Esboço de quádricas...Algumas técnicas e exemplos
Exemplo
Esboce o gráfico do hiperbolóide de uma folha de equação
x2 + y2 −
Um esboço de um hiperbolóide de uma folha de equação
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1
z2
=1
4
.
O traço no plano XOY, obtido fazendo z = 0 na equação, é
(a > 0, b > 0, c > 0)
x2 + y2 = 1
pode ser obtida desenhando primeiro o traço (elipse) no plano
XOY, depois os traços nos planos z = ±c, e por fim as curvas
hiperbólicas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses.
(z = 0)
que é uma circunferência de raio 1 e centro na origem.
Os traços nos planos z = 2 e z = −2 são
x2 + y2 = 2
√
que são cı́rculos de raio 2 e centro no eixo dos zz. Juntando os
pontos extremos dos eixos das circunferências com hipérboles
obtemos o esboço final que se encontra no slide seguinte
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O esboço...
Um esboço de um hiperbolóide de duas folhas de equação
z2 x2 y2
− 2 − 2 =1
c2
a
b
(a > 0, b > 0, c > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro as intersecções com o eixo
dos zz, depois os traços (elipses) nos planos z = ±2c, e por fim as
curvas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses com
os pontos da intersecção com o eixo dos zz.
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Desenhando estas elipses e as hipérboles nos planos coordenados
verticais obtemos o esboço do slide seguinte
Exemplo
Esboce o gráfico do hiperbolóide de duas folhas de equação
z2 − x2 −
y2
=1
4
. As intersecções com o eixo dos zz acontecem em z = ±1. Os
traços nos planos z = 2 e z = −2 são dados pela equação:
x2 y2
+
=1
3
12
(z = ±2)
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O esboço...
Um esboço de um parabolóide hiperbólico de equação
z=
y2 x2
− 2
b2
a
(a > 0, b > 0)
pode ser obtida desenhando primeiro os dois traços ( parábolas )
que passam na origem ( um no plano YOZ e outra no plano XOZ
), depois os traços (hipérboles) nos planos z = ±1, e por fim
preencher os lados que faltam.
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Exemplo
Esboce o gráfico do parabolóide hiperbólico de equação
z=
y2
4
−
O traço no plano z = 1 é
x2
y2 x2
−
=1
4
9
9
. Fazendo x = 0 na equação vem:
z=
y2
4
(z = 1)
que é uma hipérbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao
eixo dos yy. O traço no plano z = −1 é
(x = 0)
x2 y2
−
=1
9
4
que é uma parábola no plano YOZ com vértice na origem e a
“abrir”para o lado positivo do eixo dos zz. Fazendo y = 0 na
equação vem:
x2
(y = 0)
z =−
4
que é uma parábola no plano XOZ com vértice na origem e a
“abrir”para o lado negativo do eixo dos zz.
(z = −1)
que é uma hipérbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao
eixo dos xx.
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O esboço...
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