Superfı́cies Quádricas e de Revolução
1
Superfı́cies Quádricas
Definição 1.1. O gráfico de uma equação de segundo grau nas variáveis x, y e z da
forma
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0,
com A, B, C, D, E, F, G, H, I e J constantes reais, é chamada uma superfı́cie quádrica.
Para visualizar, reconhecer e traçar o gráfico destas superfı́cies usamos uma técnica
que envolve a determinação dos traços e seções da superfı́cie.
Os traços de uma superfı́cie são as curvas de interseção da superfı́cie com os
planos coordenados xy (z = 0), xz (y = 0) e yz (x = 0).
As seções de uma superfı́cie são as curvas de interseção da superfı́cie com os
planos paralelos aos planos coordenados, ou seja, com planos x = k, y = k ou z = k,
onde k é uma constante real não nula.
Definição 1.2. Uma superfı́cie quádrica dada por uma equação da forma
±
x2 y 2 z 2
± 2 ± 2 = 1,
a2
b
c
(1)
onde a, b, c são constantes positivas, é chamada uma quádrica central.
As superfı́cies quádricas centrais são classificadas do seguinte modo:
(i) Se os três sinais do lado esquerdo da equação (1) são positivos, a superfı́cie é
chamada elipsóide.
(ii) Se apenas um dos sinais do lado esquerdo da equação (1) é negativo, a superfı́cie
é chamada hiperbolóide de uma folha.
(iii) Se dois sinais do lado esquerdo da equação (1) são negativos e o outro é positivo,
a superfı́cie é chamada hiperbolóide de duas folhas.
As justificativas para tais nomes são dadas a seguir.
1
1.1
O elipsóide
Considere o elipsóide de equação:
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1,
a2
b
c
com a, b, c > 0.
Os traços do elipsóide nos planos coordenados são:
(1) No plano xy (z = 0) temos:
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
(elipse).
(2) No plano xz (y = 0) temos:
x2 z 2
+ 2 = 1,
a2
c
(elipse).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
y2 z2
+ 2 = 1,
b2
c
(elipse).
A seção do elipsóide no plano z = k 6= 0, possui equação da forma
x2 y 2
k2
c2 − k 2
+
=
1
−
=
.
a2
b2
c2
c2
(i) Se |k| < c, (c2 − k 2 )/c2 > 0,
x2 y 2
c2 − k 2
+
=
a2
b2
c2
e a seção é uma elipse.
(ii) Se |k| > c, (c2 − k 2 )/c2 < 0,
x2 y 2
c2 − k 2
+
=
a2
b2
c2
e a seção é o conjunto vazio.
(iii) Se |k| = c, (c2 − k 2 )/c2 = 0,
x2 y 2
+ 2 =0
a2
b
e a seção é o ponto (0, 0, k).
2
De modo análogo, podemos obter as seções do elipsóide nos planos x = k e y = k.
Observação: Considere um elipsóide de equação
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1,
a2
b
c
com a, b, c > 0.
Se a = b = c temos uma esfera centrada na origem e raio r = a.
A equção de uma esfera S de centro em C(x0 , y0 , z0 ) e raio r é obtida da seguinte
forma:
p
P (x, y, z) ∈ S ⇔ d(P, C) = r ⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r ⇔
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 .
1.2
O hiperbolóide de uma folha
Supondo que apenas o termo envolvendo z 2 seja negativo, temos a equação:
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = 1,
a2
b
c
com a, b, c > 0.
Os traços deste hiperbolóide nos planos coordenados são:
(1) No plano xy (z = 0) temos:
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
(elipse).
(2) No plano xz (y = 0) temos:
x2 z 2
− 2 = 1,
a2
c
(hipérbole).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
y2 z2
− 2 = 1,
b2
c
(hipérbole).
A seguir as seções do hiperbolóide de uma folha.
(1) No plano z = k 6= 0, temos
k2
c2 + k 2
x2 y 2
+
=
1
+
=
a2
b2
c2
c2
3
e a seção é uma elipse.
(2) No plano x = k 6= 0, temos
y2 z2
k2
a2 − k 2
−
=
1
−
=
.
b2
c2
a2
a2
(2)
(i) Se |k| < a, (a2 − k 2 )/a2 > 0 e a curva dada pela equação (2) é uma
hipérbole com focos no eixo y.
(ii) Se |k| > a, (a2 − k 2 )/a2 < 0 e a curva dada pela equação (2) é uma
hipérbole com focos no eixo z.
(iii) Se |k| = a, (a2 − k 2 )/a2 = 0 e a curva dada pela equação (2) é um par de
retas concorrentes cujas equações são: y = ±(b/c)z.
(3) No plano y = k 6= 0, temos uma situação análoga à do item (2).
1.3
O hiperbolóide de duas folhas
Supondo que apenas os termos envolvendo x2 e z 2 possuam sinais negativos, temos
a equação:
x2 y 2 z 2
com a, b, c > 0.
− 2 + 2 − 2 = 1,
a
b
c
Os traços deste hiperbolóide nos planos coordenados são:
(1) No plano xy (z = 0) temos:
−
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
(hipérbole com focos no eixo y).
(2) No plano xz (y = 0) temos:
−
x2 z 2
− 2 = 1,
a2
c
(conjunto vazio).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
y2 z2
− 2 = 1,
b2
c
(hipérbole com focos no eixo y).
A seguir as seções do hiperbolóide de duas folhas.
(1) No plano z = k 6= 0, temos
x2 y 2
k2
c2 + k 2
+
=
1
+
=
a2
b2
c2
c2
e a seção é uma hipérbole com focos no eixo y.
−
4
(2) No plano x = k 6= 0, temos
y2 z2
k2
a2 + k 2
−
=
1
+
=
b2
c2
a2
a2
e a seção é uma hipérbole com focos no eixo y.
(3) No plano y = k 6= 0, temos:
−
x2 z 2
k2
b2 − k 2
−
=
1
−
=
.
a2
c2
b2
b2
(3)
(i) Se |k| < b, (b2 − k 2 )/b2 > 0 e a curva dada pela equação (3) é um conjunto
vazio.
(ii) Se |k| > b, (b2 − k 2 )/b2 < 0 e a curva dada pela equação (3) é uma elipse.
(iii) Se |k| = b, (b2 − k 2 )/b2 = 0 e a curva dada pela equação (3) é o ponto
(0, k, 0).
1.4
Parabolóides
Consideremos uma superfı́cie quádrica cuja equação padrão tem uma das seguintes
formas:
y2 z2
x2 y 2
± 2 ± 2 = z ou ± 2 ± 2 = x
a
b
b
c
onde a, b e c são constantes positivas.
ou
x2 z 2
± 2 ± 2 = y,
a
c
Se os sinais do lado esquerdo destas equações são iguais, a superfı́cie é chamada um
parabolóide elı́ptico. Se os sinais forem diferentes teremos uma superfı́cie chamada
parabolóide hiperbólico (ou sela de cavalo).
1.5
Parabolóide elı́ptico
Suponha, por exemplo, que o parabolóide tenha equação
x2 y 2
+ 2 = z, com a, b > 0.
a2
b
Os traços nos planos coordenados são:
(1) No plano xy (z = 0) temos :
x2 y 2
+ 2 = 0,
a2
b
que é o ponto (0, 0, 0).
5
(2) No plano xz (y = 0) temos:
z=
x2
,
a2
(parábola).
z=
y2
,
b2
(parábola).
(3) No plano yz (x = 0) temos:
A seguir as seções do parabolóide elı́ptico.
(1) No plano x = k 6= 0, temos
z=
y2 k2
+ 2
b2
a
(parábola).
x2 k 2
+ 2
a2
b
(parábola).
(2) No plano y = k 6= 0, temos
z=
(3) No plano z = k 6= 0, temos:
x2 y 2
+ 2 = k.
a2
b
(i) Se k > 0 a curva dada pela equação (4) é uma elipse.
(ii) Se k < 0 a curva dada pela equação (4) é um conjunto vazio.
1.6
Parabolóide hiperbólico
Suponha, por exemplo, que o parabolóide hiperbólico tenha equação
−
x2 y 2
+ 2 = z, com a, b > 0.
a2
b
Os traços nos planos coordenados são:
(1) No plano x = 0 temos:
z=
y2
,
b2
(parábola).
6
(4)
(2) No plano y = 0 temos:
z=−
x2
,
a2
(parábola).
(3) No plano z = 0 temos:
x2 y 2
+ 2 = 0,
a2
b
que é um par de retas concorrentes cujas equações são y = (b/a)x e y = −(b/a)x.
−
A seguir as seções do parabolóide hiperbólico.
(1) No plano x = k 6= 0, temos
z=
y2 k2
− 2
b2
a
(parábola).
(2) No plano y = k 6= 0, temos
z=−
x2 k 2
+ 2
a2
b
(parábola).
(3) No plano z = k 6= 0, temos:
−
x2 y 2
+ 2 = k.
a2
b
(5)
(i) Se k > 0 a curva dada pela equação (5) é uma hipérbole com focos no eixo
y.
(ii) Se k < 0 a curva dada pela equação (5) é uma hipérbole com focos no eixo
x.
1.7
Cone elı́ptico
Uma superfı́cie quádrica cuja equação padrão é da forma
y2 z2
x2 z 2
x2 y 2
2
2
+
=
z
ou
+
=
x
ou
+ 2 = y2,
a2
b2
b2
c2
a2
c
onde a, b e c são constantes positivas, é chamada cone elı́ptico.
A seguir vamos determinar os traços e as seções do cone elı́ptico de equação
x2 y 2
+ 2 = z 2 , com a, b > 0.
a2
b
7
(6)
(i) No plano x = 0 temos:
z2 =
y2
y
⇒
z
=
±
b2
b
(par de retas concorrentes).
(ii) No plano y = 0 temos:
z2 =
x2
x
,
⇒
z
=
±
a2
a
(par de retas concorrentes).
(iii) No plano z = 0 temos:
x2 y 2
+ 2 = 0,
a2
b
que é o ponto (0, 0, 0).
A seguir as seções do cone elı́ptico dado pela equação (6).
(1) No plano x = k 6= 0, temos
y2
k2
=
b2
a2
(hipérbole).
k2
x2
z − 2 = 2
a
b
(hipérbole).
z2 −
(2) No plano y = k 6= 0, temos
2
(3) No plano z = k 6= 0, temos:
x2 y 2
+ 2 = k2
a2
b
(elipse).
Observação: Se na equação (6) a = b, o cone é chamado circular.
Exemplos: Identifique as superfı́cies a seguir, determinando os traços e seções.
Se a superfı́cie for uma esfera determinar o centro e o raio.
1. 4x2 + 8x + y 2 − 2y + z 2 − z = 55.
2. 4x2 + 8x + 4y 2 − 8y + 4z 2 − 4z = 16.
3. 3x2 + 4y 2 + 9z 2 = 25.
4. x2 − 16y 2 + 25z 2 = 4.
8
5. 49x2 − 25y 2 − 36z 2 = 1.
6. −x2 + 8y 2 = −4z 2 .
7. 36y 2 + 49z 2 = x.
8. 121x2 − 100y 2 = 64z.
9. −64y 2 − 100z 2 = 4x.
10. −36x2 + 81y 2 − 25z 2 = 7.
11. x2 −
1.8
y2
+ 36z = 0.
144
Superfı́cies cilı́ndricas
Definição 1.3. Um cilindro é uma superfı́cie gerada por uma reta L, chamada geratriz do cilindro, que se move ao longo de uma curva plana C, chamada diretriz, de
modo que a reta L permanece sempre paralela a uma reta fixa não situada no plano
da curva.
Consideremos o problema de encontrar uma equação para um cilindro com direriz
C no plano xy e geratriz paralela ao eixo z.
Suponhamos que C tem equação F (x, y) = 0. Um ponto P (x, y, z) pertence ao
cilindro se e somente se o ponto Q(x, y, 0) está em C, isto é, se e somente se as
coordenadas x e y de P satisfazem a equação de C. Logo, a equação do cilindro é
F (x, y) = 0, ou seja, a mesma equação de C.
Exemplos
1) Curva C dada por x2 + y 2 = 9 e diretriz L paralela ao eixo z.
9
2) Curva C dada por y = 8x2 e diretriz L paralela ao eixo z.
2
3) Esboce o gráfico em
R3 das equação z = sen y.
4) Esboce o gráfico em
R3 das equação z − ex = 0.
Superfı́cies de Revolução
Definição 2.1. Uma superfı́cie de revolução é uma superfı́cie obtida pela rotação de
uma curva plana em torno de uma reta fixa pertencente ao mesmo plano da curva.
Tal curva é chamada geratriz e a reta fixa eixo de revolução.
Exemplos: Esfera, cilindro, cone.
Vamos determinar a equação de uma superfı́cie de revolução obtida girando uma
curva C no plano yz, de equação z = f (y) (z função de y), em torno do eixo y.
Seja P (x, y, z) um ponto qualquer da superfćie. O plano perpendicular ao eixo
de revolução y e que passa por P intercepta o eixo y no ponto R(0, y, 0) e a curva
geratriz C no ponto Q(0, y, f (y)). Como P e Q estão na mesma circunferência de
centro R temos
p
√
2
d(P, R) = d(Q, R) ⇔ x2 + z 2 = [f (y)] ⇔ x2 + z 2 = [f (y)]2 .
De modo análogo, a equação da superfı́cie de revolução obtida pela rotação, em
10
torno do eixo x, de uma curva num dos planos coordenados contendo este eixo é
y 2 + z 2 = [f (x)]2 .
Se o eixo de rotação for o eixo z e a curva geratriz está em um dos planos coordenados contendo exte eixo, a equação da superfı́cie de revolução é
x2 + y 2 = [f (z)]2 .
Exemplos
1) Determine a equação da superfı́cie de revolução obtida pela rotação da parábola
z = x2 em torno do eixo z. Esboce o gráfico da superfı́cie.
√
√
√
Escreva x = z e seja f (z) = z ou f (z) = − z. Então, a equação da
superfı́cie é dada por x2 + y 2 = [f (z)]2 = z. Logo, a superfı́cie úm parabolóide
circular.
2) Considere a superfı́cie de equação ln(x2 + z 2 ) = −2y. Determine:
a) O eixo de revolução.
b) A curva geratriz em um dos planos coordenados que contém o eixo de
revolução.
c) Esboce o gráfico da superfı́cie.
Temos que ln(x2 + z 2 ) = −2y ⇔ x2 + z 2 = e−2y ⇔ x2 + z 2 = [e−y ]2 .
Logo o eixo de revolução é o eixo y e as curvas geratrizes são x = f (y) = e−y
ou z = f (y) = e−y .
Exemplos
2
1
π
é uma superfı́cie de revolução.
1) x + y = sen( z) +
2
2
2
2
2) Um elipsóide que tem 2 dos parâmetros iguais é um elipsóide de revolução.
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1,
a2
b
c
com parâmetros a, b, c > 0.
O eixo de revolução é o eixo relacionado a variável que tem como coeficiente o
inverso do quadrado do parâmetro distinto.
3) O hiperbolóide de uma folha que tem parâmetros iguais associados aos termos
de sinal positivo é uma superfı́cie de revolução. A variável com coeficiente
negativo é o eixo de revolução.
11
4) O hiperbolóide de duas folhas que tem parâmetros iguais associados aos termos
de sinal negativo é uma superfı́cie de revolução. A variável com coeficiente
positivo é o eixo de revolução.
y
x2 y 2
5) O cone 2 + 2 = z 2 pode ser obtido pela rotação da reta z = em torno do
a
a
a
eixo z.
12