Esboço de quádricas...Algumas técnicas e exemplos
Métodos Matemáticos I
Um esboço de um elipsóide de equação
x2 y2 z2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
Resolução do 4o trabalho de casa
(a > 0, b > 0, c > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro as intersecções com os eixos
coordenados e desenhando depois a superfı́cie usando os traços
como guias.
2006/2007
1
Exemplo
2
O esboço...
Esboce o gráfico do elipsóide.
x2 y2 z2
+
+
=1
4
16
9
.
A intersecção com o eixo dos xx é obtida fazendo y = 0 e z = 0
na equação o que nos dá os valores x = ±2.A intersecção com o
eixo dos yy é obtida fazendo x = 0 e z = 0 na equação o que nos
dá os valores y = ±4. A intersecção com o eixo dos zz é obtida
fazendo x = 0 e y = 0 na equação o que nos dá os valores
z = ±3.Marcando estes pontos e as elipses que passam pelos
pontos encontrados em casa plano coordenados obtemos o esboço
do elipsóide.
3
4
Exemplo
Esboce o gráfico do cone elı́ptico equação
Um esboço de um cone elı́ptico de equação
z2 −
x2 y2
− 2 =0
a2
b
z2 − x2 −
(a > 0, b > 0)
y2
=0
4
. Os traços da equação nos planos z = ±1 são dados pela equação:
pode ser obtida desenhando primeiro os traços ( elipses ) nos
planos z = ±1 e depois desenhando as linhas que unem os
extremos dos eixos dessas elipse como ilustra o esboço do exemplo
seguinte.
y2
=1
(z = ±1)
4
Desenhando estas elipses e as rectas que unem os extremos dos
eixos das elipses nos planos coordenados verticais esboço do slide
seguinte
x2 +
6
5
O esboço...
Um esboço de um parabolóide elı́ptico de equação
z−
X2 y2
− 2 =0
a2
b
(a > 0, b > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro o traço ( elipse ) no plano
z = 1 e depois desenhando os traços (parábolas) nos planos
coordenados verticais e essas parábolas ligam a origem aos
extremos da elipse já desenhada.
7
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Exemplo
O esboço...
Esboce o gráfico do parabolóide elı́ptico de equação
z−
x2 y2
−
=0
4
9
. Fazendo z = 1 na equação vem:
x2 y2
+
=1
4
9
(z = 1)
que é uma elipse no plano z = 1. Traçando agora as parábolas nos
planos verticais que unem a origem aos extremos dos eixos da
elipse obtemos o esboço que se encontra no slide seguinte.
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