Secções Cónicas
Uma parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano
equidistantes de um ponto fixo F (foco) e de uma recta fixa l
(directriz) do plano.
As secções cónicas, também chamadas cónicas, são obtidas
interceptando um cone circular recto de duas folhas por um plano
Variando a posição do plano
obtêm-se uma elipse,
uma
parábola ou uma hipérbole como
ilustra a figura ao lado
O eixo da parábola é a recta que passa por F e é perpendicular à
directriz. O vértice da parábola é o ponto V do eixo, equidistante
de F e l
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Parábolas com vértice no ponto V=(h,k)
Uma elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano, cuja
soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante.
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O gráfico da equação
O gráfico da equação
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
com a2 > b 2 é uma elipse com vértices (±a, 0). As extremidades
do eixo menor são (0, ±b). Os focos são (±c, 0), com
c 2 = a2 − b 2 .
x2 y2
+ 2 =1
b2
a
com a2 > b 2 é uma elipse com vértices (0, ±a). As extremidades
do eixo menor são (±b, 0). Os focos são (0, ±c), com
c 2 = a2 − b 2 .
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O gráfico da equação
x2 y2
− 2 =1
a2
b
com a2 > b 2 é uma hipérbole de vértices (±a, 0). Os focos são
(±c, 0), com c 2 = a2 + b 2 .
Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano, tais
que a diferença das suas distâncias a dois pontos fixos do plano (os
focos) é constante.
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Planos
O gráfico da equação
y2 x2
− 2 =1
a2
b
A equação de um plano no espaço pode ser obtida através de um
ponto do plano e um vector normal a esse plano.
com a2 > b 2 é uma hipérbole de vértices (0, ±a). Os focos são
(0, ±c), com c 2 = a2 + b 2 .
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Exemplo
Definição
O plano contendo o ponto (x1 , y1 , z1 ) e o vector normal
−
→
n = (a, b, c), pode ser representado, pela equação
Encontre a equação geral do plano que contém o ponto (1, 2, 3) e
→
sendo −
n = (4, 5, 6) um vector normal ao plano
Solução:
4(x − 1) + 5(y − 2) + 6(z − 3) = 0
a(x − x1 ) + b(y − y1 ) + c(z − z1 ) = 0
ou ainda, reagrupando os termos, obtém-se para equação geral do
plano:
ax + by + cz + d = 0
4x + 5y + 6z − 32 = 0
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Exemplo
Pegando na equação do exemplo anterior vem:
Fazendo z = 0 vem 4x + 5y = 32
Fazendo x = 0 vem 5y + 6z = 32
Fazendo y = 0 vem 4x + 6z = 32
Para esboçar um plano no espaço, devemos em primeiro lugar
encontrar as rectas de intersecção com os planos coordenados:
XOY (z = 0);
YOZ (x = 0);
XOZ (y = 0)
e as intersecções com planos paralelos aos planos coordenados.
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Superfı́cies Cilı́ndricas
O processo de gerar uma superfı́cie apenas por translação de um
curva do plano ao longo de uma linha é chamado de extrusão, e
essas superfı́cies assim geradas por extrusão são chamadas
superfı́cies cilı́ndricas.
Definição
A intersecção de uma superfı́cie com um plano diz-se o traço da
superfı́cie no plano.
Um exemplo familiar de uma
destas superfı́cies é o cilindro
circular recto.
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Desenhe o gráfico de z = y 2 em IR3 Começaremos por calcular o
traço desta superfı́cie com os planos paralelos ao plano YOZ uma
vez que a variável x não está presente na equação.O traço em cada
um destes planos é a parábola z = y 2 .
Uma equação contendo unicamente duas das três variáveis x, y e
z representa uma superfı́cies cilı́ndrica em IR3 .
Definição
Seja C uma curva num plano e seja L uma recta não paralela a L
que intersectam C diz-se um cilindro. C é chamada a geratriz do
cilindro.
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Outro tipo de superfı́cies no espaço são as superfı́cies quádricas
que podem ser consideradas a correspondência tridimensional das
secções cónicas no plano.
Há seis tipos básicos de superfı́cies quádricas:
Definição
1. Elipsóide
Uma superfı́cie quádricas é representada por uma equação do
segundo grau da forma:
2. Hiperbolóide de uma folha
3. Hiperbolóide de duas folhas
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxz + Exy + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
4. Cone elı́ptico
5. Parabolóide elı́ptico
A intersecção de uma superfı́cie com um plano diz-se o traço da
superfı́cie no plano. Os traços das superfı́cies quádricas nos planos
coordenados são cónicas.
6. Parabolóide hiperbólico
Para visualizar uma superfı́cie no espaço é útil determinar os seus
traços em planos paralelos aos planos coordenados.
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Elipsóide
Hiperbolóide de uma folha
x2
a2
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1
O traço nos planos paralelos
ao plano XOY são elipses e
nos planos paralelos aos outros
planos coordenados o traço é
uma hipérboles.O eixo do
hiperbolóide corresponde à
variável cujo coeficiente é
negativo.
=1
Os traços nos planos
coordenados são elipses. A
superfı́cie é uma esfera se
a = b = c = 0.
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Hiperbolóide de duas folhas
z2
c2
−
x2
a2
−
y2
b2
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Cone Elı́ptico
=1
z2 =
O traço nos planos paralelos
ao plano XOY são elipses e
nos planos paralelos aos outros
planos coordenados o traço é
uma hipérboles.O eixo do
hiperbolóide corresponde à
variável cujo coeficiente é
positivo. Não há traço no
plano coordenado
perpendicular a esse eixo.
x2
a2
+
y2
b2
O traço nos planos paralelos
ao plano XOY são elipses e
nos planos paralelos aos outros
planos coordenados o traço é
uma recta. O eixo do cone
corresponde à variável cujo
coeficiente é negativo.
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Parabolóide Elı́ptico
z=
x2
a2
+
Parabolóide Hiperbólico
y2
b2
z=
y2
b2
−
x2
a2
O traço nos planos paralelos
ao plano XOY são hipérboles e
nos planos paralelos aos outros
planos coordenados o traço é
uma parábola. O eixo do
parabolóide corresponde à
variável de grau um.
O traço nos planos paralelos
ao plano XOY são elipses e
nos planos paralelos aos outros
planos coordenados o traço é
uma parábola. O eixo do
parabolóide corresponde à
variável de grau um.
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Técnica para identificar uma superfı́cie quádrica
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Exemplo
Identifique a seguinte superfı́cie:
Equação
y2
z2
x2
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c2
y2
z
x2
+
−
=1
a22
b22
c 22
x
y
z
− 2 − 2 =1
c2
a2
b
x
y2
2
z − 2 − 2 =0
a
b
z−
x2
a2
−
y2
b2
=0
z−
y2
b2
+
x2
a2
=0
Caracterı́stica
Classificação
Não tem nenhum sinal menos
Elipsóide
Tem apenas um sinal menos
Hiperbolóide de uma folha
Tem dois sinais menos
Hiperbolóide de duas folhas
Não tem termos lineares
Cone Elı́ptico
Tem um termo linear e dois
termos quadráticos
com o mesmo sinal
Tem um termo linear e dois
termos quadráticos
com sinais contrários
3x 2 − 4y 2 + 12z 2 + 12 = 0
Solução:
Reescrevendo a equação vem:
y2 x2
−
− z2 = 1
3
4
A equação tem um 1 no lado direito da equação, tem dois
membros com sinal negativo no lado esquerdo e um positivo e por
isso é um hiperbolóide de duas folhas.
Parabolóide elı́ptico
Hiperbolóide Parabólico
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