MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL AULA 01 GEOMETRIA ESPACIAL PRISMAS 04) ( UFRGS – 2013 ) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices, P e Q sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. Exercícios de Sala 01) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área 2 total de ( 96 + 2 3 ) cm . Sabe-se que a aresta da base mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é: O volume desse sólido é: 02) Um prisma regular hexagonal tem arestas da base medindo 2 m e arestas laterais medindo 5 m. Uma formiga dá uma volta completa em torno da sua superfície lateral, partindo de um vértice da base de baixo e chegando no vértice correspondente da base de cima. A menor distância percorrida pela formiga foi: a) b) c) d) e) 17 m; 16 m; 15 m; 14 m; 13 m. 03) ( UFSC – 2013 ) A afirmação seguinte está CORRETA? Uma conhecida marca de chocolate utiliza como embalagem um prisma regular de base triangular cuja aresta da base mede 3,5 cm. Se sua altura tem o dobro do perímetro da base, então sua 2 área lateral é igual a 220,5 cm . a) b) c) d) e) 64 128 256 512 1024 05) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 2 44dm, calcule, em dm , a área total desse paralelepípedo. 06) ( ACAFE-07 ) Na fazenda de suínos do Sr. Valdecir, a Sadia construiu um tanque biodigestor em forma de paralelepípedo retângulo, cujas dimensões estão em progressão aritmética de razão 4. Sabendo que a área 2 total (s) desse tanque é 568m , então, a menor dimensão do tanque, em metros, é igual a: a) b) c) d) e) 3 6 10 4 8 07) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 3 Calcule o volume do cubo em cm . PROFESSOR RICARDINHO 2 ) cm. MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL Tarefa 01) A piscina de um clube tem 1,80m de profundidade, 14m de largura e 20m de comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la. a) b) c) d) 504 000 340 000 250 000 300 000 02) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é: ( 1m – 10dm ) 03) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é 3 24 m . Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo. 04) ( UFRGS – 08 ) O custo de uma embalagem é diretamente proporcional à superfície do sólido que se deseja embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 cm de aresta é R$ 10,00, a embalagem de um cubo de 80 cm de aresta custa, em reais, a) b) c) d) e) 15 20 25 40 80 08) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto 2 retângulo é de 376 m e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta. 09) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal 3 paralelepípedo é 64cm , então a soma das áreas de suas faces é: a) b) c) d) e) 2 292cm 2 298cm 2 296cm 2 294cm 2 290cm 10) ( UFRN ) Se a diagonal de um cubo mede 3 2 então sua área total, em m , vale: a) b) c) d) e) 6 m, 54 72 85 108 110 11) ( UFRGS ) A área da base de uma caixa em que todas 2 as faces são retangulares é 320 cm , a área de uma 2 2 face lateral é 160 cm e de outra face lateral é 128cm . 3 O volume desta caixa, em cm , é: 05) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa. O polinômio na variável 3 x, que representa o volume, em cm , desta caixa é a) b) c) d) e) 07) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 2 é: 132 cm , 3 a) b) c) d) e) 2560 1280 640 608 320 12) ( PUC-SP ) Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois de pronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa, são 51cm x 26cm x 12,5cm, conforme mostra a figura abaixo. 2 4x – 60x + 200x 2 4x – 60x + 200 3 2 4x – 60x + 200 3 2 x – 30x + 200x 3 2 x – 15x + 50x 06) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em 3 cm , é: PROFESSOR RICARDINHO O volume interno dessa caixa, em metros cúbicos, é: a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15 d) 0,156 e) 1,5 13) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto. MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL 2 01. A área do triângulo ABC é 2 dm . 02. AD = 2 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 3 dm 16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm. 14) ( UFSC-2007 ) As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio x − 14x + 56x − 64 . Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo. 3 2 15) As três dimensões de um paralelepípedo reto3 retângulo de volume 405m são proporcionais aos números 1, 3 e 5. Com base no exposto, determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. A soma dos comprimentos de todas as arestas é 72m 02. A capacidade desse paralelepípedo é de 405 000 litros. 04. A diagonal maior do paralelepípedo é de 3 35 m 2 08. A área total do paralelepípedo é de 414m 16. A área total desse paralelepípedo é maior do que a área total de um cubo cuja aresta mede 8m 16) ( ESPM – SP ) O seno do ângulo do ângulo que a diagonal de um cubo forma com uma das arestas concorrentes a ela tem como valor: 2 2 a) 3 6 b) 2 O volume desse sólido, em função de x, é dado pela expressão: a) b) c) d) e) 3 2 2x – x 3 2 4x – x 3 2x – x 3 2 2x – 2x 3 2x – x 18) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm. a) b) calcule o comprimento das arestas da referida caixa calcule sua capacidade em litros 19) ( UFSM-RS ) Quantos cubinhos de madeira de 1cm de aresta podem ser colocados numa caixa cúbica, com 2 tampa, na qual foram gastos 294 cm de material para confeccioná-la? a) b) c) d) e) 76 147 294 343 6859 20) ( ITA-SP ) As dimensões de um paralelepípedo 2 retângulo são proporcionais aos números loget, loget 3 2 e loget e a área total é 792 cm . Sabendo-se que a soma das dimensões vale 12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores destas dimensões? a) b) c) d) e) 6; 12 e 18 5; 10 e 15 2; 3 e 4 2; 4 e 8 n.d.a. 6 c) 3 3 d) 3 2 e) 3 17) Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do qual um prisma de base quadrada de 1 e altura x foi retirado. O sólido está representado pela parte escura da figura. PROFESSOR RICARDINHO GABARITO - AULA 01 1) a 2) 06 3) 52 6) 64 7) 02 8) 48 12) a 13) 13 14) 64 15) 30 16) c 17) c 18) a) 80 b) 512 19) d 20) a 4) d 9) a 5) a 10) d 11) a MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL 3. AULA 02 3 PIRÂMIDES Exercícios de Sala 1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide. 2. As maiores pirâmides egípcias são conhecidas pelo nome de “Pirâmides de Gizé” e estão situadas nas margens do Nilo. A maior e mais antiga é a de Quéops que tem a forma aproximada de uma pirâmide de base quadrada com 230 metros de lado e cujas faces laterais se aproximam de triângulos equiláteros. Em matemática, “pirâmide” é um sólido geométrico. O volume de um sólido com as dimensões da pirâmide de Quéops é: a) b) c) 230 3 m 3 3 3 230 2 230 6 3 3 m m 3 3 4 3 230 3 m 2 3 230 2 3 e) m 2 d) ( FATEC-09 ) Uma pirâmide quadrangular regular de PROFESSOR RICARDINHO base ABCD e vértice P tem volume igual a 36 3 cm . Considerando que a base da pirâmide tem centro O e que M é o ponto médio da aresta BC, se a medida do ângulo PMO é 60°, então a medida da aresta da base dessa pirâmide é, em centímetros, igual a: a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 e) 3 216 324 432 564 648 4. ( UFSC-2006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 2 144 m de área. A 4 m do vértice traça-se um plano 2 paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m de área. Qual a altura da pirâmide? 5. ( UDESC 2011.1 ) Considere um tronco de pirâmide regular, cujas bases são quadrados com lados medindo 4 cm e 1 cm. Se o volume deste tronco é 35 cm², então a altura da pirâmide que deu origem ao tronco é: MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL Tarefa 01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. 3 Determine, em cm , o volume dessa pirâmide. 11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 2 2 3 cm. Determine a área total, em cm , dessa pirâmide. 03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O 3 volume, em cm , é: 04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é: 1 a) 3 V 2 b) 2 V c) 4 5 V d) 3 3 V e) 6 V 8 12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. 05) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2 3. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é: 06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm de volume e 4 aresta da base? 3 cm 3 de altura. Qual a medida da a) 4 d) 16 3 cm2 3 cm2 08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total 2 da pirâmide. Divida o resultado obtido em m por dez 09) ( UFPR ) O volume de um tetraedro regular de 10cm de altura é: a) 125 b) 125 c) 250 d) 375 e) 375 2 cm3 3 cm3 3 cm3 2 cm3 3 cm3 3 PROFESSOR RICARDINHO 3 cm2 b) 6.10 -4 e) 15.10 -4 c) 12.10 14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem 2 225 cm de área. Uma secção paralela à base, feita a 2 3cm do vértice, tem 36cm de área. A altura da pirâmide é: a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm 18) ( ACAFE-SC ) A base de uma pirâmide hexagonal regular está inscrita num círculo de raio 2 3 m. Sabendo que a altura da pirâmide é de 4m, a área da superfície lateral é: 3 m2 30 d) 15m a) 1152cm 3 b) 1440cm 3 c) 384cm 3 d) 1200cm 3 e) 240cm -2 a) 6.10 -2 d) 12.10 a) 10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação de um sólido. O volume desse sólido é de: c) 12 13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta 2 pirâmide mede, em m . -4 07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é: 3 cm2 2 e) 24 3 cm b) 8 2 e) 10 GABARITO AULA 02 1) 64 2) 48 3) 24 2 4) 260cm 5) 48 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 03 18 64 b c d d a b a b) 5 3 3 m2 3 m2 c) 20 3 m2 MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL AULA 03 CILINDRO e CONE 3. ( UDESC-2010.1 ) A planificação da superfície lateral de um cilindro circular reto de altura h e raio r gera a região retangular ABCD, conforme é ilustrado na Figura 1. Suponha que esta região seja utilizada para construir um novo cilindro, cuja altura é a medida do segmento AB , sem haver sobreposição. Exercícios de Sala 1. Assinale V ou F ( ) ( UFSC – 2010 ) Com base nos dados das figuras abaixo, pode-se afirmar que a relação entre os volumes dos três tanques é V1 < V2 < V3. Figura 1: Planificação e construção de um cilindro O volume do novo cilindro é: a) b) rh 2 2 2 r h 2 c) d) ( ( ) ( UFSC – 2009 ). Um retângulo, quando girado em torno de seu lado maior, descreve um cilindro cujo 3 volume tem 432π cm . Se o lado maior do retângulo mede o dobro da medida do lado menor, então a 2 área desse retângulo é de 72 cm . ) Se um cilindro equilátero mede 12 m de altura, 3 então seu volume, em m , vale 64 π 2 rh π 2 2 r hπ 2 2 e) πr h 4. ( UFSC – 2011 )O volume de um cone reto é 1024 π cm 3 . Se a altura, o raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartãoresposta. 2. ( UNESP-09 ) A base metálica de um dos tanques de armazenamento de látex de uma fábrica de preservativos cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, vazaram 12 mil litros de látex. Considerando a aproximação π = 3, e que 1000 3 litros correspondema 1m , se utilizássemos vasilhames na forma de um cilindro circular reto com 0,4 m de raio e 1 m de altura, a quantidade de látex derramado daria pra encher exatamente quantos vasilhames? a) b) c) d) e) 12 20 22 25 30 PROFESSOR RICARDINHO 5. ( UFSC- 2004 ) A geratriz de um cone eqüilátero mede 2 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, 2 em cm , multiplique o resultado por valor obtido no cartão-resposta 3 e assinale o MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL 07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de: Tarefa 01) ( UFPA ) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro 2 da base é 8m. Então, a área total (em m ) vale: a) b) c) d) e) 3,2 m b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a. b) 3,6 m c) 4,0 m d) 4,8 m 09) ( ACAFE ) Um prisma reto de 12 cm de altura está inscrito num cilindro circular reto. Sabendo-se que a base do prisma é um triângulo retângulo cujos catetos medem 6cm e 8cm, a razão entre a área lateral do cilindro e a área lateral do prisma é: a) 2 3 36Πm . O valor, em m , de 1 do Π volume desse cilindro é: 04) ( UFBA-BA ) O tonel representado abaixo está ocupado em 60% da sua capacidade. A quantidade de água nele contida é de aproximadamente: b) 30L c) 40L d) 50L e) 60L 05) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um cilindro circular reto. Sabendo-se que a área da base da pirâmide vale 2 24 3 cm e que o cilindro é eqüilátero, é correto afirmar que: b) 5π 10 c) 5π 12 π d) e) 4 24 a) b) a lata A é mais vantajosa para o consumidor; não existe vantagem na compra de uma ou outra lata; ambas as latas apresentam o mesmo volume; a lata B apresenta o dobro do volume da lata A; a lata B é mais vantajosa para o consumidor. 11) ( UFR-RJ ) Carlos é um rapaz viciado em beber refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros de altura com uma base de 2 metros de diâmetro e pensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se ele estivesse cheio de refrigerante diet?” Considerando π = 3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet por dia, pode-se afirmar que ele consumirá todo o líquido do reservatório em um período de: a) 86 dias d) 8,6 anos b) 86 meses e) 860 meses c) 86 anos GABARITO – TAREFA CILINDRO E CONE 01. a aresta lateral da pirâmide vale 4 5 02. o volume da pirâmide vale 64 3 cm 04. o raio da base do cilindro vale 4 cm 2 08. a área total do cilindro vale 80π cm 3 16. o volume do cilindro vale 128π cm cm 3 06) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água: a) ultrapassa o meio do cano b) transborda c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda e) atinge exatamente o meio do cano PROFESSOR RICARDINHO 11π 10) ( UEMS ) Um certo tipo de óleo de soja é vendido em duas latas cilíndricas distintas. A lata A de raio r está cheia de óleo até a altura h, a lata B tem raio r/2 e está cheia até a altura 2h. A lata A é vendida por R$ 3,00 e a lata B por R$ 1,40. Podemos afirmar que: c) d) e) 20L 7π 12 03) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de a) 2% 08) ( ITA-SP ) Qual o volume de um cone circular reto, se 2 a área de sua superfície lateral é de 24Π cm e o raio de sua base mede 4cm? 52π 36π 20π 16π 12π 02) ( UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem 1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é: a) a) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) B c 54 a 23 a d 8) 16 π 20 cm3 3 9) c 10) e 11) d MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL 4. Considere uma esfera inscrita num cubo, conforme mostra a figura. Sabendo que o volume do cubo é 3 216m , assinale o que for correto. AULA 04 ESFERA INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS Exercícios de Sala 1. Um ourives deixou como herança para seus oito filhos uma esfera maciça de ouro. Os herdeiros resolveram fundir o ouro e, com ele, fazer oito esferas iguais. Cada uma dessas esferas terá um raio igual a: a) b) c) d) e) 1/2 do raio da esfera original 1/3 do raio da esfera original 1/4 do raio da esfera original 1/6 do raio da esfera original 1/8 do raio da esfera original 01. a aresta do cubo é de 6m 3 02. o volume da esfera é de 36πm 04. o volume interior ao cubo e exterior à esfera é 3 de 36(6 – π) m 08. uma esfera circunscrita a esse cubo terá raio 3 3m 16. A área da superfície esférica é superior que a área total do cubo. 2. ( FUVEST ) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, é: a) b) c) d) e) 5. ( UEPG-08 ) – Duas esferas, congruentes entre si, são tangentes externamente. Um cilindro circular reto, de 3 volume igual a 32πcm , está circunscrito à reunião dessas esferas. Assim, assinale o que for correto. 1 2 3 4 5 2 3. Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala). 01) A área total do cilindro é 40π cm . 3 02) O volume de cada esfera é maior que 30 cm . 04) A altura do cilindro é o triplo de seu diâmetro da base. 08) A razão entre o volume do cilindro e o volume das duas esferas inscritas é 3 2 Tarefa 01) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção. 3 02) ( UFSC ) O volume, em cm , de um cubo 2 circunscrito a uma esfera de 16π cm de superfície é: 03) ( ACAFE-SC ) A soma de todas as arestas de um cubo mede 72 cm. A superfície da esfera inscrita no cubo é: 3 O volume do cilindro, em cm , é: a) b) c) d) e) 100π 200π 250π 500π 750π PROFESSOR RICARDINHO a) 16 π m 2 b) 24 π m 2 c) 36 π m 2 d) 48 π m 2 e) 72 π m 2 MODULAR SEMI EXTENSIVO– GEOMETRIA ESPACIAL 04) ( MACK-SP ) A razão entre o volume de uma esfera e o volume de um cilindro circular reto circunscrito a esta esfera é igual a: a) b) 4/3 2/3 c) d) 1/3 e) 3 3/3 05) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone eqüilátero mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita 3 nesse cone, em cm , é: a) b) c) d) e) 144π 152π 192π 288π 302π a) b) c) d) e) 12π 8π 4π 2π π 12) ( CEFET-PR ) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma 3 esfera, seu volume aumentará 252π cm . O raio da esfera original mede, em cm: 06) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um plano que dista 5 cm do centro. O raio da secção feita mede, em cm: 07) ( CEFET-PR ) A área de uma secção, feita em uma 2 esfera e distando 3 cm do centro, é igual a 18π cm . A 2 área da esfera, em cm , é: 08) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é: a) b) c) d) e) 11) ( PUC-RS ) A região R da figura está limitada por três semicírculos. Se R efetua uma volta completa em torno do eixo dos x, ela gera um sólido de volume: 300 250 200 150 100 09) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: a) 102 π 3 cm 3 π 3 cm 3 b) 80 c) 40 π cm d) 160 e) 80 π cm 3 π 3 cm 3 3 13) ( FUVEST ) Um recipiente cilíndrico cujo raio da base é 6 cm contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é colocada no interior do recipiente, ficando totalmente submersa. Se a altura da água subiu 1 cm, então o raio da esfera é: 14) ( UFSC ) Um recipiente de forma cilíndrica medindo 12cm de raio interno é preenchido com água até uma altura “h”. Uma bola (esfera) de raio 12cm é colocada no fundo desse recipiente e constatamos que a água recobre exatamente o nível da bola. Quanto mede a altura “h”, ( em cm )? 15) Os centros de três esferas que se tangenciam duas a duas, externamente, formam um triângulo cujos lados medem 3cm, 4cm e 5cm. A soma dos volumes das 3 três esferas é, em cm . (divida o resultado por π). 16) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é: a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1 17) ( ITA-SP ) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm: a) b) c) d) e) 10/3 7/4 12/5 3 2 18) ( ITA-SP ) A área da intersecção de um plano com 2 uma bola, cujo raio mede 13cm, é 144π cm . Determine as distâncias polares. GABARITO AULA 04 10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua área total é 2. O valor de inscrita nesse cubo, é: PROFESSOR RICARDINHO 1 3π do volume da esfera, 1) 39 2) 64 7) 108π 8) d 13) 3cm 14) 08 18) 4 13 e 6 13 3) c 9) b 15) 48 4) b 10) 96 16) a 5) d 11) b 17) a 6) 12 12) 03