DESAFIOS
ENZO
01-(FUVEST) Sejam x e y dois números reais, com 0<x <
11senx + 5cos(y – x) = 3. Nessas condições, determine
a) cosy.
b) sen2x.
MATEMÁTICA
π
2
e
π
2
<y < π , satisfazendo seny =
4
e
5
02-(FUVEST) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência
de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função
y=
8
x
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função.
b) a área do pentágono OABCD.
03-(FUVEST) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V,
conforme o esquema abaixo.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha.
Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de
reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?
04-(FUVEST) Determine a solução (x, y), y >1, para o sistema de equações
 log y (9 x − 35) = 6

log3 y (27 x − 81) = 3
05-(FUVEST) No triângulo ABC da figura, a mediana AM , relativa ao lado BC é perpendicular ao lado AB.
Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se α é a medida do ângulo ABC, determine
a) senα
b) o comprimento AC.
c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB
d) a área do triângulo AMC.
06-(ITA) Considere as funções f(x) =
função composta fog é igual a
A) 1. B) 2.C) 3.D) 4.E) 5.
x 4 + 2 x 3 – 2x – 1 e g(x) = x 2 – 2x + 1. A multiplicidade das raízes não reais da
07-(ITA) Uma amostra de estrangeiros, em que 18% são proficientes em inglês, realizou um exame para classificar a
sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 75% foram classificados como
proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Um estrangeiro desta
amostra, escolhido ao acaso, foi classificado como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser
efetivamente proficiente nesta língua é de aproximadamente
A) 73%. B) 70%. C) 68%.D) 65%.E) 64%.
08-(ITA) Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos α= CÂB, β = ABC e γ = BCA.
Sabendo-se que a equação x2 – 2bxcos〈 + b2 – a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que
A) α= 90º.
B) β = 60º.
C) γ = 90º.
D) O triângulo é retângulo apenas se α = 45º.
E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
09-(ITA) Sejam C uma circunferência de raio R >4 e centro (0, 0) e AB uma corda de C. Sabendo que (1, 3) é ponto
médio de AB, então uma equação da reta que contém AB é
A) y + 3x – 6 = 0.
B) 3y + x – 10 = 0
C) 2y + x – 7 = 0
D) y + x – 4 = 0.
E) 2y + 3x – 9 = 0.
10-(ITA) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8cm de altura e de 60º de ângulo de vértice.
Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2
vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm³, é igual a
a)416π/9
b)480π/9
c)500π/9
d)512π/9
e) 542π/9
3 cm do
11-(ITA) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens
e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso
nessa população.
a)1/21
b) 1/8
c)3/11
d) 5/21
e) 1/ 4
12-(ITA) Os valores de x ∈ IR, para os quais a função real dada por está definida,
formam o conjunto
A) [0, 1].
D) (–∞, 0] ∪ [1, 6].
B) [–5, 6].
C) [–5, 0]
E) [–5, 0] ∪ [1, 6].
∪
f ( x) = 5 − 2 x − 1 − 6
[1, ∞).
13-(ITA) A divisão de um polinômio f(x) por (x – 1) (x – 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de f(x) por
x – 1 e x – 2 são, respectivamente, os números a e b, então a² + b² vale
A) 13
. B) 5
C) 2
D) 1.
E) 0.
14-(ITA) Dada a função quadrática
2
1 2
f ( x) = x 2 ln + x ln 6 − ln temos que
3
4 3
A) a equação f (x) = 0 não possui raízes reais.
B) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima.
C) a equação f (x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo.
ln 2. ln 3
ln 3 − ln 2
ln 2. ln 3
E) o valor máximo de f é 2
ln 3 − ln 2
D) o valor máximo de f é
15-(ITA) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone.
Sabendo-se que o volume do cone é 128πm³, temos que o raio da base e a altura do cone medem,
respectivamente, em metros:
A) 9 e 8
B) 8 e 6
C) 8 e 7
D) 9 e 6
E) 10 e 8
16-(ITA) Considere a circunferência inscrita num triângulo isósceles
com base de 6cm e altura de 4cm. Seja t a reta tangente a
esta circunferência e paralela à base do triângulo. O segmento
de t compreendido entre os lados do triângulo mede
A) 1cm
B) 1,5cm
C) 2cm
D) 2,5cm
E) 3cm
17-(ITA) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um
constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de
todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780º. O número total das diagonais nestes três polígonos é
igual a:
A) 63 B) 69 C) 90 D) 97 E) 106
18-(ITA) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a
probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a
alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é
A) 0,21. D) 0,35.
B) 0,25. E) 0,40.
C) 0,28.
5
3
2
19-(ITA) Sobre o polinômio p ( x ) = x − 5 x + 4 x − 3 x − 2 podemos afirmar que
A) x = 2 não é raiz de p
B) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais
C) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira
D) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras
E) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais
20-(UNICAMP) Considere a matriz
a11
a12
a13
A = a21
a31
a22
a32
a23 , cujos coeficientes são números reais.
a33
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma
informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.
b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i – j + 1 para os elementos em que
j
≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1 .
21-(UNICAMMP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias
agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes
em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim,
entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana
e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja,
100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter
daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?
22-(UNICAMP) Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram
que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma
fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. a)
Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os
ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de
poltronas vizinhas?
b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira,
a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Determine o número de
cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144
cadeiras, calcule o valor de n.
23-(UNICAMP) Pedro precisa comprar x borrachas, y lápis e z canetas. Após fazer um levantamento em duas
papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$23,00 pelo conjunto de borrachas, lápis e canetas, enquanto a
papelaria B cobra R$25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$
1,00 pela borracha, R$2,00 pelo lápis e R$3,00 pela caneta e que a papelaria B cobra R$1,00 pela borracha, R$1,00
pelo lápis e R$4,00 pela caneta.
a) Forneça o número de lápis e de borrachas que Pedro precisa comprar em função do número de canetas que ele
pretende adquirir.
b) Levando em conta que x ≥ 1, y ≥ 1 e z ≥ 1, e que essas três variáveis são inteiras, determine todas as possíveis
quantidades de lápis, borrachas e canetas que Pedro deseja comprar.