.4
1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas
,
e
1.1 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta [ ].
1.2 Considere a reta paralela ao eixo das ordenadas que passa pelo ponto e a
respetiva interseção com o segmento de reta [ ]. Justifique, utilizando o
Teorema de Tales, que é o ponto médio de [ ] e indique a abcissa de .
1.3 Calcule a ordenada de .
Caderno de Apoio – GA10
Página 21
2. *Considere um referencial ortonormado em dado
y
plano e três pontos
desse plano, bem
como as respetivas projeções ortogonais,
respetivamente
no eixo dos
, e
’’, no eixo dos .
2.1. Sabe-se que é o ponto médio de
[ ]. Prove que os pontos
e
são, respetivamente, os pontos médios
dos segmentos de reta [
] e
[
].
2.2. Sabendo que
e
, determine as coordenadas de
1.9
1. Considere, num plano munido de um referencial
ortonormado e dado
, a elipse de focos
e
e de eixo maior
(
) . Seja o ponto
de interseção da elipse com o semi-eixo positivo das
ordenadas.
1.1. Justifique que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅.
1.2. Indique, justificando, a medida comum de ̅̅̅̅̅
e ̅̅̅̅̅.
1.3. Conclua que ̅̅̅̅ √
.
x
.
y
x
2. *Dada uma elipse de focos e e de eixo maior
em determinado plano, resolva as
seguintes questões:
2.1 Prove que a mediatriz de [ ] interseta a elipse exatamente em dois pontos e
situados em semiplanos opostos de fronteira
e interseta a reta
no ponto
médio do segmento [ ], que coincide com o centro da elipse.
̅̅̅̅
̅̅̅̅ se tem
2.2 Prove que tomando
√
, onde
.
1.10
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos
e
.
1.1. Qual o valor que deve tomar o número real por forma que um ponto
pertença à elipse de focos e e semieixo maior ,
quando e apenas
quando
?
√
√
1.2. *Considere que
.
Mostre que um ponto
pertence à elipse referida na alínea anterior quando
e apenas quando
.
1.3. Tendo em conta a alínea 1.2, calcule as coordenadas dos pontos
e
em que a
elipse interseta o eixo das abcissas, as coordenadas dos pontos e
em que a
̅̅̅̅̅̅̅.
elipse interseta o eixo das ordenadas e o eixo menor
̅̅̅̅̅̅ é a semidistância
1.4. Verifique, neste exemplo, que
√
, onde
focal.
2. **Considere num plano munido de um referencial ortonormado, dois números reais e
(
) e os pontos
e
.
2.1. Justifique que a equação √
é a equação da
√
elipse de focos e e de semieixo maior .
2.2. Mostre que a equação da alínea anterior é equivalente a
.
2.3. Escreva a equação da alínea anterior utilizando no primeiro membro apenas as
constantes e , onde representa o semieixo menor da elipse.
Caderno de Apoio – GA10
Página 22
1.11
1.12
Informação Complementar para o professor
O tratamento adequado dos semiplanos em Geometria analítica plana pressupõe, como é
evidente, que se dispõe de uma definição de semiplano. Essa definição pode pressupor que
está fixado um dado plano, ainda que esta hipótese seja dispensável no caso da Geometria a
mais de duas dimensões. Embora nestes descritores apenas se pretenda um reconhecimento a
nível elementar, recorrendo à intuição geométrica, descreve-se em seguida como se poderiam
justificar as propriedades neles expressas com base numa possível definição de semiplano.
Dada uma reta e um ponto fora de , podemos definir o «semiplano aberto de fronteira
determinado pelo ponto » como o conjunto constituído por e pelos pontos do plano que
contém a reta e o ponto , tais que o segmento de reta [ ] não interseta e o «semiplano
fechado de fronteira determinado pelo ponto » como a união com do acima referido
semiplano aberto.
Estas definições introduzem um critério simples para verificar se um dado ponto de um plano
está ou não em certo semiplano (aberto ou fechado) de de fronteira e determinado por um
ponto de não pertencente a . Note-se, no entanto, que carece de demonstração a afirmação
segundo a qual um semiplano (aberto ou fechado) de fronteira fica determinado por qualquer
um dos seus pontos, o que, como veremos, resulta de se poder encarar os semiplanos abertos
com dada fronteira como classes de equivalência; uma vez estabelecido esse facto, torna-se
fácil concluir, por processos análogos, que existem exatamente dois semiplanos (abertos ou
fechados) num plano com uma dada fronteira .
Vejamos então, mais precisamente, como da definição dada se pode deduzir que existem
exatamente dois semiplanos abertos de fronteira no plano , que esse semiplanos são
disjuntos e que a respetiva união coincide com
; para o efeito podemos começar por
verificar que é de equivalência a relação binária definida para pontos
de
por
se e coincidirem ou se o segmento de reta [ ] não intersetar .
A reflexividade e simetria são imediatas e a transitividade, no caso em que os pontos
e
não são colineares, único não trivial, pode ser considerada uma das formas do axioma de Pasch,
pois o que se pretende provar é que, se
e são pontos de não colineares que não
pertencem a e [ ] e [ ] não intersetam , então [ ] também não interseta ; ora o
contra-recíproco desta propriedade é equivalente à afirmação de que se a reta interseta o
lado [ ] do triângulo [
] e não interseta nenhum dos respetivos vértices, então tem de
intersetar um dos outros dois lados do triângulo, o que é uma das formas mais usuais do
axioma de Pasch.
Este axioma, ou outro semelhante, é indispensável a uma formalização adequada da Geometria
elementar (euclidiana ou não), o que só foi detetado por Pasch em finais do século XIX, embora
fosse implicitamente admitido até então em diversas demonstrações de Geometria euclidiana
ou mesmo não euclidiana, sem que tivesse sido antes observada a impossibilidade de ser
deduzido dos restantes postulados.
Sendo relação de equivalência é agora fácil concluir que o semiplano aberto de de
fronteira determinado por um ponto de
não é mais do que a classe de equivalência de
para a relação ; em particular, um dado semiplano de fronteira fica determinado por
Caderno de Apoio – GA10
Página 23
qualquer dos seus pontos, pelo que podemos designá-lo, sem ambiguidade, por «semiplano
(aberto ou fechado) do plano de fronteira contendo o ponto ». A forma como está
definida permite também concluir que existem no máximo duas classes de equivalência, pois
fixado um ponto em
, dados dois pontos e de
que não são equivalentes a é
fácil concluir que são equivalentes entre si, pelo que no máximo existirá mais uma classe de
equivalência para a relação contendo todos os eventuais pontos não equivalentes a .
Provemos então, nesta situação, que
, ou seja, que não interseta [ ]; por definição de
, [ ] e [ ] intersetam ambas , já que, por hipótese, e não são equivalentes a ; a
única situação que merece ser analisada é aquela em que
e não são colineares, já que a
outra é trivial (um ponto não pode estar simultaneamente estritamente situado entre
quaisquer dois de três pontos colineares, pelo que não pode também intersetar [ ]). Nesse
caso interseta dois dos lados do triângulo [
], não intersetando os respetivos vértices,
pelo que não pode intersetar o terceiro (propriedade cuja demonstração também envolve o
axioma de Pasch), o que significa que não interseta [ ], ou seja
, como pretendíamos
provar.
A existência de pelo menos dois pontos não -equivalentes e portanto exatamente de dois
semiplanos abertos de fronteira resulta simplesmente do facto de que dado um ponto de
(que existe sempre, já que o plano não se reduz a uma reta) e um ponto de existe
sempre um ponto distinto de tal que fica situado no segmento de reta [ ] (“o
segmento [ ] pode prolongar-se em qualquer dos sentidos”). Esta propriedade resulta de
qualquer axiomática da Geometria euclidiana e garante portanto a existência de um ponto
de
não -equivalente a , ou seja, fora do semiplano de fronteira contendo .
Como acima foi referido, o reconhecimento que é pedido neste descritor e no seguinte pode
ser feito, a nível elementar, apenas recorrendo à intuição geométrica, mas, correspondendo a
um nível de desempenho elevado, poderia ser levado a cabo com base na definição de
semiplano acima indicada. Para o efeito há que dispor também de um critério claro para
identificar analiticamente os pontos de um segmento de reta [ ], dados
,
distintos num plano munido de um referencial ortonormado. Sendo já conhecida a equação da
reta
, resta identificar o domínio de variação para as abcissas (ou para as ordenadas, no caso
de uma reta vertical) que corresponde aos pontos do segmento [ ]. Ora não é difícil concluir
que as abcissas dos pontos de [ ] variam entre e e as ordenadas entre e ; para o
efeito basta notar que as retas paralelas aos eixos que intersetam o segmento [ ] intersetam
os eixos a que não são paralelas em pontos dos segmentos de extremos respetivamente de
abcissas (no eixo respetivo)
e
. Este facto resulta da seguinte propriedade
geométrica:
«dadas duas retas paralelas e dois segmentos de reta, cada um deles com uma extremidade em
cada uma das duas retas, então se uma terceira reta é paralela às outras duas e interseta um
dos segmentos de reta tem de intersetar também o outro»;
a demonstração deste resultado pode ser obtida muito simplesmente aplicando uma ou duas
vezes o axioma de Pasch (consoante os segmentos partilhem ou não uma das extremidades).
Dos resultados expressos neste descritor e no seguinte, ou seja, da identificação analítica de
dois conjuntos de pontos que constituindo semiplanos de fronteira dada por uma reta da qual
se conhece a equação e determinados por qualquer dos respetivos pontos, resulta
imediatamente que, fixada uma reta num dado plano, existem exatamente dois semiplanos
abertos nesse plano com fronteira coincidente com essa reta, para além de que são
Caderno de Apoio – GA10
Página 24
obviamente conjuntos disjuntos e com união igual ao complementar da reta no plano. Ou seja,
o que acima foi justificado com argumentos geométricos acaba por deduzir-se da
caracterização analítica referida destes descritores. É claro que o axioma de Pasch, acima
utilizado, acaba por estar explícita ou implicitamente na base da introdução rigorosa das
técnicas de Geometria analítica de que aqui se tira partido.
Apresentam-se em seguida duas atividades em que se exploram analiticamente as
propriedades geométricas, características dos semiplanos, acima descritas. Embora o exemplo
esteja redigido para conduzir à justificação da inequação cartesiana dos semiplanos, de acordo
com a definição geométrica acima apresentada, podem utilizar-se apenas algumas alíneas para
ilustrar uma ou outra propriedade que se pretenda focar, de modo mais informal.
I
Seja a reta de equação
os conjuntos
{
a.
b.
c.
d.
e.
num dado plano munido de um referencial ortonormado. Considere
} e
{
}.
Seja
e
. Verifique que
e que
. Calcule as coordenadas do ponto de
interseção das retas e
e conclua que o segmento de reta [ ] não interseta .
Seja
Verifique que
e que o segmento de reta [ ] interseta .
Considere dois pontos
e
; mostre que se pertencerem ambos a ou ambos a
] não interseta mas que se um deles pertencer a e o outro
então o segmento de reta [
] interseta e determine as coordenadas do ponto de
a então o segmento de reta [
interseção.
Considere dois pontos
e
tais que
e seja
um ponto do
]:
segmento de reta [
d1. Utilizando a equação da reta
ou, diretamente, o teorema de Tales, mostre que
[ ].
e
para determinado
d2. Deduza da alínea anterior que
e
para
[ ] e conclua que se e pertencerem ambos a (respetivamente
determinado
] está
a ) então
(respetivamente
) e portanto o segmento de reta [
contido em (respetivamente em ), logo não interseta .
] interseta ,
d3.Utilizando 1.4.1. conclua que se
e
então o segmento de reta [
determinando o valor de correspondente ao ponto de interseção.
Conclua das alíneas anteriores que e são exatamente os semiplanos abertos de fronteira
do plano dado.
II
Seja
{
e
a.
b.
c.
a reta de equação
}.
. Considere os conjuntos
{
} e
Dados dois pontos e de (ou de ), justifique que o segmento de reta [ ] não interseta a
reta .
Dados dois pontos
e
, mostre que o segmento de reta [ ] interseta r.
Conclua que e são os dois semiplanos definidos pela reta .
Caderno de Apoio – GA10
Página 25
1.13
2.1
1. Considere um plano munido de um referencial
ortonormado e uma circunferência de raio
e de
centro
Considere ainda um ponto
do plano.
̅̅̅̅ em
1.1. Exprima a medida da distância
função de , , e .
1.2. Justifique que pertence à parte interna da
circunferência quando e apenas quando
.
1.3. Justifique que o círculo de centro
e raio se
define pela condição
.
y
x
1. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados
pelas seguintes condições.
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
;
1.7.
;
1.8. *
;
1.9. *
;
1.10. **
.
2. Identifique as figuras geométricas planas definidas pelas seguintes condições:
2.1.
2.2.
2.3. *
2.4. *
2.5.
2.6. *
2.7. *
2.8.
2.9.
2.10.
| |
3. Identifique e defina analiticamente, utilizando equações e inequações cartesianas, os
seguintes conjuntos de pontos do plano:
3.1. Pontos que distam igualmente dos pontos
e
.
3.2. Pontos cuja distância ao ponto
não excede unidades.
3.3. *Pontos cuja medida da distância ao ponto
é o dobro da medida da
distância ao ponto
.
3.4. Pontos cuja soma das medidas das distâncias aos pontos
e
é igual a .
3.5. Pontos que distam duas unidades da reta de equação
.
Caderno de Apoio – GA10
Página 26
3.6. *Pontos que distam igualmente da origem do referencial e do ponto
e
que pertencem à circunferência centrada em e tangente aos eixos coordenados.
3.7. Pontos médios dos segmentos de reta cujos extremos são:
3.7.1. o ponto
e cada um dos pontos da circunferência centrada em e de
raio 2.
3.7.2 **o ponto
e cada um dos pontos da reta
.
4. *Num referencial ortonormado do plano, os pontos
e são vértices de um triângulo
equilátero. Sabendo que
√ , determine a ordenada de sabendo
que a abcissa é
.
5. Sabe-se que o ponto
valor de .
3.1
3.2
3.3
3.4
é equidistante dos pontos
e
. Determine o
Informação Complementar para o professor
Diversas propriedades da relação de equipolência entre segmentos orientados de um plano
foram introduzidas no 8.º ano, mas não foi dada uma definição formal de relação binária nem
de vetor, tendo-se apenas indicado que um vetor, objeto indefinido, fica associado ao
conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a um dado segmento orientado (ou
seja, com o mesmo comprimento, direção e sentido que esse segmento orientado) e que se
consideravam distintos vetores associados a segmentos orientados não equipolentes (cf.
Programa de Matemática do Ensino Básico, homologado em 17/7/2013, e Metas Curriculares
do Ensino Básico de Matemática, NO6-3 e GM8-3). Como foi referido no Caderno de Apoio do
3.º ciclo é possível interpretar a noção de vetor como classe de equivalência para a relação
de equipolência, ficando assim provada a possibilidade de definir um objeto matemático com
as propriedades que se requeriam aos vetores na introdução feita no 8.º ano. Para uma
revisão destes conceitos, aplicações, propriedades, e respetivas justificações geométricas
podem consultar-se as referidas Metas curriculares e os Cadernos de Apoio do 2.º ciclo, NO63, e do 3.º ciclo, GM8-3.5 a 3.18 e o Texto Complementar de Geometria do 3.º ciclo, 8.º ano,
3.1 a 3.16. Em particular importa ter presente o critério de equipolência de segmentos
]e[
], tais
orientados, de acordo com o qual dois segmentos orientados não nulos [
]
que [ ] e [ ] não têm a mesma reta suporte, são equipolentes se e somente se [
for um paralelogramo. No caso de terem a mesma reta suporte, podemos estudar a
propriedade de equipolência utilizando uma mesma reta numérica que os contenha e a
equipolência traduz-se na igualdade da diferença entre as abcissas da extremidade e da
origem dos segmentos orientados.
Por outro lado, também se associou um vetor a uma translação, entendida como aplicação de
um plano em si próprio. Entendendo um vetor como classe de equivalência é possível
comparar os dois objetos, ou seja, um vetor ⃗ e a translação ⃗ por ele definida. Das definições
conclui-se que o gráfico de ⃗ não é mais do que o conjunto dos pares ordenados
tais
⃗⃗⃗⃗⃗ , ou seja, tais que o segmento orientado [
] está na classe de equivalência que
que ⃗
constitui o vetor ⃗ . Note-se que no Ensino Básico também não foi dada uma definição formal
de segmento orientado, noção introduzida no 6.º ano, dizendo-se apenas que o segmento
] fica definido quando no segmento de reta [ ] se fixa um dos extremos para
orientado [
origem e o outro para extremidade, ou seja, no fundo, quando se ordenam os extremos; essa
noção foi alargada no 8.º ano ao caso em que e coincidem. Como é fácil perceber, uma
possível definição formal de segmento orientado pode consistir muito simplesmente em
Caderno de Apoio – GA10
Página 27
] com o par ordenado
identificar [
, uma vez que os pontos e determinam o
segmento de reta que os tem por extremos, e, reciprocamente, um segmento de reta
determina os respetivos extremos, e podemos fixar a origem e a extremidade escolhendo o
primeiro elemento do par para origem e o segundo para extremidade. Com esta definição
conclui-se então que ⃗ e o gráfico de ⃗ são exatamente o mesmo objeto matemático; se
identificarmos a translação com o respetivo gráfico, o que é natural para uma aplicação com
domínio e conjunto de chegada coincidentes com o plano todo, podemos então também dizer
mais simplesmente que os vetores são exatamente as translações.
No 8.º ano (GM8-3.10 a 3.17) introduziu-se a soma de vetores num plano e as respetivas
propriedades básicas, geométricas e algébricas, que é conveniente agora recordar. Começou-se
por definir o que é a soma
de um ponto com um vetor : trata-se muito simplesmente
⃗⃗⃗⃗⃗ . No caso em que
⃗ , este ponto pode ser
do único ponto do plano tal que
] representante de
construído a partir do ponto e de qualquer segmento orientado [
⃗⃗⃗⃗⃗ ), utilizando, por exemplo, o critério do paralelogramo para a
(ou seja, tal que
equipolência de segmentos, ou seja, construindo o vértice desconhecido do paralelogramo
[
]; note-se que se pode sempre supor, sem perda de generalidade, que o ponto não
está na reta
, construindo em primeiro lugar, se necessário, pelo mesmo processo, um
] com outra reta suporte.
segmento orientado equipolente a [
Definiu-se em seguida a translação ⃗ como a aplicação do plano em si próprio que associa a
cada ponto do plano o ponto ⃗
.
Finalmente, definiu-se a soma de vetores ⃗ e como o vetor ⃗⃗ tal que ⃗
⃗⃗ , ou seja,
⃗
tal que
⃗
⃗⃗ , para qualquer ponto do plano, mostrando-se que ⃗⃗ pode ser
obtido a partir de ⃗ e através da “regra do triângulo” ou, no caso de se tratar de vetores não
colineares, através da regra do paralelogramo; em particular tem-se, para quaisquer pontos
e do plano,
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
sendo esta igualdade por vezes referida como «identidade de Chasles».
Como tem sido referido, a propósito de outros conteúdos, para uma revisão destes conceitos e
propriedades pode consultar-se, para além dos acima referidos descritores das Metas
curriculares do 8.º ano, o Caderno de Apoio do 3º ciclo, GM8-3.10 a 3.18 e o Texto
Complementar de Geometria, 8.º ano, 3.10 a 3.16. Limitemo-nos aqui a recordar como fica
estabelecida a coerência da definição de soma de vetores, através da verificação de que a
composição de translações é uma translação. Da própria definição de translação e de
composição de aplicações resulta que, se ⃗
⃗ for uma translação, terá de ser determinada
por um vetor ⃗⃗ que pode ser obtido de ⃗ e pela regra do triângulo; com efeito, fixado um
ponto do plano, e sendo
⃗
, se ⃗
)
⃗
⃗
⃗( ⃗
⃗ for uma
⃗⃗⃗⃗⃗
translação de certo vetor ⃗⃗ , terá de ser
⃗⃗ , ou seja, ⃗⃗
.
Resta então apenas provar que, para qualquer ponto
do plano, ⃗
⃗⃗ , o que pode ser
⃗
justificado utilizando a construção geométrica ao lado
(ilustra-se o caso em que os vetores ⃗ e não são
colineares e o ponto não está na reta
, onde
⃗ , nem na reta , podendo os restantes casos
ser tratados de modo análogo). Pelo critério do
paralelogramo para a equipolência de segmentos
] e [
] são
orientados sabemos que [
⃗⃗⃗⃗⃗
paralelogramos e pretendemos provar que ⃗⃗⃗⃗⃗
] também é um paralelogramo.
⃗⃗ , ou seja, que [
Caderno de Apoio – GA10
Página 28
]e[
] serem paralelogramos tem também como consequência
Ora, o facto de [
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ e portanto [
] é um paralelogramo,
que
e
, pelo que ⃗⃗⃗⃗⃗
], que é, portanto, de facto, um paralelogramo
tratando-se do mesmo quadrilátero que [
⃗⃗⃗⃗⃗
e assim, como pretendíamos provar, ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ .
Outro conceito básico introduzido no 8.º ano (GM8-3.9) foi o de vetor simétrico de um dado
vetor; o simétrico
de um vetor é o vetor que tem o mesmo comprimento e direção que
⃗⃗⃗⃗⃗ ) e, para
mas sentido oposto (em particular, para quaisquer pontos e do plano, ⃗⃗⃗⃗⃗
além das propriedades comutativa e associativa da adição de vetores, também se verificou que
⃗ , consequência imediata de ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ , para quaisquer
pontos
e
do plano.
No presente objetivo geral introduzem-se novas operações com vetores, nomeadamente o
produto de um vetor por um escalar e a subtração de vetores. Na definição de produto de um
⃗⃗⃗⃗⃗ não nulo por um escalar
vetor
, para além de se definir sem qualquer
ambiguidade a direção e sentido do vetor produto (direção igual e sentido igual ou oposto ao
do vetor , consoante é positivo ou negativo), a respetiva norma é dada, à partida, para uma
unidade de medida de comprimento pré-fixada. No entanto, facilmente se conclui que o vetor
produto não depende da unidade de comprimento escolhida, pois a definição é dada de tal
modo que | | é igual ao quociente entre a norma do vetor produto e a norma do vetor ; ora
as normas são, por definição, medidas de comprimento de segmentos de reta e como o
quociente de duas medidas de comprimento não depende da unidade de medida comum (cf.
GM7-7.2), se um dado vetor produto tiver norma com a propriedade enunciada na definição,
para uma dada unidade de medida (equivalente ao quociente pela norma de ser igual a | |),
o mesmo se passará para qualquer unidade de medida. Por outras palavras, os “vetores
produto” obtidos considerando-se, na respetiva definição, diferentes unidades de
comprimento, e que têm à partida direção e sentido bem determinados, têm todos também o
mesmo comprimento, ou seja, trata-se sempre do mesmo vetor.
⃗⃗⃗⃗⃗ de um vetor
⃗⃗⃗⃗⃗
Outro modo de justificar a coerência da definição de produto
não nulo por um escalar , é começar por notar que o vetor produto pode ser “materializado”
(através de um dos seus representantes) na reta numérica
, tomando ̇ para semirreta dos
̅̅̅̅
números não negativos e
para unidade de comprimento; sendo o ponto dessa reta
numérica de abcissa , é imediato, a partir da definição de
(para esta unidade de medida de
⃗⃗⃗⃗⃗
comprimento) que este vetor deve identificar-se com . Fixada qualquer outra unidade de
comprimento e sendo a medida do comprimento do segmento [ ] nessa nova unidade,
uma vez que o quociente das medidas de comprimento de dois dados segmentos é
independente da unidade de medida comum (cf. mais uma vez GM7-7.2) sabemos que o
comprimento de [ ] na nova unidade será igual a | | , ou seja, a norma de
será dada por
| |‖ ‖, qualquer que seja a unidade de comprimento fixada para o cálculo das normas. Assim,
o vetor
não depende, de facto, da escolha da unidade de comprimento.
A definição de produto de um vetor por um escalar, no caso de se tratar do escalar
, conduz,
obviamente, ao simétrico do vetor, já que, por definição de produto por um escalar, é o vetor
com a mesma norma e direção mas sentido contrário ao vetor dado, o que é também a
definição de vetor simétrico.
Caderno de Apoio – GA10
Página 29
A propriedade expressa no descritor 3.3 pode ser facilmente justificada. Por um lado, é
imediato, a partir da definição do produto de um vetor por um escalar, que
é colinear a .
Reciprocamente, considerando um vetor ⃗ colinear a , se existir um número real
tal que
⃗
, temos ‖ ⃗ ‖
| |‖ ‖
| |
‖⃗ ‖
,
‖⃗ ‖
pelo que, considerando o único número real de
‖⃗ ‖
módulo ‖ ⃗ ‖ (valor independente da unidade de comprimento fixada para o cálculo das normas,
como acima ficou estabelecido) que é positivo se os vetores ⃗ e tiverem o mesmo sentido,
negativo se tiverem sentidos opostos e nulo se ⃗ for nulo, tem-se, por definição de produto de
vetor por escalar, ⃗
e este é o único escalar para o qual tem lugar esta igualdade, já
que, quando não é nulo, tem módulo e sinal bem determinados.
O escalar pode ainda ser materializado utilizando segmentos orientados com extremos numa
mesma reta numérica e origens coincidentes com a origem dessa reta numérica e que
representem os dois vetores colineares dados. Com efeito, Se ⃗ e forem colineares (
),
fixemos um ponto arbitrário para origem da reta numérica e o ponto
, para ponto
de abcissa ; então, sendo
⃗ , é um ponto da reta
, já que ⃗ e têm a mesma
direção (e portanto as retas
e
, não podendo ser retas paralelas distintas, têm de
coincidir). e Então, como atrás se concluiu a propósito da coerência da definição de produto de
um vetor por um escalar, sendo a abcissa de , teremos ⃗
.
Quanto à subtração, a definição do vetor diferença ⃗
de determinados vetores ⃗ e
reproduz a definição habitual de diferença quando em dado conjunto está definida uma
operação de adição comutativa. Dados vetores ⃗ e , é fácil, neste caso, justificar a existência
de um e apenas um vetor ⃗⃗ tal que ⃗⃗
⃗ , pois, a existir um tal vetor, adicionando
a
ambos os membros desta igualdade obtemos:
⃗
⃗⃗
⃗⃗
(
)
⃗⃗
⃗
⃗⃗
Ou seja, o único vetor ⃗⃗ que pode satisfazer à igualdade requerida é o vetor ⃗
e é fácil
verificar que, de facto, a respetiva soma com é igual a ⃗ , utilizando mais uma vez a
propriedade associativa da adição de vetores e a propriedade algébrica característica do
simétrico. Assim, a diferença de vetores está sempre bem definida e é igual à soma do aditivo
com o simétrico do subtrativo, tal como para números reais: ⃗
⃗
.
Para além desta justificação algébrica, poderá aproveitar-se a ocasião para rever os conceitos
acima referidos, construindo geometricamente a diferença de vetores em casos concretos ou
num caso geral e comparando com a construção da soma de um vetor com o simétrico de
outro. Apresentam-se abaixo dois possíveis exercícios com esses objetivos.
1. Na ilustração figuram dois segmentos orientados que
representam vetores ⃗ e .
1.1. Reproduza, no caderno, dois segmentos orientados com
a mesma origem que representem, respetivamente,
os vetores ⃗ e e, utilizando a regra do paralelogramo
ou a regra do triângulo, construa o vetor ⃗⃗ tal que
⃗⃗
⃗.
1.2. Construa o vetor soma de ⃗ com
e justifique que é
igual a ⃗⃗ .
Caderno de Apoio – GA10
Página 30
2. **Dados vetores ⃗ e , prove, recorrendo a uma construção geométrica e utilizando
diretamente as definições de diferença e de soma de vetores, bem como e a de simétrico de
um vetor, que ⃗
⃗
.
3.5
Esta propriedade é trivial se
e pode ser facilmente justificada se
, por exemplo,
recorrendo mais uma vez a uma reta numérica de origem qualquer e o ponto de abcissa
coincidente com
. Sabemos então (cf. texto de apoio ao descritor 5.2) que
,
e
são respetivamente os pontos dessa reta numérica de abcissas , e
e, efetuando a adição dos vetores
e , aplicando a “regra do triângulo” a partir do
ponto , o ponto que se obtém para extremidade do segmento orientado de origem que
representa o vetor soma é exactamente o que tem abcissa
, pela definição geométrica
conhecida de adição de números representados numa reta numérica (cf. Metas Curriculares do
ensino básico, NO6-3.3 e NO8-2.7).
,
3.6
1. *Considere dois vetores ⃗ e
não
colineares e
; pretendemos provar
que ⃗
⃗
. Para o efeito,
fixado um ponto
do plano, seja
⃗ ,
e
⃗ ,
como se ilustra na figura junta.
1.1. Justifique que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
.
1.2. Sendo
⃗
e
utilizando o Teorema de Tales,
justifique que as retas
e
são paralelas.
1.3. Conclua da alínea anterior que
̅̅̅̅ .
̅̅̅̅
1.4. Justifique que as semirretas ̇ e ̇ têm o mesmo sentido e conclua, utilizando
⃗⃗⃗⃗⃗
também as alíneas anteriores, que ⃗⃗⃗⃗⃗
. [Sugestão: para comparar os
sentidos das referidas semirretas note que, por construção, os pontos
numa mesma semirreta de origem no ponto da reta
.]
1.5. Conclua finalmente que ⃗
⃗
.
e
estão
2. **Utilizando uma construção idêntica à do exercício anterior, prove que, dados dois vetores
⃗ e não colineares e
, ⃗
⃗
.
⃗ ; fixando um ponto do plano, e sendo
3. *Considere vetores ⃗ e colineares, ⃗
⃗,
, considere uma reta numérica
de origem .
3.1. Justifique que é um ponto da reta
.
3.2. Demonstre a igualdade
⃗
⃗
traduzindo-a numa equação
envolvendo as abcissas dos pontos e na referida reta numérica.
⃗ e números reais e ; prove que
4. Considere um vetor ⃗
⃗
⃗ , comparando
as normas, direcções e sentidos dos dois vetores, a partir da definição de produto de um
vetor por um escalar.
Caderno de Apoio – GA10
Página 31
4.1
4.2
1. Na figura junta representa-se um plano
munido de um referencial ortonormado de
]
origem e dois segmentos orientados [
] onde
e[
,
,
e
. Considere os pontos
,
e
os vetores (da base canónica do espaço
⃗⃗⃗⃗⃗ e
vetorial dos vetores do plano)
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗
1.1. Sendo
,
determine,
utilizando
uma
construção
geométrica, um vetor
com a
direção de e um vetor com a
direção de tais que
.
1.2. Quantas soluções diferentes existem para a alínea anterior? Justifique.
1.3. Conclua que existe um e somente um par ordenado de números reais
tais
que
, designando este par como «coordenadas do vetor », e
determine-o.
⃗⃗⃗⃗⃗ , resolva uma exercício idêntico ao das alíneas anteriores,
1.4. Sendo ⃗
substituindo por ⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , resolva uma exercício idêntico ao das alíneas 1.1 a
1.5. Sendo
e ⃗⃗
1.3, substituindo por ⃗⃗ .
1.6. Justifique que as coordenadas dos pontos
,
⃗ e
⃗⃗ e têm de ser
iguais às coordenadas respectivamente dos vetores , ⃗ e ⃗⃗ (ditos «vetores
posição» dos referidos pontos) e represente estes vetores através de segmentos
orientados de origem .
2. *Considere um plano munido de um referencial ortonormado de origem , os pontos
,
, os vetores (da base canónica do espaço vetorial dos vetores do plano)
⃗⃗⃗⃗⃗ e
⃗⃗⃗⃗⃗ e um vetor desse plano.
2.1. Fixado um ponto nesse plano e sendo
mostre, utilizando a regra do
triângulo, que existe um e somente um ponto tal que se for igual à soma de
um vetor com a direção de com um vetor
com a direção de então
⃗⃗⃗⃗⃗ e
⃗⃗⃗⃗⃗ .
2.2. Conclua da alínea anterior que existe um e somente um par ordenado de
números reais
tal que
, designando este par por
«coordenadas do vetor ».
2.3. Justifique que as coordenadas do ponto
são iguais às coordenadas do
vetor (dito «vetor posição» do ponto ).
4.3
4.4
4.5
4.6
1. Considere um plano munido de um referencial ortonormado, vetores ⃗
e
,
um número real , os pontos
,
e os vetores (da base canónica do espaço
⃗⃗⃗⃗⃗ e
⃗⃗⃗⃗⃗ .
vetorial dos vetores do plano)
1.1. Justifique que ⃗
e que
.
1.2. Utilizando as propriedades algébricas conhecidas das operações com vetores,
conclua que o vetor ⃗
(respetivamente ⃗
) tem coordenadas
(respetivamente
), que o vetor ⃗ tem
coordenadas
e que o vetor simétrico do vetor ⃗
tem
coordenadas
, começando por determinar expressões para estes
vetores como combinações lineares dos vetores da base canónica.
Caderno de Apoio – GA10
Página 32
1.3. Suponha que ⃗ e não são nulos e justifique que são colineares se e somente se
as respetivas coordendadas forem todas não nulas e os quocientes das
coordenadas correspondentes forem iguais, ou as primeiras ou segundas
coordenadas de ambos os vetores forem nulas.
2. Considere um plano munido de um referencial ortonormado de origem e pontos
e
desse plano.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
2.1. Justifique que ⃗⃗⃗⃗⃗
2.2. Atendendo à alínea anterior e ao que se sabe acerca das coordenadas do vetor
posição de um ponto e das coordenadas da diferença de dois vetores, justifique
que o vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ tem coordenadas
.
2.3. Dado um vetor
e utilizando a alínea anterior mostre que o ponto
tem coordenadas
, começando por designar essas
⃗⃗⃗⃗⃗ .
coordenadas por
e notando que, por definição,
3. Fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dado um vetor
tomando por unidade de comprimento a unidade comum dos eixos coordenados, mostre
que ‖ ‖ √
, utilizando o Teorema de Pitágoras.
6.1
1. Considere, fixado um plano munido de um referencial cartesiano, os vetores ⃗
e
. Determine as coordenadas do vetor
1.1. ⃗⃗
⃗
.
1.2.
tal que ⃗
.
], os
2. Na figura está representado um paralelogramo [
pontos médios
e dos lados [ ], [ ], [ ] e
[ ] respetivamente e os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Sabe-se,
fixado um certo referencial ortonormado, que
⃗⃗⃗⃗⃗
e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
,
.
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e indique as
que
coordenadas de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
2.2. *Determine as coordenadas dos pontos
e .
⃗⃗⃗⃗⃗ e determine as coordenadas dos vértices do
2.3. *Justifique que ⃗⃗⃗⃗⃗
].
paralelogramo [
2.1. Justifique
3. Num plano munido de um referencial cartesiano os pontos
e
são vértices
consecutivos de um losango e o ponto
é o ponto de interseção das respetivas
diagonais. Determine as coordenadas dos outros dois vértices.
4. *Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, três pontos não colineares
,
e
.
Seja o ponto médio do segmento de reta [ ]. Relembrando que o baricentro do
̅̅̅̅̅, verifique que o
triângulo [
] é o ponto do segmento de reta [
] tal que ̅̅̅̅
baricentro coincide com a intersecção das mediatrizes do triângulo determinando
sucessivamente:
4.1. as coordenadas de ;
4.2. as coordenadas de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
4.3. as coordenadas de ⃗⃗⃗⃗⃗ ;
4.4. as coordenadas de .
Caderno de Apoio – GA10
Página 33
6.2
1. Num plano munido de um referencial cartesiano, sabe-se que os pontos
e
são vértices de um paralelogramo. Determine as possíveis coordenadas
do quarto vértice do paralelogramo.
2. Num plano munido de um referencial cartesiano, determine, se existir, um número real
tal que os vetores ⃗
e
sejam colineares e com o mesmo sentido.
3. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e o vetor ⃗
as coordenadas do vetor colinear a ⃗ , de sentido contrário e de norma 15.
. Determine
4. Num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos
,
e
são
vértices de um trapézio, cujas bases são os segmentos de reta[ ] e [ ].
̅̅̅̅.
4.1. *Determine todas as coordenadas possíveis do vértice sabendo que ̅̅̅̅
4.2. *Considere
Prove que o quadrilátero definido pelos pontos médios dos
] é um paralelogramo.
lados do trapézio [
6.3
1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas
respetivamente por
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
e
definidas
e{
,
Determine os pontos em que a reta interseta os eixos coordenados.
Determine a ordenada do ponto da reta que tem abcissa .
Justifique que o ponto
pertence à reta .
Indique, para cada uma das retas, um vetor diretor.
Escreva a equação reduzida da reta .
Indique, de entre , e , eventuais pares de retas paralelas.
2. Considere,
num
interseta o eixo
referencial cartesiano do plano, a reta
definida por
. Determine a equação reduzida da reta , paralela a , que
no mesmo ponto que a reta de equação
3. *Determine para que valores reais de
.
o ponto
4. **Num referencial ortonormado do plano as retas
contêm dois lados iguais de um triângulo que medem
coordenadas dos vértices desse triângulo.
pertence à reta de equação
e
unidades. Determine as possíveis
5. **Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência definida
pela equação
e o ponto
. Determine a equação reduzida de cada
uma das retas que, passando por , são tangentes à circunferência.
Caderno de Apoio – GA10
Página 34
6. Considere, num plano munido de um
referencial cartesiano, um ponto
, a
circunferência de centro
definida pela
equação
, os
pontos e de interseção da circunferência
com o eixo
e o ponto de interseção da
circunferência com o eixo
e de ordenada
superior à do ponto .
6.1. Determine as coordenadas de
e .
6.2. Determine a equação reduzida da
reta
.
].
6.3. Calcule a área do triângulo [
7. Considere, num plano munido de um referencial
cartesiano, a circunferência que passa nos
pontos
e tais que [ ] está contido na
bissetriz dos quadrantes ímpares e [ ] está
contido na bissetriz dos quadrantes pares. Sabese ainda que a ordenada de é igual a da
ordenada de .
7.1. *Determine as coordenadas de e de
sabendo que a área do triângulo
[
] é igual a
unidades de área.
7.2. Justifique que [ ] é um diâmetro da
circunferência e escreva uma equação
dessa circunferência.
7.3. Escreva uma equação cartesiana da reta
7.3
.
Comentário
Ao abordar-se a Geometria Analítica plana no Ensino Básico definiram-se referenciais
cartesianos gerais, ou seja, não necessariamente ortogonais nem monométricos (cf. Metas
Curriculares para o Ensino Básico, OTD5-1.1); nesse contexto, cada coordenada de um dado
ponto é obtida através da interseção com um dos eixos da reta paralela ao outro eixo que
passa pelo ponto (cf. ibid. OTD5-1.2). Verifica-se facilmente que, no caso em que o referencial é
ortogonal (e apenas neste caso), o mesmo resultado pode ser obtido considerando as
projeções ortogonais do ponto em cada um dos eixos coordenados. Na generalização que aqui
é feita ao espaço da noção de referencial cartesiano, uma vez que apenas se consideram
referenciais ortogonais, é esta caracterização que se adota para estender ao espaço a noção de
coordenadas de um ponto relativamente a um referencial dessa natureza; com efeito, essa
opção permite simplificar o estudo destes referenciais, por facultar uma utilização mais direta
das propriedades geométricas conhecidas da noção de perpendicularidade.
No entanto, para referenciais cartesianos no espaço mais gerais, nomeadamente se os eixos
não forem dois a dois perpendiculares mas simplesmente não complanares, as cooordenadas
de um ponto poderiam ser definidas, analogamente ao que foi feito no caso do plano,
começando por considerar a interseção de cada eixo com o plano contendo o ponto e
paralelo ao plano determinado pelos outros dois eixos; as abcissas desses pontos no respetivo
Caderno de Apoio – GA10
Página 35
eixo seriam exatamente as coordenadas de nesse referencial. Provar-se-ia depois facilmente
que as coordenadas poderiam ser obtidas começando por considerar a interseção da reta
passando por e paralela a um dos eixos, com o plano determinado pelos restantes dois eixos;
as coordenadas do ponto assim obtido num dos planos coordenados, relativamente ao
referencial constituído pelos eixos que determinam esse plano, seriam exactamente duas das
coordenadas do ponto no referencial espacial inicialmente fixado.
7.5
1. *Considere um referencial ortonormado do espaço e um terno ordenado de números reais
.
1.1. Justifique que o conjunto dos pontos do espaço cuja projeção ortogonal sobre o
eixo
é um dado ponto é o plano perpendicular a
e que passa em .
1.2. Considere o plano perpendicular ao eixo
e que contém o ponto
eo
plano perpendicular ao eixo
e que contém o ponto
. Justifique que
e são perpendiculares e caracterize, através das abcissas e ordenadas, os
pontos da respetiva reta interseção.
1.3. Considere o plano perpendicular ao eixo
e que contém o ponto
.
Justifique que o plano interseta a reta num único ponto e que esse é o único
ponto do espaço de coordenadas
.
7.6
1. * Considere um referencial ortonormado e um ponto
ortogonal no plano
,
, de projeção
1.1. Considere o ponto , projeção ortogonal do ponto no eixo . Justifique que
o plano definido pelos pontos
é perpendicular ao eixo .
1.2. Justifique que a reta
é perpendicular ao eixo
e conclua que a abcissa de
é igual a .
1.3. Utilizando um raciocínio análogo ao utilizado em 1.1. e 1.2., conclua que a
ordenada do ponto é igual a , que as coordenadas de são
e que,
no plano
, tem coordenadas
.
8.3
1. Considere um paralelepípedo retângulo como o que está representado na figura e tal que
numa dada unidade, ̅̅̅̅
, ̅̅̅̅
e ̅̅̅̅
.
1.1. Determine, utilizando o teorema de Pitágoras,
uma expressão para a medida de ̅̅̅̅ , em função de
e de .
1.2. Justifique que
é perpendicular a AC e prove
que ̅̅̅̅ √
.
Caderno de Apoio – GA10
Página 36
1.3. *Definiu-se um referencial ortonormado do espaço, tal que o eixo
, o eixo
é paralelo a
e o eixo
é paralelo a .
Tem-se ainda
e
G
, tal como
representa a figura junta.
1.3.1. Justifique que:
|
|,
|
|
|.
e
é paralelo
|
1.3.2. Conclua que a distância
entre os pontos e é
dada por:
̅̅̅̅
√
9.1
9.2
Informação Complementar para o professor
A extensão ao espaço da definição da relação de
equipolência entre segmentos orientados não
oferece dificuldade, uma vez que dois segmentos
orientados equipolentes, por definição, estão
associados a segmentos de reta pertencentes a
um mesmo plano e serem equipolentes no
espaço significa serem equipolentes no plano
determinado por esses segmentos de reta.
No descritor 9.2 exprime-se de modo informal o facto de se identificar um vetor do espaço
com a classe de equivalência de um dado segmento orientado para a relação de equipolência,
analogamente ao que foi feito no Ensino Básico para a noção de vetor no plano.
Para se verificar que a relação de equipolência é de equivalência, a única propriedade que
carece de nova demonstração, para além do que já era conhecido num plano, é a
transitividade, no caso de três segmentos orientados não complanares. Assim, basta
], [
]e[
] tais que são
demonstrar que se forem dados três segmentos orientados [
]e [
] então também é paralelogramo o
paralelogramos os quadriláteros [
]. Ora, que as retas
quadrilátero [
e
são paralelas resulta imediatamente da
transitividade do paralelismo, já que por um lado
e
e por outro
e
são paralelas
por hipótese. Por outro lado, que
e
são paralelas resulta do paralelismo dos planos
e
(são paralelos porque as retas concorrentes
e
do primeiro plano são
respetivamente paralelas às retas concorrentes
e
do segundo, por hipótese); com
efeito, as retas
e
são paralelas porque resultam da interseção desses dois planos
paralelos com o plano
, já que os pontos e são obviamente pontos da interseção dos
planos
e
, o ponto está na interseção do plano
com o plano
e o ponto ,
por um lado está obviamente no plano
e por outro também tem de estar no plano
,
já que pertence à única paralela à reta
que passa pelo ponto .
Definida esta relação de equivalência entre segmentos orientados do espaço, é agora fácil
estender ao espaço a noção de vetor, simplesmente identificando os vetores do espaço com as
classes de equivalência para a relação de equipolência, o que, com acima foi referido, fica
expresso de modo informal no descritor 9.2.
Caderno de Apoio – GA10
Página 37
Também é fácil agora estender do plano ao espaço a definição de norma de um vetor (fixada
uma unidade de comprimento), de adição de um ponto com um vetor, de translação de um
dado vetor e as operações de subtração de dois pontos, de adição e subtração de vetores, de
multiplicação de um vetor por um escalar e as respetivas propriedades geométricas e
algébricas.
Por exemplo, a coerência da definição de soma
de dois vetores pode ser justificada exatamente
com os mesmos argumentos utilizados, para o
caso de vetores de um plano, no comentário
acima aos descritores 3.1 a 3.4, utilizando a
mesma figura (reproduzida ao lado), onde agora
], [
], [
]e
os segmentos orientados [
[
] não são necessariamente complanares.
10.1
10.2
1. Considere um referencial ortonormado de origem no espaço, os pontos
,
,
os vetores (da base canónica do espaço vetorial dos vetores do espaço)
⃗⃗⃗⃗⃗ ,
⃗⃗⃗⃗⃗ e
⃗⃗⃗⃗⃗ e um vetor .
1.1 *Como exemplificado na figura junta,
considere um ponto do espaço, e
seja
. Suponha que
, onde
tem a
direção de ,
tem a direção de e
tem a direção de .
Utilizando a regra do triângulo para a soma
de
com , mostre que sendo
⃗⃗⃗⃗⃗ então tem
um ponto tal que
de pertencer à reta paralela ao eixo
que passa no ponto .
1.2 **Com as notações da alínea anterior e utilizando a regra do paralelogramo para
a soma
e a regra do triângulo para a soma de
com mostre que
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
sendo um ponto tal que
e
, então está na interseção
da reta com o plano normal à reta que passa pelo ponto , ou seja, é a
projeção ortogonal do ponto no plano paralelo ao plano
que passa no
ponto .
1.3 *Conclua da alínea anterior que existe um e somente um terno ordenado de
números reais
tal que
, designando este terno
por «coordenadas do vetor ».
1.4 Justifique que as coordenadas do ponto
são iguais às coordenadas do
vetor (dito «vetor posição» do ponto ).
11.1
1. Fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos
,
e
três dos vértices de uma das bases de um prisma quadrangular regular [
altura .
1.1. Indique as coordenadas do ponto , quarto vértice da base.
Caderno de Apoio – GA10
Página 38
são
] de
1.2. Defina analiticamente:
] do prisma.
1.2.1. O plano que contém a base [
1.2.2. O plano mediador da aresta [ ].
1.2.3. A reta
sabendo que o vértice tem a mesma abcissa e ordenada de .
1.2.4. O plano mediador de [ ].
1.2.5. A aresta [ ] sabendo que é a projeção ortogonal do vértice no plano
.
1.2.6. O conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto é igual a .
1.3. Determine o volume do prisma.
2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a superfície esférica de equação
2.1. Indique o centro e o raio da superfície esférica.
2.2. Determine expressões analíticas que definam a interseção da superfície esférica
com cada um dos seguintes conjuntos de pontos:
2.2.1. O eixo .
2.2.2. O plano de equação
2.2.3. O plano de equação
.
2.3. Prove que o ponto
pertence à superfície esférica e determine a
inequação reduzida da esfera de centro e raio ̅̅̅̅ .
3. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos
Determine:
3.1. as coordenadas do ponto
tal que é o ponto médio [
3.2. a inequação reduzida da esfera de diâmetro [ ].
e
.
].
4. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a superfície esférica de equação
.
4.1. Determine uma expressão analítica para a interseção da superfície esférica com
o plano
.
4.2. Determine analiticamente para que valores reais de o plano de equação
tem interseção não vazia com a superfície esférica .
4.3. *Determine para que valores reais de a interseção de com o plano
é
uma circunferência de raio √ .
5. *Fixado um referencial ortonormado do espaço considere os pontos
e
. Identifique analiticamente o conjunto dos pontos do espaço equidistantes de
e .
11.2
1. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos
e o vetor ⃗
. Determine as coordenadas de:
1.
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
1.2.
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
1.3.
⃗
1.
⃗)
(⃗⃗⃗⃗⃗
1.5. um vetor colinear a ⃗ e de norma .
sabendo que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗.
Caderno de Apoio – GA10
Página 39
2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, um prisma quadrangular regular
[
] tal que os vértices
e
pertencem a uma das
bases e o vértice
pertence à outra base, como ilustra a figura junta.
2.1. Seja o ponto médio da aresta [ ]. Determine
as coordenadas do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2.2. *Determine os números reais
e tais que
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ .
2.3. Determine as coordenadas do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗
2.4. Escreva as equações paramétricas da reta que
passa em e é paralela ao eixo .
3. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, o ponto
e o vetor
.
3.1. Escreva as equações paramétricas da reta que tem a direção de e passa no
ponto .
3.2. Mostre que o ponto
pertence à reta
3.3. Utilizando as equações obtida em 3.1., determine as coordenadas do ponto ,
interseção da reta com o plano
.
3.4. Os pontos e
são as extremidades de um diâmetro de uma esfera de
centro . Determine as coordenadas de e o raio dessa esfera.
3.5. Indique as coordenadas de um ponto que não seja colinear com e .
4. Fixado um referencial ortonormado do espaço
considere os pontos
,
e
]
vértices do cubo [
√
ilustrado na figura junta.
] tem as
4.1. Justifique que o tetraedro [
arestas todas iguais (ou seja, que é um
“tetraedro regular”).
4.2. Determine as coordenadas dos restantes
vértices do cubo.
4.3. Determine equações paramétricas da reta .
4.4. Defina analiticamente o segmento de
reta [ ].
5. *Fixado um referencial ortonormado do espaço e para um dado valor real de , os vetores
⃗
e
são colineares. Determine .
6. Fixado um referencial ortonormado do espaço foi representada
uma pirâmide quadrangular regular de vértice
e base
[
] . Um plano paralelo à base interseta a pirâmide
] Sabe-se ainda que
definindo o quadrado [
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
e
.
6.1. Determine as coordenadas dos vértices e e do
vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
6.2. *Sabendo que a área da base da pirâmide é igual a
unidades quadradas, determine as coordenadas de ⃗⃗⃗⃗⃗
e do ponto .
Caderno de Apoio – GA10
Página 40
Funções Reais de Variável Real FRVR10
Descritor
1.1
rr
Texto de Apoio
Comentário
1.2
No Ensino Básico introduz-se a noção de função de um dado conjunto em dado conjunto
sem se explicitar de que objeto matemático, de facto, se trata, mas impondo-se que uma
função fica bem determinada quando, para além dos conjuntos e se indica, para cada
elemento de qual o elemento (único) de que lhe fica associado, o qual se representa por
. Introduziram-se algumas noções básicas relativas a este conceito, em particular a de par
ordenado e a de gráfico. É pois de toda a conveniência efetuar a revisão destes conceitos a
propósito deste objetivo geral (cf. Metas Curriculares do Ensino Básico, FSS7-1.1 a 1.7).
Resulta da caracterização dada no ensino básico de função e de gráfico que uma função
fica determinada pelos conjuntos e e pelo respetivo gráfico e que um conjunto
de pares ordenados
com
e
(ou seja, como agora podemos escrever,
) é gráfico de uma função de em se e somente se para todo o
existir
um e somente um elemento
tal que
. Assim, embora tal não seja requerido,
poderíamos identificar uma função
de gráfico como o terno ordenado (
)
o que estaria de acordo com as propriedades impostas no Ensino Básico à noção de função.
1.11
1.12
1.13
1. Considere a função
definida por
.
1.1. Justifique que é bijetiva e apresente uma expressão para
1.2. Mostre que para todo o
e
2. *Considere a função bijetiva
Calcule, utilizando a definição de
justifique que
e que
.
.
,
e
para
e
e
.
3. *Sejam
,
funções:
3.1. Suponha que
3.1.1. é bijetiva e
.
3.1.2.
e
.
3.2. Suponha que
e
3.2.1.
3.2.2. é bijetiva e
2. 6
,
; prove que:
; prove que:
.
Comentário
Convém recordar a convenção introduzida no Ensino Básico (Metas curriculares de Matemática
para o Ensino Básico, FSS7-1.9) de acordo com a qual se designa também apenas por «gráfico
de », quando esta designação não for ambígua, um gráfico cartesiano de uma função real de
variável real , ou seja, o conjunto dos pontos de um plano munido de um referencial
cartesiano, cujas coordenadas são exatamente os pares ordenados elementos do gráfico de
propriamente dito, ou seja, os pares
com em .
Caderno de Apoio – FRVR10
Página 41
1. Considere a função definida, em , por
e o respetivo gráfico representado
num plano munido de um referencial ortogonal.
1.1. Seja
. Indique as coordenadas dos seguintes pontos do gráfico de :
- o ponto de abcissa ;
- o ponto de abcissa – .
1.2. Prove que o ponto médio de [ ] pertence ao eixo das ordenadas.
1.3. Justifique que o eixo das ordenadas é perpendicular ao segmento de reta [ ].
1.4. Conclua que o eixo das ordenadas é eixo de simetria do gráfico de .
2. *Considere uma função par definida em
e o respetivo gráfico representado num
plano munido de um referencial ortogonal.
2.1. Seja
e
um ponto do gráfico de . Indique as coordenadas do
ponto do gráfico de de abcissa – .
2.2. Mostre que qualquer ponto do eixo das ordenadas é equidistante de e de .
2.3. Conclua que o eixo das ordenadas é eixo de simetria do gráfico de .
3. *Considere uma função de variável real
cujo gráfico, num plano munido de um
referencial ortogonal, é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas. Mostre que é par.
2. 7
1. Considere a função definida, em , por
e o respetivo gráfico representado
num plano munido de um referencial cartesiano.
1.1 Mostre que é uma função ímpar.
1.2 Mostre que os pontos do gráfico de de abcissas respetivamente iguais a e a
são simétricos relativamente à origem do referencial.
1.3 *Mostre que o gráfico de é simétrico relativamente à origem do referencial.
2. *Considere uma função ímpar definida em
e o respetivo gráfico representado
num referencial ortogonal.
2.1 Seja
e
um ponto do gráfico de . Indique as coordenadas do
ponto do gráfico de de abcissa – .
2.2 Prove que o ponto médio de [ ] é o ponto , origem do referencial.
2.3 Conclua que a imagem do gráfico de pela reflexão central de centro coincide
com o próprio gráfico.
3. *Considere uma função de variável real
cujo gráfico , num plano munido de
um referencial cartesiano, é simétrico relativamente à origem , isto é, a imagem de
pela reflexão central de centro coincide com . Mostre que é impar.
2. 8
1. Considere a função
definida por
.
1.1. Justifique que é uma função bijetiva e determine uma expressão analítica para
,
. Represente, num plano munido de um referencial ortonormado,
os gráficos das funções e
.
1.2. Determine a imagem dos pontos e do gráfico de de abcissas respetivamente
iguais a
e pela reflexão axial de eixo de equação
e verifique que se
trata de pontos do gráfico de
.
1.3. *Mostre que a imagem do gráfico de
gráfico de
.
Caderno de Apoio – FRVR10
pela reflexão de eixo de equação
Página 42
éo
2. **Considere uma função
[
bijetiva e um ponto
,
ainda a função
[
[ [
, e o ponto do gráfico de
abcissa
[ [
[
. Considere
[ inversa de
que tem por
Prove que qualquer ponto
da reta
é
equidistante de e de e conclua que os gráficos de
e de
são simétricos relativamente à bissetriz
dos quadrantes impares.
3.** Fixado um plano munido de um referencial cartesiano, mostre que a imagem de um
ponto
pela reflexão de eixo de equação
é o ponto
e conclua, dada uma
função bijetiva , que os gráficos de e de
são simétricos relativamente a esse eixo.
2.9
Comentário
Esta questão foi abordada no ensino básico (cf. Metas Curriculares de Matemática para o
Ensino Básico, FSS8-1.2), pelo que pode consultar-se, a este propósito, o texto no Caderno de
Apoio ao 3.º ciclo relativo ao referido descritor.
1. Considere as funções e
definidas em por
e
. Considere
ainda, num plano munido de um referencial cartesiano, os gráficos destas duas funções e o
ponto do gráfico de de abcissa .
1.1. Determine as coordenadas do ponto , imagem de pela translação de vetor
⃗
e justifique que pertence ao gráfico de .
1.2. Justifique que a imagem de qualquer ponto do gráfico de pela translação
referida na alínea anterior é um ponto do gráfico de .
1.3. Inversamente, justifique que todo o ponto do gráfico de é a imagem de um
ponto do gráfico de pela translação referida na alínea 1.1.
2. Considere duas funções reais e definidas em
e tais que para todo o
, onde
. Considere ainda, num plano munido de um
referencial cartesiano, os gráficos destas duas funções e o ponto do gráfico de de
abcissa
.
2.1. Determine as coordenadas do ponto , imagem de pela translação de vetor
⃗
e justifique que pertence ao gráfico de .
2.2. Considere um ponto do gráfico de . Prove que é a imagem de um ponto do
gráfico de pela translação de vetor ⃗ .
2. 10
1. Considere a função definida por
√ .
1.1 Qual o domínio da função definida pela expressão
?
√
1.2 Justifique que o ponto
pertence ao gráfico de . Qual a imagem de pela
translação de vetor ⃗
? Mostre que se trata de um ponto do gráfico de .
1.3 *Mostre que a imagem do gráfico de pela translação de vetor ⃗ é o gráfico de .
Caderno de Apoio – FRVR10
Página 43
2. *Considere duas funções reais e definidas, respetivamente, em e
{
},
onde
, e tais que, para todo o
,
. Considere ainda, num
referencial cartesiano, os gráficos destas duas funções e o ponto do gráfico de de
abcissa
.
2.1. Determine as coordenadas do ponto , imagem de pela translação de vetor
⃗
e justifique que pertence ao gráfico de .
2.2. Considere um ponto do gráfico de . Prove que é a imagem de um ponto do
gráfico de pela translação referida na alínea anterior.
2.11
2.12
Comentário
O estudo das transformações geométricas de gráficos cartesianos associadas a translações e
homotetias nas variáveis dependente e independente de uma dada função pode ser ilustrado
com recurso à calculadora gráfica ou outros meios tecnológicos para obter representações
gráficas de funções. Além disso, especialmente no caso das homotetias (cf 2.11, 2.12, 2.13 e
2.14), é interessante recorrer a funções com domínios finitos, como no exemplo seguinte, o
que pode também facilitar a compreensão do resultado geral.
{
1. Seja
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
} o gráfico de uma dada função .
Represente
num referencial ortogonal.
Represente as imagens dos pontos do gráfico cartesiano de pela transformação
que ao ponto
do plano associa o ponto
.
} definida por por
Considere a função , de domínio {
.
Relacione o gráfico cartesiano de com a transformação e com o gráfico
cartesiano de .
Represente de novo o gráfico cartesiano de e as imagens dos respetivos pontos
pela transformação
que ao ponto
do plano associa o ponto
.
1.5. Obtenha uma expressão analítica para função cujo gráfico cartesiano é a
imagem do gráfico cartesiano de pela transformação .
2.13
2.14
1. Seja
{
} o gráfico de uma dada função .
1.1 Represente
num referencial ortogonal.
1.2 Represente as imagens dos pontos do gráfico cartesiano de pela transformação
que ao ponto
1.3 Considere a função
do plano associa o ponto
(
)
, de domínio {
} definida por
.
Relacione o gráfico cartesiano de com a transformação e com o gráfico
cartesiano de .
1.4 Represente de novo o gráfico cartesiano de e as imagens dos respetivos pontos
pela transformação que ao ponto
do plano associa o ponto
.
1.5 Obtenha o domínio e uma expressão analítica para função cujo gráfico
cartesiano é a imagem do gráfico cartesiano de pela transformação .
Caderno de Apoio – FRVR10
Página 44
4.6
Informação Complementar para o professor
A propriedade expressa neste descritor pode ser demonstrada considerando três pontos
arbitrários
do gráfico cartesiano de uma função real de
(
)e
variável real definida num dado intervalo e tais que
e notando que se pretende
estudar o sentido da concavidade do gráfico de comparando as ordenadas de e do ponto
. Comecemos então por calcular
;
(
) do segmento de reta [ ] tal que
atendendo às equações paramétricas do segmento de reta [ ] temos:
[
{
Mas
, pelo que
à hipótese
],
, tendo-se, de facto,
[
], atendendo
. Então:
portanto a desigualdade
é equivalente a:
ou seja, designando por
o declive de uma reta
:
A equivalência que acabámos de estabelecer pode ser expressa informalmente dizendo que
“partindo de determinado ponto do plano e percorrendo da esquerda para a direita uma reta não
vertical, quanto maior for o respetivo declive maior será a ordenada do ponto atingido com
determinada abcissa pré-fixada, e reciprocamente”. É finalmente, portanto, esta última
desigualdade, verificada para quaisquer pontos , e nas condições acima, que pretendemos
provar que é equivalente ao gráfico de ter a concavidade virada para cima.
Ora esta última condição exprime-se através da desigualdade:
ou seja:
Provemos então que, para quaisquer pontos , e nas condições inicialmente estabelecidas,
pode ser escrito como uma “média pesada” de
e
, ou,
dito de outra forma, no triângulo [
e
. Para isso basta notar que:
Onde
Caderno de Apoio – FRVR10
]
] o declive de
[, atendendo a que
é uma média pesada dos declives de
,e
.
Página 45
Acabámos então de provar que:
] [) e pretendemos demonstrar a equivalência, para quaisquer , e nas
(para certo
condições acima, entre
e
, o que é geometricamente óbvio (já que
está sempre no intervalo de extremos
e
) e resulta imediatamente da equação acima:
,
e:
.
Para se obter o resultado relativo aos gráficos de funções quanto à propriedade de terem a
concavidade voltada para baixo, basta aplicar o resultado anterior às funções – .
4.8
1. Considere a função definida em pela expressão
.
1.1 Calcule as ordenadas dos pontos , e do gráfico de , sabendo que as
respetivas abcissas são , e .
1.2 Compare o declive das retas
e
.
1.3 Repita o exercício da alínea anterior escolhendo três pontos arbitrários , e
do gráfico de , de abcissas respetivamente
e conclua quanto ao
sentido da concavidade do gráfico de .
2. *Considere a função definida, em , pela expressão
,
Considere ainda
pontos
e pertencentes ao gráfico de e tais que, num referencial cartesiano, as
respetivas abcissas verificam a condição:
.
2.1 Exprima em função das abcissas de e de o declive da reta
.
2.2 Exprima em função das abcissas de e de o declive da reta
.
2.3 Considere
e compare os declives das retas
e
.
2.4 Considere
e compare os declives das retas
e
.
2.5 Conclua qual a relação entre o sinal de e o sentido da concavidade do gráfico de .
6.1
1. Represente sob a forma de intervalos ou uniões de intervalos os conjuntos-solução das
seguintes condições em :
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6. |
|
|
1.7. |
|
1.8. |
|
1.9. |
|
|
1.10.
1.11. | |
| |
|
1.12. |
|
1.13. |
.
Caderno de Apoio – FRVR10
Página 46
2. Para cada valor real de
e de , a expressão
define uma função
quadrática.
2.1. Considere
e
e determine o contradomínio de .
2.2. *Para que valores reais de e de o contradomínio da função definida por
|
| é diferente de [
[?
3. Para cada valor real de a expressão
define uma uma função .
3.1. *Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
(I)
(II) Se
( );
, o contradomínio de
é]
];
(III) Se
então
( ).
3.2. Determine para que valores reais de a equação
é impossível em .
4. *Existe uma única reta paralela à reta de equação
que interseta a parábola de
equação
num único ponto. Determine as coordenadas desse ponto.
5. *Determine para que valores reais de a reta de equação
interseta a parábola
de equação
num único ponto e, para cada valor de , determine as
coordenadas do ponto de interseção da reta com a parábola.
6.2
1. Resolva as seguintes equações, simplificando tanto quanto possível as expressões que
representam as respetivas soluções:
1.1. √
;
1.2. √
;
1.3. √
;
1.4. √
;
√
1.5. √
.
2. Represente sob a forma de intervalos ou uniões de intervalos os conjuntos-solução das
seguintes condições:
2.1. √
;
2.2. √
;
2.3. * √
.
√
6.3
1. Averigue se as funções definidas no maior domínio possível pelas seguintes expressões são
pares ou ímpares.
1.1. | |
1.2.
;
1.3. | |;
1.4. √ ;
1.5.
;
1.6.
√
2. O gráfico de uma função afim interseta o eixo
em
ordenada .
2.1 Determine:
2.1.1 a forma canónica de
2.1.2 os zeros da função definida por
2.1.3 o contradomínio da função definida por
2.2 Esboce o gráfico da função definida por
Caderno de Apoio – FRVR10
e o eixo
;
|
|
no ponto de
;
.
Página 47
3. Considere uma função de domínio e de contradomínio [
das funções definidas pelas seguintes expressões:
3.1.
;
3.2.
;
3.3.
;
|
|.
3.4.
4. Considere
] Indique o contradomínio
a
função
definida por
e representada na
figura num referencial cartesiano.
O quadrilátero [
] é um retângulo,
sendo A o ponto interseção do gráfico de
com o eixo , um ponto do gráfico de
e um ponto do eixo
4.1. Determine as coordenadas dos
vértices
.
4.2. Determine a área do retângulo
[
].
4.3. Considere a função
tal que
4.3.1. Determine o ponto de
interseção do gráfico de g
com o eixo
e designe-o
por .
] de forma análoga ao construído na figura e
4.3.2. Construa o retângulo [
calcule a respetiva área.
] e [
] e relacione a
4.3.3. Compare as áreas dos retângulos [
conclusão com a contração que transforma o gráfico de no gráfico de .
4.4. Considere a função tal que
.
4.4.1. Determine o ponto de interseção do gráfico de com o eixo , designe-o
] de forma análoga ao construído na
por , construa o retângulo [
figura e determine a respetiva área.
]e[
] e relacione a conclusão
4.4.2. Compare as áreas dos retângulos [
com a contração que transforma o gráfico de no gráfico de .
4.5. *Considere a função definida por
( ). A partir do gráfico de e, de
]. Indique a
forma análoga ao das alíneas anteriores, construa um retângulo [
área do retângulo e identifique as transformações no gráfico de que justificam o
valor obtido para a área.
6.4
1. Considere as funções e definidas por
e
.
√
1.1. Defina as funções
e
, indicando os respetivos domínios e uma expressão
analítica tanto quanto possível simplificada para cada uma das funções.
1.2. Tendo em conta a alínea anterior, o que pode afirmar acerca da comutatividade
da composição de funções?
2. Diz-se que duas funções e são permutáveis quando
.
2.1. Mostre que as funções definidas em por
e
são
permutáveis.
2.2. * Dê exemplo de duas funções afins e cujos gráficos se intersetem num ponto
da bissetriz dos quadrantes ímpares. Mostre que e são permutáveis.
Caderno de Apoio – FRVR10
Página 48
3. *Considere a função afim que, para dados valores reais
e , é definida por
. Determine a expressão analítica da função inversa de e indique em que
condições se tem
. Interprete geometricamente esta igualdade.
4. *Dados
,
considere a função quadrática definida por
4.1 Mostre que admite um único extremo absoluto.
4.2 Prove que, se a função tiver dois zeros, a abcissa do vértice da parábola (isto é, o
ponto do gráfico de que corresponde ao respetivo extremo absoluto) de
equação
é igual à média aritmética dos zeros.
5. Um cone reto tem altura igual ao triplo do raio da base e volume
5.1. Designando por o raio da base, exprima em função de .
5.2. Determine para que valor de , a área da base é igual a
6. *Na figura está representada, num referencial
ortonormado, parte do gráfico da função
definida por
e que interseta o
√
eixo
no ponto .
O ponto pertence ao gráfico da função e é
um ponto do eixo
tal que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e de
abcissa superior à abcissa de .
Representando a abcissa do ponto por , exprima em função de a área do triângulo
[
] e determine para que valor de a área do triângulo é igual a .
7. Considere a função
definida por:
{
7.1. Calcule
√
7.2. Averigue se a função
.
tem zeros.
8. Um projétil é lançado verticalmente e a respetiva altura (em metros acima do solo) é
dada, em função de , (em segundos após o instante inicial
) por
.
8.1. Qual a altura do projétil no instante em que foi lançado?
8.2. Qual a altura máxima atingida pelo projétil?
8.3. Quanto tempo esteve o projétil a uma altura superior a
metros?
8.4. Ao fim de quanto tempo o projétil atingiu o solo? Indique o resultado em segundos
arredondados às décimas.
9. Considere as funções
e
definidas, respetivamente, por
em
√
[
[ e
em .
9.1. Esboce o gráfico das funções e .
9.2. Determine os zeros de .
9.3. Utilizando a calculadora gráfica, determine valores aproximados às décimas das
soluções da equação
, justificando por que razão existem exatamente
duas soluções.
10. O raio
de uma superfície esférica de área
é definido pela expressão
Utilizando esta expressão,
10.1. Determine o raio de uma superfície esférica de área igual a
Caderno de Apoio – FRVR10
√ .
Página 49
√ .
10.2. Mostre que o volume da esfera de raio
pode ser definido pela expressão
√ .
10.3. Determine para que valor de
respetiva superfície esférica.
o volume da esfera é igual a metade da área da
11. Na figura junta está representada, num plano
munido de um referencial ortonormado, parte do
gráfico da função definida por
e o ponto de coordenadas
.
Considere a função que associa a cada a
distância entre e o ponto do gráfico de de
abcissa .
11.1. Prove que para todo ,
.
√
11.2. Sabendo que existem exatamente dois
pontos do gráfico de que distam uma
unidade de , indique o valor exato da
abcissa de um deles e utilize a
calculadora gráfica para obter um valor
aproximado às décimas da abcissa do
outro, explicando o procedimento
utilizado.
11.3. Existe um ponto em que os gráficos de e de se intersetam. Determine-o por
métodos analíticos e interprete geometricamente o resultado obtido.
6.5
1. Nas figuras estão representadas duas funções
e .
1.1. Indique o domínio de cada uma das funções.
1.2. Indique o domínio da função
e calcule
1.3. Indique o domínio de
e calcule
.
2. Considere as funções e definidas por
e
√
√
2.1. Determine o domínio de cada uma das funções e .
2.2. Determine o domínio da função
e determine os zeros de .
2.3. Determine
( )
.
3. Considere as funções e definidas por
Determine o domínio da função .
Caderno de Apoio – FRVR10
√
e
√
.
Página 50
Estatística EST10
Descritor
Texto de Apoio
1.1
1.2
1.3
1.4
Comentário
A inclusão destes descritores como preâmbulo ao bloco de estatística do 10.º ano tem como
objetivo, nomeadamente, dar agilidade aos alunos na manipulação de somatórios para que lhes
venha a ser mais fácil demonstrar as principais propriedades da média e do desvio padrão de
uma amostra.
1. Proponha uma expressão analítica para o termo geral da sequência (6, 9, 12, 15, 18,
21, 24) e, utilizando o símbolo de somatório, represente a soma dos respetivos termos.
2. Sabendo que
∑
, exprima em função de
e de
o valor de
∑
.
.
2.1
Comentário
Após nove anos de contacto com o tópico de organização e tratamento de dados, a
classificação de uma variável estatística como sendo de tipo quantitativo ou qualitativo é, no
10.º ano, um conhecimento que se considera como adquirido. As variáveis de tipo quantitativo
(de contagem, de medição, financeiras, ou outras) são as que permitem um mais elevado nível
de complexidade na modelação e análise estatística e, por isso, se dedica, no programa de 10.º
ano, uma especial atenção a este tipo de variáveis.
2.2
Comentário
O resultado do processo de recolha de uma amostra , de dimensão , de uma certa população
e registo do valor observado da variável estatística de interesse em cada unidade estatística
de , pode ser formalizado matematicamente, como um conjunto onde os elementos são pares
ordenados cujas coordenadas são a unidade estatística e o respetivo valor da variável de
interesse. No entanto, de modo a normalizar uma notação que permita apresentar fórmulas de
cálculo para as diversas características amostrais que irão ser trabalhadas neste tópico da
Estatística, começa-se por numerar as unidades estatísticas (de 1 a ) representando-se em
seguida por o valor da variável no i-ésimo elemento de . Obtém-se assim o conjunto de
dados {
} que, matematicamente se pode identificar com a sequência
e que aqui se representará por . Designa-se então
por
̃
̃
«amostra da variável estatística » ou, simplesmente por «amostra», sempre que não houver
ambiguidade.
2.3
2.4
Comentário
Os descritores 2.3 e 2.4 têm por objetivo a fixação de notação no que se refere à fórmula de
cálculo da média. No caso de dados organizados em tabelas de frequência (dados agrupados)
situação comum quando se está perante dados de contagem, o conjunto dos valores que
surgem na amostra é representado por ̃. Note-se que no conjunto dos valores da amostra não
surgem elementos repetidos. Por exemplo, o conjunto dos valores da amostra
é
Caderno de Apoio – EST10
Página 51
{
}. Os elementos de ̃ são denotados por ̃ ̃
̃ , onde é o total de valores da
amostra, e a frequência absoluta de ̃ é denotada por
No exemplo dado poderemos
escrever ̃
̃
̃
e
2.5
2.6
Comentário
O descritor 2.6 tem por objetivo ilustrar de forma rápida quão pouco resistente é a média como
estatística de localização. A interpretação física da média como o centro de gravidade de um
objeto simbólico constituído por um segmento da reta real com pesos nas localizações de cada
um dos valores distintos da amostra, sendo a massa desses pesos igual à frequência de cada um
desses valores, permite criar uma imagem visual da localização da média e dar exemplos de
como um único valor muito maior (menor) que todos os restantes consegue “arrastar” a média
de modo a que a esta seja superior (inferior) a todos os valores da amostra menos um.
0
10
20
30
40
50
Com esta representação física ilustra-se ainda a seguinte propriedade:
«a média situa-se sempre entre o máximo e o mínimo da amostra e não pode ser igual ao
mínimo sem ser também igual ao máximo, o que acontece se e somente se a amostra for
constante».
1. * Considere a amostra
{
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
̃
e seja
{
} e
}.
∑
∑
Justifique que ∑
e que ∑
Conclua que se tem
̅
.
Mostre que se ̅
ou ̅
então a amostra é constante.
Conclua da alínea anterior que se algum valor da amostra for superior a
̅
pelo que só se tem ̅
se a amostra for constante.
3.1
então
Comentário
O desvio de cada valor da amostra relativamente à média é elemento nuclear na definição do
mais importante indicador estatístico de dispersão dos valores da amostra, o desvio-padrão. A
demonstração de que é nula a soma desses desvios recorre unicamente a uma manipulação
simples dos somatórios e pode por isso considerar-se como exercício.
3.2
Comentário
Nas ciências experimentais das áreas da biologia e da saúde, uma das mais utilizadas
metodologias estatísticas de comparação de resultados de experiências, realizadas em
condições de aplicação diferentes, é a chamada Análise de Variância ou simplesmente ANOVA.
Esta metodologia foi formalmente apresentada pela primeira vez por Sir Ronald Fisher em 1918
mas só ficou mais largamente conhecida depois da publicação, em 1925, do seu livro
“Statistical Methods for Research Workers”. Ora, a Análise de Variância recorre
Caderno de Apoio – EST10
Página 52
fundamentalmente a propriedades das somas dos quadrados dos desvios em relação à média
pelo que, dado que muitos alunos irão certamente utilizá-la ao prosseguirem estudos no ensino
superior e uma vez que é a partir dessas somas de quadrados que se define a variância, incluiuse este descritor onde se fixa notação e se estabelece uma fórmula de cálculo equivalente e de
mais fácil manipulação.
3.3
Comentário
Este descritor tem por objetivo dar a conhecer uma importante propriedade de
que se
traduz, essencialmente, em dizer que somente
das suas parcelas são independentes pois
a parcela restante fica determinada pelo facto de ser nula a soma dos desvios em relação à
média (ver descritor 3.1). Note-se que, além disso, menos do que
parcelas de
não
determinam o valor das restantes.
1. Para uma certa amostra
̅ para
, conhecem-se os desvios
̃
:
,
,
,
1.1. Determine o valor de .
1.2. Calcule a soma dos quadrados dos desvios,
.
1.3. Sabendo que
, identifique a amostra
e calcule o valor da respetiva
̃
média.
2. Justifique as sucessivas passagens na seguinte sequência de igualdades:
∑
∑
̅
∑
∑
̅
∑
∑
̅
̅∑
̅
̅ .
3.5
1. Registou-se a altura, em cm, de
̃
para metros. Calcule
2. *Dado
um
número
e
real
raparigas e obteve-se a seguinte amostra:
. Seja a amostra das alturas das 5 raparigas, convertidas
̃
e verifique que
= 10000
.
,
considere
as
amostras
. Utilizando a fórmula de cálculo de
̃
somatórios, mostre que
.
e
̃
e propriedades dos
3. Uma certa balança tem um desvio positivo sistemático de . Pesaram-se nessa balança
laranjas, uma de cada vez e registou-se o seu peso em gramas. Obteve-se a amostra
. Seja a amostra dos verdadeiros pesos de cada uma das 4
̃
̃
laranjas. Calcule
e
e mostre que
=
4. *Considere as amostras
e
̃
̃
número real. Utilize a fórmula de cálculo de
mostrar que
.
Caderno de Apoio – EST10
onde
é um
e propriedades dos somatórios para
Página 53
Comentário
Dado que a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é tanto menor quanto mais
próximos da média estiverem os valores da amostra, a soma dos quadrados dos desvios em
relação à média fornece, por isso, uma medida da dispersão ou variabilidade da amostra.
Como propriedades da soma dos quadrados dos desvios em relação à média, destaca-se o facto
de só ser nula se todos os valores da amostra forem iguais entre si, não se alterar perante
translações e alterar-se perante uma mudança de escala ou de unidade de medida.
3.6
1. Considere a amostra
.
̃
1.1. Calcule
utilizando a definição.
1.2. Organize os dados numa tabela de frequências e verifique que, sendo
∑
frequências de cada um dos valores da amostra,
=̃ ̅
.
2. Considere uma amostra
amostra .
̃
Justifique que
∑
̅
de dimensão
̃
=
∑ ̃
3.9
ẽ ̃
̃
os
as
valores da
̅
Comentário
Como já foi referido, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média fornece uma
medida da dispersão da amostra mas, por ir aumentando à medida que se incluem novos
elementos, não é um bom indicador da variabilidade existente nos valores da variável
estatística de interesse na população de onde se recolheu a amostra.
3.11
Comentário
Independentemente da dimensão da amostra , o par ̅
dá uma informação relevante
̃
acerca da distribuição da amostra. Mais precisamente, fornece-nos uma estimativa (por
excesso) da percentagem de unidades estatísticas que têm valores da variável de interesse
fora de intervalos fechados centrados na média da amostra.
De facto, decorre de um resultado devido a Chebycheff (1867) que, sendo
o número de
unidades estatísticas cujos valores da variável de interesse estão fora do intervalo [ ̅
̅
], então
é sempre inferior a
estatísticas cujos valores da variável
sempre superior a
Caderno de Apoio – EST10
. De igual modo, sendo
pertencem ao intervalo [ ̅
o número de unidades
̅
], então
.
Página 54
é
Exemplo:
De uma certa população recolheu-se a amostra de unidades estatísticas e registou-se os
valores da variável de interesse. Obteve-se como média da correspondente amostra o
̃
valor ̅
e como desvio padrão
. Fazendo
no resultado apresentado neste
descritor, estas duas características amostrais permitem-nos dizer que não há mais de 25% das
unidades estatísticas de com valores fora do intervalo [
]. Assim, 25% é uma estimativa,
por excesso, da percentagem de unidades estatísticas que têm valores fora do intervalo [
].
Podemos também dizer que é igual a 75% uma estimativa, por defeito, da percentagem de
unidades estatísticas de cujos valores pertencem ao intervalo [
].
Embora não se estude o referido teorema de Chebycheff, no exemplo seguinte apresenta-se
uma demonstração direta do resultado expresso neste descritor.
1. ** De uma certa população recolheu-se a amostra , de dimensão , de unidades
estatísticas e registou-se os valores da variável de interesse. Sem perda de generalidade,
admita que numera as unidades estatísticas de modo a que sejam atribuídos os números de
a aquelas cujos valores da variável estão fora do intervalo [ ̅
̅
], onde é o
desvio padrão da amostra.
1.1. Justifique que, para
, se tem |
̅|
, pelo que, também,
̅
.
1.2. Conclua da alínea anterior que ∑
̅
.
1.3. Justifique que também se tem ∑
̅
, onde é a dimensão da
amostra.
1.4. Tendo em conta a fórmula de cálculo da variância, conclua que a desigualdade
anterior é equivalente a
, pelo que também se tem
, ou seja,
desde que não seja nulo.
1.5. Considere agora o intervalo na forma geral [ ̅
̅
] e deduza que, nesse
caso, a última desigualdade passa a ter a forma
4.1
.
Comentário
No ensino básico os alunos já tiveram de recorrer à ordenação de conjuntos de dados,
nomeadamente para calcular as respetivas mediana e quartis. Este descritor fixa a notação para
os termos de uma amostra ordenada.
Por
exemplo,
dada
a
amostra
̃
onde, por exemplo,
Caderno de Apoio – EST10
a
amostra
ordenada
e
.
Página 55
é
4.2
4.3
Comentário
Tome-se, a título de exemplo, a amostra
referente aos pesos,
̃
em gramas, de 5 maçãs. Como foi anteriormente referido, a ordem por que surgem os valores
na sequência pressupõe que de alguma forma foi escolhida uma primeira maçã para ser pesada
e registado o respetivo peso, em seguida ter-se-á escolhido uma segunda maçã que, mais uma
vez, foi pesada e registado o seu peso e, assim sucessivamente, até estarem pesadas todas as
maçãs e registados todos os pesos.
110
150
180
200
150
Ordenando as maçãs pelo peso respetivo, obtém-se a amostra de maçãs (unidades estatísticas)
ordenada de acordo com os valores da variável de interesse (o peso).
110
150
150
180
200
Por sua vez, no que respeita à variável peso, a amostra ordenada é
.
De modo a clarificar a noção de percentil, considere-se o caso concreto do percentil 30. De
acordo com a definição, uma vez que
, o percentil 30 é o valor de ordem [ ]
da amostra ordenada, ou seja,
(gramas). Já o percentil 80, por exemplo, uma
vez que
(inteiro), é dado por
gramas.
Note-se que o percentil não tem, obrigatoriamente, de ser um dos valores da amostra. É, no
entanto, um valor que verifica o seguinte:
«Dada uma amostra de uma certa população e uma variável estatística de interesse, a
percentagem de unidades estatísticas de que têm valores inferiores ou iguais a é, pelo
menos
e a percentagem de unidades estatísticas que têm valores superiores a é, quando
muito,
».
No exemplo dado, podemos então dizer que, pelo menos 80% das maçãs têm pesos inferiores
ou iguais ao percentil 80 (190 gramas) e que, no máximo, 20% das maçãs têm pesos superiores
ao percentil 80. Como facilmente se confirma, tem-se, neste caso, exatamente 80% das maçãs
com peso inferior ou igual a 190 gramas (4 maçãs em 5) e temos exatamente 20% com peso
superior a 190 gramas (1 maçã em 5). No entanto, se analisarmos o caso do percentil 30, as
afirmações, sendo verdadeiras, estão longe de fornecer limiares precisos. De facto, é verdade
que pelo menos 30% das maçãs têm peso inferior ou igual a 150 gramas, no entanto a
percentagem das que verificam esta condição é 60% (3 maçãs em 5). Também é verdade que,
no máximo, 70% das maçãs pesam mais do que 150 gramas, mas este caso concreto mostra
Caderno de Apoio – EST10
Página 56
que essa percentagem é, apenas, de 40% (2 maçãs em 5). Discrepâncias desta natureza nos
limiares dados pelos percentis ocorrem em amostras onde haja duas ou mais unidades
estatísticas com valores idênticos e, por esse motivo, a descrição de uma amostra através de
percentis é especialmente apropriada no caso das variáveis de natureza contínua (como é o
caso da altura e peso de bebés, onde a referência aos percentis já é de uso comum).
4.4
A definição de percentil para dados organizados em classes pode ter como suporte visual o
histograma. Recorde-se que o histograma é um diagrama de áreas para o qual há uma relação
de proporcionalidade direta entre a área de cada retângulo e a frequência (absoluta ou
relativa) da respetiva classe. Quando uma amostra de dimensão está organizada em classes
de igual amplitude
consegue-se esse objetivo tomando para altura do retângulo, ou a
frequência absoluta
, ou a frequência relativa
. Quando as classes têm diferentes
amplitudes, a altura de cada retângulo tem de ser “corrigida” adequadamente dividindo a
frequência (absoluta ou relativa) pela amplitude da respetiva base.
O descritor 4.4 apresenta uma forma de se obter o percentil de ordem para dados
organizados em classes que corresponde a determinar o ponto do eixo das abcissas para o qual
a área acumulada é igual a
da área total. Admite-se apenas o caso de organização em
classes de igual amplitude mas a abordagem é facilmente generalizável a casos em que as
classes tenham amplitudes diferentes.
Observe-se que, no caso em que as classes têm igual amplitude e em que se toma como altura
de classe a frequência absoluta, a área total do histograma é . Pretende-se então encontrar o
ponto tal que a área do histograma, desde o limite inferior do primeiro intervalo de classe até
esse ponto , seja igual a
.
A figura seguinte ilustra a localização do percentil 70. De facto, tendo em conta que as classes
têm igual amplitude e que a área de cada retângulo é a assinalada nas etiquetas respetivas,
podemos concluir que a área total é igual a 40, pelo que a área correspondente ao percentil 70
é 28. Acumulando sucessivamente as áreas dos retângulos a partir do primeiro, verifica-se que
a soma das áreas dos dois primeiros retângulos é estritamente inferior a 28 mas que ao
adicionar a área do terceiro retângulo esse valor é excedido. Assim, o percentil 70 localiza-se no
intervalo [ [ , mais precisamente, de modo a verificar-se a igualdade
. Resolvendo esta equação obtém-se
Caderno de Apoio – EST10
, ou seja,
.
Página 57
5.1
1. Contou-se o número de folhas em cada uma de
plantas do tabaco (Havano). Os
resultados estão registados na Tabela a seguir apresentada.
Número de Folhas
17
18
19
20
21
22
23
24
Número de Plantas
3
22
44
42
22
10
6
1
Calcule a média, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média, a variância e o
desvio padrão do número de folhas destas plantas.
2. Num estudo sobre a resistência individual ao esforço físico, submeteram-se dois grupos de
indivíduos a dois aparelhos diferentes (bicicleta-ergómetro e passadeira rolante), medindose o tempo (em minutos) até ao consumo máximo de oxigénio. Os resultados foram os
seguintes:
Bicicleta : amostra
̃
Passadeira: amostra
̃
2.1 Calcule ̅ e ̅ e, com base nestes valores e na dimensão das duas amostras, calcule
a média da amostra conjunta .
̃
2.2 Calcule
e
, indique os respetivos graus de liberdade e verifique que
̅
̅
̅
̅ .
2.3 Para qual dos aparelhos foi observada uma maior variabilidade nos tempos até ao
consumo máximo de oxigénio?
ordenada, (
), e admita que se substitui o
̃
máximo da amostra por um valor
com
. Determine o menor valor de
que faz com que a média da nova amostra fique superior a
Considera que neste caso
a média traduz bem a localização central da amostra? Justifique.
3. *Considere uma amostra
4. De acordo com dados históricos, a amostra das temperaturas mínimas diárias em Lisboa
durante os meses de janeiro dos anos 2000 a 2010 tem uma média igual a 10 o e um desvio
padrão igual a 3o. Indique um limite superior para a percentagem de dias em que a
temperatura mínima foi inferior a 0o.
Comentário
As seguintes atividades permitem ilustrar junto dos alunos, de uma forma heurística, duas
importantes propriedades da média enquanto estimativa do correspondente parâmetro da
população. Quando se está interessado em conhecer a média dos valores que uma certa
variável estatística assume quando se considera a totalidade das unidades estatísticas de uma
população (média populacional) partindo, para tal, de uma amostra e dos respetivos
valores na variável , é importante ter-se a noção de quais os fatores que condicionam a maior
ou menor aproximação da média amostral à média populacional.
Caderno de Apoio – EST10
Página 58
Para ilustrar que a média amostral converge, em certo sentido, para a média populacional à
medida que aumenta da dimensão da amostra, basta recorrer a uma lista de números pseudo-aleatórios e a uma regra de correspondência entre cada um destes números e cada uma das
unidades estatísticas da População. Desta forma será possível conduzir a seguinte experiência:
- Selecionam-se ao acaso amostras de dimensão , calcula-se a média de cada uma delas e
representa-se graficamente num diagrama de pontos.
- Repete-se o procedimento, considerando agora uma dimensão > para qualquer das
amostras , calculam-se as médias e representam-se no mesmo gráfico em que se representou
as médias do passo anterior. As médias do grupo de amostras de maior dimensão irão localizarse tendencialmente mais perto umas das outras e também mais perto da média populacional, o
que significa que a média ganha precisão à medida que a dimensão da amostra aumenta.
Para se mostrar empiricamente o impacto da dispersão populacional, mais precisamente, do
valor do desvio-padrão obtido a partir dos valores da variável estatística em todas as unidades
estatísticas da população, é necessário partir-se de duas populações para as quais faça sentido
medir (na mesma unidade) alguma variável estatística de interesse comum e que tenham
valores dos respetivos desvios-padrão suficientemente diferentes. De cada uma das populações
selecionam-se amostras de uma mesma dimensão e representam-se graficamente as
respetivas médias. Ilustrar-se-á assim uma outra propriedade da média segundo a qual ela é
tão mais precisa quanto menor for o desvio padrão populacional.
5. Dê um número de 1 a N a cada aluno da sua turma (N é o total de alunos) e registe numa
lista a altura de cada um deles.
5.1. Utilizando a calculadora, selecione aleatoriamente 5 alunos da turma e calcule a
média das alturas respetivas. Repita o procedimento 10 vezes e represente num
diagrama de pontos cada uma das médias obtidas e também a média das alturas
de todos os alunos da turma.
5.2. Aumente a dimensão das amostras recolhidas para 12 e, tal como no item
anterior, repita o procedimento 10 vezes calculando em cada passo a média das
alturas dos alunos selecionados. Compare o novo diagrama de pontos com o
anterior e tire conclusões.
6. Fez-se um estudo acerca do peso de 50 bébés do sexo masculino no momento do
nascimento e obtiveram-se os seguintes dados:
3,217
3,986
2,822
3,465
4,075
3,749
4,083
3,383
3,683
3,262
3,337
3,235
3,088
3,473
3,537
3,238
3,446
3,601
3,223
2,641
3,510
3,643
4,061
2,861
4,075
3,434
2,876
3,478
3,766
3,173
3,404
3,187
3,006
3,473
3,730
3,229
3,696
3,130
3,822
2,649
3,568
3,991
3,770
3,219
3,754
3,558
2,117
3,185
2,806
3,608
6.1. Registe estes dados numa folha de cálculo e atribua-lhes um número de ordem.
6.2. Determine a média populacional e o desvio-padrão.
Caderno de Apoio – EST10
Página 59
6.3. Utilizando os números de ordem atribuidos em 6.1., selecione uma amostra
aleatória de
dados, determine a média amostral e o desvio-padrão amostral e
compare-os com a média e desvio padrão da população.
(A folha de cálculo Excel tem uma função “
” que
permite gerar aleatoriamente números compreendidos entre dois números
dados e . (a=1 e b=10). Se arrastar a célula onde obteve o primeiro número,
para outras linhas ou colunas, obtém mais valores.)
6.4. Selecione agora aleatoriamente uma amostra de
dados, determine a média
amostral e o desvio-padrão amostral e compare estes valores com os obtidos na
alínea anterior e com os relativos à população.
5.2
1. Os seguintes dados referem-se à duração, em minutos, do percurso casa-escola realizado
num dado dia por uma amostra aleatória de 32 alunos de uma escola secundária.
12
9
23
45
7
32
21
7
44
20
8
19
16
62
41
37
22
18
36
65
12
29
15
6
11
35
49
18
5
13
17
44
1.1. Ordene os dados da amostra e determine os percentis 50, 25 e 75.
1.2. Determine, dos 30% percursos com maior duração, aquele que tem menor
duração.
1.3. A que percentil pertence o percurso com 36 minutos?
2. Na seguinte tabela estão representados dados relativos ao peso (kg) de 60 crianças do sexo
masculino com 20 meses de idade e acompanhadas num determinado centro de saúde.
8,3
11,9
10,2
14,7
9,2
15,1
12,1
15,7
13,0
12,6
9,5
9,9
10,4
10,9
15,1
11,4
10,1
11,6
14,5
16,2
14,8
8,9
9,1
12,9
12,1
10,3
11,6
9,9
14,4
15,7
15,3
9,6
12,7
8,1
15,0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Agrupe os dados em classes de amplitude 2.
Construa o respetivo histograma.
Utilizando o histograma, determine os percentis de ordem 10, 15, 50, 75 e 85.
Identifique a que percentil pertence o dado 11,4.
Quantas crianças deste estudo têm peso inferior ao percentil 75?
Qual a criança com peso mais elevado do conjunto das que têm os pesos 20% mais
baixos?
2.7 Compare os valores obtidos com os valores estabelecidos pela organização
mundial de saúde em 2006 e indicados na tabela junta.
percentil
Peso (kg)
Caderno de Apoio – EST10
0,1
3
5
10
15
50
85
97
99,9
8,0
9,2
9,4
9,8
10,1
11,3
12,7
14,0
16,0
Página 60